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प्रश्नावली 6.1 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिर्वतन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि (a) $r=3$ cm है (b) $r=4 cm$ है 2. एक घन का आपतन 8 cm$^3$/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है। 3. एक वृत की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है। 4. एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है? 5. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 cm/s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है? 6. एक वृत की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब $r= 4.9$ cm है? 7. एक आयत की लम्बाई $x$, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई $y$, 4 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब $x = 8$ cm और $y = 6$ cm हैं तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात की...

Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग $(x+1)^3 (x-3)^3$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर — $f^' (x)= (x+1)^3 d/{dx} (x-3)^3+ (x-3)^3 d/{dx} (x+1)^3$ $=(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2$ $=3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2$ $=3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3]$ $=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2]$ $=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)]$ $=6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1)$ अंतराल बिन्दुओं के लिए — $f^' (x)=0$ तब क्रमशः $x= -1,x=3,x=1$ संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, 1)$ (iii) $(1, 3)$ (iv) $(3, ∞)$ (i) $(-∞, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-) अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (ii) $(-1, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-) अतः $(-1, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। (iii) $(1, 3)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$ अतः $(1, 3)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है। (iv) $(3, ∞)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$ अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है। 7. सिद्ध कीजिए कि y=log⁡〖(1+x)〗-2x/(2+ x),x> - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया...

प्रश्नावली 6.5 1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए: (1) $f'(x) = (2x - 1)^2 + 3$ (6) $f(x) = 9x^2 + 12x + 2$ (i) $f(x) = - (x - 1) ^ 2 + 10$ (iv) $y(x) = x ^ x + 1$ 2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए: (i) $f(x) = |x + 2| - 1$ (ii) $g(x) = - |x + 1| + 3$ (m) $h(x) = sin(2x) + 5$ (iv) $f(x) = |sin 4x + 3|$ (v) $h(x) = x + 1, x \in (- 1, 1)$ 3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए। $f(x) = x^2$ $g(x) = x^3 - 3x$ (iii) $h(x) = sin x + cos x, 0 (iv) $f(x) = sin x - cos x 0 (v) $f(x) = x^5 - 6x^2 + 9x + 15$ (vi) $x > 0 g(x) = x/2 + 2/x$ (vi) $g(x) = 1/{x^2 + 2}$ (viii) $0 4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है: (i) $f(x) = e^x$ (ii) $g(x) = log(x)$ (ⅲ) $h(x) = x^2 + x^2 + x + 1$ 5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष ...

बेसिक कॉन्सेप्ट और उदाहरण प्रश्नावली 6.4 पर | अवकलन के अनुप्रयोग कक्षा 12 गणित | Handwritten and typed Notes प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए $R$ पर $f(x)=3x+17$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :- दिया है — $f(x)=3x+17$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर — $f^'(x) =d/{dx} (3x+17)$ $=3(1)+0$ $=3 > 0$ (धनात्मक मान) अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved. प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि R पर $f(x)=e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :- दिया है — $f(x)=e^{2x}$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर — $f^'(x) =d/{dx} (e^{2x})$ $=e^{2x} (2)$ $=2e^{2x} > 0$ (सभी $x∈R$ के लिए) अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved. Note : Exponential Function $e^x, e^{2y}, e^{-x}$ etc. हमेशा वर्धमान होते हैं। प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन (a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है, (b) $(π/2,π)$ में ह्रासमान है, (c) $(0,π)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :- दिया है — $f(x)=sinx$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर — $f^'(x)=d/{dx} sinx$ $= cosx$ ∵ (0,π/2) में cosx का मान...

प्रश्नावली 6.1 6 अवकलन के अनुप्रयोग | सॉल्यूशन प्रश्नावली 6.3 | NCERT Math Class 12 Chapter 6 Exercise 6.3 all questions UP Board Hindi Medium प्रश्न 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिर्वतन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि (a) $r=3$ cm है (b) $r=4 cm$ है हल :- (a) वृत्त की त्रिज्या $(r) = 3$ cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल $(A) = πr^2$ ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन ${dA}/{dr}=d/{dr} (πr^2)$ $=π.(2r)$ $=π×2×3$,∵ $r=3$ cm $=6π {cm^2}⁄{cm}$ (b) वृत्त की त्रिज्या $(r) = 4 cm$ ∵ वृत्त का क्षेत्रफल $(A) = πr^2$ ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन ${dA}/{dr}=d/{dr} (πr^2)$ $=π.(2r)$ $=π×2×4$,∵ $r=4$ cm $=8π {cm^2}⁄{cm}$ Ans. प्रश्न 2. एक घन का आपतन 8 cm$^3$/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है। हल :- माना घन का किनारा $a$ तथा आयतन $V$ है। घन के आयतन में परिवर्तन ${dV}/{dt}=8 {cm^3}⁄s$ दिया है – किनारे की लम्बाई $(a) = 12$ cm पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन ${dS}/{dt}= ?$ ∵ घन का आयतन $V=a^3$$ ∴ आयतन मे...

बेसिक कॉन्सेप्ट और उदाहरण प्रश्नावली 6.3 पर | अवकलन के अनुप्रयोग कक्षा 12 गणित | Handwritten and typed Notes प्रश्नावली 6.1 प्रश्न 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिर्वतन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि (a) $r=3$ cm है (b) $r=4 cm$ है हल :- (a) वृत्त की त्रिज्या (r) = 3 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dr=d/dr (πr^2 ) =π.(2r) =π×2×3,∵ r=3 cm =6π (cm^2)⁄cm (b) वृत्त की त्रिज्या (r) = 4 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dr=d/dr (πr^2 ) =π.(2r) =π×2×4,∵ r=4 cm =8π (cm^2)⁄cm Ans. प्रश्न 2. एक घन का आपतन 8 cm$^3$/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है। हल :- माना घन का किनारा a तथा आयतन V है। घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt=8 (cm^3)⁄s दिया है – किनारे की लम्बाई (a) = 12 cm पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन dS/dt= ? ∵ घन का आयतन V=a^3 ∴ आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (a^3 ) dV/dt=3a^2 da/dt 8= 3×(12)^2×da/dt da/dt=8/...

6 अवकलन के अनुप्रयोग | सॉल्यूशन प्रश्नावली 6.2 | NCERT Math Class 12 Chapter 6 Exercise 6.2 all questions UP Board Hindi Medium Book NCERT Class 12th Subject Math Chapter Name 6 अवकलन के अनुप्रयोग Exercise 6.2 Catagory Class 12 math notes in Hindi Medium Hindi (UP Board) अध्याय 6 अवकलन के अनुप्रयोग | प्रश्नावली 6.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे? प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए $R$ पर $f(x)=3x+17$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है। प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि R पर $f(x)=e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है। प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन (a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है, (b) $(π/2,π)$ में ह्रासमान है, (c) $(0,π)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। प्रश्न 4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^2-3x$ प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है। प्रश्न 5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$ से प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान प्रश्न 6. अंतर...