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प्रश्नावली 5.5
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
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1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[cosx.cos2x.cos3x]$
$logy=logcosx + logcos2x + logcos3x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=d/{dx} (logcosx) + d/{dx} (logcos2x) + d/{dx} (logcos3x)$
$1/y {dy}/{dx}=1/{cosx} d/{dx} (cosx) + 1/{cos2x} d/{dx}(cos2x) + 1/{cos3x} d/{dx} (cos3x)$
$1/y {dy}/{dx}=1/{cosx} ( - sinx)(1) + 1/{cos2x} ( - sin2x)(2) + 1/{cos3x} ( - sin3x)(3)$
$1/y {dy}/{dx}= - {sinx}/{cosx} - 2 {sin2x}/{cos2x} - 3 {sin3x}/{cos3x}$
$ {dy}/{dx}= y [ - tanx - 2tan2x - 3tan3x]$
${dy}/{dx}= cosx.cos2x.cos3x [ - tanx - 2tan2x - 3tan3x]$, Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=1/2 log[{(x - 1)(x - 2)}/{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}]$
$logy=1/2 [log(x - 1) + log(x - 2) - log(x - 3) - log(x - 4) - log(x - 5)]$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=1/2 [d/{dx} [log(x - 1) + log(x - 2) - log(x - 3) - log(x - 4) - log(x - 5)]$
$1/y {dy}/{dx}=1/2 [d/{dx} log(x - 1) + d/{dx} log(x - 2) - d/{dx} log(x - 3) - d/{dx} log(x - 4) - d/{dx} log(x - 5)]$
${dy}/{dx}=1/2 y [1/{(x - 1)}(1 - 0) + 1/{(x - 2)} (1 - 0) - 1/{(x - 3)} (1 - 0) - 1/{(x - 4)}(1 - 0) - 1/{(x - 5)}(1 - 0)]$
${dy}/{dx}=1/2 y [1/{x - 1} + 1/{x - 2} - 1/{x - 3} - 1/{x - 4} - 1/{x - 5}]$
${dy}/{dx}=1/2 √{[{(x - 1)(x - 2)}/{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}]} [1/{x - 1} + 1/{x - 2} - 1/{x - 3} - 1/{x - 4} - 1/{x - 5}]$, Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=cosx log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=log(logx) d/{dx} cosx + cosx d/{dx} log(logx)$
$1/y {dy}/{dx}=log(logx)( - sinx) + cosx 1/{logx} . 1/x$
${dy}/{dx}=y[ - sinx log(logx) + {cosx}/{x logx}]$
${dy}/{dx}=(logx)^{cosx} [ - sinx log(logx) + {cosx}/{x logx}]$
${dy}/{dx}=(logx)^{cosx} [{cosx}/{x logx} - sinx log(logx)]$, Ans.
पुनः माना $u= x^x$ तथा $v= 2^{sinx}$
∵ $y = u - v$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x logx$ तथा $logv= sinx log2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}=[logx d/{dx} x + x d/{dx} logx]$
$1/v {dv}/{dx}=[log2 d/{dx} sinx + sinx d/{dx} log2]$
${du}/{dx}=u [logx . (1) + x . 1/x . (1)]$ तथा ${dv}/{dx}=v[log2 (cosx) + sinx(0)]$
${du}/{dx}=x^x [logx + 1]$ तथा ${dv}/{dx}=2^{sinx} [cosx log2]$
∵ $y = u - v$
∴ ${dy}/{dx}={du}/{dx} - {dv}/{dx}$
${dy}/{dx}= x^x [logx + 1] - 2^{sinx} [cosx log2]$, Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[(x + 3)^2 .(x + 4)^3 .(x + 5)^4 ] $
$logy=2 log(x + 3) + 3 log(x + 4) + 4 log(x + 5)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=d/{dx} [2 log(x + 3) + 3 log(x + 4) + 4 log(x + 5)]$
$1/y {dy}/{dx}=2 d/{dx} log(x + 3) + 3 d/{dx} log(x + 4) + 4 d/{dx} log(x + 5)$
$1/y {dy}/{dx}=2/{(x + 3)}(1 + 0) + 3/{(x + 4)} (1 + 0) + 4/{(x + 5)} (1 + 0)$
${dy}/{dx}=y[2/{(x + 3)} + 3/{(x + 4)} + 4/{(x + 5)}]$
${dy}/{dx}=(x + 3)^2 . (x + 4)^3 . (x + 5)^4 [2/{(x + 3)} + 3/{(x + 4)} + 4/{(x + 5)}]$, Ans.
पुनः माना $u=(x + 1/x)^x$ तथा v= $x^{(1 + 1/x)}$
$y= u + v$
∵ $u= (x + 1/x)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(x + 1/x)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= x d/{dx} log(x + 1/x) + log(x + 1/x) d/{dx} (x)$
$1/u {du}/{dx}=x {1/{(x + 1/x)}} (1 - 1/{x^2}) + log(x + 1/x) (1)$
${du}/{dx}=u[{{x^2}/{(x^2 + 1)}} {{(x^2 - 1)}/{x^2}} + log(x + 1/x)]$
${du}/{dx}=x log(x + 1/x) [{{x^2 - 1}/{x^2 + 1}} + log(x + 1/x) ], eq(1)$
Now,∵ $v= x^{(1 + 1/x)}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=(1 + 1/x) logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}= (1 + 1/x) d/{dx} logx + logx d/{dx} (1 + 1/x)$
$1/u {dv}/{dx}= (1 + 1/x)(1/x) + logx . (0 - 1/{x^2})$
${dv}/{dx}=v[{x + 1}/{x^2} - 1/{x^2} logx]$
${dv}/{dx}=x^{(1 + 1/x)} [{(x + 1)/x^2} - 1/{x^2} logx]$
${dv}/{dx}=x^{(1 + 1/x)} [{x + 1 - logx}/{x^2}],(2)$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx}$
समी० (1) व (2) से मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x log(x + 1/x) [{x^2 - 1}/{x^2 + 1} + log(x + 1/x)] + x^{(1 + 1/x)} [{x + 1 - logx}/{x^2}]$, Ans.
पुनः माना $u= (logx)^x$ तथा v= $x^{logx}$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx}, eq(1)$
∵ $u= (logx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= x d/{dx} log(logx) + log(logx) d/{dx} (x)$
$1/u {du}/{dx}=x .1/logx .1/x .1 + log(logx) . 1$
${du}/{dx}=u[1/{logx} + log(logx)]$
${du}/{dx}=(logx)^x [1/{logx} + log(logx)], eq(2)$
Now,∵ $v= x^{logx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=logx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}= logx d/{dx} logx + logx d/{dx} logx$
$1/u {dv}/{dx}= logx . 1/x + logx .1/x$
${dv}/{dx}=v[{logx}/x + {logx}/x]$
${dv}/{dx}=x^{logx} [{2logx}/x], eq(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=(logx)^x [1/{logx} + log(logx) ] + x^{logx} [{2logx}/x]$
${dy}/{dx}=(logx)^{(x - 1)} [1 + logx .log(logx) ] + x^{logx} [{2logx}/x]$, Ans.
पुनः माना $u= (sinx)^x$ तथा $v= sin^{ - 1} √x$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx} , eq(1)$
∵ $u= (sinx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= x d/{dx} log(sinx) + log(sinx) d/{dx} (x)$
$1/u {du}/{dx}=x.1/{sinx} . cosx .1 + log(sinx).1$
${du}/{dx}=u [x cotx + log(sinx)]$
${du}/{dx}=(sinx)^x [x cotx + log(sinx)], (2) $
Now,∵ $v= sin^{ - 1} √x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dv}/{dx}=d/{dx} sin^{ - 1} √x$
${dv}/{dx}=1/{√{1 - (√x)^2} d/{dx} √x$
${dv}/{dx}=1/{√{1 - x}} 1/{2 √x}$
${dv}/{dx}=1/{2 √{x(1 - x)}}$
${dv}/{dx}=1/{2 √{x - x^2}} , eq(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=(sinx)^x [x cotx + log(sinx)] + 1/{2 √{x - x^2}}$, Ans.
पुनः माना $u= x^{sinx}$ तथा $v= (sinx)^{cosx} $
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx} , (1)$
∵ $u= x^{sinx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= sinx. logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= sinx d/{dx} logx + logx d/{dx} sinx$
$1/u {du}/{dx}=sinx .1/x + logx . cosx$
${du}/{dx}=u [{sinx}/x + logx . cosx]$
${du}/{dx}=x^{sinx} [{sinx}/x + logx.cosx],(2) $
Now, ∵ $v= (sinx)^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv= cosx log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=cosx d/{dx} log(sinx) + log(sinx) d/{dx} cosx$
$1/v {dv}/{dx}=cosx . 1/{sinx} . d/{dx} sinx + log(sinx).( - sinx)$
${dv}/{dx}=v[cotx.cosx - sinx log(sinx)]$
$ {dv}/{dx}=(sinx)^{cosx} [cosx.cotx - sinx log(sinx)], (3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^{sinx} [{sinx}/x + logx.cosx]$
$ (sinx)^{cosx} [cosx.cotx - sinx log(sinx)]$, Ans.
पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx}$ , eq(1)
∵ $u=x^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= cosx d/{dx} logx + logx d/{dx} cosx$
$1/u {du}/{dx}=cosx .1/x + logx.( - sinx)$
${du}/{dx}=u [{cosx}/x - sinx logx]$
${du}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx logx], eq(2)$
Now, ∵ $v= {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log{{x^2 + 1}/{x^2 - 1}}$
$logv=log(x^2 + 1) - log(x^2 - 1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=1/{x^2 + 1} d/{dx} (x^2 + 1) - 1/(x^2 - 1) d/{dx} (x^2 - 1)$
$1/v {dv}/{dx}=1/{x^2 + 1} . (2x + 0) - 1/{x^2 - 1} . (2x - 0)$
$1/v {dv}/{dx}=[{2x}/{x^2 + 1} - {2x}/{x^2 - 1}]$
${dv}/{dx}= v[{2x(x^2 - 1) - 2x (x^2 + 1)}/{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}]$
${dv}/{dx}={x^2 + 1}/{x^2 - 1} [{2x^2 - 2x - 2x^2 - 2x}/{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}]$
${dv}/{dx}={ - 4x}/{(x^2 - 1)^2}, eq(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx. logx ] + { - 4x}/{(x^2 - 1)^2}$
${dy}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx.logx ] - {4x}/{(x^2 - 1)^2}$ , Ans.
पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx} , eq(1)$
∵ $u=x^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx. logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= cosx d/{dx} logx + logx d/{dx} cosx$
$1/u {du}/{dx}=cosx . 1/x + logx.( - sinx)$
${du}/{dx}=u [{cosx}/x - sinx.logx ]$
${du}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx.logx], eq(2)$
Now, ∵ $v= {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv={log(x^2 + 1)}/{x^2 - 1}$
$logv={log(x^2 + 1)} - log(x^2 - 1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=1/{x^2 + 1} d/{dx} (x^2 + 1) { - 1}/{x^2 - 1} d/{dx}(x^2 - 1)$
$1/v {dv}/{dx}=1/{x^2 + 1} . (2x + 0) - 1/{x^2 - 1} . (2x - 0)$
$1/v {dv}/{dx}=[{2x}/{x^2 + 1} - {2x}/{x^2 - 1}]$
${dv}/{dx}= v[{2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 1)}/{x^2 + 1)(x^2 - 1)}]$
${dv}/{dx}= {x^2 + 1}/{x^2 - 1} [{2x^2 - 2x - 2x^2 - 2x}/{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}]$
${dv}/{dx}={ - 4x}/{(x^2 - 1)^2}, eq(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^{cosx}[{cosx}/x - sinx.logx ] + { - 4x}/{(x^2 - 1)^2}$
${dy}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx.logx] - {4x}/{(x^2 - 1)^2}$, Ans.
पुनः माना $u= x^y$ तथा $v= y^x$
$u + v=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${du}/{dx} + {dv}/{dx}=0$ ,(1)
∵ $u=x^y$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=y logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= y d/{dx} logx + logx d/{dx} y$
$1/u {du}/{dx}=y.1/x + logx.{dy}/{dx}$
${du}/{dx}=u [y/x + logx {dy}/{dx}]$
${du}/{dx}=x^y [y/x + logx {dy}/{dx}],(2)$
Now,∵ $v=y^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=x logy$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=x d/{dx} logy + logy d/{dx} x$
$1/v {dv}/{dx}= x.1/y . {dy}/{dx} + logy .1$
$1/v {dv}/{dx}=v[x/y {dy}/{dx} + logy]$
${dv}/{dx}=y^x [x/y {dy}/{dx} + logy],(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
$x^y [y/x + logx {dy}/{dx}] + y^x [x/y {dy}/{dx} + logy]=0$
$x^y.y/x . + x^y .logx .{dy}/{dx}$
$y^x .x/y .{dy}/{dx} + y^x logy=0$
$x^y .logx .{dy}/{dx} + y^x .x/y .{dy}/{dx} = - y^x logy - x^y.y/x$
${dy}/{dx} [x^y .logx + y^x .x/y]= - y^x logy - x^y.y/x$
${dy}/{dx} [{y x^y logx + y^x x}/y]={ - (x y^x logy + x^y. y)}/x$
${dy}/{dx} =[{{ - ( x y^x logy + x^y .y)}/x}]/[{{y x^y logx + y^x x}/y}]= - {y (x y^x logy - x^y .y)}/{x (y x^y logx + y^x x)}$
${dy}/{dx} = - {yx (y^x logy - x^{y - 1} .y)}/{x y (x^y logx + y^{x - 1} x)}$
${dy}/{dx} ={ - (y^x logy - x^{y - 1} .y)}/{x^y logx + y^{x - 1}}$ Ans.
प्रश्न 13 :- $y^x= x^y$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$x log y= y logx$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$x d/{dx} logy + logy d/{dx} x= y$
$d/{dx} logx + logx {dy}/{dx}$
$x.1/y .{dy}/{dx} + logy .1= y .1/x .1 + logx {dy}/{dx}$
$x/y .{dy}/{dx} - log〖x 〗 {dy}/{dx} =y/x - logy$
${dy}/{dx} (x/y - log〖x 〗)=y/x - logy$
${dy}/{dx} =(y/x - logy}/{x/y - log x) =((y - xlogy)/x}/{(x - ylogx)/y)$
${dy}/{dx} =(y(y - xlogy}}/x(x - ylogx) $Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$y log(cosx)= x log(cosy)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$y d/{dx} log(cosx) + log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= x$
$d/{dx} log(cosy) + 〖log〗(cosx) d/{dx} x$
$y .1/cosx.( - sinx).1 + log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= x.1/cosy.( - siny).{dy}/{dx} + 〖log〗(cosx).1$
$ - y tanx + log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= - x tany {dy}/{dx} + 〖log〗(cosx)$
$log〖(cosx) {dy}/{dx}〗 + x tany {dy}/{dx} = log(cosx) + y tanx$
${dy}/{dx} [log(cosx) + x tany]= log(cosx) + y tanx$
{dy}/{dx} =(log(cosx) + y tanx}/{log(cosx) + x tany) Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logx + logy=(x - y) loge$
$logx + logy=x - y , ∵ loge=1$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} logx + d/{dx} logy= d/{dx} x - d/{dx} y$
$1/x .1 + 1/y .{dy}/{dx}=1 - {dy}/{dx}$
$1/y .{dy}/{dx} + {dy}/{dx} =1 - 1/x$
${dy}/{dx} (1/y + 1)= 1 - 1/x$
${dy}/{dx}=(1 - 1/x}/{1 + 1/y)=((x - 1)/x}/{(y + 1)/y)
${dy}/{dx}=(y(x - 1)}/{x(y + 1}}$Ans.
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logf(x)=log(1 + x) + log(1 + x^2) + log(1 + x^4) + log〖(1 + x^8) 〗$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} logf(x)=d/{dx} log(1 + x) + d/{dx} log(1 + x^2) + d/{dx} log(1 + x^4) + d/{dx} log〖(1 + x^8) 〗$
$1/(f(x}}.f^' (x)=1/(1 + x) (0 + 1) + 1/(1 + x^2) (0 + 2x) + 1/(1 + x^4) (0 + 4x^3) + 1/(1 + x^8) (0 + 8x^7)$
$f^' (x)=f(x)[1/(1 + x) (0 + 1) + 1/(1 + x^2) (0 + 2x) + 1/(1 + x^4) (0 + 4x^3) + 1/(1 + x^8) (0 + 8x^7)]$
$f^' (x)= (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)[1/(1 + x) + 2x/(1 + x^2) + (4x^3}/{1 + x^4) + (8x^7}/{1 + x^8)]$, Ans.
$f^' (1)= (1 + 1)(1 + 1^2)(1 + 1^4)(1 + 1^8)[1/(1 + 1) + (2.(1)}/{1 + 1^2) + (4(1)^3}/{1 + (1)^4) + (8(1)^7}/{1 + (1)^8) ]$
$f^' (1)= (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)[1/(1 + 1) + 2/(1 + 1) + 4/(1 + 1) + 8/(1 + 1) ]$
$f^' (1)= 2×2×2×2[1/2 + 2/2 + 4/2 + 8/2 ]=16.1/2 [1 + 2 + 4 + 8]$
$f^' (1)= 8×15=120 $Ans.
प्रश्न 17 :- $(x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)$ का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
माना $y=(x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x +
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1. $cosx.cos2x.cos3x$
2. $√[{(x - 1)(x - 2)}/{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}]$
3. $(logx)^{cosx}$
4. $x^x - 2^{sinx}$
5. $(x + 3)^2 . (x + 4)^3 . (x + 5)^4$
6. $(x + 1/x)^x + x^{(1 + 1/x)}$
7. $(logx)^x + x^{logx}$
8. $(sinx)^x + sin^{ - 1} √x$
9. $x^{sinx} + (sinx)^{cosx}$
10. $x^{cosx} + {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
11. $(xcosx)^x + (xsinx)^{1/x}$
12. $x^y + y^x =1$
13. $y^x = x^y$
14. $(cosx)^y=(cosy)^x$
15. $xy=e^{(x - y)}$
16. $f(x)=(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)$ द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार $f^' (1)$ ज्ञात कीजिए।
17 $(x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)$ का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
18. यदि $u,v$ तथा $w,x$ के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात प्रथम–गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय–लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि
$d/{dx} (u.v.x)={du}/{dx} v.w + u . {dv}/{dx} . w + u.v {dw}/{dx}$
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
प्रश्न 1 :- $cosx.cos2x.cos3x$
हल :-
माना $y= cosx.cos2x.cos3x$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[cosx.cos2x.cos3x]$
$logy=logcosx + logcos2x + logcos3x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=d/{dx} (logcosx) + d/{dx} (logcos2x) + d/{dx} (logcos3x)$
$1/y {dy}/{dx}=1/{cosx} d/{dx} (cosx) + 1/{cos2x} d/{dx}(cos2x) + 1/{cos3x} d/{dx} (cos3x)$
$1/y {dy}/{dx}=1/{cosx} ( - sinx)(1) + 1/{cos2x} ( - sin2x)(2) + 1/{cos3x} ( - sin3x)(3)$
$1/y {dy}/{dx}= - {sinx}/{cosx} - 2 {sin2x}/{cos2x} - 3 {sin3x}/{cos3x}$
$ {dy}/{dx}= y [ - tanx - 2tan2x - 3tan3x]$
${dy}/{dx}= cosx.cos2x.cos3x [ - tanx - 2tan2x - 3tan3x]$, Ans.
प्रश्न 2 :- $√[{(x - 1)(x - 2)}/{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}]$
हल :-
माना $y=√[{(x - 1)(x - 2)}/{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}]={[{(x - 1)(x - 2)}/{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}]^{1/2} $दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=1/2 log[{(x - 1)(x - 2)}/{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}]$
$logy=1/2 [log(x - 1) + log(x - 2) - log(x - 3) - log(x - 4) - log(x - 5)]$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=1/2 [d/{dx} [log(x - 1) + log(x - 2) - log(x - 3) - log(x - 4) - log(x - 5)]$
$1/y {dy}/{dx}=1/2 [d/{dx} log(x - 1) + d/{dx} log(x - 2) - d/{dx} log(x - 3) - d/{dx} log(x - 4) - d/{dx} log(x - 5)]$
${dy}/{dx}=1/2 y [1/{(x - 1)}(1 - 0) + 1/{(x - 2)} (1 - 0) - 1/{(x - 3)} (1 - 0) - 1/{(x - 4)}(1 - 0) - 1/{(x - 5)}(1 - 0)]$
${dy}/{dx}=1/2 y [1/{x - 1} + 1/{x - 2} - 1/{x - 3} - 1/{x - 4} - 1/{x - 5}]$
${dy}/{dx}=1/2 √{[{(x - 1)(x - 2)}/{(x - 3)(x - 4)(x - 5)}]} [1/{x - 1} + 1/{x - 2} - 1/{x - 3} - 1/{x - 4} - 1/{x - 5}]$, Ans.
प्रश्न 3 :- $(logx)^{cosx}$
हल :-
माना $y= (logx)^{cosx}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=cosx log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=log(logx) d/{dx} cosx + cosx d/{dx} log(logx)$
$1/y {dy}/{dx}=log(logx)( - sinx) + cosx 1/{logx} . 1/x$
${dy}/{dx}=y[ - sinx log(logx) + {cosx}/{x logx}]$
${dy}/{dx}=(logx)^{cosx} [ - sinx log(logx) + {cosx}/{x logx}]$
${dy}/{dx}=(logx)^{cosx} [{cosx}/{x logx} - sinx log(logx)]$, Ans.
प्रश्न 4 :- $x^x - 2^{sinx}$
हल :-
माना $y= x^x - 2^{sinx}$पुनः माना $u= x^x$ तथा $v= 2^{sinx}$
∵ $y = u - v$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x logx$ तथा $logv= sinx log2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}=[logx d/{dx} x + x d/{dx} logx]$
$1/v {dv}/{dx}=[log2 d/{dx} sinx + sinx d/{dx} log2]$
${du}/{dx}=u [logx . (1) + x . 1/x . (1)]$ तथा ${dv}/{dx}=v[log2 (cosx) + sinx(0)]$
${du}/{dx}=x^x [logx + 1]$ तथा ${dv}/{dx}=2^{sinx} [cosx log2]$
∵ $y = u - v$
∴ ${dy}/{dx}={du}/{dx} - {dv}/{dx}$
${dy}/{dx}= x^x [logx + 1] - 2^{sinx} [cosx log2]$, Ans.
प्रश्न 5 :- $(x + 3)^2 . (x + 4)^3 . (x + 5)^4$
हल :-
माना $y=(x + 3)^2 . (x + 4)^3 .(x + 5)^4$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[(x + 3)^2 .(x + 4)^3 .(x + 5)^4 ] $
$logy=2 log(x + 3) + 3 log(x + 4) + 4 log(x + 5)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=d/{dx} [2 log(x + 3) + 3 log(x + 4) + 4 log(x + 5)]$
$1/y {dy}/{dx}=2 d/{dx} log(x + 3) + 3 d/{dx} log(x + 4) + 4 d/{dx} log(x + 5)$
$1/y {dy}/{dx}=2/{(x + 3)}(1 + 0) + 3/{(x + 4)} (1 + 0) + 4/{(x + 5)} (1 + 0)$
${dy}/{dx}=y[2/{(x + 3)} + 3/{(x + 4)} + 4/{(x + 5)}]$
${dy}/{dx}=(x + 3)^2 . (x + 4)^3 . (x + 5)^4 [2/{(x + 3)} + 3/{(x + 4)} + 4/{(x + 5)}]$, Ans.
प्रश्न 6 :- $(x + 1/x)^x + x^{(1 + 1/x)}$
हल :-
माना $y=(x + 1/x)^x + x^{(1 + 1/x)}$पुनः माना $u=(x + 1/x)^x$ तथा v= $x^{(1 + 1/x)}$
$y= u + v$
∵ $u= (x + 1/x)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(x + 1/x)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= x d/{dx} log(x + 1/x) + log(x + 1/x) d/{dx} (x)$
$1/u {du}/{dx}=x {1/{(x + 1/x)}} (1 - 1/{x^2}) + log(x + 1/x) (1)$
${du}/{dx}=u[{{x^2}/{(x^2 + 1)}} {{(x^2 - 1)}/{x^2}} + log(x + 1/x)]$
${du}/{dx}=x log(x + 1/x) [{{x^2 - 1}/{x^2 + 1}} + log(x + 1/x) ], eq(1)$
Now,∵ $v= x^{(1 + 1/x)}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=(1 + 1/x) logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}= (1 + 1/x) d/{dx} logx + logx d/{dx} (1 + 1/x)$
$1/u {dv}/{dx}= (1 + 1/x)(1/x) + logx . (0 - 1/{x^2})$
${dv}/{dx}=v[{x + 1}/{x^2} - 1/{x^2} logx]$
${dv}/{dx}=x^{(1 + 1/x)} [{(x + 1)/x^2} - 1/{x^2} logx]$
${dv}/{dx}=x^{(1 + 1/x)} [{x + 1 - logx}/{x^2}],(2)$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx}$
समी० (1) व (2) से मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x log(x + 1/x) [{x^2 - 1}/{x^2 + 1} + log(x + 1/x)] + x^{(1 + 1/x)} [{x + 1 - logx}/{x^2}]$, Ans.
प्रश्न 7 :- $(logx)^x + x^{logx}$
हल :-
माना $y= (logx)^x + x^{logx}$पुनः माना $u= (logx)^x$ तथा v= $x^{logx}$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx}, eq(1)$
∵ $u= (logx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= x d/{dx} log(logx) + log(logx) d/{dx} (x)$
$1/u {du}/{dx}=x .1/logx .1/x .1 + log(logx) . 1$
${du}/{dx}=u[1/{logx} + log(logx)]$
${du}/{dx}=(logx)^x [1/{logx} + log(logx)], eq(2)$
Now,∵ $v= x^{logx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=logx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}= logx d/{dx} logx + logx d/{dx} logx$
$1/u {dv}/{dx}= logx . 1/x + logx .1/x$
${dv}/{dx}=v[{logx}/x + {logx}/x]$
${dv}/{dx}=x^{logx} [{2logx}/x], eq(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=(logx)^x [1/{logx} + log(logx) ] + x^{logx} [{2logx}/x]$
${dy}/{dx}=(logx)^{(x - 1)} [1 + logx .log(logx) ] + x^{logx} [{2logx}/x]$, Ans.
प्रश्न 8 :- $(sinx)^x + sin^{ - 1} √x$
हल :-
माना $y= (sinx)^x + sin^{ - 1} √x$पुनः माना $u= (sinx)^x$ तथा $v= sin^{ - 1} √x$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx} , eq(1)$
∵ $u= (sinx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= x d/{dx} log(sinx) + log(sinx) d/{dx} (x)$
$1/u {du}/{dx}=x.1/{sinx} . cosx .1 + log(sinx).1$
${du}/{dx}=u [x cotx + log(sinx)]$
${du}/{dx}=(sinx)^x [x cotx + log(sinx)], (2) $
Now,∵ $v= sin^{ - 1} √x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dv}/{dx}=d/{dx} sin^{ - 1} √x$
${dv}/{dx}=1/{√{1 - (√x)^2} d/{dx} √x$
${dv}/{dx}=1/{√{1 - x}} 1/{2 √x}$
${dv}/{dx}=1/{2 √{x(1 - x)}}$
${dv}/{dx}=1/{2 √{x - x^2}} , eq(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=(sinx)^x [x cotx + log(sinx)] + 1/{2 √{x - x^2}}$, Ans.
प्रश्न 9 :- $x^{sinx} + (sinx)^{cosx}$
हल :-
माना $y= x^{sinx} + (sinx)^{cosx} $पुनः माना $u= x^{sinx}$ तथा $v= (sinx)^{cosx} $
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx} , (1)$
∵ $u= x^{sinx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= sinx. logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= sinx d/{dx} logx + logx d/{dx} sinx$
$1/u {du}/{dx}=sinx .1/x + logx . cosx$
${du}/{dx}=u [{sinx}/x + logx . cosx]$
${du}/{dx}=x^{sinx} [{sinx}/x + logx.cosx],(2) $
Now, ∵ $v= (sinx)^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv= cosx log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=cosx d/{dx} log(sinx) + log(sinx) d/{dx} cosx$
$1/v {dv}/{dx}=cosx . 1/{sinx} . d/{dx} sinx + log(sinx).( - sinx)$
${dv}/{dx}=v[cotx.cosx - sinx log(sinx)]$
$ {dv}/{dx}=(sinx)^{cosx} [cosx.cotx - sinx log(sinx)], (3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^{sinx} [{sinx}/x + logx.cosx]$
$ (sinx)^{cosx} [cosx.cotx - sinx log(sinx)]$, Ans.
प्रश्न 10 :- $x^{cosx} + {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
हल :-
माना $y= x^{cosx} + {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx}$ , eq(1)
∵ $u=x^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= cosx d/{dx} logx + logx d/{dx} cosx$
$1/u {du}/{dx}=cosx .1/x + logx.( - sinx)$
${du}/{dx}=u [{cosx}/x - sinx logx]$
${du}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx logx], eq(2)$
Now, ∵ $v= {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log{{x^2 + 1}/{x^2 - 1}}$
$logv=log(x^2 + 1) - log(x^2 - 1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=1/{x^2 + 1} d/{dx} (x^2 + 1) - 1/(x^2 - 1) d/{dx} (x^2 - 1)$
$1/v {dv}/{dx}=1/{x^2 + 1} . (2x + 0) - 1/{x^2 - 1} . (2x - 0)$
$1/v {dv}/{dx}=[{2x}/{x^2 + 1} - {2x}/{x^2 - 1}]$
${dv}/{dx}= v[{2x(x^2 - 1) - 2x (x^2 + 1)}/{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}]$
${dv}/{dx}={x^2 + 1}/{x^2 - 1} [{2x^2 - 2x - 2x^2 - 2x}/{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}]$
${dv}/{dx}={ - 4x}/{(x^2 - 1)^2}, eq(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx. logx ] + { - 4x}/{(x^2 - 1)^2}$
${dy}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx.logx ] - {4x}/{(x^2 - 1)^2}$ , Ans.
प्रश्न 11 :- $(xcosx)^x + (xsinx)^{1/x}$
हल :-
माना $y= (xcosx)^x + (xsinx)^{1/x}$पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
∵ $y= u + v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx} , eq(1)$
∵ $u=x^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx. logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= cosx d/{dx} logx + logx d/{dx} cosx$
$1/u {du}/{dx}=cosx . 1/x + logx.( - sinx)$
${du}/{dx}=u [{cosx}/x - sinx.logx ]$
${du}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx.logx], eq(2)$
Now, ∵ $v= {x^2 + 1}/{x^2 - 1}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv={log(x^2 + 1)}/{x^2 - 1}$
$logv={log(x^2 + 1)} - log(x^2 - 1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=1/{x^2 + 1} d/{dx} (x^2 + 1) { - 1}/{x^2 - 1} d/{dx}(x^2 - 1)$
$1/v {dv}/{dx}=1/{x^2 + 1} . (2x + 0) - 1/{x^2 - 1} . (2x - 0)$
$1/v {dv}/{dx}=[{2x}/{x^2 + 1} - {2x}/{x^2 - 1}]$
${dv}/{dx}= v[{2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 1)}/{x^2 + 1)(x^2 - 1)}]$
${dv}/{dx}= {x^2 + 1}/{x^2 - 1} [{2x^2 - 2x - 2x^2 - 2x}/{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}]$
${dv}/{dx}={ - 4x}/{(x^2 - 1)^2}, eq(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^{cosx}[{cosx}/x - sinx.logx ] + { - 4x}/{(x^2 - 1)^2}$
${dy}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx.logx] - {4x}/{(x^2 - 1)^2}$, Ans.
प्रश्न 12 :- $x^y + y^x=1$
हल :-
$x^y + y^x=1$पुनः माना $u= x^y$ तथा $v= y^x$
$u + v=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${du}/{dx} + {dv}/{dx}=0$ ,(1)
∵ $u=x^y$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=y logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= y d/{dx} logx + logx d/{dx} y$
$1/u {du}/{dx}=y.1/x + logx.{dy}/{dx}$
${du}/{dx}=u [y/x + logx {dy}/{dx}]$
${du}/{dx}=x^y [y/x + logx {dy}/{dx}],(2)$
Now,∵ $v=y^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=x logy$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=x d/{dx} logy + logy d/{dx} x$
$1/v {dv}/{dx}= x.1/y . {dy}/{dx} + logy .1$
$1/v {dv}/{dx}=v[x/y {dy}/{dx} + logy]$
${dv}/{dx}=y^x [x/y {dy}/{dx} + logy],(3)$
समी० (2) व (3) से समी० (1) में मान रखने पर —
$x^y [y/x + logx {dy}/{dx}] + y^x [x/y {dy}/{dx} + logy]=0$
$x^y.y/x . + x^y .logx .{dy}/{dx}$
$y^x .x/y .{dy}/{dx} + y^x logy=0$
$x^y .logx .{dy}/{dx} + y^x .x/y .{dy}/{dx} = - y^x logy - x^y.y/x$
${dy}/{dx} [x^y .logx + y^x .x/y]= - y^x logy - x^y.y/x$
${dy}/{dx} [{y x^y logx + y^x x}/y]={ - (x y^x logy + x^y. y)}/x$
${dy}/{dx} =[{{ - ( x y^x logy + x^y .y)}/x}]/[{{y x^y logx + y^x x}/y}]= - {y (x y^x logy - x^y .y)}/{x (y x^y logx + y^x x)}$
${dy}/{dx} = - {yx (y^x logy - x^{y - 1} .y)}/{x y (x^y logx + y^{x - 1} x)}$
${dy}/{dx} ={ - (y^x logy - x^{y - 1} .y)}/{x^y logx + y^{x - 1}}$ Ans.
प्रश्न 13 :- $y^x= x^y$
हल :-
$y^x= x^y$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$x log y= y logx$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$x d/{dx} logy + logy d/{dx} x= y$
$d/{dx} logx + logx {dy}/{dx}$
$x.1/y .{dy}/{dx} + logy .1= y .1/x .1 + logx {dy}/{dx}$
$x/y .{dy}/{dx} - log〖x 〗 {dy}/{dx} =y/x - logy$
${dy}/{dx} (x/y - log〖x 〗)=y/x - logy$
${dy}/{dx} =(y/x - logy}/{x/y - log x) =((y - xlogy)/x}/{(x - ylogx)/y)$
${dy}/{dx} =(y(y - xlogy}}/x(x - ylogx) $Ans.
प्रश्न 14 :- $(cosx)^y=(cosy)^x$
हल :- $(cosx)^y=(cosy)^x$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$y log(cosx)= x log(cosy)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$y d/{dx} log(cosx) + log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= x$
$d/{dx} log(cosy) + 〖log〗(cosx) d/{dx} x$
$y .1/cosx.( - sinx).1 + log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= x.1/cosy.( - siny).{dy}/{dx} + 〖log〗(cosx).1$
$ - y tanx + log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= - x tany {dy}/{dx} + 〖log〗(cosx)$
$log〖(cosx) {dy}/{dx}〗 + x tany {dy}/{dx} = log(cosx) + y tanx$
${dy}/{dx} [log(cosx) + x tany]= log(cosx) + y tanx$
{dy}/{dx} =(log(cosx) + y tanx}/{log(cosx) + x tany) Ans.
प्रश्न 15 :- $xy=e^((x - y}}$
हल :-
$xy=e^((x - y}}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logx + logy=(x - y) loge$
$logx + logy=x - y , ∵ loge=1$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} logx + d/{dx} logy= d/{dx} x - d/{dx} y$
$1/x .1 + 1/y .{dy}/{dx}=1 - {dy}/{dx}$
$1/y .{dy}/{dx} + {dy}/{dx} =1 - 1/x$
${dy}/{dx} (1/y + 1)= 1 - 1/x$
${dy}/{dx}=(1 - 1/x}/{1 + 1/y)=((x - 1)/x}/{(y + 1)/y)
${dy}/{dx}=(y(x - 1)}/{x(y + 1}}$Ans.
प्रश्न 16 :- $f(x)=(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)$ द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार $f^' (1)$ ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है: $f(x)=(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logf(x)=log(1 + x) + log(1 + x^2) + log(1 + x^4) + log〖(1 + x^8) 〗$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} logf(x)=d/{dx} log(1 + x) + d/{dx} log(1 + x^2) + d/{dx} log(1 + x^4) + d/{dx} log〖(1 + x^8) 〗$
$1/(f(x}}.f^' (x)=1/(1 + x) (0 + 1) + 1/(1 + x^2) (0 + 2x) + 1/(1 + x^4) (0 + 4x^3) + 1/(1 + x^8) (0 + 8x^7)$
$f^' (x)=f(x)[1/(1 + x) (0 + 1) + 1/(1 + x^2) (0 + 2x) + 1/(1 + x^4) (0 + 4x^3) + 1/(1 + x^8) (0 + 8x^7)]$
$f^' (x)= (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)[1/(1 + x) + 2x/(1 + x^2) + (4x^3}/{1 + x^4) + (8x^7}/{1 + x^8)]$, Ans.
$f^' (1)= (1 + 1)(1 + 1^2)(1 + 1^4)(1 + 1^8)[1/(1 + 1) + (2.(1)}/{1 + 1^2) + (4(1)^3}/{1 + (1)^4) + (8(1)^7}/{1 + (1)^8) ]$
$f^' (1)= (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)[1/(1 + 1) + 2/(1 + 1) + 4/(1 + 1) + 8/(1 + 1) ]$
$f^' (1)= 2×2×2×2[1/2 + 2/2 + 4/2 + 8/2 ]=16.1/2 [1 + 2 + 4 + 8]$
$f^' (1)= 8×15=120 $Ans.
प्रश्न 17 :- $(x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9)$ का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
हल :-
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करकेमाना $y=(x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x +
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