Ajay Jjhjhghjgj
Solved By : Ajay Sir — Revolution Classes
प्रश्नावली 5.5
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[cosx.cos2x.cos3x]$
$logy=logcosx+ logcos2x+ logcos3x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx}logy = d/{dx}logcosx + d/{dx}logcos2x + d/{dx}logcos3x$
$1/y {dy}/{dx} =1/{cosx} d/{dx}cosx + 1/{cos2x}d/{dx}cos2x + 1/{cos3x}d/{dx} cos3x$
${dy}/{dx} = y[1/{cosx}(-sinx)(1) + 1/{cos2x}(-sin2x)(2) + 1/{cos3x}(-sin3x)(3)]$
${dy}/{dx} = y[{-sinx}/{cosx} -2 {sin2x}/{cos2x} - 3{sin3x}/{cos3x}]$
${dy}/{dx} = y [-tanx-2tan2x-3tan3x]$
${dy}/{dx} = cosx.cos2x.cos3x [-tanx-2tan2x-3tan3x]$ Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy={1/2} log[(x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5)]$
$logy = {1/2} [log(x-1)+ log(x-2)- log(x-3)-log(x-4)-log(x-5)]$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx} = {1/2} [d/{dx}log(x-1) + d/{dx} log(x-2) - d/{dx}log(x-3) - d/{dx}log(x-4) - d/{dx}log(x-5)]$
$dy/{dx} = {y/2} [1/{(x-1)}(1-0) + 1/{(x-2)}(1-0) - 1/{(x-3)}(1-0) - 1/{(x-4)}(1-0) - 1/{(x-5)}(1-0)]$
${dy}/{dx} =1/2 √[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}] [1/{x-1}+1/{x-2} -1/{x-3} -1/{x-4} -1/{x-5}]$ Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=cosx. log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx} = [cosx. log(logx)]$
${1/y} {dy}/{dx} =cosx d/{dx}{log(logx)} + log(logx)d/{dx}{cosx}$
${1/y} {dy}/{dx} = log(logx).(-sinx)+cosx. 1/{logx} .{1/x}$
${dy}/{dx} =y[-sinx. log(logx) + {cosx}/{xlogx}]$
${dy}/{dx} = {(logx)}^{cosx} [-sinx. log(logx)+cosx/(x logx)]$
${dy}/{dx} = {(logx)}^{cosx} [{cosx}/{(x logx)} - sinx. log(logx)]$ Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy= xlogx - sinxlog2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx} = [x d/{dx} logx + logx d/{dx}{x}] - [sinx d/{dx} log2 + log2 d/{dx} sinx]$
$1/y {dy}/{dx} = [x.{1/x}.(1)+ logx.(1)] - [sinx(0) + log2 (cosx)]$
${dy}/{dx} = y[1 + logx] - [0 + log2.(cosx)]$
${dy}/{dx} = y[1 + logx - cosxlog2]$
${dy}/{dx} = ({x^x- 2^{sinx}})[1 + logx - cosx.log2]$ Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[{(x+3)}^{2}.{(x+4)}^{3}.{(x+5)}^4 ]$
$logy=2 log(x+3) + 3 log(x+4) + 4 log(x+5)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx}=d/{dx} [2log(x+3) + 3log(x+4)।+ 4 log(x+5)]$
${1/y} {dy}/{dx} =2 d/{dx} {log(x+3)} + 3 d/{dx} {log(x+4)} + 4 d/{dx} {log(x+5)}$
${1/y} {dy}/{dx} =2/{(x+3)} (1+0) + 3/{(x+4) )} (1+0) + 4/{(x+5)} (1+0)$
${dy}/{dx} =y[2/{(x+3)} + 3/{(x+4)} + 4/{(x+5)}]$
${dy}/{dx} = {(x+3)}^2 .{(x+4)}^3 .{(x+5)}^4 [2/{(x+3)} + 3/{(x+4)} + 4/{(x+5)}]$
${dy}/{dx} = {(x+3)}^2 .{(x+4)}^3 .{(x+5)}^4 [{2(x+4)(x+5)+3(x+3)(x+5)+4(x+3)(x+4)}/{(x+3)(x+4)(x+5)}]$ Ans.
पुनः माना $u= (x+1/x)^x तथा v= x^((1+1/x) )$
$y= u+ v$
∵ $u= (x+1/x)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(x+1/x)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x d/dx log(x+1/x)+ log(x+1/x) d/dx (x)$
$1/u du/dx=x 1/((x+1/x) ) (1-1/x^2 )+ log(x+1/x) (1)$
$du/dx=u[〖x^2/((x^2+1) ) ((x^2-1))/x^2 + log〗(x+1/x) ]$
$du/dx=x log(x+1/x) [〖(x^2-1)/(x^2+1)+log〗(x+1/x) ],(1)$
Now, ∵ $v= x^((1+1/x) )$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=(1+1/x) logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx= (1+1/x) d/dx logx+ logx d/dx (1+1/x)$
$1/u dv/dx= (1+1/x)〖1/x〗+ logx .(0-1/x^2 )$
$dv/dx=v[〖(x+1)/x^2 -1/x^2 log〗x ]$
$dv/dx=x^((1+1/x) ) [〖(x+1)/x^2 -1/x^2 log〗x ]$
$dv/dx=x^((1+1/x) ) [(x+1-logx)/x^2 ],(2)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx$
समी (1) व (2) से मान रखने पर —
$dy/dx=x log(x+1/x) [〖(x^2-1)/(x^2+1)+log〗(x+1/x) ]+x^((1+1/x) ) [(x+1-logx)/x^2 ]$ Ans.
पुनः माना $u= (logx)^x$ तथा $v= x^logx$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u= (logx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x d/dx log(logx)+ log(logx) d/dx (x)$
$1/u du/dx=x.1/logx.1/x.1 + log(logx).1 du/dx=u[1/logx+ log(logx) ]$
$du/dx=(logx)^x [1/logx+ log(logx) ],(2)$
Now, ∵ $v= x^logx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=logx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx= logx d/dx logx+ logx d/dx logx$
$1/u dv/dx= 〖logx.〗〖1/x〗+ logx.1/x$
$dv/dx=v[logx/x+logx/x]$
$dv/dx=x^logx [2logx/x],(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=(logx)^x [1/logx+ log(logx) ]+x^logx [2logx/x]$
$dy/dx=(logx)^(x-1) [1+logx log(logx) ]+x^logx [2logx/x]$, Ans.
पुनः माना $u= (sinx)^x तथा v= sin^(-1) √x$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u= (sinx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x d/dx log(sinx)+ log(sinx) d/dx (x)$
$1/u du/dx=x.1/sinx.cosx.1 + log(sinx).1 du/dx=u [x cotx+ log(sinx) ]$
$du/dx=(sinx)^x [x cotx+ log(sinx) ],(2)$
Now,∵ $v= sin^(-1) √x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dv/dx=d/dx sin^(-1) √x$
$dv/dx=1/√(1-(√x)^2 ) d/dx √x$
$dv/dx=1/(√(1-x) ) 1/(2 √x)$
$dv/dx=1/(2 √(x(1-x) ) )$
$dv/dx=1/(2 √(x-x^2 ) ) ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=(sinx)^x [x cotx+ log(sinx) ]+ 1/(2 √(x-x^2 ) )$, Ans.
पुनः माना $u= x^sinx$ तथा $v= (sinx)^cosx$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u= x^sinx$
दोनों पक्षों का $log लेने पर —
$logu= sinx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= sinx d/dx logx+ logx d/dx sinx$
$1/u du/dx=sinx.1/x + logx.cosx$
$du/dx=u [sinx/x + logx.cosx]$
$du/dx=x^sinx [sinx/x + logx.cosx],(2)$
Now,∵ $v= (sinx)^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv= cosx log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=cosx d/dx log(sinx)+ log(sinx) d/dx cosx$
$1/v dv/dx=cosx.1/sinx.d/dx sinx+ log(sinx).(-sinx)$
$dv/dx=v[cotx.cosx -sinx log〖(sinx)] 〗$
$dv/dx=(sinx)^cosx [cosx.cotx -sinx log〖(sinx)]〗 ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=x^sinx [sinx/x + logx.cosx]+ (sinx)^cosx [cosx.cotx -sinx log〖(sinx)]〗$, Ans.
पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= (x^2+1)/(x^2-1)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u=x^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= cosx d/dx logx+ logx d/dx cosx$
$1/u du/dx=cosx.1/x + logx.(-sinx)$
$du/dx=u [cosx/x-sinx logx ]$
$du/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ],(2)$
Now,∵ $v= (x^2+1)/(x^2-1)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log〖(x^2+1)/(x^2-1)〗$
$logv=log〖(x^2+1)〗-log〖〖(x〗^2-1)〗 $
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=1/(x^2+1) d/dx (x^2+1)-1/(x^2-1) d/dx (x^2-1)$
$1/v dv/dx=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)$
$1/v dv/dx=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]$
$dv/dx= v[(2x(x^2-1)-2x (x^2+1))/(x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx= (x^2+1)/(x^2-1) [(2x^2-2x-2x^2-2x)/(x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx=(-4x)/(x^2-1)^2 ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]+(-4x)/(x^2-1)^2$
$dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]-4x/(x^2-1)^2$ , Ans.
पुनः माना $u= x^cosx तथा v= (x^2+1)/(x^2-1)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u=x^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= cosx d/dx logx+ logx d/dx cosx$
$1/u du/dx=cosx.1/x + logx.(-sinx)$
$du/dx=u [cosx/x-sinx logx ]$
$du/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ],(2)$
Now,∵ $v= (x^2+1)/(x^2-1)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log〖(x^2+1)/(x^2-1)〗$
$logv=log〖(x^2+1)〗-log〖〖(x〗^2-1)〗 $
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=1/(x^2+1) d/dx (x^2+1)-1/(x^2-1) d/dx (x^2-1)$
$1/v dv/dx=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)$
$1/v dv/dx=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]$
$dv/dx= v[(2x(x^2-1)-2x (x^2+1))/(x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx= (x^2+1)/(x^2-1) [(2x^2-2x-2x^2-2x)/(x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx=(-4x)/(x^2-1)^2 ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]+(-4x)/(x^2-1)^2$
$dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]-4x/(x^2-1)^2$ , Ans.
पुनः माना $u= x^y$ तथा $v= y^x$
$u+ v=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$du/dx+dv/dx=0 ,(1)$
∵ $u=x^y$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=y logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= y d/dx logx+ logx d/dx y$
$1/u du/dx=y.1/x + logx.dy/dx$
$du/dx=u [y/x+logx dy/dx]$
$du/dx=x^y [y/x+logx dy/dx],(2)$
Now, $∵v=y^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=x logy$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=x d/dx logy+ logy d/dx x$
$1/v dv/dx= x.1/y .dy/dx+ logy .1$
$1/v dv/dx=v[x/y dy/dx+ logy]$
$dv/dx=y^x [x/y dy/dx+ logy],(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$x^y [y/x+logx dy/dx]+y^x [x/y dy/dx+ logy]=0$
$x^y.y/x .+ x^y .logx .dy/dx+ y^x .x/y .dy/dx+y^x logy=0$
$x^y .logx .dy/dx+ y^x .x/y .dy/dx =- y^x logy- x^y.y/x$
$dy/dx [x^y .logx+ y^x .x/y]=- y^x logy- x^y.y/x$
$dy/dx [(y x^y logx+ y^x x )/y]=(- (x y^x logy+ x^y.y))/x$
$dy/dx =((-( x y^x logy+ x^y.y))/x)/((y x^y logx+ y^x x )/y)=-(y (x y^x logy- x^y.y))/(x (y x^y logx+ y^x x ) )$
$dy/dx = (y x (y^x logy- x^(y-1).y))/(x y (x^y logx+ y^(x-1) x ) )$
$dy/dx =(-( y^x logy- x^(y-1).y ))/(x^y logx+ y^(x-1))$, Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$x log y= y logx$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$x d/dx logy+log〖y d/dx〗 x= y d/dx logx+logx dy/dx$
$x.1/y .dy/dx+ logy .1= y .1/x .1+logx dy/dx$
$x/y .dy/dx-log〖x 〗 dy/dx =y/x-logy$
$dy/dx (x/y -log〖x 〗 )=y/x-logy$
$dy/dx =(y/x-logy)/(x/y- log x) =((y- xlogy)/x)/((x-ylogx)/y)$
$dy/dx =(y(y-xlogy))/x(x-ylogx)$, Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$y log(cosx)= x log(cosy)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$y d/dx log(cosx)+log〖(cosx) dy/dx〗= x d/dx log(cosy)+〖log〗(cosx) d/dx x$
$y .1/cosx.(-sinx).1+log〖(cosx) dy/dx〗= x.1/cosy.(-siny).dy/dx +〖log〗(cosx).1$
$-y tanx+log〖(cosx) dy/dx〗= -x tany dy/dx +〖log〗(cosx)$
$log〖(cosx) dy/dx〗+x tany dy/dx = log(cosx)+y tanx$
$dy/dx [log(cosx)+x tany]= log(cosx)+y tanx$
$dy/dx =(log(cosx)+y tanx)/(log(cosx)+x tany)$ Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logx+ logy=(x-y) log$
$logx+ logy=x-y ,∵ loge=1$
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/dx logx+d/dx logy= d/dx x-d/dx y$
$1/x .1+1/y .dy/dx=1-dy/dx$
$1/y .dy/dx+dy/dx =1-1/x$
$dy/dx (1/y+1)= 1-1/x$
$dy/dx=(1-1/x )/(1+1/y)=((x-1)/x)/((y+1)/y)$
$dy/dx=(y(x-1))/(x(y+1))$ Ans.
दिया है: $f(x)=(1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 )$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logf(x)=log(1+x)+log(1+x^2 )+log(1+x^4 )+log〖(1+ x^8 ) 〗$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/dx logf(x)=d/dx log(1+x)+d/dx log(1+x^2 )+d/dx log(1+x^4 )+d/dx log〖(1+ x^8 ) 〗$
$1/(f(x)).f^' (x)=1/(1+x) (0+1)+1/(1+x^2 ) (0+2x)+1/(1+x^4 ) (0+4x^3 )+1/(1+x^8 ) (0+8x^7 )$
$f^' (x)=f(x)[1/(1+x) (0+1)+1/(1+x^2 ) (0+2x)+1/(1+x^4 ) (0+4x^3 )+1/(1+x^8 ) (0+8x^7 )]$
$f^' (x)= (1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 )[1/(1+x) +2x/(1+x^2 ) +(4x^3)/(1+x^4 ) +(8x^7)/(1+x^8 ) ]$, Ans.
$f^' (1)= (1+1)(1+1^2 )(1+1^4 )(1+ 1^8 )[1/(1+1) +(2.(1))/(1+1^2 ) +(4(1)^3)/(1+(1)^4 ) +(8(1)^7)/(1+(1)^8 ) ]$
$f^' (1)= (1+1)(1+1)(1+1)(1+ 1)[1/(1+1) +2/(1+1) +4/(1+1) +8/(1+1) ]$
$f^' (1)= 2×2×2×2[1/2 +2/2 +4/2 +8/2 ]=16.1/2 [1+2+4+8]$
$f^' (1)= 8×15=120$ Ans.
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
1. $cosx.cos2x.cos3x$
हल :-
माना $y= cosx.cos2x.cos3x$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[cosx.cos2x.cos3x]$
$logy=logcosx+ logcos2x+ logcos3x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx}logy = d/{dx}logcosx + d/{dx}logcos2x + d/{dx}logcos3x$
$1/y {dy}/{dx} =1/{cosx} d/{dx}cosx + 1/{cos2x}d/{dx}cos2x + 1/{cos3x}d/{dx} cos3x$
${dy}/{dx} = y[1/{cosx}(-sinx)(1) + 1/{cos2x}(-sin2x)(2) + 1/{cos3x}(-sin3x)(3)]$
${dy}/{dx} = y[{-sinx}/{cosx} -2 {sin2x}/{cos2x} - 3{sin3x}/{cos3x}]$
${dy}/{dx} = y [-tanx-2tan2x-3tan3x]$
${dy}/{dx} = cosx.cos2x.cos3x [-tanx-2tan2x-3tan3x]$ Ans.
2. $√[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}]$
हल :-
माना $y=√[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}] ={[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}]}^{1/2}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy={1/2} log[(x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5)]$
$logy = {1/2} [log(x-1)+ log(x-2)- log(x-3)-log(x-4)-log(x-5)]$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx} = {1/2} [d/{dx}log(x-1) + d/{dx} log(x-2) - d/{dx}log(x-3) - d/{dx}log(x-4) - d/{dx}log(x-5)]$
$dy/{dx} = {y/2} [1/{(x-1)}(1-0) + 1/{(x-2)}(1-0) - 1/{(x-3)}(1-0) - 1/{(x-4)}(1-0) - 1/{(x-5)}(1-0)]$
${dy}/{dx} =1/2 √[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}] [1/{x-1}+1/{x-2} -1/{x-3} -1/{x-4} -1/{x-5}]$ Ans.
3. ${(logx)}^{cosx}$
हल :-
माना $y= {(logx)}^{cosx}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=cosx. log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx} = [cosx. log(logx)]$
${1/y} {dy}/{dx} =cosx d/{dx}{log(logx)} + log(logx)d/{dx}{cosx}$
${1/y} {dy}/{dx} = log(logx).(-sinx)+cosx. 1/{logx} .{1/x}$
${dy}/{dx} =y[-sinx. log(logx) + {cosx}/{xlogx}]$
${dy}/{dx} = {(logx)}^{cosx} [-sinx. log(logx)+cosx/(x logx)]$
${dy}/{dx} = {(logx)}^{cosx} [{cosx}/{(x logx)} - sinx. log(logx)]$ Ans.
4. $x^x- 2^{sinx}$
हल :-
माना $y= x^x - 2^{sinx}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy= xlogx - sinxlog2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx} = [x d/{dx} logx + logx d/{dx}{x}] - [sinx d/{dx} log2 + log2 d/{dx} sinx]$
$1/y {dy}/{dx} = [x.{1/x}.(1)+ logx.(1)] - [sinx(0) + log2 (cosx)]$
${dy}/{dx} = y[1 + logx] - [0 + log2.(cosx)]$
${dy}/{dx} = y[1 + logx - cosxlog2]$
${dy}/{dx} = ({x^x- 2^{sinx}})[1 + logx - cosx.log2]$ Ans.
5. ${(x+3)}^{2}.{(x+4)}^{3}.{(x+5)}^4$
हल :-
माना $y={(x+3)}^{2}.{(x+4)}^{3}.{(x+5)}^4$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[{(x+3)}^{2}.{(x+4)}^{3}.{(x+5)}^4 ]$
$logy=2 log(x+3) + 3 log(x+4) + 4 log(x+5)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx}=d/{dx} [2log(x+3) + 3log(x+4)।+ 4 log(x+5)]$
${1/y} {dy}/{dx} =2 d/{dx} {log(x+3)} + 3 d/{dx} {log(x+4)} + 4 d/{dx} {log(x+5)}$
${1/y} {dy}/{dx} =2/{(x+3)} (1+0) + 3/{(x+4) )} (1+0) + 4/{(x+5)} (1+0)$
${dy}/{dx} =y[2/{(x+3)} + 3/{(x+4)} + 4/{(x+5)}]$
${dy}/{dx} = {(x+3)}^2 .{(x+4)}^3 .{(x+5)}^4 [2/{(x+3)} + 3/{(x+4)} + 4/{(x+5)}]$
${dy}/{dx} = {(x+3)}^2 .{(x+4)}^3 .{(x+5)}^4 [{2(x+4)(x+5)+3(x+3)(x+5)+4(x+3)(x+4)}/{(x+3)(x+4)(x+5)}]$ Ans.
6. $(x+1/x)^x+ x^((1+1/x) )$
हल :-
$y= (x+1/x)^x+ x^((1+1/x) )$पुनः माना $u= (x+1/x)^x तथा v= x^((1+1/x) )$
$y= u+ v$
∵ $u= (x+1/x)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(x+1/x)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x d/dx log(x+1/x)+ log(x+1/x) d/dx (x)$
$1/u du/dx=x 1/((x+1/x) ) (1-1/x^2 )+ log(x+1/x) (1)$
$du/dx=u[〖x^2/((x^2+1) ) ((x^2-1))/x^2 + log〗(x+1/x) ]$
$du/dx=x log(x+1/x) [〖(x^2-1)/(x^2+1)+log〗(x+1/x) ],(1)$
Now, ∵ $v= x^((1+1/x) )$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=(1+1/x) logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx= (1+1/x) d/dx logx+ logx d/dx (1+1/x)$
$1/u dv/dx= (1+1/x)〖1/x〗+ logx .(0-1/x^2 )$
$dv/dx=v[〖(x+1)/x^2 -1/x^2 log〗x ]$
$dv/dx=x^((1+1/x) ) [〖(x+1)/x^2 -1/x^2 log〗x ]$
$dv/dx=x^((1+1/x) ) [(x+1-logx)/x^2 ],(2)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx$
समी (1) व (2) से मान रखने पर —
$dy/dx=x log(x+1/x) [〖(x^2-1)/(x^2+1)+log〗(x+1/x) ]+x^((1+1/x) ) [(x+1-logx)/x^2 ]$ Ans.
7. $(logx)^x+ x^logx$
हल :-
माना $y= (logx)^x+ x^logx$पुनः माना $u= (logx)^x$ तथा $v= x^logx$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u= (logx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x d/dx log(logx)+ log(logx) d/dx (x)$
$1/u du/dx=x.1/logx.1/x.1 + log(logx).1 du/dx=u[1/logx+ log(logx) ]$
$du/dx=(logx)^x [1/logx+ log(logx) ],(2)$
Now, ∵ $v= x^logx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=logx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx= logx d/dx logx+ logx d/dx logx$
$1/u dv/dx= 〖logx.〗〖1/x〗+ logx.1/x$
$dv/dx=v[logx/x+logx/x]$
$dv/dx=x^logx [2logx/x],(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=(logx)^x [1/logx+ log(logx) ]+x^logx [2logx/x]$
$dy/dx=(logx)^(x-1) [1+logx log(logx) ]+x^logx [2logx/x]$, Ans.
8. $(sinx)^x+ sin^(-1) √x$
हल :-
माना $y= (sinx)^x+ sin^(-1) √x$पुनः माना $u= (sinx)^x तथा v= sin^(-1) √x$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u= (sinx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x d/dx log(sinx)+ log(sinx) d/dx (x)$
$1/u du/dx=x.1/sinx.cosx.1 + log(sinx).1 du/dx=u [x cotx+ log(sinx) ]$
$du/dx=(sinx)^x [x cotx+ log(sinx) ],(2)$
Now,∵ $v= sin^(-1) √x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dv/dx=d/dx sin^(-1) √x$
$dv/dx=1/√(1-(√x)^2 ) d/dx √x$
$dv/dx=1/(√(1-x) ) 1/(2 √x)$
$dv/dx=1/(2 √(x(1-x) ) )$
$dv/dx=1/(2 √(x-x^2 ) ) ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=(sinx)^x [x cotx+ log(sinx) ]+ 1/(2 √(x-x^2 ) )$, Ans.
9. $x^sinx+(sinx)^cosx$
हल :-
माना $y= x^sinx+(sinx)^cosx$पुनः माना $u= x^sinx$ तथा $v= (sinx)^cosx$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u= x^sinx$
दोनों पक्षों का $log लेने पर —
$logu= sinx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= sinx d/dx logx+ logx d/dx sinx$
$1/u du/dx=sinx.1/x + logx.cosx$
$du/dx=u [sinx/x + logx.cosx]$
$du/dx=x^sinx [sinx/x + logx.cosx],(2)$
Now,∵ $v= (sinx)^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv= cosx log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=cosx d/dx log(sinx)+ log(sinx) d/dx cosx$
$1/v dv/dx=cosx.1/sinx.d/dx sinx+ log(sinx).(-sinx)$
$dv/dx=v[cotx.cosx -sinx log〖(sinx)] 〗$
$dv/dx=(sinx)^cosx [cosx.cotx -sinx log〖(sinx)]〗 ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=x^sinx [sinx/x + logx.cosx]+ (sinx)^cosx [cosx.cotx -sinx log〖(sinx)]〗$, Ans.
10. $x^cosx+(x^2+1)/(x^2-1)$
हल :-
माना $y= x^cosx+(x^2+1)/(x^2-1)$पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= (x^2+1)/(x^2-1)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u=x^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= cosx d/dx logx+ logx d/dx cosx$
$1/u du/dx=cosx.1/x + logx.(-sinx)$
$du/dx=u [cosx/x-sinx logx ]$
$du/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ],(2)$
Now,∵ $v= (x^2+1)/(x^2-1)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log〖(x^2+1)/(x^2-1)〗$
$logv=log〖(x^2+1)〗-log〖〖(x〗^2-1)〗 $
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=1/(x^2+1) d/dx (x^2+1)-1/(x^2-1) d/dx (x^2-1)$
$1/v dv/dx=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)$
$1/v dv/dx=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]$
$dv/dx= v[(2x(x^2-1)-2x (x^2+1))/(x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx= (x^2+1)/(x^2-1) [(2x^2-2x-2x^2-2x)/(x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx=(-4x)/(x^2-1)^2 ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]+(-4x)/(x^2-1)^2$
$dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]-4x/(x^2-1)^2$ , Ans.
11. $(xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)$
हल :-
माना $y= (xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)$पुनः माना $u= x^cosx तथा v= (x^2+1)/(x^2-1)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u=x^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= cosx d/dx logx+ logx d/dx cosx$
$1/u du/dx=cosx.1/x + logx.(-sinx)$
$du/dx=u [cosx/x-sinx logx ]$
$du/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ],(2)$
Now,∵ $v= (x^2+1)/(x^2-1)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log〖(x^2+1)/(x^2-1)〗$
$logv=log〖(x^2+1)〗-log〖〖(x〗^2-1)〗 $
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=1/(x^2+1) d/dx (x^2+1)-1/(x^2-1) d/dx (x^2-1)$
$1/v dv/dx=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)$
$1/v dv/dx=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]$
$dv/dx= v[(2x(x^2-1)-2x (x^2+1))/(x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx= (x^2+1)/(x^2-1) [(2x^2-2x-2x^2-2x)/(x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx=(-4x)/(x^2-1)^2 ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]+(-4x)/(x^2-1)^2$
$dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]-4x/(x^2-1)^2$ , Ans.
12. $x^y+y^x=1$
हल :-
दिया है: $x^y+y^x=1$पुनः माना $u= x^y$ तथा $v= y^x$
$u+ v=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$du/dx+dv/dx=0 ,(1)$
∵ $u=x^y$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=y logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= y d/dx logx+ logx d/dx y$
$1/u du/dx=y.1/x + logx.dy/dx$
$du/dx=u [y/x+logx dy/dx]$
$du/dx=x^y [y/x+logx dy/dx],(2)$
Now, $∵v=y^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=x logy$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=x d/dx logy+ logy d/dx x$
$1/v dv/dx= x.1/y .dy/dx+ logy .1$
$1/v dv/dx=v[x/y dy/dx+ logy]$
$dv/dx=y^x [x/y dy/dx+ logy],(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$x^y [y/x+logx dy/dx]+y^x [x/y dy/dx+ logy]=0$
$x^y.y/x .+ x^y .logx .dy/dx+ y^x .x/y .dy/dx+y^x logy=0$
$x^y .logx .dy/dx+ y^x .x/y .dy/dx =- y^x logy- x^y.y/x$
$dy/dx [x^y .logx+ y^x .x/y]=- y^x logy- x^y.y/x$
$dy/dx [(y x^y logx+ y^x x )/y]=(- (x y^x logy+ x^y.y))/x$
$dy/dx =((-( x y^x logy+ x^y.y))/x)/((y x^y logx+ y^x x )/y)=-(y (x y^x logy- x^y.y))/(x (y x^y logx+ y^x x ) )$
$dy/dx = (y x (y^x logy- x^(y-1).y))/(x y (x^y logx+ y^(x-1) x ) )$
$dy/dx =(-( y^x logy- x^(y-1).y ))/(x^y logx+ y^(x-1))$, Ans.
13. $y^x= x^y$
हल :-
दिया है: $y^x= x^y$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$x log y= y logx$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$x d/dx logy+log〖y d/dx〗 x= y d/dx logx+logx dy/dx$
$x.1/y .dy/dx+ logy .1= y .1/x .1+logx dy/dx$
$x/y .dy/dx-log〖x 〗 dy/dx =y/x-logy$
$dy/dx (x/y -log〖x 〗 )=y/x-logy$
$dy/dx =(y/x-logy)/(x/y- log x) =((y- xlogy)/x)/((x-ylogx)/y)$
$dy/dx =(y(y-xlogy))/x(x-ylogx)$, Ans.
14. $(cosx)^y=(cosy)^x$
हल :-
दिया है: $(cosx)^y=(cosy)^x$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$y log(cosx)= x log(cosy)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$y d/dx log(cosx)+log〖(cosx) dy/dx〗= x d/dx log(cosy)+〖log〗(cosx) d/dx x$
$y .1/cosx.(-sinx).1+log〖(cosx) dy/dx〗= x.1/cosy.(-siny).dy/dx +〖log〗(cosx).1$
$-y tanx+log〖(cosx) dy/dx〗= -x tany dy/dx +〖log〗(cosx)$
$log〖(cosx) dy/dx〗+x tany dy/dx = log(cosx)+y tanx$
$dy/dx [log(cosx)+x tany]= log(cosx)+y tanx$
$dy/dx =(log(cosx)+y tanx)/(log(cosx)+x tany)$ Ans.
15. $xy=e^((x-y) )$
हल :-
दिया है: $xy=e^((x-y) )$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logx+ logy=(x-y) log$
$logx+ logy=x-y ,∵ loge=1$
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/dx logx+d/dx logy= d/dx x-d/dx y$
$1/x .1+1/y .dy/dx=1-dy/dx$
$1/y .dy/dx+dy/dx =1-1/x$
$dy/dx (1/y+1)= 1-1/x$
$dy/dx=(1-1/x )/(1+1/y)=((x-1)/x)/((y+1)/y)$
$dy/dx=(y(x-1))/(x(y+1))$ Ans.
16. $f(x)=(1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 )$ द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार $f^' (1)$ ज्ञात कीजिए।
हल :-
$xy=e^((x-y) )$दिया है: $f(x)=(1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 )$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logf(x)=log(1+x)+log(1+x^2 )+log(1+x^4 )+log〖(1+ x^8 ) 〗$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/dx logf(x)=d/dx log(1+x)+d/dx log(1+x^2 )+d/dx log(1+x^4 )+d/dx log〖(1+ x^8 ) 〗$
$1/(f(x)).f^' (x)=1/(1+x) (0+1)+1/(1+x^2 ) (0+2x)+1/(1+x^4 ) (0+4x^3 )+1/(1+x^8 ) (0+8x^7 )$
$f^' (x)=f(x)[1/(1+x) (0+1)+1/(1+x^2 ) (0+2x)+1/(1+x^4 ) (0+4x^3 )+1/(1+x^8 ) (0+8x^7 )]$
$f^' (x)= (1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 )[1/(1+x) +2x/(1+x^2 ) +(4x^3)/(1+x^4 ) +(8x^7)/(1+x^8 ) ]$, Ans.
$f^' (1)= (1+1)(1+1^2 )(1+1^4 )(1+ 1^8 )[1/(1+1) +(2.(1))/(1+1^2 ) +(4(1)^3)/(1+(1)^4 ) +(8(1)^7)/(1+(1)^8 ) ]$
$f^' (1)= (1+1)(1+1)(1+1)(1+ 1)[1/(1+1) +2/(1+1) +4/(1+1) +8/(1+1) ]$
$f^' (1)= 2×2×2×2[1/2 +2/2 +4/2 +8/2 ]=16.1/2 [1+2+4+8]$
$f^' (1)= 8×15=120$ Ans.
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