Ajay Sir Math

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1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.2 | NCERT Maths Class 12 Chapter 1 Exercise 1.2 all questions UP Board Hindi Medium अध्याय 1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे? 1. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=1/2$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R_*→R$ एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $R_*$ सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $R_*$ को $N$ से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $R_*$ ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा? 2. निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए: (i) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है। (ii) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$  फलन है। (iii) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: R→R$  फलन है। (iv) $f(x)=x^3$   द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है। (v) $f(x)=x^3$  द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$ फलन है। 3. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन $f: R→R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x],x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। 4. सिद्ध कीजिए कि...

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Solved By : Ajay Sir — Revolution Classes प्रश्नावली 5.5 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए: 1. $cosx.cos2x.cos3x$ हल :- माना $y= cosx.cos2x.cos3x$ दोनों पक्षों का $log$ लेने पर — $log⁡y=log⁡[cosx.cos2x.cos3x]$ $log⁡y=logcosx+ logcos2x+ logcos3x$ दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर — $d/{dx}log⁡y = d/{dx}logcosx + d/{dx}logcos2x + d/{dx}logcos3x$ $1/y {dy}/{dx} =1/{cosx} d/{dx}cosx + 1/{cos2x}d/{dx}cos2x + 1/{cos3x}d/{dx} cos3x$ ${dy}/{dx} = y[1/{cosx}(-sinx)(1) + 1/{cos2x}(-sin2x)(2) + 1/{cos3x}(-sin3x)(3)]$ ${dy}/{dx} = y[{-sinx}/{cosx} -2 {sin2x}/{cos2x} - 3{sin3x}/{cos3x}]$ ${dy}/{dx} = y [-tanx-2tan2x-3tan3x]$ ${dy}/{dx} = cosx.cos2x.cos3x [-tanx-2tan2x-3tan3x]$  Ans.     2. $√[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}]$  हल :- माना $y=√[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}] ={[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}]}^{1/2}$ दोनों पक्षों का $log$ लेने पर — $log⁡y={1/2} log[(x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5)]$ $log⁡y = {1/2} [log(x-1)+ log(x-2)- log...

अध्याय 2 पर विविध प्रश्नावली | NCERT Maths Class 12 Chapter 2 Miscellaneous Exercise UP Board Hindi Medium अध्याय 2 पर विविध प्रश्नावली में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे? निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए। 1. $cos^{-1}(cos {13π}/6)$  2. $tan^{-1}⁡(tan {7π}/6)$ सिद्ध कीजिए: 3. $2sin^{-1}3/5=tan^{-1}{⁡{24}/7}$  4:- $sin^{-1}8/17 +sin^{-1}3/5= tan^(-1) {77}/{36} $ 5. $cos^{-1} 4/5 + cos^{-1} {12}/{13} = cos^{-1} {33}/{65}$ 6. $cos^{-1} {12}/{13} + sin^{-1} 3/5 = sin^{-1} {56}/{65}$ 7. $tan^{-1} {65}/{16} = sin^{-1} 5/{13} + cos^{-1} 3/5$ 8. $ tan^{-1}1/5 + tan^{-1}1/7 + tan^{-1}1/3 + tan^{-1} 1/8=π/4 $ सिद्ध कीजिए: 9. $tan^{-1}√x = 1/2 cos^{-1} {{1-x}/{1+x}},x∈[0,1]$ 10. $cot^{-1} ({√{1+sinx} + √{1-sinx}}/{√{1+sinx} - √{1-sinx}})=x/2, x∈(0,π/4)$ 11. $tan^{-1} {√{1+x} -√{1-x}} / {√{1+x}+√{1-x}} =π/4-1/2 cos^{-1} x,-1/√2≤x≤1$ [ संकेत: $x= cos2θ$ रखिए ]  12:– ${9π}/8 - {9/4} sin^{-1} 1/3 = {9/4} sin^{-1} {2√2}/3$ निम्नलिखित समीकरणों को सरल कीजिए: 13:– $2tan^{-1} (cosx)=t...

2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | प्रश्नावली 2.2 | NCERT Maths Class 12 Chapter 2 Exercise 2.2 all questions UP Board Hindi Medium अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | प्रश्नावली 2.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे? निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए: 1:— $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3), x ∈[{-1}/2,1/2]$ 2:— $3cos ^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x) , x∈[1/2,1]$ 3:— $tan^{-1}2/{11}+tan^{-1} 7/{24}= tan^{-1}1/2$ 4:— $2tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/7= tan^{-1}{31}/{17}$ निम्नलिखित फलनों को सरलतम रुप में लिखिए: 5:— $tan^{-1}{√{1+x^2}-1}/x, x≠0 $ 6:— $tan^{-1}1/{√(x^2-1)} ,|x|>1$ 7:— $tan^{-1}√({1-cosx}/{1+ cosx}), 0<x<π$ 8:— $tan^{-1} ({cosx-sinx}/{cosx+sinx}), {-π}/4<x< {3π}/4$ 9:— $tan^{-1}x/{√(a^2-x^2)}, |x|<a $ 10:— $tan^{-1} ({3a^2x-x^3}/{a^3-3ax^2}), a>0; {-a}/{√3}<x<a/√3$ निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए। 11:— $tan^{-1} [2cos(2sin^{-1} {1/2})]$ 12:— $cot(tan^{-1} a+cot^{-1} a)$ 13:— $tan 1/2 [sin^{-1} {2x}/{1+x^2 } + cos^{-1} {1-y^2}/{1+y^2}],|x|<1;...

1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.1 | NCERT Maths Class 12 Chapter 1 Exercise 1.1 all questions UP Board Hindi Medium अध्याय 1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.1 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे? 1:— निर्धारित कीजिए कि क्या निम्न लिखित सम्बंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है: (i) समुच्चय में $A=$ {$1,2,3,…,13,14$} सम्बंध $R$ इस प्रकार परिभाषित है कि $R=${$;(x,y) ∶3x-y=0$} 1(ii) :— प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ में $R=$ {$(x,y) ∶ y=x+5 $तथा $x<4$} द्वारा परिभाषित सम्बंध $R$. 1(iii) :— समुच्चय $A=$ {$1,2,3,4,5,6$} में $R=$ {$(x, y):$ भाज्य है $x$ से} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$ है। 1(iv) :— समस्त पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ में $R=$ {$(x,y): x-y$ एक पूर्णांक है।} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$. 1(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R$ (a) $R=${$(x,y): x$ तथा एक ही स्थान पर कार्य करते हैं} (b) $R=$ {$(x,y): x$ तथा एक ही मोहल्ले में रहते हैं} (c) $R=$ {$(x,y): x,y$ से ठीक-ठीक $7$ सेमी लंबा है} (d) $R=$ {$(x,y): x,y$ की प...