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प्रश्नावली 6.1
(ii) $y= x^4-6x^3+13x^2-10x+5$ के $(1,3)$ पर
(iii) $y= x^3$ के $(1,1)$ पर
(iv) $y= x^2$ के $(0,0)$ पर
(v) $x=cost, y= sint$ के $t=π/4$ पर
0 g(x) = x/2 + 2/x
(vi) g(x) = 1/(x ^ 2 + 2)
(viii) 0 < x < 1 f(x) = x * sqrt(1 - x)
4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
6) f(x) = e ^ x
(ii) g(x) = log(x)
(ⅲ) h(x) = x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1
5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(1) f(x) = x ^ 3, x \in [- 2, 2]
(iii)
f' * (x) = 4x - 1/2 * x ^ 2
(ii) f(x) = sin x + cos x, x \in [0, pi]
6. यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x ^ 2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1) ^ 2 + 3 x \in [- 3, 1]
7. अंतराल (0.3] पर.3 x ^ 4 - 8x ^ 3 + 12x ^ 2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
8. अंतराल 10, 2) के किन बिंदुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
9. फलन का उच्चतम मान क्या है? sin x + cos x
10. अंतराल [1, 3] में 2x^3- 24x+107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल [-3,-1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x^4-62x^2+ ax+9 उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
12. [0,2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
14. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
15. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y5 उच्च्चतम हो।
16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
17. 18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?
18. 45 cm x 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।
19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
20. सिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
21. 100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
22. एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
23. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन 8/27 होता है।
24. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की √2 गुनी होती है।
25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण tan^(-1)√2 होता है।
अध्याय 6 पर विविध प्रश्नावली
1. अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए:
(a) (17/81)^(1/4)
(b) (33)^(-1/5)
2. सिद्ध कीजिए कि f(x)=logx/x द्वारा प्रदत्त फलन x=e पर उच्चतम है।
3. किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से पट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।
4. वक्र x^2=4y के बिंदु (1,2) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि वक्र xa cosθ+aθ sinθ,y= a sinθ-aθ cosθ के किसी बिंदु θ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिस पर
f(x)=(4sinx-2x-xcosx)/(2+cosx)
से प्रदत्त फलन f (i) निरंतर वर्धमान (ii) निरंतर ह्रासमान है।
7. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर gf(x)= x^3+1/x^3 ,x≠0 से प्रदत फलन
(i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।
8. दीर्घवृत्त x^2/a^2 +y^2/a^2 =1 अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
9. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs 70 /m² और दीवारों पर Rs 45/m² व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी को लागत क्या है?
10. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
11. किसी आयत के ऊपर बने अर्द्धवृत्त के आकार वाली खिड्की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
12. त्रिभुज की भुजाओं a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^(2/3)+ b^(2/3) )^(2/3) है।
13. उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x-2)^4 (x+1)^3 द्वारा प्रदत फलन f का,
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है
(iii) नत परिवर्तन बिंदु है।
14. f(x)=cos^2x+sinx,x∈[0,π] द्वारा प्रदत फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
15. सिद्ध कीजिए कि r त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊंचाई 4r/3 है।
16. मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f इस प्रकार है कि सभी x ∈ (a, b) के लिए f’(x)>0 है के सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
17. सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई
2R/√3 है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
18. सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण α और ऊंचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊंचाई, शंकु के ऊंचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकमत आयतन 4/27 πh^3 tan^2 α है।
प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों के सही उत्तर चुनिए।
19. एक 10 m त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में 314 m3/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:
(A) 1m
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/h
20. चक x=p+31-8,y=2r-21-5 के बिंदु (2-1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता हैः
(۲)
(B)
(D)
21. रेखा y = mx + 1, चक्र 4 की एक स्पर्श रेखा है यदि का मान है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
1 (D)
22. वक्र 2y+x=3 के बिंदु (1.1) पर अभिलंब का समीकरण है:
(A) x+y=0
(B) x-y-0
(C) x+y+1=0
(D) x-y=1
23. वक्र x = 4y का बिंदु (1.2) से हो कर जाने वाला अभिलंब हैः
(A) x+y=3
(B) x-y=3
(C) x+y=1
(D) x-y=1
24. वक्र 9y= पर वे बिंदु जहाँ पर चक्र का अभिलंब अक्षों से समान अंतः खंड बनाता है:
(+) (V)
(B) (4)
प्रश्नावली 6.5
1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए:
(i) f(x)=(2x-1)^2+3
(ii) f(x)=9x^2+12x+2
(iii) f(x)= -(x-1)^2+10
(iv) g(x)= x^3+1
1(i) हल:– दिया है: f(x)=(2x-1)^2+3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (2x-1)^2+d/dx 3
=2(2x-1)(2-0)+0
=4(2x-1)
f^' (x)=8x-4,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
8x-4=0
8x=4
x=4/8⇒x=1/2
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx(8x-4)=8-0
f"(1/2 )=8>0
f"(1/2 )=8>0,(धनात्मक मान)
∴ फलन निम्नतम होगा तथा उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं है।
निम्नतम बिन्दु x=1/2 है।
अब, x=1/2 पर, f(1/2)=(2x-1)^2+3
=(2×1/2-1)^2+3
=(1-1)^2+3
=0+3
f(x)=3
अतः फलन का निम्नतम मान =3 Ans.
1(ii) हल:– दिया है: f(x)=9x^2+12x+2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=9 d/dx x^2+12 d/dx x+d/dx 2
= 9(2x)+12(1)+0
=18x+12+0
f^' (x)=18x+12,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
18x+12=0
18x=-12
x=12/(-18)⇒ x= -2/3
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx(18x+12)=18+0
f"(x)=18>0,(धनात्मक मान)
∴ फलन निम्नतम होगा तथा उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं है।
निम्नतम बिन्दु x= -2/3 है।
अब, x= -2/3 पर, f(-2/3)=9x^2+12x+2
=〖9(-2/3)〗^2+12(-2/3)+2
=9(4/9)+4(-2)+2
=4-8+2
=-2
अतः फलन का निम्नतम मान =-2 Ans.
1(iii) हल:– दिया है: f(x)= -(x-1)^2+10
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=-d/dx (x-1)^2+d/dx 10
= -2(x-1)(1-0)+0
=-2(x-1)
f^' (x)= -2x+2,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
-2x+2=0
-2x=-2
2x=2
x=2/2⇒ x= 1
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx(-2x+2)=-2(1)+0
f"(x)=-2<0,(ऋणात्मक मान)
∴ फलन उच्चतम होगा तथा निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं है।
उच्चतम बिन्दु x= 1 है।
अब, x= 1 पर,
f(1)=-(x-1)^2+10
=〖-(1-1)〗^2+10
=-(0)+10
=10
अतः फलन का उच्चतम मान =10 Ans.
अथवा g(x)= x^3+1
1(iii) हल:– दिया है: f(x)= -(x-1)^2+10
= -(x^2-2x+1)+10
=-x^2+2x-1+10
∴f(x)=-x^2+2x+9
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (-x^2+2x+9)
= -2x+2(1)+0
f^' (x)= =-2x+2,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
-2x+2=0
-2x=-2
2x=2
x=2/2⇒ x= 1
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx(-2x+2)=-2(1)+0
f"(x)=-2<0,(ऋणात्मक मान)
∴ फलन उच्चतम होगा तथा निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं है।
उच्चतम बिन्दु x= 1 है।
अब, x= 1 पर,
f(1)==-x^2+2x+9
=〖-(1)〗^2+2(1)+9
=-1+2+9
=10
अतः फलन का उच्चतम मान =10 Ans.
1(iv) हल:– दिया है:
g(x)=x^3+1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
g^' (x)=d/dx (x^3+1)
= -3x^2+(0)
g^' (x)=3x^2,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
g^' (x)=0
3x^2=0
x^2=0
x=0
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
g"(x)=d/dx(3x^2)
=3(2x)
g"(0)=6x=6×0=0,
g"(x)=0,(नति परिवर्तन)
∴ फलन न तो निम्नतम है और न ही उच्चतम है। Ans.
2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए:
(i) f(x)=|x+2|-1
(ii) g(x)= -|x+1|+3
(iii) h(x)= sin(2x)+5
(iv) f(x)=|sin4x+3|
(v) h(x)= x+1,x∈(-1,1)
हल:– (i) दिया है: f(x)=|x+2|-1
∵ हम जानते हैं कि —
|x+2|≥0
|x+2|-1≥0-1
|x+2|-1≥-1
f(x)≥-1
∴ f(x)∈[-1,∞]
अतः फलन का निम्नतम मान =-1
तथा उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं। Ans.
हल:– (ii) दिया है: g(x)= -|x+1|+3
∵ हम जानते हैं कि —
|x+1|≥0
दोनों ओर – का गुणा करने पर —
-|x+1|≤0
दोनों ओर 3 जोड़ने पर —
-|x+1|+3≤0+3
-|x+1|+3≤3
g(x)≥3,
∴ g(x)∈[- ∞,3]
अतः फलन का उच्चतम मान =3
तथा निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं। Ans.
हल:– 2(iii) दिया है: h(x)= sin(2x)+5
∵ हम जानते हैं कि —
-1≤sinθ≤1
-1≤sin2x≤1
सभी भागों में 5 जोड़ने पर —
-1+5≤sin2x+5≤1+5
4≤sin2x+5≤6
4≤h(x)≤6
∴h(x)∈[4,6]
अतः फलन का निम्नतम मान =4
तथा उच्चतम मान =6 Ans.
हल:– 2(iv) दिया है: f(x)=|sin4x+3|
∵ हम जानते हैं कि —
-1≤sinθ≤1
-1≤sin4x≤1
सभी भागों में 3 जोड़ने पर —
-1+3≤sin2x+5≤1+3
2≤sin2x+3≤4
सभी भागों का मापांक लेने पर —
|2|≤|sin2x+3|≤|4|
2≤|sin2x+3|≤4
2≤f(x)≤4
∴f(x)∈[2,4]
अतः फलन का निम्नतम मान =2
तथा उच्चतम मान =4 Ans.
हल:– 2(v) दिया है: h(x)= x+1,x∈(-1,1)
∵ हम जानते हैं कि —
-1< x<1
सभी भागों में 1 जोड़ने पर —
-1+1≤x+1≤1+1
0≤x+1≤2
0≤f(x)≤2
∴f(x)∈(0,2)
जोकि (-1,1) से बाहर है।
यहां परिसर खुले अंतराल में है। अतः उच्चतम मान एवं निम्नतम मान ज्ञात नहीं किए जा सकते हैं।
अतः x∈(-1,1) के लिए फलन का न तो निम्नतम मान और न उच्चतम मान है। Ans.
3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
(i) f(x)= x^2
(ii) g(x)= x^3-3x
(iii) h(x)=sinx+cosx,0 < x <π/2
(iv) f(x)=sinx-cos〖x,〗 0 0 g(x) = x/2 + 2/x
(vi) g(x) = 1/(x ^ 2 + 2)
(viii) 0 < x < 1 f(x) = x * sqrt(1 - x)
हल:– 3(i) दिया है: f(x)= x^2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx x^2=2x
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
2x=0
x=0
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx=2(1)=2
x=0 पर f"(x)=2>0,(धनात्मक मान )
∵ अतः फलन स्थानीय निम्नतम होगा।
अतः स्थानीय निम्नतम बिन्दु x=0.
तथा फलन का स्थानीय निम्नतम मान
f(0)=x^2=(0)^2=0 Ans.
हल:– 3(ii) दिया है: g(x)= x^3-3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
g^' (x)=d/dx ( x^3-3x)=3x^2-3
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
g^' (x)=0
3x^2-3=0
3x^2=3
x^2=3/3
x=±1
x=-1,x=1
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
g"(x)=d/dx (3x^2-3)=3(2x)-3
g"(x)=6x-3
x=1 पर g”(1)=6(1)=6,(धनात्मक मान )
अतः स्थानीय निम्नतम होगा तथा स्थानीय निम्नतम बिन्दु x=1.
अतः फलन का स्थानीय निम्नतम मान
g(1)=x^3-3x
=1^3-3(1)
=1-3
=-2 Ans.
हल:– 3(iii) दिया है: h(x)=sinx+cosx,
0 < x <π/2 x∈(0,π/2)
∵h(x)=sinx+cosx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
∴h^' (x)=cosx+(-sinx)
h^' (x)=cosx-sinx
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
h^' (x)=0
cosx-sinx=0
cosx=sinx⇒1×cosx=1×sinx
1=sinx/cosx
1=tanx
tan π/4=tanx
x=π/4
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
h"(x)=d/dx (cosx-sinx)
h"(x)=-sinx-cosx
x=π/4 पर,
h"(x)=-sinx-cosx
=-sin〖π/4〗-cos〖π/4〗
= -1/√2-1/√2
=-2/√2×√2/√2
=-(2√2)/2
=-√2 (ऋणात्मक मान )
अतः स्थानीय उच्चतम होगा तथा स्थानीय उच्चतम बिन्दु x=π/4.
अतः फलन का स्थानीय उच्चतम मान
h(x)=sinx+cosx
=sin〖π/4〗+cos〖π/4〗
= 1/√2+1/√2
=2/√2×√2/√2
=(2√2)/2
=√2 Ans.
हल:– 3(iv) दिया है: f(x)=sinx-cosx,
0 < x < 2π
x∈(0,2π)
∵f(x)=sinx-cosx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
∴f^' (x)=d/dx (sinx-cosx )
f^' (x)=cosx-(-sinx)
f^' (x)=cosx+sinx
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
cosx+sinx=0
cosx=-sinx⇒1×cosx=-1×sinx
-1=sinx/cosx
-1=tanx
चूंकि tan दूसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।
-tan π/4=tanx
tan(π-π/4)=tanx
tan〖3π/4〗=tanx
x=3π/4
तथा tanx=-1=tan(2x-π/4)
tanx=tan〖7π/4〗 x=7π/4
∴x=3π/4,x=7π/4
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx (cosx+sinx)
h"(x)=-sinx+cosx
⇒x=3π/4 पर,
h"(x)=-sinx-cosx
=-sin〖3π/4〗-cos〖3π/4〗
= -1/√2-1/√2
=-2/√2×√2/√2
=-(2√2)/2
=-√2 (ऋणात्मक मान )
अतः स्थानीय उच्चतम होगा तथा स्थानीय उच्चतम बिन्दु x=3π/4.
अतः फलन का स्थानीय उच्चतम मान
h(x)=sinx+cosx
=sin〖π/4〗+cos〖π/4〗
= 1/√2+1/√2
=2/√2×√2/√2
=(2√2)/2
=√2 Ans.
⇒x=7π/4 पर,
h"(x)=-sinx+cosx
=-sin〖7π/4〗+cos〖7π/4〗
= -(-1/√2)+1/√2=1/√2+1/√2
=2/√2×√2/√2
=(2√2)/2
=√2 (धनात्मक मान )
अतः स्थानीय फलन निम्नतम होगा तथा स्थानीय निम्नतम बिन्दु x=7π/4.
अतः फलन का स्थानीय निम्नतम मान
h(x)=sinx-cosx
=sin〖7π/4〗+cos〖7π/4〗
=- 1/√2-1/√2
=-2/√2×√2/√2
=-(2√2)/2
=-√2 Ans.
हल:– 3(v) दिया है: f(x)= x^3-6x^2+9x+15
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx ( x^3-6x^2+9x+15 )
=3x^2-12x+9
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
3x^2-12x+9=0
3(x^2-4x+3)=0
x^2-4x+3=3/3
(x-3)(x-1)=0
x=1,x=3
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx (3x^2-12x+3)
f"(x)=6x-12(1)-0
f"(x)=6x-12
x=1 पर f”(x)=6x-12=6(1)-12=-6,(ऋणात्मक मान )
अतः फलन स्थानीय उच्चतम होगा तथा स्थानीय निम्नतम बिन्दु x=1.
अतः फलन का स्थानीय निम्नतम मान
g(1)=x^3-3x
=1^3-3(1)
=1-3
=-2 Ans.
4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
6) f(x) = e ^ x
(ii) g(x) = log(x)
(ⅲ) h(x) = x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1
5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(1) f(x) = x ^ 3, x \in [- 2, 2]
(iii)
f' * (x) = 4x - 1/2 * x ^ 2
(ii) f(x) = sin x + cos x, x \in [0, pi]
6. यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x ^ 2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1) ^ 2 + 3 x \in [- 3, 1]
7. अंतराल (0.3] पर.3 x ^ 4 - 8x ^ 3 + 12x ^ 2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
8. अंतराल 10, 2) के किन बिंदुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
9. फलन का उच्चतम मान क्या है? sin x + cos x
10. अंतराल [1, 3] में 2x^3- 24x+107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल [-3,-1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x^4-62x^2+ ax+9 उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
12. [0,2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
14. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
15. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y5 उच्च्चतम हो।
16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
17. 18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?
18. 45 cm x 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।
19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
20. सिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
21. 100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
22. एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
23. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन 8/27 होता है।
24. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की √2 गुनी होती है।
25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण tan^(-1)√2 होता है।
1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए:
(1) f' * (x) = (2x - 1) ^ 2 + 3
(6) f(x) = 9x ^ 2 + 12x + 2
(i) f(x) = - (x - 1) ^ 2 + 10
(iv) y(x) = x ^ x + 1
2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = |x + 2| - 1
(ii) g(x) = - |x + 1| + 3
(m) h(x) = sin(2x) + 5
(iv) f(x) = |sin 4x + 3|
(v) h(x) = x + 1, x \in (- 1, 1)
3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = x ^ 2
g(x) = x ^ 3 - 3x
(iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x < pi/2
(iv) f(x) = sin x - cos x 0 0 g(x) = x/2 + 2/x
(vi) g(x) = 1/(x ^ 2 + 2)
(viii) 0 < x < 1 f(x) = x * sqrt(1 - x)
4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
6) f(x) = e ^ x
(ii) g(x) = log(x)
(ⅲ) h(x) = x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1
5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(1) f(x) = x ^ 3, x \in [- 2, 2]
(iii)
f' * (x) = 4x - 1/2 * x ^ 2
(ii) f(x) = sin x + cos x, x \in [0, pi]
6. यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x ^ 2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1) ^ 2 + 3 x \in [- 3, 1]
7. अंतराल (0.3] पर.3 x ^ 4 - 8x ^ 3 + 12x ^ 2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
8. अंतराल 10, 2) के किन बिंदुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
9. फलन का उच्चतम मान क्या है? sin x + cos x
10. अंतराल [1, 3] में 2x^3- 24x+107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल [-3,-1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x^4-62x^2+ ax+9 उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
12. [0,2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
14. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
15. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y5 उच्च्चतम हो।
16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
17. 18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?
18. 45 cm x 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।
19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
20. सिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
21. 100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
22. एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
23. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन 8/27 होता है।
24. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की √2 गुनी होती है।
25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण tan^(-1)√2 होता है।
अध्याय 6 पर विविध प्रश्नावली
1. अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए:
(a) (17/81)^(1/4)
(b) (33)^(-1/5)
2. सिद्ध कीजिए कि f(x)=logx/x द्वारा प्रदत्त फलन x=e पर उच्चतम है।
3. किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm⁄s की दर से पट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।
4. वक्र x^2=4y के बिंदु (1,2) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि वक्र xa cosθ+aθ sinθ,y= a sinθ-aθ cosθ के किसी बिंदु θ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिस पर
f(x)=(4sinx-2x-xcosx)/(2+cosx)
से प्रदत्त फलन f (i) निरंतर वर्धमान (ii) निरंतर ह्रासमान है।
7. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर gf(x)= x^3+1/x^3 ,x≠0 से प्रदत्त फलन
(i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।
8. दीर्घवृत्त x^2/a^2 +y^2/a^2 =1 अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
9. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 गहरी और 8 m^3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs 70 /m² और दीवारों पर Rs 45/m² व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी को लागत क्या है?
10. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
11. किसी आयत के ऊपर बने अर्द्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
12. त्रिभुज की भुजाओं a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^(2/3)+ b^(2/3) )^(2/3) है।
13. उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x-2)^4 (x+1)^3 द्वारा प्रदत फलन f का,
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है
(iii) नत परिवर्तन बिंदु है।
14. f(x)=cos^2x+sinx,x∈[0,π] द्वारा प्रदत्त फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
15. सिद्ध कीजिए कि r त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊंचाई 4r/3 है।
16. मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f इस प्रकार है कि सभी x ∈ (a, b) के लिए f’(x)>0 है के सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
17. सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई
2R/√3 है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
18. सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण α और ऊंचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊंचाई, शंकु के ऊंचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन 4/27 π h^3 tan^2 α है।
प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों के सही उत्तर चुनिए।
19. एक 10 m त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में 314 m3/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:
(A) 1m
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/h
20. चक x=p+31-8,y=2r-21-5 के बिंदु (2-1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता हैः
(۲)
(B)
(D)
21. रेखा y = mx + 1, चक्र 4 की एक स्पर्श रेखा है यदि का मान है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
1 (D)
22. वक्र 2y+x=3 के बिंदु (1.1) पर अभिलंब का समीकरण है:
(A) x+y=0
(B) x-y-0
(C) x+y+1=0
(D) x-y=1
23. वक्र x = 4y का बिंदु (1.2) से हो कर जाने वाला अभिलंब हैः
(A) x+y=3
(B) x-y=3
(C) x+y=1
(D) x-y=1
24. वक्र 9y= पर वे बिंदु जहाँ पर चक्र का अभिलंब अक्षों से समान अंतः खंड बनाता है:
(+) (V)
(B) (4)
उदाहरण 34:– यदि x=acosθ,y=a sinθ, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
हल:– दिया है: x=acosθ,y=asinθ
∵dx/dθ=d/dθ (acosθ)=a(-sinθ)=-asinθ
∵dy/dθ=d/dθ (asinθ)=a(cosθ)=acosθ
∴dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=acosθ/(-asinθ)=cosθ/(-sinθ)
dy/dx=-cotθ,Ans.
उदाहरण 35:– यदि x=at^2,y=2at, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
हल:– दिया है: x=at^2,y=2at,
∵dx/dt=d/dt (at^2 )=a(2t)=2at
∵dy/dt=d/dt (2at)=2a(1)=2a
∴dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2a/2at
dy/dx=1/t,Ans.
उदाहरण 36:– यदि x=a(θ+sinθ),y=a(1-cosθ), तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
हल:– दिया है: x=a(θ+sinθ),y=a(1-cosθ)
∵dx/dθ=d/dθ [a(θ+sinθ)]=a(1+cosθ)
∵dy/dθ=d/dθ [a(1-cosθ)]=a(0+sinθ) ,∵d/dθ cosθ=-sinθ
dy/dθ=asinθ
∴dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)=asinθ/a(1+cosθ) =sinθ/(1+cosθ)
=2sin θ/2 cos θ/2
(dy)/dx=-cotθ,Ans.
उदाहरण 30 :– x के सापेक्ष √((x-3)(x^2+4)/(3x^2+4x+5)) का अवकलन कीजिए।
हल:– माना y=√((x-3)(x^2+4)/(3x^2+4x+5))
y=[(x-3)(x^2+4)/(3x^2+4x+5)]^(1⁄2)
दोनों पक्षों का log लेने पर –
logy=1/2 [log(x-3)+log(x^2+4)-log(3x^2+4x+5)]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
1/y dy/dx=1/2 [1/((x-3) )+1/((x^2+4) )-1/((3x^2+4x+5) )]
lim┬
lim┬(x→0)sinθ
lim_(x→0)sinθ
lim_{x→0}sinθ
हल:– दिया है: f(x)=|x-5|
f(x)={■(+(x-5),&यदि x≥1@-(x-5),&यदि x≤1)┤
सिद्ध करना है: x=0,x= -3 तथा x=5 पर फलन f संतत है।
x=0 पर,
∵ f(x)=5x-3
f(0)=5×0-3=-3
LHL= lim┬(x→0^- )f(x)
= lim┬(x→0^- )(5x-3)
=5×0-3
=-3
RHL= lim┬(x→0^+ )f(x)
= lim┬(x→0^+ )(5x-3)
=5×0-3
=-3
∵ f(0)= LHL=RHL
अतः x=0 पर फलन f संतत है। Proved.
∵√25.3=√(25+0.3)
माना x=25 तथा ∆x=0.3
तब, y=√x=√25=5
तथा ∆y=dy/dx (∆x)=1/(2√x) (0.3)
∆y=1/(2√25) (0.3)=1/10 (0.3)
∆y=1/(2√25) (0.3)=1/10 (0.3)
प्रश्नावली 6.4 समाधान
1. अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए:
(i) √25.3
(ii) √49.5
(iii) √0.6
(iv) (0.009)^(1/3)
(v) (0.9999)^(1/10)
(vi) (15)^(1/4)
(vii) (26)^(1/3)
(vii) (255)^(1/4)
(ix) (82)^(1/4)
(x) (401)^(1/4)
(xi) (0.0037)^(1/2)
(xii) (26.57)^(1/3)
(xiii) (81.5)^(1/4)
(xiv) (3.968)^(3/2)
(xv) (32.15)^(1/5)
हल 1(i) :- दिया है: √25.3
√25.3
2. f(2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = 4x² + 5x + 2 है।
3. f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x² - 7x² + 15 है।
4. xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
5. xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% हास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
6. एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
7. एक गोले की त्रिज्या 9m मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
8. यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो, तो f (3.02) का सन्निकट मान है:
(A) 47.66
(B) 57.66
(C) 67.66
(D) 77.66
9. भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है:
(A) 0.06 x³ m³
(B) 0.6 x³ m³
(C) 0.09 x³ m³
< <
> >
Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग
$(x+1)^3 (x-3)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)= (x+1)^3 d/{dx} (x-3)^3+ (x-3)^3 d/{dx} (x+1)^3$
$=(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)]$
$=6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1)$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^' (x)=0$
तब क्रमशः $x= -1,x=3,x=1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, 1)$ (iii) $(1, 3)$ (iv) $(3, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है।
(ii) $(-1, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः $(-1, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(iii) $(1, 3)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(1, 3)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(iv) $(3, ∞)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
7. सिद्ध कीजिए कि y=log(1+x)-{2x}/(2+ x), x> - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है: $y=log(1+x)-{2x\/{2+ x}, x> - 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} log(1+x)-d/{dx} [{2x}/{2+ x}]$
$=1/{1+x}-[{(2+x) d/{dx} 2x-2x d/{dx} (2+x)}/(2+x)^2 ] $
$=1/{1+x}-[{(2+x) 2(1)-2x (0+1) }/(2+x)^2 ]$
$=1/{1+x}-[{4+2x-2x}/(2+x)^2 ]$
$=1/{1+x}-4/(2+x)^2$
$={(2+x)^2-4(1+x)}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={4+4x+x^2-4-4x}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={x^2}/{(1+x) (2+x)^2}$
यहां $x^2, (2+x)^2>0$ क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं।
तथा $(1+x)>0$, क्योंकि $x>-1$ से।
∵ ${dy}/{dx}$ का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है।
अतः फलन $y$ संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved. 8. $x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y=[x(x-2)]^2 एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है — $y=[x(x-2)]^2$
$y=[x^2-2x]^2$
$y= x^4+4x^2-4x^3$
$y= x^4-4x^3+4x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^4-4x^3+4x^2 )$
$= 4x^3-4(3x^2 )+4(2x)$
$= 4x^3-12x^2+8x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
${dy}/{dx}=0$
$4x^3-12x^2+8x=0$
$4x (x^2-3x+2)=0$
$4x (x^2-2x-x+2)=0$
$4x [x(x-2)-1(x-2)]=0$
$4x(x-2)(x-1)=0 $
$x=0,x=2,x=1 $
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु, $(-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞)$ हैं।
⇒ अंतराल $(-∞, 0)$ पर,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह=(-)(-)(-)
∴ ${dy}/{dx}<0$
अतः अंतराल $(-∞, 0)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(0, 1)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(-)(-)$
अतः ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(0, 1)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
⇒ अंतराल $(1, 2)$ पर
${{dy}/{dx}}$ का चिन्ह $=(+)(-)(+)$
अतः ${{dy}/{dx}<0}$
अतः अंतराल $(1, 2)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(2, ∞)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)$
अतः ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
अतः अंतराल $(0,1), (2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans. 9. सिद्ध कीजिए कि [0,π/2] में y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ,θ का एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है: $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={(2+cosθ) d/{dx} 4sinθ-4sinθ {(2+cosθ)}/(2+cosθ)^2 -d/{dθ} (θ)$
$={(2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ)}/(2+cosθ)^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ}/(2+cosθ)^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2}/(2+cosθ)^2$
$={8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ]}/(2+cosθ)^2$
$={8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ}/(2+cosθ)^2$
$={4cosθ-cos^2 θ}/(2+cosθ)^2$
$={cosθ (4-cosθ)}/(2+cosθ)^2$
अंतराल $[0,π/2]$ में
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः फलन $[0,π/2]$ में एक वर्धमान फलन है। Ans. 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है। हल :- माना $f(x)= logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} logx$
$f^' (x)=1/x$
अतः अंतराल $(0, π)$ में $(0,π) x=π/2$ हो तो —
$f^' (x)=1/{π⁄2}=2/π$
$f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(0, π)$ में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved. 11. सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x)= x^2-x+1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :- दिया है — $f(x)= x^2-x+1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} ( x^2-x+1)$
$f^' (x)=2x-1+0$
$f^' (x)=2x-1$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^' (x)=0$
$2x-1=0 $
$2x=1 $
$x=1/2$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु (i) $(-1, 1/2)$ व (ii) $(1/2, 1)$ हैं तथा बिन्दु $(-1, 1)$ को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है।
⇒ अब यदि अंतराल $(-1,1⁄2)$ पर $x=1/4$ हो तो —
$f^' (x)=2×1/4-1=1/2-1$
$f^' (x)= -1/2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(-1,1⁄2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अब यदि अंतराल $(1/2,1)$ पर $x=3/4$ हो तो —
$f^' (x)=2×3/4-1=3/2-1$
$f^' (x)= ½$
$f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(1/2,1)$ में फलन वर्धमान है।
अतः दिया गया फलन $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved. 12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, π/2) में ह्रासमान हैं? (A) cosx (B) cos2x (C) cos3x (D) tanx हल :- (A) माना $f(x)=cosx $
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cosx)$
$f^' (x)= -sinx$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sinx<0$
$-sinx>0$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (B) माना $f(x)=cos2x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos2x)$
f^' (x)= -2sin2x
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin(2×π/4)$
$= -2 sin(π/2)$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (C) माना $f(x)=cos3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos3x)$
$f^' (x)= -3sin3x$
$f^' (x)= -3[sin3x]$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin(2×π/4)$
$= -2 sin{π/2}$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (D) माना $f(x)=tanx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (tanx)$
$f^' (x)= sec^2 x$
अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sec^2 x>0$, क्योंकि पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन वर्धमान है। Ans. 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^100+sinx- 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है? (A) (0,1) (B) (π/2, π) (C) (0, π/2) (D) इनमें से कोई नहीं हल :- दिया है : $f(x)=x^100+sinx- 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^100+sinx- 1)$
$= 100x^99+ cosx-0$
$= 100x^99+ cosx$
⇒ अंतराल (A) $(0,1)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx < 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (B) $(π/2, π)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx < 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (C) $(0, π/2)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx > 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0, π/2)$ पर वर्धमान है।
अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans.
14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f(x)= x^2+ ax+1 से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :- दिया है: $f(x)= x^2+ ax+1$, तथा अंतराल $[1, 2]$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^2+ ax+1)$
$=2x+a(1)+0$
$= 2x+a$
⇒ अंतराल $[1, 2]$ में फलन वर्धमान होने के लिए –
$f^' (x) > 0$
$2x+a > 0$
$a > -2x$
अंतराल $[1, 2]$ में $a$ के न्यूनतम मान के लिए $x = 1$ रखने पर —
$a>-2(1)$
$a>-2$
अतः $a$ का न्यूनतम मान $-2$ है। Ans. 15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में f(x)= x+1/x से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है। हल :- दिया है: अंतराल $I= R-[-1,1]$
तथा $f(x)= x+1/x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x+1/x)$
$=1-1/x^2$
$={x^2-1}/{x^2}$
⇒ अंतराल $I= R-[-1,1]$ में $x^2-1 > 0$ तथा $x^2>0$
∴ $f^' (x) > 0$
अतः फलन $f(x)= x+1/x$ अंतराल $I$ में वर्धमान है। Proved. 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx$, (0, π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है। हल :- दिया है: $f(x)=logsinx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (logsinx)$
$=1/{sinx} .cosx$
$= cotx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $cotx$ धनात्मक है।
∴ $f^' (x) > 0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ में फलन वर्धमान है। Proved.
⇒ अंतराल $(π/2, π)$ में $cotx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^' (x) < 0$
अतः अंतराल $(π/2,π)$ में फलन ह्रासमान है। Proved. 17. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=log[|cosx|,(0,π/2)] में वर्धमान है और (3π/2,2π) में ह्रासमान है। हल :- दिया है: $f(x)=log|cosx|$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} [log|cosx|]$
$=1/{cosx} .(-sinx)$
$= - tanx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $tanx$ धनात्मक है।
∴ $f^' (x)<0$
∴ अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में $tanx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^' (x) > 0$
∴ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान है।
अतः अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान और अंतराल $(0, π/2)$ में फलन ह्रासमान है। Proved. 18. सिद्ध कीजिए कि $R$ में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है। हल :- दिया है: $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^3 - 3x^2 + 3x-100)$
$= 3x^2-3(2x)+3(1)-0$
$= 3(x^2-2x+1)$
$= 3 (x-1)^2$
अतः $x∈ R$ में, $(x-1)^2$ धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^' (x) > 0$ होगा।
अतः $R$ में, दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है। Proved. 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y= x^2 e^(-x) वर्धमान है? (A) (- 00, 00) (B) (-2,0) (C) (2, ∞) (D) (0,2) हल :- दिया है: $y= x^2 e^{-x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [(x^2 e^{-x}]$
$= x^2 d/{dx} [e^{-x}+e^{-x}] d/{dx} [x^2]$
$= x^2.e^{-x} (-1)+ e^{-x} .(2x)$
$= -x^2 e^{-x}+2x e^{-x}$
$= xe^{-x} (-x+2)$
फलन वर्धमान होने के लिए —
${dy}/{dx} > 0$
$xe^{-x} (-x+2) > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, 2-x > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, -x > -2$
$x>0, e^{-x} > 0, x < 2$
अतः अंतराल $(0, 2)$ में दिया गया फलन वर्धमान होगा।
∴ सही उत्तर : विकल्प (D) $(0, 2)$ Ans. Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्नावली 6.1 ∵ ∴ प्रश्न 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिर्वतन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि (a) r=3 cm है (b) r=4 cm है हल : (a) वृत्त की त्रिज्या (r) = 3 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dr=d/dr (πr^2 ) =π.(2r) =π×2×3,∵ r=3 cm =6π (cm^2)⁄cm (b) वृत्त की त्रिज्या (r) = 4 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dr=d/dr (πr^2 ) =π.(2r) =π×2×4,∵ r=4 cm =8π (cm^2)⁄cm प्रश्न 2. एक घन का आपतन 8 (cm^3)⁄s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है। हल : माना घन का किनारा a तथा आयतन V है। घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt=8 (cm^3)⁄s दिया है – किनारे की लम्बाई (a) = 12 cm पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन dS/dt= ? ∵ घन का आयतन V=a^3 ∴ आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (a^3 ) dV/dt=3a^2 da/dt 8= 3×(12)^2×da/dt da/dt=8/(3×12×12) da/dt=1/54,eq(1) ∵ घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल S= 6a^2 ∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन dS/dt=d/dt (6a^2 ) =6(2a) da/dt =6×2×12×1/54 =8/3 (cm^2)⁄s Ans. प्रश्न 3. एक वृत की त्रिज्या समान रूप से 3 cm⁄s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है। हल : माना वृत्त की त्रिज्या r तथा क्षेत्रफल A है। त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=3 cm⁄s वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dV/dt= ? दिया है — त्रिज्या (r) = 10 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल A=πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (πr^2 ) =π (2r) dr/dt=π×2×10×3 =60π (cm^2)⁄s Ans. प्रश्न 4. एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm⁄s की दर से बढ़ रहा है। घन का आपतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है? हल :– माना घन की भुजा (किनारा) a सेमी तथा आयतन V सेमी3 है। घन के किनारे में परिवर्तन da/dt=3 cm⁄s दिया है — घन की भुजा (a) = 10 cm घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt= ? ∵ घन का आयतन V= a^3 ∴ घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (a^3 ) =3a^2 da/dt =3×(10)^2×3 =3×100×3 =900 (cm^3)⁄s Ans. प्रश्न 5. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 cm⁄s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है? हल :– माना वृत्त की त्रिज्या r सेमी तथा क्षेत्रफल A सेमी2 है। त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=5 cm⁄s वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dV/dt= ? दिया है — त्रिज्या (r) = 8 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल A=πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (πr^2 ) =π (2r) dr/dt=π×2×8×5 =80π (cm^2)⁄s Ans. प्रश्न 6. एक वृत की त्रिज्या 0.7 cm⁄s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r=4.9 cm है? हल :– माना वृत्त की त्रिज्या r तथा परिधि C है। त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=0.7 cm⁄s परिधि में परिवर्तन dC/dt= ? दिया है — त्रिज्या (r) = 4.9 cm ∵ वृत्त की परिधि C=2πr ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (2πr) =2π dr/dt=2π×0.7 =1.4π cm⁄s Ans. प्रश्न 7. एक आयत की लम्बाई x,5 cm⁄min की दर से घट रही है और चौड़ाई y,4 cm⁄min की दर से बढ़ रही है। जब x=8 cm और y=6 cm हैं तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए। हल :– दिया है — आयत की लम्बाई x = 8 cm तथा आयत की चौड़ाई y = 6 cm लम्बाई में परिवर्तन dx/dt= -5 cm⁄min चौड़ाई में परिवर्तन dy/dt= +4 cm⁄min (a) परिमाप के परिवर्तन की दर dC/dt= ? (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर dA/dt= ? ∵ आयत का परिमाप C=2 (l+b)=2(x+y) ∴ आयत के परिमाप में परिवर्तन dC/dt =d/dt 2(x+y) =2 (dx/dt+dy/dt) =2(-5+4) =2×(-1) = -2 cm⁄min घट रहा है। Ans. ∵ आयत का क्षेत्रफल A= l×b= x×y ∴ आयत के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (x×y) =x dy/dt+y dx/dt =8×4+6×(-5) =32-30 =2 cm⁄min बढ़ रहा है। Ans. प्रश्न 8. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 cm^3 गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जबकि त्रिज्या 15 cm है। हल : माना गुब्बारे की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है। गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 15 cm गुब्बारे के आयतन परिवर्तन (dV/dt)= 900 (cm^3)⁄s गुब्बारे की त्रिज्या में परिवर्तन (dr/dt)= ? ∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन V =4/3 πr^3 ∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (4/3 πr^3 ) dV/dt=4/3 π(3r^2 ) dr/dt 900=4/3 π×3×(15)^2×dr/dt 900=4 π×225×dr/dt dr/dt=900/(900 π)=1/π dr/dt=1/π cm⁄s अतः गुब्बारे की त्रिज्या में 1/π cm⁄s की दर से वृद्धि हो रही है। Ans. प्रश्न 9. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है। हल :– माना गुब्बारे की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है। गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 10 cm त्रिज्या के सापेक्ष गुब्बारे के आयतन परिवर्तन की दर (dr/dt)= ? ∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन V =4/3 πr^3 ∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन dV/dr=d/dr (4/3 πr^3 ) =4/3 π(3r^2 ) =4/3 π×3×(10)^2= =4/3 π×3×100 = 400 π (cm^2)⁄cm Ans. प्रश्न 10. एक 5 m लम्बी सीड़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश दीवार से दूर 2 cm⁄s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 m दूर है? हल :– चित्र में, सीढ़ी की लम्बाई AC = 5 मीटर दीवार की लम्बाई AB = y मीटर दीवार से सीढ़ी की दूरी में परिवर्तन dx/dt=2 cm⁄s दीवार पर सीढ़ी की ऊंचाई में परिवर्तन dy/dt= ? समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से — AC^2= AB^2+ BC^2 5^2= y^2+x^2 ,eq(1) 25= y^2+16 25-16= y^2 9= y^2 y=√9 y=3 cm समी(1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर — 0=2y dy/dt+2x dx/dt 0= 2×(3) dy/dt+2×(4)×2 0= 6 dy/dt+16 6 dy/dt=-16 dy/dt=(-16)/6=(-8)/3 cm⁄s अतः दीवार पर इसकी ऊँचाई (-8)/3 cm⁄s की दर से घट रही है। Ans. 11. एक कण वक्र 6y=x^2+2 के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x-निर्देशांक की तुलना में y-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है। हल :– दिया है — वक्र 6y= x^3+2,eq(1) x x-निर्देशांक में परिवर्तन = dx/dt y-निर्देशांक में परिवर्तन = dy/dt प्रश्नानुसार, y-निर्देशांक में परिवर्तन dy/dt=8 dx/dt ,eq(2) समी (1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर — 6 dy/dt=(3x^2+0) dx/dt 6×8 dx/dt=3x^2 dx/dt 48= 3x^2 x^2=48/3=16 x=√16= ±4 जब x=4 तो , 6y= x^2+2 6y=(4)^3+2= 64+2=66 y=66/6=11 अतः बिन्दु (4, 11) जब x=-4 तो , 6y= x^2+2 6y=(-4)^3+2= -64+2=-62 y=(-62)/6=(-31)/3 अतः बिन्दु (-4, -31/3) अतः वक्र पर अभीष्ट बिन्दु (4, 11) तथा (-4, -31/3) Ans. 12. हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या 1/2 cm⁄s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है? हल :– माना गोलाकार बुलबुले की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है। त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt= 1/2 cm⁄s बुलबुले के आयतन में परिवर्तन dV/dt= ? ∵बुलबुले का आयतन V=4/3 πr^3 ∴ बुलबुले के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (4/3 πr^3 ) =4/3 π (3r^2 ) dr/dt =4π (1)×1/2 = 2π (cm^3)⁄s अतः आयतन 2π (cm^3)⁄s की दर से बढ़ रहा है। Ans. 13. एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास 3/2 (2x+1) है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए। हल :– माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है। दिया है — व्यास = 3/2 (2x+1) =(3/2 (2x+1))/2=3/4 (2x+1) आयतन में परिवर्तन की दर dV/dx= ? ∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन V=4/3 π r^3 =4/3 π [3/4 (2x+1)^3 ] =4π/3×27/64×(2x+1)^3 V=9π/16 (2x+1)^3 ∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन — dV/dx=d/dt [9π/16 (2x+1)^3 ] = 9π/16×3×(2x+1)^2.2 =27π/8 (2x+1)^2 (cm^3)⁄cm Ans. 14. एक पाइप से रेत 12 (cm^3)⁄s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है? हल :– माना पाइप का आयतन V है। तब, पाइप के आयतन में परिवर्तन की दर — dV/dt=12 (cm^3)⁄s माना शंकु के आधार की त्रिज्या r तथा ऊंचाई h है। प्रश्नानुसार, h=r/6 तथा h=4 cm r=6h r=6×4 r=24 cm शंकु की ऊंचाई में परिवर्तन dh/dt= ? ∵ शंकु का आयतन V=1/3 πr^2 h =1/3 π×(6h)^2 h =1/3 π×36 h^2×h =12 πh^3 ∴ शंकु के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (12 πh^3 ) dh/dt 12 (cm^3)⁄s=12π (3h^2 ) dh/dt 1 (cm^3)⁄s=π×3×(4)^2 dh/dt dh/dt=1/(π×3×16)=1/48π cm⁄s अतः रेत से बने शंकु की ऊंचाई 1/48π cm⁄s की दर से बढ़ रही है। Ans. 15. एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से संबंध कुल लागत C(x) (रुपये में) C(x)=0.007x3-0.003x^2+15x+4000 से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है। हल :– दिया है — C(x)=0.007x3-0.003x^2+15x+4000 सीमांत लागत के लिए — dC/dx=d/dx {0.007x3-0.003x^2+15x+4000} = 0.007(3x^2 )-0.003(2x)+15(1)+0 = 0.021x^2-0.006x+15 प्रश्नानुसार 17 इकाइयों के लिए - x=17 dR/dx=0.021(17)^2-0.006(17)+15 =0.021×289-0.006×17+15 = 6.069-0.102+15 =20.967 रु.Ans 16. किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में R(x)=13x^2+26x+15 से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है। हल :– दिया है — R(x)=13x^2+26x+15 सीमांत आय के लिए — dR/dx=d/dx (3x^2+36x+5) = 13(2x)+26(1)+0 = 26x+26 प्रश्नानुसार x=7 इकाइयों के लिए - dR/dx= 26(7)+26 =182+26 =208 रु.Ans प्रश्न 17 तथा 18 में सही उत्तर का चयन कीजिए: 17. एक वृत्त की त्रिज्या r= 6cm पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है : (Α) 10π (Β) 12π (C) 8π (D) 11π हल :– वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 cm माना वृत्त का क्षेत्रफल A है। तब, क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर dA/dr= ? dA/dr= d/dr (πr^2 )=π(2r) dA/dr=π 2(6)=12π (cm^3)⁄cm अतः सही उत्तर : विकल्प (B) 12π Ans. 18. एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x)=3x^2+36x+5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तो सीमांत आय है: (A) 116 (B) 96 (C) 90 (D) 126 हल :– दिया है — R(x)=3x^2+36x+5 सीमांत आय के लिए — dR/dx=d/dx (3x^2+36x+5) = 3(2x)+36(1)+0 = 6x+36 प्रश्नानुसार x=15 के लिए - dR/dx= 6(15)+36 =80+36 =126 अतः सही उत्तर: विकल्प (D) 126 Ans प्रश्नावली 6.2 1. सिद्ध कीजिए R पर f(x)=3x+17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :– दिया है — f(x)=3x+17 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^'(x) =d/dx (3x+17) =3(1)+0 =3>0 (धनात्मक मान) अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved. 2. सिद्ध कीजिए कि R पर f(x)=e^2x से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :– दिया है — f(x)=e^2x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (e^2x ) =e^2x (2) =2e^2x>0 (सभी x∈R के लिए ) अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved. Note : Exponential Function e^x,e^2y,e^(-x) etc. हमेशा वर्धमान होते हैं। 3. सिद्ध कीजिए f(x)= sinx से प्रदत्त फलन (a) (0,π/2) में वर्धमान है, (b) (π/2,π) में ह्रासमान है, (c) 0,π में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :– दिया है — f(x)=sinx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx sinx = cosx ∵ (0,π/2) में cosx का मान धनात्मक होता है। ∴ f^' (x)>0 अतः (0,π/2) में f(x)=sinx एक ह्रासमान फलन है। Proved. ∵ (π/2,π) में cosx का मान ऋणात्मक होता है। ∴ f^' (x)<0 अतः (π/2,π) में दिया गया फलन f(x)=sinx एक वर्धमान फलन है। Proved. (0,π) में cosx का मान धनात्मक व ऋणात्मक दोनों होता है। ∴ f^' (x)>0 अतः (0,π) में दिया गया फलन f(x)=sinx एक ह्रासमान फलन है। Proved. 4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x)=2x^2-3x प्रदत्त फलन f (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है। हल :– दिया है — f(x)=2x^2-3x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (2x^2-3x) f^' (x)=2.(2x)-3(1) f^' (x)=4x-3 अंतराल के लिए f^' (x)=0 4x-3=0 4x=3 x=3⁄4 संख्या रेखा पर — अंतराल (a) (-∞, 3/4), (b) (3/4, ∞) ⇒ अंतराल (a) (-∞, 3/4) पर माना यदि x = -7 तब – f^' (x)=4x-3 =4(-7)-3 = -28-3 = -31<0 (ऋणात्मक मान) अतः अंतराल (a) (-∞, 3/4) पर फलन ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (b) (3/4, ∞) पर माना यदि x = 10 तब – f^' (x)=4x-3 =4(10)-3 = 10-3 = 7<0 (धनात्मक मान) अतः अंतराल (b) (3/4, ∞) पर फलन वर्धमान है। 5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x)=2x^3-3x^2-36x+7 से प्रदत्त फलन f (a) वर्धमान (b) ह्रासमान हल :– दिया है — f(x)=2x^3-3x^2-36x+7 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (2x^3-3x^2-36x+7) =2(3x^2 )-3(2x)-36 (1) =6x^2-6x-36 अंतराल के लिए f^' (x)=0 6x^2-6x-36=0 x(x-3)+2(x-3)=0 (x-3)(x+2)=0 x=3,-2 संख्या रेखा पर — अंतराल (a) (-∞, -2), (b) (-2, 3) (c) (3, ∞) ⇒ अंतराल (a) (-∞, -2) पर माना यदि x = -100 तब – f^' (x)=6x^2-6x-36 =6(-100)^2-6(-100)-36 = 60000+600-36 = 60574<0 (धनात्मक मान) अतः अंतराल (a) (-∞, -2) पर फलन वर्धमान है। ⇒ अंतराल (b) (-2, 3) पर माना यदि x = 2 तब – f^' (x)=6x^2-6x-36 =6(2)^2-6(2)-36 =24-12-36 = 24-48 = -24<0 (ऋणात्मक मान) अतः अंतराल (b) (-2, 3) पर फलन ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (c) (3, ∞) पर माना यदि x = 3 तब – f^' (x)=6x^2-6x-36 =6(3)^2-6(3)-36 =54-18-36 = 54-54 = 0 (धनात्मक मान) अतः अंतराल (a) (-2, 3) पर फलन वर्धमान है। 6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या हासमान है: (a) f(x)= x^2+2x+5 (b) f(x)= 10-6x-2x^2 (c) f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1 (d) f(x)= 6-9x-x^2 (d) f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3 हल :– (a) f(x)= x^2+2x+5 दिया है: f(x)= x^2+2x+5 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x^2+2x+5) = 2x+2(1)+0 =2x+2 अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 2x+2=0 2x= -2 x=-1 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -1) (ii) (-1, ∞) (i) (-∞, -1) पर यदि x = - 5 तो, f^' (x)=2(-5)+2 =-10+2 = -8 (ऋणात्मक मान) अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (ii) (-1, ∞) पर यदि x = 10 तो, f^' (x)=2(10)+2 =20+2 = 22 (धनात्मक मान) अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। (b) f(x)= 10-6x-2x^2 हल :– दिया है — f(x)= 10-6x-2x^2 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (10-6x-2x^2 ) = 0-6(1)-2(2x) =-6-4x अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 -6-4x=0 -4x= 6 x=-3⁄2 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -3/2) (ii) (-3/2, ∞) (i) (-∞, -3/2) पर यदि x = - 10 तो, f^' (x)=-6-4x =-6-4(-10)= -6+40 = 34 (धनात्मक मान) f^' (x)>0 अतः (-∞, -3/4) पर फलन f(x) वर्धमान है। (ii) (-3/4, ∞) पर यदि x = 10 तो, f^' (x)=-6-4(10) =-6-40 = -46 (ऋणात्मक मान) f^' (x)<0 अतः (-3/4, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (c) f(x)= -2x^3-9x^2-12x+1 हल :– दिया है — f(x)=- 2x^3-9x^2-12x+1 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (- 2x^3-9x^2-12x+1) = -2(3x^2 )-9(2x)-12(1)+0 =-6x^2-18x-12 अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 -6x^2-18x-12=0 -6(x^2+3x+2)= 0 x^2+3x+2=0 x^2+2x+x+2=0 x(x+2)+1(x+2)=0 (x+2)(x+1)=0 x+2=0⇒x=-2 x+1=0⇒x=-1 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -2) (ii) (-2, -1) (ii) (-1,-∞) (i) (-∞, -2) पर यदि x = - 100 तो, f^' (x)=-6x^2-18x-12 =-6(-100)^2-18(-100)-12 = -6000+1800-12 = -4212 (ऋणात्मक मान) f^' (x)>0 अतः (-∞, -2) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (ii) (-2, -1) पर यदि x = -2 तो, f^' (x)=-6(-2)^2-18(-2)-12 = -24+36-12 = 0 (धनात्मक मान) f^' (x)=0 अतः (-2, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। (iii) (-1, ∞) पर यदि x = 10 तो, f^' (x)=-6x^2-18x-12 =-6(10)^2-18(10)-12 = -600-180-12 = -782 (ऋणात्मक मान) f^' (x)<0 अतः (-1, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans. (d) f(x)= 6-9x-x^2 हल :– दिया है — f(x)=6-9x-x^2 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (6-9x-x^2 ) = 0-9(1)-2x =-9-2x अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 -9-2x=0 -2x= 9 x=-9⁄2 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -9/2) (ii) (-9/2, ∞) (i) (-∞, -9/2) पर यदि x = - 10 तो, f^' (x)=-9-2x =-9-2(-10) = -6+20 = 14 (धनात्मक मान) f^' (x)>0 अतः (-∞, -3/4) पर फलन f(x) वर्धमान है। (ii) (-9/2, ∞) पर यदि x = 10 तो, f^' (x)=-9-4(10) =-9-40 = -49 (ऋणात्मक मान) f^' (x)<0 अतः (-9/2, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (e) f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3 हल :– दिया है — f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)= (x+1)^3 d/dx (x-3)^3+ (x-3)^3 d/dx (x+1)^3 =(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2 =3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2 =3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3] =3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2] =3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)] =6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1) अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 तब क्रमशः x= -1,x=3,x=1 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -1) (ii) (-1, 1) (iii) (1, 3) (iv) (3, ∞) (i) (-∞, -1) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(-)<0 अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (ii) (-1, -1) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(-)<0 अतः (-1, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (iii) (1, 3) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(+)>0 अतः (1, 3) पर फलन f(x) वर्धमान है। (iv) (3, ∞,) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(+)>0 अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। 7. सिद्ध कीजिए कि y=log〖(1+x)〗-2x/(2+ x),x> - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है। हल :– दिया है: y=log(1+x)-2x/(2+ x),x> - 1 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — dy/dx=d/dx log(1+x)-d/dx [2x/(2+ x)] =1/(1+x)-[((2+x) d/dx 2x-2x d/dx (2+x) )/(2+x)^2 ] =1/(1+x)-[((2+x) 2(1)-2x (0+1) )/(2+x)^2 ] =1/(1+x)-[(4+2x-2x )/(2+x)^2 ] =1/(1+x)-4/(2+x)^2 =((2+x)^2-4(1+x))/((1+x) (2+x)^2 ) =(4+4x+x^2-4-4x)/((1+x) (2+x)^2 ) =x^2/((1+x) (2+x)^2 ) यहां x^2,(2+x)^2>0 क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं। तथा (1+x)>0, क्योंकि x>-1 से। ∵ dy/dx का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है अतः फलन y संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved. 8. x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y=[x(x-2)]^2 एक वर्धमान फलन है। हल :– दिया है — y=[x(x-2)]^2 y=[x^2-2x]^2 y= x^4+4x^2-4x^3 y= x^4-4x^3+4x^2 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — dy/dx=d/dx (x^4-4x^3+4x^2 ) = 4x^3-4(3x^2 )+4(2x) = 4x^3-12x^2+8x अंतराल बिन्दुओं के लिए — dy/dx=0 4x^3-12x^2+8x=0 4x (x^2-3x+2)=0 4x (x^2-2x-x+2)=0 4x [x(x-2)-1(x-2)]=0 4x(x-2)(x-1)=0 x=0,x=2,x=1 संख्या रेखा पर — यहां अंतराल बिन्दु , (-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞) हैं। ⇒ अंतराल (-∞, 0) पर, dy/dX का चिन्ह=(-)(-)(-) ∴ dy/dX<0 अतः अंतराल (-∞, 0) पर फलन निरन्तर ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (0, 1) पर dy/dX का चिन्ह=(+)(-)(-) अतः dy/dX>0 अतः अंतराल (0, 1) पर फलन निरन्तर वर्धमान है। ⇒ अंतराल (1, 2) पर dy/dX का चिन्ह=(+)(-)(+) अतः dy/dX<0 अतः अंतराल (1, 2) पर फलन निरन्तर ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (2, ∞) पर dy/dX का चिन्ह=(+)(+)(+) अतः dy/dX>0 अतः अंतराल (2, ∞) पर फलन निरन्तर वर्धमान है। अतः अंतराल (0,1), (2, ∞) पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans. 9. सिद्ध कीजिए कि [0,π/2] में y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ,θ का एक वर्धमान फलन है। हल :– दिया है: y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ x के सापेक्ष अवकलन करने पर — dy/dx=((2+cosθ) d/dx 4sinθ-4sinθ d/dθ (2+cosθ))/(2+cosθ)^2 -d/dθ (θ) =((2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ))/(2+cosθ)^2 -1 =(8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ)/〖(2+cosθ)〗^2 -1 =(8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2)/〖(2+cosθ)〗^2 =(8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ])/〖(2+cosθ)〗^2 =(8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ)/〖(2+cosθ)〗^2 =(4cosθ-cos^2 θ)/〖(2+cosθ)〗^2 =(cosθ (4-cosθ))/〖(2+cosθ)〗^2 अंतराल [0,π/2] में तथा व ∴dy/dx>0 अतः फलन [0,π/2] में एक वर्धमान फलन है। Ans. 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है। हल :– माना f(x)= logx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx logx f^' (x)=1/x अतः अंतराल (0,π) में (0,π) x=π/2 हो तो — f^' (x)=1/(π⁄2)=2/π f^' (x)>0 अतः अंतराल (0,π) में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved. 11. सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x)= x^2-x+1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :– दिया है — f(x)= x^2-x+1 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx ( x^2-x+1) f^' (x)=2x-1+0 f^' (x)=2x-1 अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 2x-1=0 2x=1 x=1/2 संख्या रेखा पर — यहां अंतराल बिन्दु (i) (-1, 1/2) व (ii) (1/2, 1) हैं तथा बिन्दु (-1, 1) को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है। ⇒ अब यदि अंतराल (-1,1⁄2) पर x=1/4 हो तो — f^' (x)=2×1/4-1=1/2-1 f^' (x)= -1/2 f^' (x)<0 अतः अंतराल (-1,1⁄2) में फलन ह्रासमान है। ⇒ अब यदि अंतराल (1/2,1) पर x=3/4 हो तो — f^' (x)=2×3/4-1=3/2-1 f^' (x)= 1/2 f^' (x)>0 अतः अंतराल (1/2,1) में फलन वर्धमान है। अतः दिया गया फलन f(x) अंतराल (-1, 1) में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved. 12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, π/2) में ह्रासमान हैं? (A) cosx (B) cos2x (C) cos3x (D) tanx हल :– (A) माना f(x)=cosx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (cosx) f^' (x)= -sinx ⇒ अंतराल (0, π/2) पर — sinx<0 -sinx>0 f^' (x)<0 अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। हल :– (B) माना f(x)=cos2x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (cos2x) f^' (x)= -2sin2x ⇒ अंतराल (0, π/2) पर यदि x = π/2 तो — f^' (x)= -2sin2×π/4 = -2 sin〖π/2〗 =-2×1 =-2 f^' (x)<0 अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। हल : (C) माना f(x)=cos3x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (cos3x) f^' (x)= -3sin3x f^' (x)= -3[┤] ⇒ अंतराल (0, π/2) पर यदि x = π/2 तो — f^' (x)= -2sin2×π/4 = -2 sin〖π/2〗 =-2×1 =-2 f^' (x)<0 अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। हल :– (D) माना f(x)=tanx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (tanx) f^' (x)= sec^2 x अंतराल (0, π/2) पर — sec^2 x>0,क्योंकि पूर्ण वर्ग है। ∴ f^' (x)>0 अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन वर्धमान है। 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^100+sinx- 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है? (A) (0,1) (B) (π/2, π) (C) (0, π/2) (D) इनमें से कोई नहीं हल :– दिया है : f(x)=x^100+sinx- 1 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x^100+sinx- 1) = 100x^99+ cosx-0 = 100x^99+ cosx ⇒ अंतराल (A), (0,1) पर — 100x^99>0 cosx<0 f^' (x)>0 अतः फलन (0,1) पर वर्धमान है। ⇒ अंतराल (B), (π/2, π) पर — 100x^99>0 cosx<0 f^' (x)>0 अतः फलन (0,1) पर वर्धमान है। ⇒ अंतराल (C), (0, π/2) पर — 100x^99>0 cosx>0 f^' (x)>0 अतः फलन (0, π/2) पर वर्धमान है। अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है। अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans. 14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f(x)= x^2+ ax+1 से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :– दिया है: f(x)= x^2+ ax+1, तथा अंतराल [1, 2] x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x^2+ ax+1,) =2x+a(1)+0 = 2x+a ⇒ अंतराल [1, 2] में फलन वर्धमान होने के लिए – f^' (x)>0 2x+a>0 a>-2x अंतराल [1, 2] में a के न्यूनतम मान के लिए x = 1 रखने पर — a>-2(1) a>-2 अतः a का न्यूनतम मान -2 है। Ans. 15. मान लीजिए [-1,1] से असंयुक्त एक अंतराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x)= x+1/x से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है। हल :– दिया है: अंतराल I= R-[-1,1] तथा f(x)= x+1/x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x+1/x) =1-1/x^2 =(x^2-1)/x^2 ⇒ अंतराल I= R-[-1,1] में x^2-1>0 तथा x^2>0 ∴ f^' (x)>0 अतः फलन f(x)= x+1/x अंतराल I में वर्धमान है। Proved. 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन f(x)=logsinx,(0,π/2) में वर्धमान और (π/2,π) में ह्रासमान है। हल :– दिया है: f(x)=logsinx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx logsinx =1/sinx .cosx = cotx ⇒ अंतराल (0,π/2) में cotx धनात्मक है। ∴ f^' (x)>0 अतः अंतराल (0,π/2) में फलन वर्धमान है। Proved. ⇒ अंतराल (π/2,π) में cotx ऋणात्मक है। ∴ f^' (x)<0 अतः अंतराल (π/2,π) में फलन ह्रासमान है। Proved. 17. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=log〖|cosx|,(0,π/2)〗 में वर्धमान है और (3π/2,2π) में ह्रासमान है। हल :– दिया है: f(x)=log|cosx| के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx log|cosx| =1/cosx .(-sinx) = - tanx ⇒ अंतराल (0,π/2) में tanx धनात्मक है। ∴ f^' (x)<0 ∴ अंतराल (0,π/2) में फलन ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (3π/2,2π) में tanx ऋणात्मक है। ∴ f^' (x)>0 ∴ अंतराल (3π/2,2π) में फलन वर्धमान है। अतः अंतराल (3π/2,2π) में फलन वर्धमान और अंतराल (0,π/2) में फलन ह्रासमान है। Proved. 18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100 वर्धमान है। हल :– दिया है: f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x^3 - 3x^2 + 3x-100) = 3x^2-3(2x)+3(1)-0 = 3(x^2-2x+1) = 3 (x-1)^2 अतः x∈ R में, (x-1)^2 धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है। ∴f^' (x)>0 होगा। अतः R में, दिया गया फलन f(x) वर्धमान है। Ans. 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y= x^2 e^(-x) वर्धमान है? (A) (- 00, 00) (B) (-2,0) (C) (2, ∞) (D) (0,2) हल :– दिया है: y= x^2 e^(-x) x के सापेक्ष अवकलन करने पर — dy/dx=d/dx 〖(x〗^2 e^(-x)) = x^2 d/dx (e^(-x) )+e^(-x) d/dx x^2 = x^2.e^(-x) (-1)+ e^(-x) .(2x) = -x^2 e^(-x)+2x e^(-x) = xe^(-x) (-x+2) फलन वर्धमान होने के लिए — dy/dx >0 xe^(-x) (-x+2)>0 x>0,e^(-x)>0,2-x>0 x>0,e^(-x)>0,-x>-2 x>0,e^(-x)>0,x<2 अतः अंतराल (0, 2) में दिया गया फलन वर्धमान होगा। ∴ सही उत्तर : विकल्प (D) (0, 2) Ans. प्रश्नावली 6.3 1. वक्र y = 3x ^ 4 - 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। y = (x - 1)/(x - 2) 2. वक्र x ne2 के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। 3. वह y = x ^ 2 - x + 1 -निर्देशांक की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु पर ज्ञात कीजिए जिसका 4. की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु पर ज्ञात कीजिए जिसका y = x ^ 3 - 3x + 2 -निर्देशांक 5. rex = a * cos^3 theta y = a * sin^3 theta theta = pi/A * W अपिलंय को प्रवणता ज्ञात कीजिए। 6. यह x = 1 - a * sin theta, y = b * cos^2 theta के अभिलंब की प्रवणता ज्ञात कीजिए। theta = pi/2 * eta*x 7. वह y \approx x ^ 2 - 3x ^ 2 - 9x + 7 पर उन बिंदुओं ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ -अक्ष के 8. वक्र पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा, बिदुओं (2.0) और y = (x - 2) ^ 2 (4.4वाली रेखा के समांतर है। 9. वह y = x ^ 2 - 11x + 5 पर उस बिंदु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा y = x - 11 है। 10. प्रवणता 1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो स्मर्श करती है। y = 1/(x - 1/4) ,x ne-1 11. प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र करती है। y = 1/(x - 3) ,x ne3 को स्पर्श 12. प्रवणता वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र करती है। y = 1/(x ^ 2 - 2x + 3) स्पर्श 13. पक (x ^ 2)/9 + (y ^ 2)/16 = 1 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ 03-अक्ष के समांतर है (i) -अक्ष के समांतर है 14. दिए बक्रों पर निर्दिष्ट बिंदुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए: y = x ^ 4 - 6x ^ 3 + 13x ^ 2 - 10x + 5 के (0,5) पर y = x ^ 2 - 6x ^ 2 + 13x ^ 2 - 10x + 5 ) के (1, 3) पर (i) y = x ^ 5 (iv) y = x ^ 2 (0,0) पर (v) x equiv cos t ,y=si के t= pi/4 forall t 15. वक्र y = x ^ 2 - 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो (a) रेखा 2x - y + 9 = 0 के समांतर है। (b) रेखा 5y - 15x = 13 पर लंब है। 16. सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 7x ^ 3 + 11 के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ समांतर है जहाँ x = 2 तथा x = - 2 है। 17. वक्र y = x ^ 3 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर है। 18. वक्र y = 4x ^ 3 - 2x ^ 5 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिंदु से होकर जाती हैं। 19. वक्र x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 3 = 0 के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x-अक्ष के समांतर हैं। 20. वक्र a * y ^ 2 = x ^ 3 के बिंदु (am², am³) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए। 21. वक्र y = x ^ 3 + 2x + 6 के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14y + 4 = 0 के समांतर है। 22. परवलय y ^ 2 = 4ax के बिंदु (a * t ^ 2, 2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए। 23. सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y ^ 2 और xy = k एक दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि 8k ^ 2 = 1% * 1 24. अतिपरवलय (x ^ 2)/(a ^ 2) - (y ^ 2)/(b ^ 2) = 1 के बिंदु (x_{0}, y_{0}) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए। 25. वक्र y = sqrt(3x - 2) की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x-2y+5=0 के समांतर है। प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए 26. वक्र y = 2x ^ 2 + 3sin x के x = 0 पर अभिलंब की प्रवणता है: (A) 3 (B) 1/3 (C) -3 (D) - 1/3 27. किस बिंदु पर y = x + 1 वक्र y ^ 2 = 4x की स्पर्श रेखा है? (A) (1,2) (B) (2, 1) (C) (1,-2) (D) (-1, 2) है। प्रश्नावली 6.4 1. अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए: (i) sqrt(25.3) (ii) sqrt(49.5) (iii) sqrt(0.6) (iv) (0.009) ^ (1/3) (v) (0.9999) ^ (1/10) (vi) (15) ^ (1/4) (vii) (26) ^ (1/3) (vii) (255) ^ (1/4) (ix) (82) ^ (1/4) 1 4 (x) (401) (xi) (0.0037)2 (xii) (26.57)3 1 (xiii) (81.5)4 3 (xiv) (3.968)2 1 (xv) (32.15)5 15) 2. f(2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = 4x² + 5x + 2 है। 3. f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x² - 7x² + 15 है। 4. xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। 5. xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% हास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। 6. एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। 7. एक गोले की त्रिज्या 9m मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। 8. यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो, तो f (3.02) का सन्निकट मान है: (A) 47.66 (B) 57.66 (C) 67.66 (D) 77.66 9. भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है: (A) 0.06 x³ m³ (B) 0.6 x³ m³ (C) 0.09 x³ m³ प्रश्नावली 6.4 1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए: (1) f' * (x) = (2x - 1) ^ 2 + 3 (6) f(x) = 9x ^ 2 + 12x + 2 (i) f(x) = - (x - 1) ^ 2 + 10 (iv) y(x) = x ^ x + 1 2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए: (i) f(x) = |x + 2| - 1 (ii) g(x) = - |x + 1| + 3 (m) h(x) = sin(2x) + 5 (iv) f(x) = |sin 4x + 3| (v) h(x) = x + 1, x \in (- 1, 1) 3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए। f(x) = x ^ 2 g(x) = x ^ 3 - 3x (iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x < pi/2 (iv) f(x) = sin x - cos x 0 0 g(x) = x/2 + 2/x
(vi) g(x) = 1/(x ^ 2 + 2)
(viii) 0 < x < 1 f(x) = x * sqrt(1 - x)
4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
6) f(x) = e ^ x
(ii) g(x) = log(x)
(ⅲ) h(x) = x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1
5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(1) f(x) = x ^ 3, x \in [- 2, 2]
(iii)
f' * (x) = 4x - 1/2 * x ^ 2
(ii) f(x) = sin x + cos x, x \in [0, pi]
6. यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x ^ 2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1) ^ 2 + 3 x \in [- 3, 1]
7. अंतराल (0.3] पर.3 x ^ 4 - 8x ^ 3 + 12x ^ 2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
8. अंतराल 10, 2) के किन बिंदुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
9. फलन का उच्चतम मान क्या है? sin x + cos x
10. अंतराल [1, 3] में 2x^3- 24x+107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल [-3,-1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x^4-62x^2+ ax+9 उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
12. [0,2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
14. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
15. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y5 उच्च्चतम हो।
16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
17. 18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?
18. 45 cm x 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।
19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
20. सिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
21. 100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
22. एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
23. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन 8/27 होता है।
24. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की √2 गुनी होती है।
25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण tan^(-1)√2 होता है।
Exercise- 6.5 Question 23 Solved : By Ajay Sir..
(Revolution Classes Rasulabad)
23. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन का 8/27 होता है।
हल:–
माना शंकु की त्रिज्या r तथा ऊंचाई h है। माना वृत्त का केन्द्र O है।
सिद्ध करना है:
विशालतम शंकु का आयतन V = 8/27 गोले का आयतन
चित्र में ∆ OAD में, पाइथागोरस प्रमेय से –
OA^2= AD^2+OD^2
R^2=r^2+(h-R)^2
R^2=r^2+h^2+R^2-2Rh
0=r^2+h^2-2rh
r^2+h^2-2rh=0
r^2=2Rh-h^2,eq(1)
r=√(2Rh-h^2 ) ,eq(2)
माना शंकु का आयतन V है। तब –
V=1/3 πr^2 h=1/3 π(2Rh-h^2 )h
V=1/3 π(2Rh^2-h^3 ),eq(3)
माना गोले का आयतन V_2 है। तब –
V_2=4/3 πR^3
अब, V^'=dV/dh=1/3 π(4Rh-〖3h〗^2 )
यदि dV/dh=0
1/3 π(4Rh-〖3h〗^2 )=0
4Rh-3h^2=0
h(4R-3h)=0
h=0,जोकि अमान्य है।
यदि 4R-3h=0
-3h=-4R⇒3h=4R
h=4R/3∵
शंकु की ऊंचाई 0 नहीं हो सकती है। अतः
h=0 अमान्य है। तब h=4R/3 है।
V"=(d^2 V)/(dh^2 )=d/dh [1/3 π(4Rh-〖3h〗^2 )]
= 1/3 π(4R-6h)
h=4R/3 पर, (d^2 V)/(dh^2 )=1/3 π(4R-6h)
=1/3 π(4R-6×4R/3)
=1/3 π(4R-8R)
=1/3 π(-4R)
= -4/3 πR<0
अतः h=4R/3 स्थानीय उच्चतम बिन्दु है। अतः विशालतम शंकु का आयतन —
V=1/3 π(2Rh^2-h^3 )
=1/3 π[2(4R/3)^2 R-(4R/3)^3 ]
=1/3 π[2((16R^2)/9)R-(64R^3)/27]
=1/3 π[(32R^3)/9-(64R^3)/27]
=1/3 π[(96R^3-64R^3)/27]
=1/3 π[(32R^3)/27]
=1/3 π×8/27 [4R^3 ]
=8/27 [1/3 π4R^3 ]
=8/27×गोले का आयतन
अतः विशालतम शंकु का आयतन=8/27×गोले का आयतन Hence Proved.
Exercise- 6.5 Question 23 Solved : By Ajay Sir.
Note:- The same solution may not available on internet.
अध्याय 6 पर विविध प्रश्नावली
1. अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए:
(a) (17/81)^(1/4)
(b) (33)^(-1/5)
2. सिद्ध कीजिए कि f(x)=logx/x द्वारा प्रदत्त फलन x=e पर उच्चतम है।
3. किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से पट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।
4. वक्र x^2=4y के बिंदु (1,2) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि वक्र xa cosθ+aθ sinθ,y= a sinθ-aθ cosθ के किसी बिंदु θ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिस पर
f(x)=(4sinx-2x-xcosx)/(2+cosx)
से प्रदत्त फलन f (i) निरंतर वर्धमान (ii) निरंतर ह्रासमान है।
7. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर gf(x)= x^3+1/x^3 ,x≠0 से प्रदत फलन
(i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।
8. दीर्घवृत्त x^2/a^2 +y^2/a^2 =1 अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
9. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs 70 /m² और दीवारों पर Rs 45/m² व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी को लागत क्या है?
10. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
11. किसी आयत के ऊपर बने अर्द्धवृत्त के आकार वाली खिड्की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
12. त्रिभुज की भुजाओं a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^(2/3)+ b^(2/3) )^(2/3) है।
13. उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x-2)^4 (x+1)^3 द्वारा प्रदत फलन f का,
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है
(iii) नत परिवर्तन बिंदु है।
14. f(x)=cos^2x+sinx,x∈[0,π] द्वारा प्रदत फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
15. सिद्ध कीजिए कि r त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊंचाई 4r/3 है।
16. मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f इस प्रकार है कि सभी x ∈ (a, b) के लिए f’(x)>0 है के सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
17. सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई
2R/√3 है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
18. सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण α और ऊंचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊंचाई, शंकु के ऊंचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकमत आयतन 4/27 πh^3 tan^2 α है।
प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों के सही उत्तर चुनिए।
19. एक 10 m त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में 314 m3/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:
(A) 1m
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/h
20. चक x=p+31-8,y=2r-21-5 के बिंदु (2-1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता हैः
(۲)
(B)
(D)
21. रेखा y = mx + 1, चक्र 4 की एक स्पर्श रेखा है यदि का मान है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
1 (D)
22. वक्र 2y+x=3 के बिंदु (1.1) पर अभिलंब का समीकरण है:
(A) x+y=0
(B) x-y-0
(C) x+y+1=0
(D) x-y=1
23. वक्र x = 4y का बिंदु (1.2) से हो कर जाने वाला अभिलंब हैः
(A) x+y=3
(B) x-y=3
(C) x+y=1
(D) x-y=1
24. वक्र 9y= पर वे बिंदु जहाँ पर चक्र का अभिलंब अक्षों से समान अंतः खंड बनाता है:
(+) (V)
(B) (4)
सारांश
प्रश्नावली 6.2
प्रश्नावली 6.2
1. सिद्ध कीजिए R पर f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
2. सिद्ध कीजिए कि R पर f(x) = e ^ (2x) से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
3. सिद्ध कीजिए f(x) = sin x से प्रदत्त फलन
(a) (0, pi/2) में वर्धमान है
(b) (pi/2, pi) में ह्रासमान है
(c) (0, pi) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
4. अंतरात ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x ^ 2 - 3x ^ 2 प्रदत फलन/
(a) वर्धमान
(b) ह्रासमान
5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f' * (x) = 2x ^ 3 - 3x ^ 2 - 35x + 7d प्रत फलन/
(A) वर्धमान
(b) डासमान
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन / वर्धमान या हासमान है:
(a) f(x) * x ^ 2 + 2x + 5
(b) f(x) * 10 - 6x - 2x ^ 2
(0) f' * (x) - 2x ^ 2 - 9x ^ 2 - 12x + 1
(d) f(x) * 6 - 9x - x ^ 2
(e) f(x) * (x + 1) ^ 1 * (x - 3) ^ 2
7. सिद्ध कीजिए कि y = log(1 + x) - (2x)/(2 + x), x > - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
8. के जन मानों को y = [x(x - 2)] ^ (2/5) वर्धमान फलन है।
9. मिद्ध कॉजिए कि [0, pi/2] में y = (4sin theta)/(2 + cos theta) - theta, theta का एक वर्धमान फलन है।
10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन है।
11. सिद्ध कीजिए कि (- 1, 1) f(x) = x ^ 2 - x + 1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही डासमान है।
12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, pi/2) में ह्रासमान है ?
(A) cos x
(B) cos 2x
(C) cos 3r
(D) tan x
13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^ i00 + sin x - i द्वारा प्रदत्त फलन/ हासमान है?
(A) (0,1)
(pi/2, pi)
(0, pi/2)
(D) इनमें से कोई नही
14. का वह न्यूनतम मान जात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1.2] में f(x) = x ^ 2 + ax + 1 प्रदत फलन वर्धमान है।
15. मान लीजिए [-1,1] से असंयुक्त एक अंतराल 1 हो तो सिद्ध कीजिए कि 1 में से प्रदत फतन, वर्धमान है। f(x) = x + 1/x
16. सिद्ध कीजिए। कि फलन /(x)= log sinx, (0, pi/2) में वर्धमान और (pi/2, pi) में हासमान है।
17. सिद्ध कीजिए कि फलन ह्रासमान है। f(x) = log|cos x| * (0, pi/2) में वर्धमान और ((3pi)/2, 2pi) में
18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 3x - 100 वर्धमान है।
19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y = x ^ 2 * e ^ (- x) वर्धमान है?
(A) (- 00, 00)
(B) (-2,0)
(C) (2, ∞)
(D) (0,2)
1. सिद्ध कीजिए R पर f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
2. सिद्ध कीजिए कि R पर f(x) = e ^ (2x) से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
3. सिद्ध कीजिए f(x) = sin x से प्रदत्त फलन
(a) (0, pi/2) में वर्धमान है
(b) (pi/2, pi) में ह्रासमान है
(c) (0, pi) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
4. अंतरात ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x ^ 2 - 3x ^ 2 प्रदत फलन/
(a) वर्धमान
(b) ह्रासमान
5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f' * (x) = 2x ^ 3 - 3x ^ 2 - 35x + 7d प्रत फलन/
(A) वर्धमान
(b) डासमान
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन / वर्धमान या हासमान है:
(a) f(x) * x ^ 2 + 2x + 5
(b) f(x) * 10 - 6x - 2x ^ 2
(0) f' * (x) - 2x ^ 2 - 9x ^ 2 - 12x + 1
(d) f(x) * 6 - 9x - x ^ 2
(e) f(x) * (x + 1) ^ 1 * (x - 3) ^ 2
7. सिद्ध कीजिए कि y = log(1 + x) - (2x)/(2 + x), x > - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
8. के जन मानों को y = [x(x - 2)] ^ (2/5) वर्धमान फलन है।
9. मिद्ध कॉजिए कि [0, pi/2] में y = (4sin theta)/(2 + cos theta) - theta, theta का एक वर्धमान फलन है।
10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन है।
11. सिद्ध कीजिए कि (- 1, 1) f(x) = x ^ 2 - x + 1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही डासमान है।
12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, pi/2) में ह्रासमान है ?
(A) cos x
(B) cos 2x
(C) cos 3r
(D) tan x
13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^ i00 + sin x - i द्वारा प्रदत्त फलन/ हासमान है?
(A) (0,1)
(pi/2, pi)
(0, pi/2)
(D) इनमें से कोई नही
14. का वह न्यूनतम मान जात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1.2] में f(x) = x ^ 2 + ax + 1 प्रदत फलन वर्धमान है।
15. मान लीजिए [-1,1] से असंयुक्त एक अंतराल 1 हो तो सिद्ध कीजिए कि 1 में से प्रदत फतन, वर्धमान है। f(x) = x + 1/x
16. सिद्ध कीजिए। कि फलन /(x)= log sinx, (0, pi/2) में वर्धमान और (pi/2, pi) में हासमान है।
17. सिद्ध कीजिए कि फलन ह्रासमान है। f(x) = log|cos x| * (0, pi/2) में वर्धमान और ((3pi)/2, 2pi) में
18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 3x - 100 वर्धमान है।
19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y = x ^ 2 * e ^ (- x) वर्धमान है?
(A) (- 00, 00)
(B) (-2,0)
(C) (2, ∞)
(D) (0,2)
प्रश्नावली 6.3
1. वक्र y = 3x ^ 4 - 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
y = (x - 1)/(x - 2) 2. वक्र x ne2 के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
3. वह y = x ^ 2 - x + 1 -निर्देशांक की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु पर ज्ञात कीजिए जिसका
4. की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु पर ज्ञात कीजिए जिसका y = x ^ 3 - 3x + 2 -निर्देशांक
5. rex = a * cos^3 theta y = a * sin^3 theta theta = pi/A * W अपिलंय को प्रवणता ज्ञात कीजिए।
6. यह x = 1 - a * sin theta, y = b * cos^2 theta के अभिलंब की प्रवणता ज्ञात कीजिए। theta = pi/2 * eta*x
१. वह y \approx x ^ 2 - 3x ^ 2 - 9x + 7 पर उन बिंदुओं ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ -अक्ष के
8. वक्र पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा, बिदुओं (2.0) और y = (x - 2) ^ 2 (4.4वाली रेखा के समांतर है।
9. वह y = x ^ 2 - 11x + 5 पर उस बिंदु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा y = x - 11 है।
10. प्रवणता 1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो स्मर्श करती है। y = 1/(x - 1/4) ,x ne-1
11. प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र करती है। y = 1/(x - 3) ,x ne3 को स्पर्श
12. प्रवणता वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र करती है। y = 1/(x ^ 2 - 2x + 3) स्पर्श
13. पक (x ^ 2)/9 + (y ^ 2)/16 = 1 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ 03-अक्ष के समांतर है (i) -अक्ष के समांतर है
14. दिए बक्रों पर निर्दिष्ट बिंदुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए: y = x ^ 4 - 6x ^ 3 + 13x ^ 2 - 10x + 5 के (0,5) पर
y = x ^ 2 - 6x ^ 2 + 13x ^ 2 - 10x + 5 ) के (1, 3) पर
(i) y = x ^ 5
(iv) y = x ^ 2 (0,0) पर
(v) x equiv cos t ,y=si के t= pi/4 forall t
अवकलज के अनुप्रयोग
229
15. वक्र y = x ^ 2 - 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(a) रेखा 2x - y + 9 = 0 के समांतर है।
(b) रेखा 5y - 15x = 13 पर लंब है।
16. सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 7x ^ 3 + 11 के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ समांतर है जहाँ x = 2
तथा x = - 2 है।
17. वक्र y = x ^ 3 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर है।
18. वक्र y = 4x ^ 3 - 2x ^ 5 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिंदु से होकर जाती हैं।
19. वक्र x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 3 = 0 के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x-अक्ष के समांतर हैं।
20. वक्र a * y ^ 2 = x ^ 3 के बिंदु (am², am³) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
21. वक्र y = x ^ 3 + 2x + 6 के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14y + 4 = 0 के समांतर है।
22. परवलय y ^ 2 = 4ax के बिंदु (a * t ^ 2, 2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
23. सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y ^ 2 और xy = k एक दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि 8k ^ 2 = 1% * 1
24. अतिपरवलय (x ^ 2)/(a ^ 2) - (y ^ 2)/(b ^ 2) = 1 के बिंदु (x_{0}, y_{0}) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
25. वक्र y = sqrt(3x - 2) की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x-2y+5=0 के समांतर है।
प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए
26. वक्र y = 2x ^ 2 + 3sin x के x = 0 पर अभिलंब की प्रवणता है:
(A) 3
(B) 1/3
(C) -3
(D) - 1/3
27. किस बिंदु पर y = x + 1 वक्र y ^ 2 = 4x की स्पर्श रेखा है?
(A) (1,2)
(B) (2, 1)
(C) (1,-2)
(D) (-1, 2) है।
प्रश्नावली 6.4
1.
अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए:
(i) sqrt(25.3)
(ii) sqrt(49.5)
(iii) sqrt(0.6)
(iv) (0.009) ^ (1/3)
(v) (0.9999) ^ (1/10)
(vi) (15) ^ (1/4)
(vii) (26) ^ (1/3)
(vii) (255) ^ (1/4)
(ix) (82) ^ (1/4)
1 4 (x) (401)
(xi) (0.0037)2
(xii) (26.57)3
1 (xiii) (81.5)4
3 (xiv) (3.968)2
1 (xv) (32.15)5 15)
2. f(2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = 4x² + 5x + 2 है।
3. f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x² - 7x² + 15 है।
4. xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
5. xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% हास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
6. एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
7. एक गोले की त्रिज्या 9m मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
8. यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो, तो f (3.02) का सन्निकट मान है:
(A) 47.66
(B) 57.66
(C) 67.66
(D) 77.66
9. भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है:
(A) 0.06 x³ m³
(B) 0.6 x³ m³
(C) 0.09 x³ m³
प्रश्नावली 6.5
1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए:
(i) f(x)=(2x-1)^2+3
(ii) f(x)=9x^2+12x+2
(iii) f(x)= -(x-1)^2+10
(iv) g(x)= x^3+1
1(i) हल:– दिया है: f(x)=(2x-1)^2+3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (2x-1)^2+d/dx 3
=2(2x-1)(2-0)+0
=4(2x-1)
f^' (x)=8x-4,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
8x-4=0
8x=4
x=4/8⇒x=1/2
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx(8x-4)=8-0
f"(1/2 )=8>0
f"(1/2 )=8>0,(धनात्मक मान)
∴ फलन निम्नतम होगा तथा उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं है।
निम्नतम बिन्दु x=1/2 है।
अब, x=1/2 पर, f(1/2)=(2x-1)^2+3
=(2×1/2-1)^2+3
=(1-1)^2+3
=0+3
f(x)=3
अतः फलन का निम्नतम मान =3 Ans.
1(ii) हल:– दिया है: f(x)=9x^2+12x+2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=9 d/dx x^2+12 d/dx x+d/dx 2
= 9(2x)+12(1)+0
=18x+12+0
f^' (x)=18x+12,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
18x+12=0
18x=-12
x=12/(-18)⇒ x= -2/3
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx(18x+12)=18+0
f"(x)=18>0,(धनात्मक मान)
∴ फलन निम्नतम होगा तथा उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं है।
निम्नतम बिन्दु x= -2/3 है।
अब, x= -2/3 पर, f(-2/3)=9x^2+12x+2
=〖9(-2/3)〗^2+12(-2/3)+2
=9(4/9)+4(-2)+2
=4-8+2
=-2
अतः फलन का निम्नतम मान =-2 Ans.
1(iii) हल:– दिया है: f(x)= -(x-1)^2+10
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=-d/dx (x-1)^2+d/dx 10
= -2(x-1)(1-0)+0
=-2(x-1)
f^' (x)= -2x+2,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
-2x+2=0
-2x=-2
2x=2
x=2/2⇒ x= 1
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx(-2x+2)=-2(1)+0
f"(x)=-2<0,(ऋणात्मक मान)
∴ फलन उच्चतम होगा तथा निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं है।
उच्चतम बिन्दु x= 1 है।
अब, x= 1 पर,
f(1)=-(x-1)^2+10
=〖-(1-1)〗^2+10
=-(0)+10
=10
अतः फलन का उच्चतम मान =10 Ans.
अथवा g(x)= x^3+1
1(iii) हल:– दिया है: f(x)= -(x-1)^2+10
= -(x^2-2x+1)+10
=-x^2+2x-1+10
∴f(x)=-x^2+2x+9
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (-x^2+2x+9)
= -2x+2(1)+0
f^' (x)= =-2x+2,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
-2x+2=0
-2x=-2
2x=2
x=2/2⇒ x= 1
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx(-2x+2)=-2(1)+0
f"(x)=-2<0,(ऋणात्मक मान)
∴ फलन उच्चतम होगा तथा निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं है।
उच्चतम बिन्दु x= 1 है।
अब, x= 1 पर,
f(1)==-x^2+2x+9
=〖-(1)〗^2+2(1)+9
=-1+2+9
=10
अतः फलन का उच्चतम मान =10 Ans.
1(iv) हल:– दिया है:
g(x)=x^3+1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
g^' (x)=d/dx (x^3+1)
= -3x^2+(0)
g^' (x)=3x^2,eq(1)
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
g^' (x)=0
3x^2=0
x^2=0
x=0
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
g"(x)=d/dx(3x^2)
=3(2x)
g"(0)=6x=6×0=0,
g"(x)=0,(नति परिवर्तन)
∴ फलन न तो निम्नतम है और न ही उच्चतम है। Ans.
2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए:
(i) f(x)=|x+2|-1
(ii) g(x)= -|x+1|+3
(iii) h(x)= sin(2x)+5
(iv) f(x)=|sin4x+3|
(v) h(x)= x+1,x∈(-1,1)
हल:– (i) दिया है: f(x)=|x+2|-1
∵ हम जानते हैं कि —
|x+2|≥0
|x+2|-1≥0-1
|x+2|-1≥-1
f(x)≥-1
∴ f(x)∈[-1,∞]
अतः फलन का निम्नतम मान =-1
तथा उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं। Ans.
हल:– (ii) दिया है: g(x)= -|x+1|+3
∵ हम जानते हैं कि —
|x+1|≥0
दोनों ओर – का गुणा करने पर —
-|x+1|≤0
दोनों ओर 3 जोड़ने पर —
-|x+1|+3≤0+3
-|x+1|+3≤3
g(x)≥3,
∴ g(x)∈[- ∞,3]
अतः फलन का उच्चतम मान =3
तथा निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं। Ans.
हल:– 2(iii) दिया है: h(x)= sin(2x)+5
∵ हम जानते हैं कि —
-1≤sinθ≤1
-1≤sin2x≤1
सभी भागों में 5 जोड़ने पर —
-1+5≤sin2x+5≤1+5
4≤sin2x+5≤6
4≤h(x)≤6
∴h(x)∈[4,6]
अतः फलन का निम्नतम मान =4
तथा उच्चतम मान =6 Ans.
हल:– 2(iv) दिया है: f(x)=|sin4x+3|
∵ हम जानते हैं कि —
-1≤sinθ≤1
-1≤sin4x≤1
सभी भागों में 3 जोड़ने पर —
-1+3≤sin2x+5≤1+3
2≤sin2x+3≤4
सभी भागों का मापांक लेने पर —
|2|≤|sin2x+3|≤|4|
2≤|sin2x+3|≤4
2≤f(x)≤4
∴f(x)∈[2,4]
अतः फलन का निम्नतम मान =2
तथा उच्चतम मान =4 Ans.
हल:– 2(v) दिया है: h(x)= x+1,x∈(-1,1)
∵ हम जानते हैं कि —
-1< x<1
सभी भागों में 1 जोड़ने पर —
-1+1≤x+1≤1+1
0≤x+1≤2
0≤f(x)≤2
∴f(x)∈(0,2)
जोकि (-1,1) से बाहर है।
यहां परिसर खुले अंतराल में है। अतः उच्चतम मान एवं निम्नतम मान ज्ञात नहीं किए जा सकते हैं।
अतः x∈(-1,1) के लिए फलन का न तो निम्नतम मान और न उच्चतम मान है। Ans.
3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
(i) f(x)= x^2
(ii) g(x)= x^3-3x
(iii) h(x)=sinx+cosx,0 < x <π/2
(iv) f(x)=sinx-cos〖x,〗 0 0 g(x) = x/2 + 2/x
(vi) g(x) = 1/(x ^ 2 + 2)
(viii) 0 < x < 1 f(x) = x * sqrt(1 - x)
हल:– 3(i) दिया है: f(x)= x^2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx x^2=2x
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
2x=0
x=0
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx=2(1)=2
x=0 पर f"(x)=2>0,(धनात्मक मान )
∵ अतः फलन स्थानीय निम्नतम होगा।
अतः स्थानीय निम्नतम बिन्दु x=0.
तथा फलन का स्थानीय निम्नतम मान
f(0)=x^2=(0)^2=0 Ans.
हल:– 3(ii) दिया है: g(x)= x^3-3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
g^' (x)=d/dx ( x^3-3x)=3x^2-3
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
g^' (x)=0
3x^2-3=0
3x^2=3
x^2=3/3
x=±1
x=-1,x=1
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
g"(x)=d/dx (3x^2-3)=3(2x)-3
g"(x)=6x-3
x=1 पर g”(1)=6(1)=6,(धनात्मक मान )
अतः स्थानीय निम्नतम होगा तथा स्थानीय निम्नतम बिन्दु x=1.
अतः फलन का स्थानीय निम्नतम मान
g(1)=x^3-3x
=1^3-3(1)
=1-3
=-2 Ans.
हल:– 3(iii) दिया है: h(x)=sinx+cosx,
0 < x <π/2 x∈(0,π/2)
∵h(x)=sinx+cosx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
∴h^' (x)=cosx+(-sinx)
h^' (x)=cosx-sinx
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
h^' (x)=0
cosx-sinx=0
cosx=sinx⇒1×cosx=1×sinx
1=sinx/cosx
1=tanx
tan π/4=tanx
x=π/4
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
h"(x)=d/dx (cosx-sinx)
h"(x)=-sinx-cosx
x=π/4 पर,
h"(x)=-sinx-cosx
=-sin〖π/4〗-cos〖π/4〗
= -1/√2-1/√2
=-2/√2×√2/√2
=-(2√2)/2
=-√2 (ऋणात्मक मान )
अतः स्थानीय उच्चतम होगा तथा स्थानीय उच्चतम बिन्दु x=π/4.
अतः फलन का स्थानीय उच्चतम मान
h(x)=sinx+cosx
=sin〖π/4〗+cos〖π/4〗
= 1/√2+1/√2
=2/√2×√2/√2
=(2√2)/2
=√2 Ans.
हल:– 3(iv) दिया है: f(x)=sinx-cosx,
0 < x < 2π
x∈(0,2π)
∵f(x)=sinx-cosx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
∴f^' (x)=d/dx (sinx-cosx )
f^' (x)=cosx-(-sinx)
f^' (x)=cosx+sinx
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
cosx+sinx=0
cosx=-sinx⇒1×cosx=-1×sinx
-1=sinx/cosx
-1=tanx
चूंकि tan दूसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।
-tan π/4=tanx
tan(π-π/4)=tanx
tan〖3π/4〗=tanx
x=3π/4
तथा tanx=-1=tan(2x-π/4)
tanx=tan〖7π/4〗 x=7π/4
∴x=3π/4,x=7π/4
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx (cosx+sinx)
h"(x)=-sinx+cosx
⇒x=3π/4 पर,
h"(x)=-sinx-cosx
=-sin〖3π/4〗-cos〖3π/4〗
= -1/√2-1/√2
=-2/√2×√2/√2
=-(2√2)/2
=-√2 (ऋणात्मक मान )
अतः स्थानीय उच्चतम होगा तथा स्थानीय उच्चतम बिन्दु x=3π/4.
अतः फलन का स्थानीय उच्चतम मान
h(x)=sinx+cosx
=sin〖π/4〗+cos〖π/4〗
= 1/√2+1/√2
=2/√2×√2/√2
=(2√2)/2
=√2 Ans.
⇒x=7π/4 पर,
h"(x)=-sinx+cosx
=-sin〖7π/4〗+cos〖7π/4〗
= -(-1/√2)+1/√2=1/√2+1/√2
=2/√2×√2/√2
=(2√2)/2
=√2 (धनात्मक मान )
अतः स्थानीय फलन निम्नतम होगा तथा स्थानीय निम्नतम बिन्दु x=7π/4.
अतः फलन का स्थानीय निम्नतम मान
h(x)=sinx-cosx
=sin〖7π/4〗+cos〖7π/4〗
=- 1/√2-1/√2
=-2/√2×√2/√2
=-(2√2)/2
=-√2 Ans.
हल:– 3(v) दिया है: f(x)= x^3-6x^2+9x+15
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx ( x^3-6x^2+9x+15 )
=3x^2-12x+9
क्रान्तिक बिन्दु के लिए —
f^' (x)=0
3x^2-12x+9=0
3(x^2-4x+3)=0
x^2-4x+3=3/3
(x-3)(x-1)=0
x=1,x=3
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f"(x)=d/dx (3x^2-12x+3)
f"(x)=6x-12(1)-0
f"(x)=6x-12
x=1 पर f”(x)=6x-12=6(1)-12=-6,(ऋणात्मक मान )
अतः फलन स्थानीय उच्चतम होगा तथा स्थानीय निम्नतम बिन्दु x=1.
अतः फलन का स्थानीय निम्नतम मान
g(1)=x^3-3x
=1^3-3(1)
=1-3
=-2 Ans.
4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
6) f(x) = e ^ x
(ii) g(x) = log(x)
(ⅲ) h(x) = x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1
5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(1) f(x) = x ^ 3, x \in [- 2, 2]
(iii)
f' * (x) = 4x - 1/2 * x ^ 2
(ii) f(x) = sin x + cos x, x \in [0, pi]
6. यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x ^ 2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1) ^ 2 + 3 x \in [- 3, 1]
7. अंतराल (0.3] पर.3 x ^ 4 - 8x ^ 3 + 12x ^ 2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
8. अंतराल 10, 2) के किन बिंदुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
9. फलन का उच्चतम मान क्या है? sin x + cos x
10. अंतराल [1, 3] में 2x^3- 24x+107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल [-3,-1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x^4-62x^2+ ax+9 उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
12. [0,2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
14. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
15. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y5 उच्च्चतम हो।
16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
17. 18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?
18. 45 cm x 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।
19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
20. सिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
21. 100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
22. एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
23. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन 8/27 होता है।
24. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की √2 गुनी होती है।
25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण tan^(-1)√2 होता है।
1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए:
(1) f' * (x) = (2x - 1) ^ 2 + 3
(6) f(x) = 9x ^ 2 + 12x + 2
(i) f(x) = - (x - 1) ^ 2 + 10
(iv) y(x) = x ^ x + 1
2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = |x + 2| - 1
(ii) g(x) = - |x + 1| + 3
(m) h(x) = sin(2x) + 5
(iv) f(x) = |sin 4x + 3|
(v) h(x) = x + 1, x \in (- 1, 1)
3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
f(x) = x ^ 2
g(x) = x ^ 3 - 3x
(iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x < pi/2
(iv) f(x) = sin x - cos x 0 0 g(x) = x/2 + 2/x
(vi) g(x) = 1/(x ^ 2 + 2)
(viii) 0 < x < 1 f(x) = x * sqrt(1 - x)
4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
6) f(x) = e ^ x
(ii) g(x) = log(x)
(ⅲ) h(x) = x ^ 2 + x ^ 2 + x + 1
5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(1) f(x) = x ^ 3, x \in [- 2, 2]
(iii)
f' * (x) = 4x - 1/2 * x ^ 2
(ii) f(x) = sin x + cos x, x \in [0, pi]
6. यदि लाभ फलन p(x) = 41 - 72x - 18x ^ 2 से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
f(x) = (x - 1) ^ 2 + 3 x \in [- 3, 1]
7. अंतराल (0.3] पर.3 x ^ 4 - 8x ^ 3 + 12x ^ 2 - 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
8. अंतराल 10, 2) के किन बिंदुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
9. फलन का उच्चतम मान क्या है? sin x + cos x
10. अंतराल [1, 3] में 2x^3- 24x+107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल [-3,-1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि दिया है कि अंतराल [0,2] में x = 1 पर फलन x^4-62x^2+ ax+9 उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
12. [0,2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
14. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
15. ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y5 उच्च्चतम हो।
16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
17. 18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?
18. 45 cm x 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।
19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
20. सिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
21. 100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
22. एक 28 cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
23. सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन 8/27 होता है।
24. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की √2 गुनी होती है।
25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण tan^(-1)√2 होता है।
अध्याय 6 पर विविध प्रश्नावली
1. अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए:
(a) (17/81)^(1/4)
(b) (33)^(-1/5)
2. सिद्ध कीजिए कि f(x)=logx/x द्वारा प्रदत्त फलन x=e पर उच्चतम है।
3. किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से पट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।
4. वक्र x^2=4y के बिंदु (1,2) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि वक्र xa cosθ+aθ sinθ,y= a sinθ-aθ cosθ के किसी बिंदु θ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिस पर
f(x)=(4sinx-2x-xcosx)/(2+cosx)
से प्रदत्त फलन f (i) निरंतर वर्धमान (ii) निरंतर ह्रासमान है।
7. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर gf(x)= x^3+1/x^3 ,x≠0 से प्रदत फलन
(i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।
8. दीर्घवृत्त x^2/a^2 +y^2/a^2 =1 अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
9. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2 गहरी और 8 m3 आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs 70 /m² और दीवारों पर Rs 45/m² व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी को लागत क्या है?
10. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग k है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
11. किसी आयत के ऊपर बने अर्द्धवृत्त के आकार वाली खिड्की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
12. त्रिभुज की भुजाओं a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^(2/3)+ b^(2/3) )^(2/3) है।
13. उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x-2)^4 (x+1)^3 द्वारा प्रदत फलन f का,
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है
(iii) नत परिवर्तन बिंदु है।
14. f(x)=cos^2x+sinx,x∈[0,π] द्वारा प्रदत फलन f का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
15. सिद्ध कीजिए कि r त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊंचाई 4r/3 है।
16. मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f इस प्रकार है कि सभी x ∈ (a, b) के लिए f’(x)>0 है के सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
17. सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई
2R/√3 है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
18. सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण α और ऊंचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊंचाई, शंकु के ऊंचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकमत आयतन 4/27 πh^3 tan^2 α है।
प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों के सही उत्तर चुनिए।
19. एक 10 m त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में 314 m3/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:
(A) 1m
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/h
20. चक x=p+31-8,y=2r-21-5 के बिंदु (2-1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता हैः
(۲)
(B)
(D)
21. रेखा y = mx + 1, चक्र 4 की एक स्पर्श रेखा है यदि का मान है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
1 (D)
22. वक्र 2y+x=3 के बिंदु (1.1) पर अभिलंब का समीकरण है:
(A) x+y=0
(B) x-y-0
(C) x+y+1=0
(D) x-y=1
23. वक्र x = 4y का बिंदु (1.2) से हो कर जाने वाला अभिलंब हैः
(A) x+y=3
(B) x-y=3
(C) x+y=1
(D) x-y=1
24. वक्र 9y= पर वे बिंदु जहाँ पर चक्र का अभिलंब अक्षों से समान अंतः खंड बनाता है:
(+) (V)
(B) (4)
सारांश
1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिर्वतन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) $r=3$ cm है
(b) $r=4 cm$ है
2. एक घन का आपतन 8 cm$^3$/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है।
3. एक वृत की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।
4. एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है?
5. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 cm/s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
6. एक वृत की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब $r= 4.9$ cm है?
7. एक आयत की लम्बाई $x$, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई $y$, 4 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब $x = 8$ cm और $y = 6$ cm हैं तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
8. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 cm$^3$ गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।
9. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।
10. एक 5 m लम्बी सीड़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर 2 cm/s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 m दूर है?
11. एक कण वक्र $6y=x^3+2$ के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि $x$-निर्देशांक की तुलना में $y$-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।
12. हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या $1/2$ cm⁄s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है?
13. एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास $3/2 (2x+1)$ है। $x$ के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
14. एक पाइप से रेत 12 cm$^3$⁄s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है?
15. एक वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन से संबंध कुल लागत $C(x)$ (रुपये में)
$C(x)=0.007x^3-0.003x^2+15x+4000$
से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
16. किसी उत्पाद की $x$ इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय $R(x)$ रुपयों में
$R(x)=13x^2+26x+15$
प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब $x = 7$ है।
17. एक वृत्त की त्रिज्या $r = 6$ cm पर $r$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है :
(Α) 10π
(Β) 12π
(C) 8π
(D) 11π
18. एक उत्पाद की $x$ इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में $R(x)=3x^2+36x+5$ से प्रदत्त है। जब $x = 15$ है तो सीमांत आय है:
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126
1. सिद्ध कीजिए $R$ पर $f(x)=3x+17$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
2. सिद्ध कीजिए कि R पर $f(x)=e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन
(a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है,
(b) $(π/2,π)$ में ह्रासमान है,
(c) $(0,π)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^2-3x$ प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है।
5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$ से प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन $f$ वर्धमान या हासमान है:
(a) $f(x)= x^2+2x+5$
(b) $f(x)= 10-6x-2x^2$
(c) $f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1$
(d) $f(x)= 6-9x-x^2$
(e) $f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3$
7. सिद्ध कीजिए कि $y=log(1+x)-{2x}/{2+ x}, x > - 1$ अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
8. $x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y=[x(x-2)]^2$ एक वर्धमान फलन है।
9. सिद्ध कीजिए कि $[0,π/2]$ में $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ, θ$ का एक वर्धमान फलन है।
10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन $(0,π)$ में वर्धमान है।
11. सिद्ध कीजिए कि $(-1, 1)$ में $f(x)= x^2-x+1$ से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
12. निम्नलिखित में कौन से फलन $(0, π/2)$ में ह्रासमान हैं?
(A) $cosx$
(B) $cos2x$
(C) $cos3x$
(D) $tanx$
13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में $f(x)=x^100+sinx- 1$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ ह्रासमान है?
(A) $(0,1)$
(B) $(π/2, π)$
(C) $(0, π/2)$
(D) इनमें से कोई नहीं
14. $a$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल $[1, 2]$ में $f(x)= x^2+ ax+1$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में $f(x)= x+1/x$ से प्रदत्त फलन $f$, वर्धमान है।
16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx, (0,π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है।
17. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=log|cosx|, (0,π/2)$ में वर्धमान है और $({3π}/2, 2π)$ में ह्रासमान है।
18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है।
19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y= x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
(A) $(- 00, 00)$
(B) $(-2,0)$
(C) $(2, ∞)$
(D) $(0,2)$
1. वक्र $y=3x^4-4x$ के $x=4$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
2. $y={x-1}/{x-2}, x≠2$ के वक्र $x=10$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
3. वक्र $x^2- x + 1$ $x$-निर्देशांक की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका $x$-निर्देशांक 2 है।
4. वक्र $x^3-3x^2 + 2$ की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका $y$-निर्देशांक 3 है।
5. $x= a cos^3θ, y= a sin^3θ$ के $θ=π/4$ पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
6. वक्र $x=1- a sinθ, y= b cosθ$ के $θ=π/2$ अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
7. वक्र $y= x^3-3x^2-9x+7$ पर उन बिन्दुओं ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समांतर हैं।
8. वक्र $y=(x-2)^2$ पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा, बिन्दुओं $(2, 0)$ और $(4, 4)$ को मिलाने वाली रेखा के समांतर है।
9. वक्र $y= x^3-11x^2+5$ पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा $y= x-11$ है।
10. प्रवणता $-1$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=1/{x-1}$, $x≠-1$ को स्पर्श करती है।
11. प्रवणता $2$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=1/{x-3}, x≠3$ को स्पर्श करती है।
12. प्रवणता $0$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=1/{x^2-2x+3}$ को स्पर्श करती है।
13. वक्र ${x^2}/9+{y^2}/{16}=1$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ
(i) $x$-अक्ष के समांतर है
(ii) $y$-अक्ष के समांतर है
14. दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए:
(i) $y= x^4-6x^3+13x^2-10x+5$ के $(0,5)$ पर(ii) $y= x^4-6x^3+13x^2-10x+5$ के $(1,3)$ पर
(iii) $y= x^3$ के $(1,1)$ पर
(iv) $y= x^2$ के $(0,0)$ पर
(v) $x=cost, y= sint$ के $t=π/4$ पर
15. वक्र $y= x^2-2x + 7$ की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(a) रेखा $2x- y+9=0$ के समांतर है।
(b) रेखा $5y-15x=13$ पर लंब है।
16. सिद्ध कीजिए कि वक्र $y=7x^3+11$ के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समांतर है जहाँ $x = 2$ तथा $x = - 2$ है।
17. वक्र $y=x^3$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के $y$-निर्देशांक के बराबर है।
18. वक्र $y=4x^3- 2 x^5$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिन्दु से होकर जाती हैं।
19. वक्र $x^2+ y^2-2x - 3= 0$ के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे $x$-अक्ष के समांतर हैं।
20. वक्र $ay^2= x^3$ के बिन्दु $(am^2, am^3)$ पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
21. वक्र $y= x^3+2x+6$ के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x+14y+4=0$ के समांतर है।
22. परवलय $y^2=4ax$ के बिन्दु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
23. सिद्ध कीजिए कि वक्र $x= y^2$ और $xy= k$ एक दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि $8k^2=1$ है।
24. अतिपरवलय ${x^2}/{a^2} –{y^2}/{b^2} =1$ के बिन्दु $(x_0,y_0)$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
25. वक्र $y=√{3x-2}$ की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $4x-2y+5=0$ के समांतर है।
प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए26. वक्र $y=2x^2+3sinx$ के $x=0$ पर अभिलम्ब की प्रवणता है:
(A) 3
(B) 1/3
(C) -3
(D) - 1/3
27. किस बिन्दु पर $y= x+1$ वक्र $y^2=4x$ की स्पर्श रेखा है?
(A) (1,2)
(B) (2, 1)
(C) (1,-2)
(D) (-1, 2) है।
1. अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए:
(i) $√{25.3}$
(ii) $√{49.5}$
(iii) $√{0.6}$
(iv) $(0.009)^{1/3}$
(v) $(0.9999)^{1/10}$
(vi) $(15)^{1/4}$
(vii) $(26)^{1/3}$
(vii) $(255)^{1/4}$
(ix) $(82)^{1/4}$
(x) $(401)^2$
(xi) $(0.0037)^2$
(xii) $(26.57)^3$
(xiii) $(81.5)^4$
(xiv) $(3.968)^2$
(xv) $(32.15)^5$
2. $f(2.01)$ का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x) = 4x² + 5x + 2$ है।
3. $f(5.001)$ का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x) = x² - 7x² + 15$ है।
4. $x$ m भुजा वाले घन की भुजा में $1%$ वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
5. $x$ m भुजा वाले घन की भुजा में $1%$ हास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
6. एक गोले की त्रिज्या $7$ m मापी जाती है जिसमें $0.02$ m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
7. एक गोले की त्रिज्या $9$ m मापी जाती है जिसमें $0.03$ cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
8. यदि $f(x) = 3x² + 15x + 5$ हो, तो $f (3.02)$ का सन्निकट मान है:
(A) $47.66$
(B) $57.66$
(C) $67.66$
(D) $77.66$
9. भुजा में $3%$ वृद्धि के कारण भुजा $x$ के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है:
(A) $0.06 x³ m³$
(B) $0.6 x³ m³$
(C) $0.09 x³ m³$
1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए:
(1) $f'(x) = (2x - 1)^2 + 3$
(6) $f(x) = 9x^2 + 12x + 2$
(i) $f(x) = - (x - 1)^2 + 10$
(iv) $y(x) = x^x + 1$
2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए:
(i) $f(x) = |x + 2| - 1$
(ii) $g(x) = - |x + 1| + 3$
(m) $h(x) = sin{2x} + 5$
(iv) $f(x) = |sin 4x + 3|$
(v) $h(x) = x + 1, x \in (- 1, 1)$
3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
$f(x) = x^2$
$g(x) = x^3 - 3x$
(iii) $h(x) = sin x + cos x, 0 < x < {\pi}/2$
(iv) $f(x) = sin x - cos x 0 < x < 2x$
(v) $f(x) = x^5 - 6x^2 + 9x + 15$
(vi) $x > 0 g(x) = x/2 + 2/x$
(vi) $g(x) = 1/{x^2 + 2}$
(viii) $0 < x < 1 f(x) = x √{1 – x}$
4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
(i) $f(x) = e^x$
(ii) $g(x) = log(x)$
(ⅲ) $h(x) = x^2 + x^2 + x + 1$
5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(i) $f(x) = x^3, x \in [- 2, 2]$
(iii) $f'(x) = 4x - 1/2 x^2$
(ii) $f(x) = sin x + cos x, x \in [0, \pi]$
6. यदि लाभ फलन $p(x) = 41 - 72x - 18x^2$ से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
$f(x) = (x - 1)^2 + 3, x \in [- 3, 1]$
7. अंतराल $(0.3]$ पर $3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25$ के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
8. अंतराल $(10, 2)$ के किन बिंदुओं पर फलन $sin 2x$ अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
9. फलन का उच्चतम मान क्या है? $sin x + cos x$
10. अंतराल $[1, 3]$ में $2x^3- 24x+107$ का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल $[-3, -1]$ में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
11. यदि दिया है कि अंतराल $[0, 2]$ में $x = 1$ पर फलन $x^4-62x^2+ ax+9$ उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
12. $[0, 2π]$ पर $x + sin 2x$ का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $24$ है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
14. ऐसी दो धन संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए ताकि $x + y = 60$ और $xy^3$ उच्चतम हो।
15. ऐसी दो धन संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए जिनका योग $35$ हो और गुणनफल $x^2y^5$ उच्च्चतम हो।
16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $16$ हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
17. $18$ cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?
18. $45 cm × 24 cm$ की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।
19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
20. सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
21. $100 {cm}^3$ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
22. एक $28$ cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
23. सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन $8/27$ होता है।
24. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की $√2$ गुनी होती है।
25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $tan^{-1}√2$ होता है।
अध्याय 6 पर विविध प्रश्नावली1. अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए:
(a) $({17}/{81})^{1/4}$
(b) $(33)^{-1/5}$
2. सिद्ध कीजिए कि $f(x)={logx}/x$ द्वारा प्रदत्त फलन $x=e$ पर उच्चतम है।
3. किसी निश्चित आधार $b$ के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $3$ cm/s की दर से घट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।
4. वक्र $x^2=4y$ के बिंदु $(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
5. सिद्ध कीजिए कि वक्र $x=a cosθ+aθ sinθ, y= a sinθ-aθ cosθ$ के किसी बिंदु $θ$ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिस पर
$f(x)={4sinx-2x-xcosx}/{2+cosx}$
से प्रदत्त फलन $f$ (i) निरंतर वर्धमान (ii) निरंतर ह्रासमान है।
7. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)= x^3+1/{x^3} ,x≠0$ से प्रदत फलन
(i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।
8. दीर्घवृत्त ${x^2}/{a^2} +{y^2}/{a^2} =1$ अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
9. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs$ ${70}∕{m^2}$ और दीवारों पर $Rs$ ${45}∕{m^2}$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी को लागत क्या है?
10. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग $k$ है, जहाँ $k$ एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
11. किसी आयत के ऊपर बने अर्द्धवृत्त के आकार वाली खिड्की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप $10$ m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
12. त्रिभुज की भुजाओं $a$ और $b$ दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई $(a^{2/3}+ b^{2/3})^{2/3}$ है।
13. उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)=(x-2)^4 (x+1)^3$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का,
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है
(iii) नत परिवर्तन बिंदु है।
14. $f(x)=cos^2x+sinx, x∈[0,π]$ द्वारा प्रदत फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
15. सिद्ध कीजिए कि $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊंचाई ${4r}/3$ है।
16. मान लीजिए $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f$ इस प्रकार है कि सभी $x ∈ (a, b)$ के लिए $f’(x) > 0$ है के सिद्ध कीजिए कि $(a, b)$ पर $f$ एक वर्धमान फलन है।
17. सिद्ध कीजिए कि एक $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई ${2R}/{√3}$ है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
18. सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण $α$ और ऊंचाई $h$ के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊंचाई, शंकु के ऊंचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकमत आयतन $4/{27} πh^3 tan^2 α$ है।
प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों के सही उत्तर चुनिए।19. एक $10$ m त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में $314$ ${m^3}∕{h}$ की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:
(A) $1$ ${m∕h$
(B) $0.1$ ${m∕h$
(C) $1.1$ ${m∕h$
(D) $0.5$ ${m∕h$
20. चक $x=p+31-8,y=2r-21-5$ के बिंदु $(2, -1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता हैः
(A) ${22}/7$
(B) $6/7$
(C) $7/6$
(D) ${-6}/7$
21. रेखा $y = mx + 1$, वक्र $y=4x$ की एक स्पर्श रेखा है यदि $m$ का मान है:
(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $1/2$
22. वक्र $2y+x^2=3$ के बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
(A) $x+y=0$
(B) $x-y-0$
(C) $x+y+1=0$
(D) $x-y=1$
23. वक्र $x = 4y$ का बिंदु $(1, 2)$ से हो कर जाने वाला अभिलंब हैः
(A) $x+y=3$
(B) $x-y=3$
(C) $x+y=1$
(D) $x-y=1$
24. वक्र $9y^2=x^3$ पर वे बिंदु जहाँ पर वक्र का अभिलंब अक्षों से समान अंतः खंड बनाता है:
(A) $(4, ±8/3)$
(B) $(4, {-8}/3)$
(C) $(4, ±3/8)$
(D) $(±4, 8/3)$
$(x+1)^3 (x-3)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)= (x+1)^3 d/{dx} (x-3)^3+ (x-3)^3 d/{dx} (x+1)^3$
$=(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)]$
$=6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1)$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^' (x)=0$
तब क्रमशः $x= -1,x=3,x=1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, 1)$ (iii) $(1, 3)$ (iv) $(3, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है।
(ii) $(-1, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः $(-1, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(iii) $(1, 3)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(1, 3)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(iv) $(3, ∞)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
7. सिद्ध कीजिए कि y=log(1+x)-{2x}/(2+ x), x> - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है: $y=log(1+x)-{2x\/{2+ x}, x> - 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} log(1+x)-d/{dx} [{2x}/{2+ x}]$
$=1/{1+x}-[{(2+x) d/{dx} 2x-2x d/{dx} (2+x)}/(2+x)^2 ] $
$=1/{1+x}-[{(2+x) 2(1)-2x (0+1) }/(2+x)^2 ]$
$=1/{1+x}-[{4+2x-2x}/(2+x)^2 ]$
$=1/{1+x}-4/(2+x)^2$
$={(2+x)^2-4(1+x)}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={4+4x+x^2-4-4x}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={x^2}/{(1+x) (2+x)^2}$
यहां $x^2, (2+x)^2>0$ क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं।
तथा $(1+x)>0$, क्योंकि $x>-1$ से।
∵ ${dy}/{dx}$ का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है।
अतः फलन $y$ संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved. 8. $x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y=[x(x-2)]^2 एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है — $y=[x(x-2)]^2$
$y=[x^2-2x]^2$
$y= x^4+4x^2-4x^3$
$y= x^4-4x^3+4x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^4-4x^3+4x^2 )$
$= 4x^3-4(3x^2 )+4(2x)$
$= 4x^3-12x^2+8x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
${dy}/{dx}=0$
$4x^3-12x^2+8x=0$
$4x (x^2-3x+2)=0$
$4x (x^2-2x-x+2)=0$
$4x [x(x-2)-1(x-2)]=0$
$4x(x-2)(x-1)=0 $
$x=0,x=2,x=1 $
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु, $(-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞)$ हैं।
⇒ अंतराल $(-∞, 0)$ पर,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह=(-)(-)(-)
∴ ${dy}/{dx}<0$
अतः अंतराल $(-∞, 0)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(0, 1)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(-)(-)$
अतः ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(0, 1)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
⇒ अंतराल $(1, 2)$ पर
${{dy}/{dx}}$ का चिन्ह $=(+)(-)(+)$
अतः ${{dy}/{dx}<0}$
अतः अंतराल $(1, 2)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(2, ∞)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)$
अतः ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
अतः अंतराल $(0,1), (2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans. 9. सिद्ध कीजिए कि [0,π/2] में y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ,θ का एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है: $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={(2+cosθ) d/{dx} 4sinθ-4sinθ {(2+cosθ)}/(2+cosθ)^2 -d/{dθ} (θ)$
$={(2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ)}/(2+cosθ)^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ}/(2+cosθ)^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2}/(2+cosθ)^2$
$={8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ]}/(2+cosθ)^2$
$={8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ}/(2+cosθ)^2$
$={4cosθ-cos^2 θ}/(2+cosθ)^2$
$={cosθ (4-cosθ)}/(2+cosθ)^2$
अंतराल $[0,π/2]$ में
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः फलन $[0,π/2]$ में एक वर्धमान फलन है। Ans. 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है। हल :- माना $f(x)= logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} logx$
$f^' (x)=1/x$
अतः अंतराल $(0, π)$ में $(0,π) x=π/2$ हो तो —
$f^' (x)=1/{π⁄2}=2/π$
$f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(0, π)$ में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved. 11. सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x)= x^2-x+1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :- दिया है — $f(x)= x^2-x+1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} ( x^2-x+1)$
$f^' (x)=2x-1+0$
$f^' (x)=2x-1$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^' (x)=0$
$2x-1=0 $
$2x=1 $
$x=1/2$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु (i) $(-1, 1/2)$ व (ii) $(1/2, 1)$ हैं तथा बिन्दु $(-1, 1)$ को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है।
⇒ अब यदि अंतराल $(-1,1⁄2)$ पर $x=1/4$ हो तो —
$f^' (x)=2×1/4-1=1/2-1$
$f^' (x)= -1/2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(-1,1⁄2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अब यदि अंतराल $(1/2,1)$ पर $x=3/4$ हो तो —
$f^' (x)=2×3/4-1=3/2-1$
$f^' (x)= ½$
$f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(1/2,1)$ में फलन वर्धमान है।
अतः दिया गया फलन $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved. 12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, π/2) में ह्रासमान हैं? (A) cosx (B) cos2x (C) cos3x (D) tanx हल :- (A) माना $f(x)=cosx $
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cosx)$
$f^' (x)= -sinx$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sinx<0$
$-sinx>0$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (B) माना $f(x)=cos2x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos2x)$
f^' (x)= -2sin2x
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin(2×π/4)$
$= -2 sin(π/2)$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (C) माना $f(x)=cos3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos3x)$
$f^' (x)= -3sin3x$
$f^' (x)= -3[sin3x]$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin(2×π/4)$
$= -2 sin{π/2}$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (D) माना $f(x)=tanx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (tanx)$
$f^' (x)= sec^2 x$
अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sec^2 x>0$, क्योंकि पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन वर्धमान है। Ans. 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^100+sinx- 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है? (A) (0,1) (B) (π/2, π) (C) (0, π/2) (D) इनमें से कोई नहीं हल :- दिया है : $f(x)=x^100+sinx- 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^100+sinx- 1)$
$= 100x^99+ cosx-0$
$= 100x^99+ cosx$
⇒ अंतराल (A) $(0,1)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx < 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (B) $(π/2, π)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx < 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (C) $(0, π/2)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx > 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0, π/2)$ पर वर्धमान है।
अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans.
14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f(x)= x^2+ ax+1 से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :- दिया है: $f(x)= x^2+ ax+1$, तथा अंतराल $[1, 2]$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^2+ ax+1)$
$=2x+a(1)+0$
$= 2x+a$
⇒ अंतराल $[1, 2]$ में फलन वर्धमान होने के लिए –
$f^' (x) > 0$
$2x+a > 0$
$a > -2x$
अंतराल $[1, 2]$ में $a$ के न्यूनतम मान के लिए $x = 1$ रखने पर —
$a>-2(1)$
$a>-2$
अतः $a$ का न्यूनतम मान $-2$ है। Ans. 15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में f(x)= x+1/x से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है। हल :- दिया है: अंतराल $I= R-[-1,1]$
तथा $f(x)= x+1/x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x+1/x)$
$=1-1/x^2$
$={x^2-1}/{x^2}$
⇒ अंतराल $I= R-[-1,1]$ में $x^2-1 > 0$ तथा $x^2>0$
∴ $f^' (x) > 0$
अतः फलन $f(x)= x+1/x$ अंतराल $I$ में वर्धमान है। Proved. 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx$, (0, π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है। हल :- दिया है: $f(x)=logsinx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (logsinx)$
$=1/{sinx} .cosx$
$= cotx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $cotx$ धनात्मक है।
∴ $f^' (x) > 0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ में फलन वर्धमान है। Proved.
⇒ अंतराल $(π/2, π)$ में $cotx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^' (x) < 0$
अतः अंतराल $(π/2,π)$ में फलन ह्रासमान है। Proved. 17. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=log[|cosx|,(0,π/2)] में वर्धमान है और (3π/2,2π) में ह्रासमान है। हल :- दिया है: $f(x)=log|cosx|$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} [log|cosx|]$
$=1/{cosx} .(-sinx)$
$= - tanx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $tanx$ धनात्मक है।
∴ $f^' (x)<0$
∴ अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में $tanx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^' (x) > 0$
∴ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान है।
अतः अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान और अंतराल $(0, π/2)$ में फलन ह्रासमान है। Proved. 18. सिद्ध कीजिए कि $R$ में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है। हल :- दिया है: $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^3 - 3x^2 + 3x-100)$
$= 3x^2-3(2x)+3(1)-0$
$= 3(x^2-2x+1)$
$= 3 (x-1)^2$
अतः $x∈ R$ में, $(x-1)^2$ धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^' (x) > 0$ होगा।
अतः $R$ में, दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है। Proved. 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y= x^2 e^(-x) वर्धमान है? (A) (- 00, 00) (B) (-2,0) (C) (2, ∞) (D) (0,2) हल :- दिया है: $y= x^2 e^{-x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [(x^2 e^{-x}]$
$= x^2 d/{dx} [e^{-x}+e^{-x}] d/{dx} [x^2]$
$= x^2.e^{-x} (-1)+ e^{-x} .(2x)$
$= -x^2 e^{-x}+2x e^{-x}$
$= xe^{-x} (-x+2)$
फलन वर्धमान होने के लिए —
${dy}/{dx} > 0$
$xe^{-x} (-x+2) > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, 2-x > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, -x > -2$
$x>0, e^{-x} > 0, x < 2$
अतः अंतराल $(0, 2)$ में दिया गया फलन वर्धमान होगा।
∴ सही उत्तर : विकल्प (D) $(0, 2)$ Ans. Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्नावली 6.1 ∵ ∴ प्रश्न 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिर्वतन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि (a) r=3 cm है (b) r=4 cm है हल : (a) वृत्त की त्रिज्या (r) = 3 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dr=d/dr (πr^2 ) =π.(2r) =π×2×3,∵ r=3 cm =6π (cm^2)⁄cm (b) वृत्त की त्रिज्या (r) = 4 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dr=d/dr (πr^2 ) =π.(2r) =π×2×4,∵ r=4 cm =8π (cm^2)⁄cm प्रश्न 2. एक घन का आपतन 8 (cm^3)⁄s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है। हल : माना घन का किनारा a तथा आयतन V है। घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt=8 (cm^3)⁄s दिया है – किनारे की लम्बाई (a) = 12 cm पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन dS/dt= ? ∵ घन का आयतन V=a^3 ∴ आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (a^3 ) dV/dt=3a^2 da/dt 8= 3×(12)^2×da/dt da/dt=8/(3×12×12) da/dt=1/54,eq(1) ∵ घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल S= 6a^2 ∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन dS/dt=d/dt (6a^2 ) =6(2a) da/dt =6×2×12×1/54 =8/3 (cm^2)⁄s Ans. प्रश्न 3. एक वृत की त्रिज्या समान रूप से 3 cm⁄s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है। हल : माना वृत्त की त्रिज्या r तथा क्षेत्रफल A है। त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=3 cm⁄s वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dV/dt= ? दिया है — त्रिज्या (r) = 10 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल A=πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (πr^2 ) =π (2r) dr/dt=π×2×10×3 =60π (cm^2)⁄s Ans. प्रश्न 4. एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm⁄s की दर से बढ़ रहा है। घन का आपतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है? हल :– माना घन की भुजा (किनारा) a सेमी तथा आयतन V सेमी3 है। घन के किनारे में परिवर्तन da/dt=3 cm⁄s दिया है — घन की भुजा (a) = 10 cm घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt= ? ∵ घन का आयतन V= a^3 ∴ घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (a^3 ) =3a^2 da/dt =3×(10)^2×3 =3×100×3 =900 (cm^3)⁄s Ans. प्रश्न 5. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 cm⁄s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है? हल :– माना वृत्त की त्रिज्या r सेमी तथा क्षेत्रफल A सेमी2 है। त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=5 cm⁄s वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dV/dt= ? दिया है — त्रिज्या (r) = 8 cm ∵ वृत्त का क्षेत्रफल A=πr^2 ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (πr^2 ) =π (2r) dr/dt=π×2×8×5 =80π (cm^2)⁄s Ans. प्रश्न 6. एक वृत की त्रिज्या 0.7 cm⁄s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r=4.9 cm है? हल :– माना वृत्त की त्रिज्या r तथा परिधि C है। त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=0.7 cm⁄s परिधि में परिवर्तन dC/dt= ? दिया है — त्रिज्या (r) = 4.9 cm ∵ वृत्त की परिधि C=2πr ∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (2πr) =2π dr/dt=2π×0.7 =1.4π cm⁄s Ans. प्रश्न 7. एक आयत की लम्बाई x,5 cm⁄min की दर से घट रही है और चौड़ाई y,4 cm⁄min की दर से बढ़ रही है। जब x=8 cm और y=6 cm हैं तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए। हल :– दिया है — आयत की लम्बाई x = 8 cm तथा आयत की चौड़ाई y = 6 cm लम्बाई में परिवर्तन dx/dt= -5 cm⁄min चौड़ाई में परिवर्तन dy/dt= +4 cm⁄min (a) परिमाप के परिवर्तन की दर dC/dt= ? (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर dA/dt= ? ∵ आयत का परिमाप C=2 (l+b)=2(x+y) ∴ आयत के परिमाप में परिवर्तन dC/dt =d/dt 2(x+y) =2 (dx/dt+dy/dt) =2(-5+4) =2×(-1) = -2 cm⁄min घट रहा है। Ans. ∵ आयत का क्षेत्रफल A= l×b= x×y ∴ आयत के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (x×y) =x dy/dt+y dx/dt =8×4+6×(-5) =32-30 =2 cm⁄min बढ़ रहा है। Ans. प्रश्न 8. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 cm^3 गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जबकि त्रिज्या 15 cm है। हल : माना गुब्बारे की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है। गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 15 cm गुब्बारे के आयतन परिवर्तन (dV/dt)= 900 (cm^3)⁄s गुब्बारे की त्रिज्या में परिवर्तन (dr/dt)= ? ∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन V =4/3 πr^3 ∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (4/3 πr^3 ) dV/dt=4/3 π(3r^2 ) dr/dt 900=4/3 π×3×(15)^2×dr/dt 900=4 π×225×dr/dt dr/dt=900/(900 π)=1/π dr/dt=1/π cm⁄s अतः गुब्बारे की त्रिज्या में 1/π cm⁄s की दर से वृद्धि हो रही है। Ans. प्रश्न 9. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है। हल :– माना गुब्बारे की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है। गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 10 cm त्रिज्या के सापेक्ष गुब्बारे के आयतन परिवर्तन की दर (dr/dt)= ? ∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन V =4/3 πr^3 ∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन dV/dr=d/dr (4/3 πr^3 ) =4/3 π(3r^2 ) =4/3 π×3×(10)^2= =4/3 π×3×100 = 400 π (cm^2)⁄cm Ans. प्रश्न 10. एक 5 m लम्बी सीड़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश दीवार से दूर 2 cm⁄s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 m दूर है? हल :– चित्र में, सीढ़ी की लम्बाई AC = 5 मीटर दीवार की लम्बाई AB = y मीटर दीवार से सीढ़ी की दूरी में परिवर्तन dx/dt=2 cm⁄s दीवार पर सीढ़ी की ऊंचाई में परिवर्तन dy/dt= ? समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से — AC^2= AB^2+ BC^2 5^2= y^2+x^2 ,eq(1) 25= y^2+16 25-16= y^2 9= y^2 y=√9 y=3 cm समी(1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर — 0=2y dy/dt+2x dx/dt 0= 2×(3) dy/dt+2×(4)×2 0= 6 dy/dt+16 6 dy/dt=-16 dy/dt=(-16)/6=(-8)/3 cm⁄s अतः दीवार पर इसकी ऊँचाई (-8)/3 cm⁄s की दर से घट रही है। Ans. 11. एक कण वक्र 6y=x^2+2 के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x-निर्देशांक की तुलना में y-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है। हल :– दिया है — वक्र 6y= x^3+2,eq(1) x x-निर्देशांक में परिवर्तन = dx/dt y-निर्देशांक में परिवर्तन = dy/dt प्रश्नानुसार, y-निर्देशांक में परिवर्तन dy/dt=8 dx/dt ,eq(2) समी (1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर — 6 dy/dt=(3x^2+0) dx/dt 6×8 dx/dt=3x^2 dx/dt 48= 3x^2 x^2=48/3=16 x=√16= ±4 जब x=4 तो , 6y= x^2+2 6y=(4)^3+2= 64+2=66 y=66/6=11 अतः बिन्दु (4, 11) जब x=-4 तो , 6y= x^2+2 6y=(-4)^3+2= -64+2=-62 y=(-62)/6=(-31)/3 अतः बिन्दु (-4, -31/3) अतः वक्र पर अभीष्ट बिन्दु (4, 11) तथा (-4, -31/3) Ans. 12. हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या 1/2 cm⁄s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है? हल :– माना गोलाकार बुलबुले की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है। त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt= 1/2 cm⁄s बुलबुले के आयतन में परिवर्तन dV/dt= ? ∵बुलबुले का आयतन V=4/3 πr^3 ∴ बुलबुले के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (4/3 πr^3 ) =4/3 π (3r^2 ) dr/dt =4π (1)×1/2 = 2π (cm^3)⁄s अतः आयतन 2π (cm^3)⁄s की दर से बढ़ रहा है। Ans. 13. एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास 3/2 (2x+1) है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए। हल :– माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है। दिया है — व्यास = 3/2 (2x+1) =(3/2 (2x+1))/2=3/4 (2x+1) आयतन में परिवर्तन की दर dV/dx= ? ∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन V=4/3 π r^3 =4/3 π [3/4 (2x+1)^3 ] =4π/3×27/64×(2x+1)^3 V=9π/16 (2x+1)^3 ∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन — dV/dx=d/dt [9π/16 (2x+1)^3 ] = 9π/16×3×(2x+1)^2.2 =27π/8 (2x+1)^2 (cm^3)⁄cm Ans. 14. एक पाइप से रेत 12 (cm^3)⁄s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है? हल :– माना पाइप का आयतन V है। तब, पाइप के आयतन में परिवर्तन की दर — dV/dt=12 (cm^3)⁄s माना शंकु के आधार की त्रिज्या r तथा ऊंचाई h है। प्रश्नानुसार, h=r/6 तथा h=4 cm r=6h r=6×4 r=24 cm शंकु की ऊंचाई में परिवर्तन dh/dt= ? ∵ शंकु का आयतन V=1/3 πr^2 h =1/3 π×(6h)^2 h =1/3 π×36 h^2×h =12 πh^3 ∴ शंकु के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (12 πh^3 ) dh/dt 12 (cm^3)⁄s=12π (3h^2 ) dh/dt 1 (cm^3)⁄s=π×3×(4)^2 dh/dt dh/dt=1/(π×3×16)=1/48π cm⁄s अतः रेत से बने शंकु की ऊंचाई 1/48π cm⁄s की दर से बढ़ रही है। Ans. 15. एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से संबंध कुल लागत C(x) (रुपये में) C(x)=0.007x3-0.003x^2+15x+4000 से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है। हल :– दिया है — C(x)=0.007x3-0.003x^2+15x+4000 सीमांत लागत के लिए — dC/dx=d/dx {0.007x3-0.003x^2+15x+4000} = 0.007(3x^2 )-0.003(2x)+15(1)+0 = 0.021x^2-0.006x+15 प्रश्नानुसार 17 इकाइयों के लिए - x=17 dR/dx=0.021(17)^2-0.006(17)+15 =0.021×289-0.006×17+15 = 6.069-0.102+15 =20.967 रु.Ans 16. किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में R(x)=13x^2+26x+15 से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है। हल :– दिया है — R(x)=13x^2+26x+15 सीमांत आय के लिए — dR/dx=d/dx (3x^2+36x+5) = 13(2x)+26(1)+0 = 26x+26 प्रश्नानुसार x=7 इकाइयों के लिए - dR/dx= 26(7)+26 =182+26 =208 रु.Ans प्रश्न 17 तथा 18 में सही उत्तर का चयन कीजिए: 17. एक वृत्त की त्रिज्या r= 6cm पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है : (Α) 10π (Β) 12π (C) 8π (D) 11π हल :– वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 cm माना वृत्त का क्षेत्रफल A है। तब, क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर dA/dr= ? dA/dr= d/dr (πr^2 )=π(2r) dA/dr=π 2(6)=12π (cm^3)⁄cm अतः सही उत्तर : विकल्प (B) 12π Ans. 18. एक उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x)=3x^2+36x+5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तो सीमांत आय है: (A) 116 (B) 96 (C) 90 (D) 126 हल :– दिया है — R(x)=3x^2+36x+5 सीमांत आय के लिए — dR/dx=d/dx (3x^2+36x+5) = 3(2x)+36(1)+0 = 6x+36 प्रश्नानुसार x=15 के लिए - dR/dx= 6(15)+36 =80+36 =126 अतः सही उत्तर: विकल्प (D) 126 Ans प्रश्नावली 6.2 1. सिद्ध कीजिए R पर f(x)=3x+17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :– दिया है — f(x)=3x+17 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^'(x) =d/dx (3x+17) =3(1)+0 =3>0 (धनात्मक मान) अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved. 2. सिद्ध कीजिए कि R पर f(x)=e^2x से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :– दिया है — f(x)=e^2x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (e^2x ) =e^2x (2) =2e^2x>0 (सभी x∈R के लिए ) अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved. Note : Exponential Function e^x,e^2y,e^(-x) etc. हमेशा वर्धमान होते हैं। 3. सिद्ध कीजिए f(x)= sinx से प्रदत्त फलन (a) (0,π/2) में वर्धमान है, (b) (π/2,π) में ह्रासमान है, (c) 0,π में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :– दिया है — f(x)=sinx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx sinx = cosx ∵ (0,π/2) में cosx का मान धनात्मक होता है। ∴ f^' (x)>0 अतः (0,π/2) में f(x)=sinx एक ह्रासमान फलन है। Proved. ∵ (π/2,π) में cosx का मान ऋणात्मक होता है। ∴ f^' (x)<0 अतः (π/2,π) में दिया गया फलन f(x)=sinx एक वर्धमान फलन है। Proved. (0,π) में cosx का मान धनात्मक व ऋणात्मक दोनों होता है। ∴ f^' (x)>0 अतः (0,π) में दिया गया फलन f(x)=sinx एक ह्रासमान फलन है। Proved. 4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x)=2x^2-3x प्रदत्त फलन f (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है। हल :– दिया है — f(x)=2x^2-3x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (2x^2-3x) f^' (x)=2.(2x)-3(1) f^' (x)=4x-3 अंतराल के लिए f^' (x)=0 4x-3=0 4x=3 x=3⁄4 संख्या रेखा पर — अंतराल (a) (-∞, 3/4), (b) (3/4, ∞) ⇒ अंतराल (a) (-∞, 3/4) पर माना यदि x = -7 तब – f^' (x)=4x-3 =4(-7)-3 = -28-3 = -31<0 (ऋणात्मक मान) अतः अंतराल (a) (-∞, 3/4) पर फलन ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (b) (3/4, ∞) पर माना यदि x = 10 तब – f^' (x)=4x-3 =4(10)-3 = 10-3 = 7<0 (धनात्मक मान) अतः अंतराल (b) (3/4, ∞) पर फलन वर्धमान है। 5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x)=2x^3-3x^2-36x+7 से प्रदत्त फलन f (a) वर्धमान (b) ह्रासमान हल :– दिया है — f(x)=2x^3-3x^2-36x+7 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (2x^3-3x^2-36x+7) =2(3x^2 )-3(2x)-36 (1) =6x^2-6x-36 अंतराल के लिए f^' (x)=0 6x^2-6x-36=0 x(x-3)+2(x-3)=0 (x-3)(x+2)=0 x=3,-2 संख्या रेखा पर — अंतराल (a) (-∞, -2), (b) (-2, 3) (c) (3, ∞) ⇒ अंतराल (a) (-∞, -2) पर माना यदि x = -100 तब – f^' (x)=6x^2-6x-36 =6(-100)^2-6(-100)-36 = 60000+600-36 = 60574<0 (धनात्मक मान) अतः अंतराल (a) (-∞, -2) पर फलन वर्धमान है। ⇒ अंतराल (b) (-2, 3) पर माना यदि x = 2 तब – f^' (x)=6x^2-6x-36 =6(2)^2-6(2)-36 =24-12-36 = 24-48 = -24<0 (ऋणात्मक मान) अतः अंतराल (b) (-2, 3) पर फलन ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (c) (3, ∞) पर माना यदि x = 3 तब – f^' (x)=6x^2-6x-36 =6(3)^2-6(3)-36 =54-18-36 = 54-54 = 0 (धनात्मक मान) अतः अंतराल (a) (-2, 3) पर फलन वर्धमान है। 6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या हासमान है: (a) f(x)= x^2+2x+5 (b) f(x)= 10-6x-2x^2 (c) f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1 (d) f(x)= 6-9x-x^2 (d) f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3 हल :– (a) f(x)= x^2+2x+5 दिया है: f(x)= x^2+2x+5 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x^2+2x+5) = 2x+2(1)+0 =2x+2 अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 2x+2=0 2x= -2 x=-1 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -1) (ii) (-1, ∞) (i) (-∞, -1) पर यदि x = - 5 तो, f^' (x)=2(-5)+2 =-10+2 = -8 (ऋणात्मक मान) अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (ii) (-1, ∞) पर यदि x = 10 तो, f^' (x)=2(10)+2 =20+2 = 22 (धनात्मक मान) अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। (b) f(x)= 10-6x-2x^2 हल :– दिया है — f(x)= 10-6x-2x^2 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (10-6x-2x^2 ) = 0-6(1)-2(2x) =-6-4x अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 -6-4x=0 -4x= 6 x=-3⁄2 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -3/2) (ii) (-3/2, ∞) (i) (-∞, -3/2) पर यदि x = - 10 तो, f^' (x)=-6-4x =-6-4(-10)= -6+40 = 34 (धनात्मक मान) f^' (x)>0 अतः (-∞, -3/4) पर फलन f(x) वर्धमान है। (ii) (-3/4, ∞) पर यदि x = 10 तो, f^' (x)=-6-4(10) =-6-40 = -46 (ऋणात्मक मान) f^' (x)<0 अतः (-3/4, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (c) f(x)= -2x^3-9x^2-12x+1 हल :– दिया है — f(x)=- 2x^3-9x^2-12x+1 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (- 2x^3-9x^2-12x+1) = -2(3x^2 )-9(2x)-12(1)+0 =-6x^2-18x-12 अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 -6x^2-18x-12=0 -6(x^2+3x+2)= 0 x^2+3x+2=0 x^2+2x+x+2=0 x(x+2)+1(x+2)=0 (x+2)(x+1)=0 x+2=0⇒x=-2 x+1=0⇒x=-1 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -2) (ii) (-2, -1) (ii) (-1,-∞) (i) (-∞, -2) पर यदि x = - 100 तो, f^' (x)=-6x^2-18x-12 =-6(-100)^2-18(-100)-12 = -6000+1800-12 = -4212 (ऋणात्मक मान) f^' (x)>0 अतः (-∞, -2) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (ii) (-2, -1) पर यदि x = -2 तो, f^' (x)=-6(-2)^2-18(-2)-12 = -24+36-12 = 0 (धनात्मक मान) f^' (x)=0 अतः (-2, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। (iii) (-1, ∞) पर यदि x = 10 तो, f^' (x)=-6x^2-18x-12 =-6(10)^2-18(10)-12 = -600-180-12 = -782 (ऋणात्मक मान) f^' (x)<0 अतः (-1, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans. (d) f(x)= 6-9x-x^2 हल :– दिया है — f(x)=6-9x-x^2 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (6-9x-x^2 ) = 0-9(1)-2x =-9-2x अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 -9-2x=0 -2x= 9 x=-9⁄2 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -9/2) (ii) (-9/2, ∞) (i) (-∞, -9/2) पर यदि x = - 10 तो, f^' (x)=-9-2x =-9-2(-10) = -6+20 = 14 (धनात्मक मान) f^' (x)>0 अतः (-∞, -3/4) पर फलन f(x) वर्धमान है। (ii) (-9/2, ∞) पर यदि x = 10 तो, f^' (x)=-9-4(10) =-9-40 = -49 (ऋणात्मक मान) f^' (x)<0 अतः (-9/2, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (e) f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3 हल :– दिया है — f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)= (x+1)^3 d/dx (x-3)^3+ (x-3)^3 d/dx (x+1)^3 =(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2 =3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2 =3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3] =3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2] =3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)] =6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1) अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 तब क्रमशः x= -1,x=3,x=1 संख्या रेखा पर बिन्दु, (i) (-∞, -1) (ii) (-1, 1) (iii) (1, 3) (iv) (3, ∞) (i) (-∞, -1) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(-)<0 अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (ii) (-1, -1) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(-)<0 अतः (-1, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। (iii) (1, 3) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(+)>0 अतः (1, 3) पर फलन f(x) वर्धमान है। (iv) (3, ∞,) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(+)>0 अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। 7. सिद्ध कीजिए कि y=log〖(1+x)〗-2x/(2+ x),x> - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है। हल :– दिया है: y=log(1+x)-2x/(2+ x),x> - 1 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — dy/dx=d/dx log(1+x)-d/dx [2x/(2+ x)] =1/(1+x)-[((2+x) d/dx 2x-2x d/dx (2+x) )/(2+x)^2 ] =1/(1+x)-[((2+x) 2(1)-2x (0+1) )/(2+x)^2 ] =1/(1+x)-[(4+2x-2x )/(2+x)^2 ] =1/(1+x)-4/(2+x)^2 =((2+x)^2-4(1+x))/((1+x) (2+x)^2 ) =(4+4x+x^2-4-4x)/((1+x) (2+x)^2 ) =x^2/((1+x) (2+x)^2 ) यहां x^2,(2+x)^2>0 क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं। तथा (1+x)>0, क्योंकि x>-1 से। ∵ dy/dx का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है अतः फलन y संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved. 8. x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y=[x(x-2)]^2 एक वर्धमान फलन है। हल :– दिया है — y=[x(x-2)]^2 y=[x^2-2x]^2 y= x^4+4x^2-4x^3 y= x^4-4x^3+4x^2 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — dy/dx=d/dx (x^4-4x^3+4x^2 ) = 4x^3-4(3x^2 )+4(2x) = 4x^3-12x^2+8x अंतराल बिन्दुओं के लिए — dy/dx=0 4x^3-12x^2+8x=0 4x (x^2-3x+2)=0 4x (x^2-2x-x+2)=0 4x [x(x-2)-1(x-2)]=0 4x(x-2)(x-1)=0 x=0,x=2,x=1 संख्या रेखा पर — यहां अंतराल बिन्दु , (-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞) हैं। ⇒ अंतराल (-∞, 0) पर, dy/dX का चिन्ह=(-)(-)(-) ∴ dy/dX<0 अतः अंतराल (-∞, 0) पर फलन निरन्तर ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (0, 1) पर dy/dX का चिन्ह=(+)(-)(-) अतः dy/dX>0 अतः अंतराल (0, 1) पर फलन निरन्तर वर्धमान है। ⇒ अंतराल (1, 2) पर dy/dX का चिन्ह=(+)(-)(+) अतः dy/dX<0 अतः अंतराल (1, 2) पर फलन निरन्तर ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (2, ∞) पर dy/dX का चिन्ह=(+)(+)(+) अतः dy/dX>0 अतः अंतराल (2, ∞) पर फलन निरन्तर वर्धमान है। अतः अंतराल (0,1), (2, ∞) पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans. 9. सिद्ध कीजिए कि [0,π/2] में y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ,θ का एक वर्धमान फलन है। हल :– दिया है: y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ x के सापेक्ष अवकलन करने पर — dy/dx=((2+cosθ) d/dx 4sinθ-4sinθ d/dθ (2+cosθ))/(2+cosθ)^2 -d/dθ (θ) =((2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ))/(2+cosθ)^2 -1 =(8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ)/〖(2+cosθ)〗^2 -1 =(8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2)/〖(2+cosθ)〗^2 =(8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ])/〖(2+cosθ)〗^2 =(8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ)/〖(2+cosθ)〗^2 =(4cosθ-cos^2 θ)/〖(2+cosθ)〗^2 =(cosθ (4-cosθ))/〖(2+cosθ)〗^2 अंतराल [0,π/2] में तथा व ∴dy/dx>0 अतः फलन [0,π/2] में एक वर्धमान फलन है। Ans. 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है। हल :– माना f(x)= logx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx logx f^' (x)=1/x अतः अंतराल (0,π) में (0,π) x=π/2 हो तो — f^' (x)=1/(π⁄2)=2/π f^' (x)>0 अतः अंतराल (0,π) में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved. 11. सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x)= x^2-x+1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :– दिया है — f(x)= x^2-x+1 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx ( x^2-x+1) f^' (x)=2x-1+0 f^' (x)=2x-1 अंतराल बिन्दुओं के लिए — f^' (x)=0 2x-1=0 2x=1 x=1/2 संख्या रेखा पर — यहां अंतराल बिन्दु (i) (-1, 1/2) व (ii) (1/2, 1) हैं तथा बिन्दु (-1, 1) को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है। ⇒ अब यदि अंतराल (-1,1⁄2) पर x=1/4 हो तो — f^' (x)=2×1/4-1=1/2-1 f^' (x)= -1/2 f^' (x)<0 अतः अंतराल (-1,1⁄2) में फलन ह्रासमान है। ⇒ अब यदि अंतराल (1/2,1) पर x=3/4 हो तो — f^' (x)=2×3/4-1=3/2-1 f^' (x)= 1/2 f^' (x)>0 अतः अंतराल (1/2,1) में फलन वर्धमान है। अतः दिया गया फलन f(x) अंतराल (-1, 1) में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved. 12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, π/2) में ह्रासमान हैं? (A) cosx (B) cos2x (C) cos3x (D) tanx हल :– (A) माना f(x)=cosx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (cosx) f^' (x)= -sinx ⇒ अंतराल (0, π/2) पर — sinx<0 -sinx>0 f^' (x)<0 अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। हल :– (B) माना f(x)=cos2x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (cos2x) f^' (x)= -2sin2x ⇒ अंतराल (0, π/2) पर यदि x = π/2 तो — f^' (x)= -2sin2×π/4 = -2 sin〖π/2〗 =-2×1 =-2 f^' (x)<0 अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। हल : (C) माना f(x)=cos3x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (cos3x) f^' (x)= -3sin3x f^' (x)= -3[┤] ⇒ अंतराल (0, π/2) पर यदि x = π/2 तो — f^' (x)= -2sin2×π/4 = -2 sin〖π/2〗 =-2×1 =-2 f^' (x)<0 अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। हल :– (D) माना f(x)=tanx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (tanx) f^' (x)= sec^2 x अंतराल (0, π/2) पर — sec^2 x>0,क्योंकि पूर्ण वर्ग है। ∴ f^' (x)>0 अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन वर्धमान है। 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^100+sinx- 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है? (A) (0,1) (B) (π/2, π) (C) (0, π/2) (D) इनमें से कोई नहीं हल :– दिया है : f(x)=x^100+sinx- 1 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x^100+sinx- 1) = 100x^99+ cosx-0 = 100x^99+ cosx ⇒ अंतराल (A), (0,1) पर — 100x^99>0 cosx<0 f^' (x)>0 अतः फलन (0,1) पर वर्धमान है। ⇒ अंतराल (B), (π/2, π) पर — 100x^99>0 cosx<0 f^' (x)>0 अतः फलन (0,1) पर वर्धमान है। ⇒ अंतराल (C), (0, π/2) पर — 100x^99>0 cosx>0 f^' (x)>0 अतः फलन (0, π/2) पर वर्धमान है। अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है। अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans. 14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f(x)= x^2+ ax+1 से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :– दिया है: f(x)= x^2+ ax+1, तथा अंतराल [1, 2] x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x^2+ ax+1,) =2x+a(1)+0 = 2x+a ⇒ अंतराल [1, 2] में फलन वर्धमान होने के लिए – f^' (x)>0 2x+a>0 a>-2x अंतराल [1, 2] में a के न्यूनतम मान के लिए x = 1 रखने पर — a>-2(1) a>-2 अतः a का न्यूनतम मान -2 है। Ans. 15. मान लीजिए [-1,1] से असंयुक्त एक अंतराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x)= x+1/x से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है। हल :– दिया है: अंतराल I= R-[-1,1] तथा f(x)= x+1/x x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x+1/x) =1-1/x^2 =(x^2-1)/x^2 ⇒ अंतराल I= R-[-1,1] में x^2-1>0 तथा x^2>0 ∴ f^' (x)>0 अतः फलन f(x)= x+1/x अंतराल I में वर्धमान है। Proved. 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन f(x)=logsinx,(0,π/2) में वर्धमान और (π/2,π) में ह्रासमान है। हल :– दिया है: f(x)=logsinx x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx logsinx =1/sinx .cosx = cotx ⇒ अंतराल (0,π/2) में cotx धनात्मक है। ∴ f^' (x)>0 अतः अंतराल (0,π/2) में फलन वर्धमान है। Proved. ⇒ अंतराल (π/2,π) में cotx ऋणात्मक है। ∴ f^' (x)<0 अतः अंतराल (π/2,π) में फलन ह्रासमान है। Proved. 17. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=log〖|cosx|,(0,π/2)〗 में वर्धमान है और (3π/2,2π) में ह्रासमान है। हल :– दिया है: f(x)=log|cosx| के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx log|cosx| =1/cosx .(-sinx) = - tanx ⇒ अंतराल (0,π/2) में tanx धनात्मक है। ∴ f^' (x)<0 ∴ अंतराल (0,π/2) में फलन ह्रासमान है। ⇒ अंतराल (3π/2,2π) में tanx ऋणात्मक है। ∴ f^' (x)>0 ∴ अंतराल (3π/2,2π) में फलन वर्धमान है। अतः अंतराल (3π/2,2π) में फलन वर्धमान और अंतराल (0,π/2) में फलन ह्रासमान है। Proved. 18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100 वर्धमान है। हल :– दिया है: f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100 x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (x^3 - 3x^2 + 3x-100) = 3x^2-3(2x)+3(1)-0 = 3(x^2-2x+1) = 3 (x-1)^2 अतः x∈ R में, (x-1)^2 धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है। ∴f^' (x)>0 होगा। अतः R में, दिया गया फलन f(x) वर्धमान है। Ans. 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y= x^2 e^(-x) वर्धमान है? (A) (- 00, 00) (B) (-2,0) (C) (2, ∞) (D) (0,2) हल :– दिया है: y= x^2 e^(-x) x के सापेक्ष अवकलन करने पर — dy/dx=d/dx 〖(x〗^2 e^(-x)) = x^2 d/dx (e^(-x) )+e^(-x) d/dx x^2 = x^2.e^(-x) (-1)+ e^(-x) .(2x) = -x^2 e^(-x)+2x e^(-x) = xe^(-x) (-x+2) फलन वर्धमान होने के लिए — dy/dx >0 xe^(-x) (-x+2)>0 x>0,e^(-x)>0,2-x>0 x>0,e^(-x)>0,-x>-2 x>0,e^(-x)>0,x<2 अतः अंतराल (0, 2) में दिया गया फलन वर्धमान होगा। ∴ सही उत्तर : विकल्प (D) (0, 2) Ans. प्रश्नावली 6.3 1. वक्र y = 3x ^ 4 - 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। y = (x - 1)/(x - 2) 2. वक्र x ne2 के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। 3. वह y = x ^ 2 - x + 1 -निर्देशांक की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु पर ज्ञात कीजिए जिसका 4. की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु पर ज्ञात कीजिए जिसका y = x ^ 3 - 3x + 2 -निर्देशांक 5. rex = a * cos^3 theta y = a * sin^3 theta theta = pi/A * W अपिलंय को प्रवणता ज्ञात कीजिए। 6. यह x = 1 - a * sin theta, y = b * cos^2 theta के अभिलंब की प्रवणता ज्ञात कीजिए। theta = pi/2 * eta*x 7. वह y \approx x ^ 2 - 3x ^ 2 - 9x + 7 पर उन बिंदुओं ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ -अक्ष के 8. वक्र पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा, बिदुओं (2.0) और y = (x - 2) ^ 2 (4.4वाली रेखा के समांतर है। 9. वह y = x ^ 2 - 11x + 5 पर उस बिंदु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा y = x - 11 है। 10. प्रवणता 1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो स्मर्श करती है। y = 1/(x - 1/4) ,x ne-1 11. प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र करती है। y = 1/(x - 3) ,x ne3 को स्पर्श 12. प्रवणता वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र करती है। y = 1/(x ^ 2 - 2x + 3) स्पर्श 13. पक (x ^ 2)/9 + (y ^ 2)/16 = 1 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ 03-अक्ष के समांतर है (i) -अक्ष के समांतर है 14. दिए बक्रों पर निर्दिष्ट बिंदुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए: y = x ^ 4 - 6x ^ 3 + 13x ^ 2 - 10x + 5 के (0,5) पर y = x ^ 2 - 6x ^ 2 + 13x ^ 2 - 10x + 5 ) के (1, 3) पर (i) y = x ^ 5 (iv) y = x ^ 2 (0,0) पर (v) x equiv cos t ,y=si के t= pi/4 forall t 15. वक्र y = x ^ 2 - 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो (a) रेखा 2x - y + 9 = 0 के समांतर है। (b) रेखा 5y - 15x = 13 पर लंब है। 16. सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 7x ^ 3 + 11 के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ समांतर है जहाँ x = 2 तथा x = - 2 है। 17. वक्र y = x ^ 3 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर है। 18. वक्र y = 4x ^ 3 - 2x ^ 5 पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिंदु से होकर जाती हैं। 19. वक्र x ^ 2 + y ^ 2 - 2x - 3 = 0 के उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x-अक्ष के समांतर हैं। 20. वक्र a * y ^ 2 = x ^ 3 के बिंदु (am², am³) पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए। 21. वक्र y = x ^ 3 + 2x + 6 के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14y + 4 = 0 के समांतर है। 22. परवलय y ^ 2 = 4ax के बिंदु (a * t ^ 2, 2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए। 23. सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y ^ 2 और xy = k एक दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि 8k ^ 2 = 1% * 1 24. अतिपरवलय (x ^ 2)/(a ^ 2) - (y ^ 2)/(b ^ 2) = 1 के बिंदु (x_{0}, y_{0}) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिए। 25. वक्र y = sqrt(3x - 2) की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x-2y+5=0 के समांतर है। प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए 26. वक्र y = 2x ^ 2 + 3sin x के x = 0 पर अभिलंब की प्रवणता है: (A) 3 (B) 1/3 (C) -3 (D) - 1/3 27. किस बिंदु पर y = x + 1 वक्र y ^ 2 = 4x की स्पर्श रेखा है? (A) (1,2) (B) (2, 1) (C) (1,-2) (D) (-1, 2) है। प्रश्नावली 6.4 1. अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए: (i) sqrt(25.3) (ii) sqrt(49.5) (iii) sqrt(0.6) (iv) (0.009) ^ (1/3) (v) (0.9999) ^ (1/10) (vi) (15) ^ (1/4) (vii) (26) ^ (1/3) (vii) (255) ^ (1/4) (ix) (82) ^ (1/4) 1 4 (x) (401) (xi) (0.0037)2 (xii) (26.57)3 1 (xiii) (81.5)4 3 (xiv) (3.968)2 1 (xv) (32.15)5 15) 2. f(2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = 4x² + 5x + 2 है। 3. f(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x² - 7x² + 15 है। 4. xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। 5. xm भुजा वाले घन की भुजा में 1% हास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। 6. एक गोले की त्रिज्या 7 m मापी जाती है जिसमें 0.02 m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। 7. एक गोले की त्रिज्या 9m मापी जाती है जिसमें 0.03 cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। 8. यदि f(x) = 3x² + 15x + 5 हो, तो f (3.02) का सन्निकट मान है: (A) 47.66 (B) 57.66 (C) 67.66 (D) 77.66 9. भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है: (A) 0.06 x³ m³ (B) 0.6 x³ m³ (C) 0.09 x³ m³ प्रश्नावली 6.4 1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए: (1) f' * (x) = (2x - 1) ^ 2 + 3 (6) f(x) = 9x ^ 2 + 12x + 2 (i) f(x) = - (x - 1) ^ 2 + 10 (iv) y(x) = x ^ x + 1 2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए: (i) f(x) = |x + 2| - 1 (ii) g(x) = - |x + 1| + 3 (m) h(x) = sin(2x) + 5 (iv) f(x) = |sin 4x + 3| (v) h(x) = x + 1, x \in (- 1, 1) 3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए। f(x) = x ^ 2 g(x) = x ^ 3 - 3x (iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x < pi/2 (iv) f(x) = sin x - cos x 0
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