अध्याय 5 पर विविध प्रश्नावली का समाधान || Class 12th Math
अध्याय 5 पर विविध प्रश्नावली का समाधान || Class 12th Math
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:1. $(3x^2-9x+5)^9$
2. $sin^3 x+cos^6 x$
3. $(5x)^{3cosx 2x}$
4. $sin^{-1}(x√x), 0≤x≤1$.
5. ${cos^{-1} {x/2}}/{√{2x+7}}, -2<x<2$
6. ${cot}^{-1} [{√{1+sinx}+√{1-sinx}}/{√{1+sinx}-√{1-sinx}}], 0<x<π/2$
7. $ (logx)^{logx}, x>1$
8. $cos(acosx+bsinx)$, किन्हीं अचर $a$ तथा $b$ के लिए।
9. $(sinx-cosx)^{(sinx-cosx)}, π/4 < x<{3π}/4$
10. $x^x+x^a+a^x+a^a$, किसी नियत $a > 0$ तथा $x > 0$ के लिए।
11. $x^{x^2-3}+(x-3)^{x^2}$ किसी नियत $x> 3$ के लिए।
12. यदि $y=12(1-cosx), x= 10(t-sinx), {-π}/2 < t< π/2$ तो ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
13. यदि $y=sin^{-1}x+sin^{-1}√{1-x^2 }, 0< x< 1$ है तो ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
14. यदि $-1 < x < 1$ के लिए $x√{1+y}+y√{1+x}=0$ है तो सिद्ध कीजिए कि :
${dy}/{dx}=-1/{(1+x)}^2$
15. यदि किसी $c > 0$ के लिए $(x- a)^2+(y- b)^2= c^2$ है तो सिद्ध कीजिए कि:
${[1+({dy}/{dx})^2 ]^{3/2}}/{{d^2 y}/{dx^2}}$,
$a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
17. यदि $x= a(cost+tsint)$ और $y= a(sint-tcost)$ तो ${d^2 y}/{dx^2}$ ज्ञात कीजिए।
18. यदि $f(x)={|x|}^3$ तो प्रमाणित कीजिए कि $f"(x)$ का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
19. गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक $n$ के लिए $d/{dx} (x^n )=nx^{n-1}$ है।
20. $sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB$ का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा $cosines$ के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
21. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
22. यदि $y=|■(f(x)&f(b)&f(c) @l&m&n @a&b&c)|$ तो सिद्ध कीजिए कि ${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&f^' (x)&f^' (x) @l&m&n @a&b&c)|$
23. यदि $y=e^{a{cos}^{-1} x}, -1≤x≤1$ तो दर्शाइए कि:
$(1-x^2) {d^2 y}/{dx^2} -x {dy}/{dx} -a^2 y=0$
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
प्रश्न 1:- $(3x^2-9x+5)^9$
हल:-
माना — $y=(3x^2-9x+5)^9$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (3x^2-9x+5)^9$
$=9(3x^2-9x+5)^8 d/{dx} (3x^2-9x+5)$
$=9(3x^2-9x+5)^8.(6x-9)$
$=9(3x^2-9x+5)^8.3(2x-3)$
$=27(2x-3) (3x^2-9x+5)^8$, Ans.
प्रश्न 2. $sin^3 x+cos^6 x$
हल:-
माना — $y=sin^3 x+cos^6 x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (sin^3 x+cos^6 x)$
$=d/{dx} sin^3 x+d/{dx} cos^6 x$
$=3sin^2 x d/{dx} sinx+6cos^5 x d/{dx} cosx$
$=3sin^2 x(cosx)+6cos^5 x(-sinx)$
$=3sinx.cosx(sinx-2cos^4 x)$, Ans.
प्रश्न 3. $(5x)^{3cosx 2x}$
हल:-
माना — $y=(5x)^{3cosx 2x}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=3cos2x.log5x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y.{dy}/{dx}=3cos2x . d/{dx} log5x + log5x . d/{dx} 3cos2x$
$1/y . {dy}/{dx}=3cos2x . 1/{5x} . 5 + log5x . 3(-sin2x) . 2$
$1/y . {dy}/{dx} ={3cos2x}/x -6log5xsin2x$
$1/y . {dy}/{dx} =3[{cos2x}/x - 2sin2xlog5x]$
${dy}/{dx}=3y[{cos2x}/x - 2sin2xlog5x]$
${dy}/{dx}=3(5x)^{3cosx 2x} . [{cos2x}/x -2sin2xlog5x]$, Ans.
प्रश्न 4. ${sin}^{-1}(x√x),0≤x≤1.$
हल:-
माना $y=sin^{-1}(x√x),0≤x≤1.$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin^{-1}(x√x)]=d/{dx} [sin^{-1}(x^{3⁄2})]$
$={1/{√{1-(x^{3⁄2})^2}} . d/{dx} (x^{3⁄2})$
$={1/{√{1-x^3}}} . 3/2 . x^{1⁄2}$
$=3/2 {x^{1⁄2}}/{√{1-x^3}}$
$=3/2 √(x/{1-x^3})$, Ans.
प्रश्न 5. ${{cos}^{-1} {x/2}}/{√{2x+7}}, -2<x<2$
हल:-
माना $y={{cos}^{-1} {x/2}}/{√{2x+7}}, -2<x<2$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} ({{cos}^{-1} {x/2}}/{√{2x+7}})$
$={√{2x+7} . d/{dx} cos^{-1} {x/2} + cos^{-1} {x/2} . d/{dx} (√{2x+7})}/{(√{2x+7})^2}$
$={√{2x+7} . {-1}/{√{1-(x/2)^2}} . 1/2 + cos^{-1} {x/2} . 1/{2√{2x+7}} . 2}/{2x+7}$
$={-1}/{2x+7} [√{2x+7} (1/{√{1- {x^2}/4}}) 1/2 + {cos^{-1} {x/2}}/{√{2x+7}}]$
$=-1/{2x+7} [√{2x+7} (2/{√{4- x^2}}) 1/2 + {cos^{-1} {x/2}}/{√{2x+7}}]$
$=-[1/{√{2x+7}} . 1/{√{4-x^2}} + {cos^{-1} {x/2}}/(2x+7)^{3⁄2}]$, Ans.
प्रश्न 6. ${cot}^ {-1} [{√{1 + sinx} + √{1 - sinx}}/{√{1 + sinx} - √{1 - sinx}}],0<x<π/2$
हल: -
माना $y={cot}^ {-1} [{√{1 + sinx} + √{1 - sinx}}/{√{1 + sinx} - √{1 - sinx}}],0<x<π/2$$y={cot}^ {-1} [{√{sin^2 {x/2} + cos^2 {x/2} + 2 sin {x/2} cos {x/2}} + √{sin^2 {x/2} + cos^2 {x/2} - 2 sin {x/2} cos {x/2}}}/{√{sin^2 {x/2} + cos^2 {x/2} + 2 sin {x/2} cos {x/2}} - √{sin^2 {x/2} + cos^2 {x/2} - 2 sin {x/2} cos {x/2}}}]$
$y={cot}^ {-1} [{√{( cos {x/2} + sin {x/2})^2} + √{( cos {x/2} – sin {x/2})^2}}/{√{( cos {x/2} + sin {x/2})^2} - √{( cos {x/2} – sin {x/2})^2}}]$
$y=cot^ {-1} [{( cos {x/2} + sin {x/2}) + ( cos {x/2} – sin {x/2})}/{( cos {x/2} + sin {x/2}) – ( cos {x/2} – sin {x/2})}]$
$y={cot}^ {-1} [{2cos {x/2}}/{2 sin {x/2}}]$
$y={cot}^ {-1} [cot^ {-1} {x/2}]$
$y=x/2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=1/2 d/{dx} (x)$
${dy}/{dx}=1/2 (1)$
${dy}/{dx}=1/2$, Ans.
प्रश्न 7. $(logx)^{logx}, x >1$
हल:-
माना — $y=(logx)^{logx}, x> 1$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=logx.log (logx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y . {dy}/{dx}=logx. d/{dx} log (logx) + log (logx). d/{dx} logx$
$1/y.{dy}/{dx}=logx. 1/{logx} . 1/x + log (logx) . 1/x . (1)$
${dy}/{dx}=y[1/x + {log (logx)}/x]$
${dy}/{dx}=(logx)^{logx} [{1 + log (logx)}/x]$, Ans.
प्रश्न 8. $cos(acosx + bsinx)$, किन्हीं अचर $a$ तथा $b$ के लिए।
हल:-
माना — $y=cos(acosx + bsinx)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} cos(acosx + bsinx)$
${dy}/{dx}=-sin(acosx + bsinx) d/{dx} (acosx + bsinx)$
${dy}/{dx}=-sin(acosx + bsinx) [a(-sinx) + bcosx]$
${dy}/{dx}=-sin(acosx + bsinx) [-(asinx-bcosx)]$
${dy}/{dx}=sin(acosx + bsinx) (asinx-bcosx)$, Ans.
प्रश्न 9. $(sinx - cosx)^{(sinx - cosx)}$, $π/4<x< {3π}/4$
हल: -
माना — $y=(sinx - cosx)^{(sinx - cosx)}, π/4<x<3π/4$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=(sinx - cosx).log(sinx - cosx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y.{dy}/{dx}=(sinx - cosx). d/{dx} log(sinx - cosx) + log(sinx - cosx). d/{dx} (sinx - cosx)$
$1/y . {dy}/{dx}={sinx - cosx}/(sinx - cosx) .[cosx - ( - sinx)] + log(sinx - cosx).[cosx - ( - sinx)]$
$1/y . {dy}/{dx}=[cosx + sinx] + log(sinx - cosx).[cosx + sinx]$
$1/y . {dy}/{dx}=(cosx + sinx)[1 + log(sinx - cosx) ]$
${dy}/{dx}=y(cosx + sinx)[1 + log(sinx - cosx) ]$
${dy}/{dx}=(sinx - cosx)^{(sinx - cosx)} .(cosx + sinx)[1 + log(sinx - cosx)]$, Ans.
प्रश्न 10. $x^x + x^a + a^x + a^a$, किसी नियत $a>0$ तथा $x>0$ के लिए।
हल: -
माना — $y=x^x + x^a + a^x + a^a, a>0$ तथा $x>0$पुनः माना $u=x^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=xlogx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}=d/{dx} (xlogx)$
$1/u {du}/{dx}=x d/{dx} logx + logx d/{dx} x$
$1/u {du}/{dx}=x. 1/x + logx.(1)$
$1/u {du}/{dx}=1 + logx$
${du}/{dx}=u(1 + logx)$
${du}/{dx}=x^x (1 + logx), eq(1)$
∵ $y=x^x + x^a + a^x + a^a$
${dy}/{dx}={du}/{dx} + d/{dx} x^a + d/{dx} a^x + d/{dx} a^a$
${dy}/{dx}=x^x (1 + logx) + ax^{a - 1} + a^{x loga} + 0$
${dy}/{dx}=x^x (1 + logx) + ax^{a - 1} + a^{x loga}$, Ans.
प्रश्न 11. $x^{x^2 - 3} + (x - 3)^{x^2}$ किसी नियत $x>3$ के लिए।
हल: -
माना — $y=x^{x^2 - 3} + (x - 3)^{x^2}$ तथा $x>3$पुनः माना $u=x^{x^2 - 3}$ तथा $v=(x - 3)^{x^2}$
∵ $y=u + v$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx} + {dv}/{dx}, eq(1)$
∵ $u=x^{x^2 - 3}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=(x^2 - 3)logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}=(x^2 - 3) d/{dx} logx + logx d/{dx} (x^2 - 3)$
$1/u {du}/{dx}=(x^2 - 3) . 1/x + logx . (2x - 0)$
$1/u {du}/{dx}=[{x^2 - 3 + 2x^2 . logx}/x]$
${du}/{dx}=u[{x^2 - 3 + 2x^2 . logx}/x]$
$du/dx=x^(2x-4) [x^2-3 + 2x^2 logx],eq(2) ∵ v=(x-3)^{x^2}$
दोनों ओर $log$ लेने पर – $1/v {dv}/{dx}=x^2 d/{dx} log(x-3) + log(x-3) d/{dx} x^2$
$1/v {dv}/{dx}=x^2 . 1/{x-3} (1-0) + log(x-3) . (2x)$
${dv}/{dx}=v[{x^2}/{x-3} + 2x . log(x-3)]$
${dv}/{dx}=(x-3)^{x^2} [{x^2}/{x-3} + 2x . log(x-3)],eq(3)$
समी० (1) में समी० (2) व (3) से मान रखने पर – ${dy}/{dx}=x^{2x-4} [x^2-3 + 2x^2 logx] + (x-3)^{x^2} [{x^2}/{x-3} + 2x . log(x-3)]$, Ans.
प्रश्न 12. यदि $y=12(1-cosx),x= 10(t-sinx), {-π}/2< t < π/2$ तो ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
हल: -
दिया है- $y=12(1-cost), eq(1)$$x=10(t-sint), eq(2)$
दोनों समीकरणों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dt}=12 t/{dt} (1-cost)=12(0 + sint)$
${dy}/{dt}=12sint$
${dx}/{dt}=10 t/{dt} (t-sint)=10(1-cost) $
${dy}/{dx}={({dy}/{dt})}/{({dx}/{dt})}={12sint}/{10(1-cost)}={6sint}/{5(1-cost)} $
${dy}/{dx}=6/5 [{2 sin{t/2} cos{t/2}}/{1-(1-2 sin^2{t/2})}]=6/5 [{2 sin{t/2} cos{t/2}}/{1-1 + 2sin^2{t/2}}]=6/5 [{2 sin{t/2} cos{t/2}}/{2 {sin}^2{t/2}}]$
${dy}/{dx}=6/5 [{cos{t/2}}/{sin{t/2}}]=6/5 cot{t/2}$, Ans.
प्रश्न 13. यदि $y={sin}^{-1}x + {sin}^{-1}√{1-x^2}, 0< x<1$ है तो ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
हल: -
दिया है- $y={sin}^{-1}x + {sin}^{-1}√{1-x^2},0< x<1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [{sin}^{-1}x + {sin}^{-1}√{1-x^2}] $
${dy}/{dx}=d/{dx} ({sin}^{-1}x) + d/{dx} ({sin}^{-1}√{1-x^2}) $
${dy}/{dx}=1/{√{1-x^2}} + 1/{√{1-(√{1-x^2})}^2} d/{dx} √{1-x^2}=1/{√{1-x^2}} + 1/{√{1-(1-x^2)}} 1/{2√{1-x^2}} (0-2x) $
${dy}/{dx}=1/{√{1-x^2}} + 1/{√{1-1 + x^2}} {(-2x)}/{2√{1-x^2}}=1/{√{1-x^2}} + 1/x . {(-2x)}/{2√{1-x^2}} $
${dy}/{dx}=1/{√{1-x^2}} + {-1}/{√{1-x^2}}=1/{√{1-x^2}} - 1/{√{1-x^2}} $
${dy}/{dx}=0$, Ans.
प्रश्न14 . यदि $ - 1<x<1$ के लिए $x√{1 + y} + y√{1 + x}=0$ है तो सिद्ध कीजिए कि :
${dy}/{dx}= - 1/{1 + x}$
हल: -
दिया है - $x√{1 + y} + y√{1 + x}=0, - 1<x<1$$x√{1 + y}= - y√{1 + x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर —
$[x√{1 + y}]^2=[ - y√{1 + x}]^2$
$x^2 (1 + y)=y^2 (1 + x)$
$x^2 + x^2 y=y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2 y - xy^2=0$
$(x + y)(x - y) + xy(x - y)=0$
$(x + y)(x + y + xy)=0$
∵ $x≠y$
∴ $x - y≠0 $
अब $x + y + xy=0 $
$y + xy= - x $
$y(1 + x)= - x$
$y={-x}/{1 + x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}= - d/{dx} [x/{1 + x}] $
${dy}/{dx}= - [{(1 + x) d/{dx} x - x d/{dx} (1 + x)}/{(1 + x)^2}] $
${dy}/{dx}= - [{(1 + x) . 1 - x . (0 + 1)}/{(1 + x)^2}] $
${dy}/{dx}= - [{1 + x – x}/{(1 + x)^2}] $
${dy}/{dx}={ - 1}/{(1 + x)^2} $, Ans.
प्रश्न 15. यदि किसी $c>0$ के लिए $(x - a)^2 + (y - b)^2= c^2$ है तो सिद्ध कीजिए कि:
${[1 + ({dy}/{dx})^2]^{3/2}}/{{d^2 y}/{dx^2}} $
$a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
हल: -
सिद्ध करना है - ${[1 + ({dy}/{dx})^2]^{3/2}}/{{d^2 y}/{dx^2}} $, $a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।दिया है - $(x - a)^2 + (y - b)^2= c^2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x - a)^2 + d/{dx} (y - b)^2=d/{dx} c^2$
$2(x - a)(1 - 0) + 2(y - b)({dy}/{dx} - 0)=0 $
$2(x - a) + 2(y - b) {dy}/{dx}=0 $
$2(y - b) {dy}/{dx}= - 2(x - a)⇒{dy}/{dx}= {- 2(x – a)}/{2(y - b)} $
${dy}/{dx}= - {x - a}/{y - b} , eq(1) $
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${d^2 y}/{dx^2}= - {(y - b) d/{dx} (x - a) - (x - a) d/{dx}(y - b)}/{(y - b)^2}$
$= - {(y - b)(1 - 0) - (x - a)({dy}/{dx} - 0)}/{(y - b)^2}$
$= - {(y - b) - (x - a) {dy}/{dx}}/{(y - b)^2 }$
$= - {(y - b) - (x - a) (- {x - a}/{y – b})}/{(y - b)^2}$
$= - {(y - b)^2 + (x - a)^2}/{(y - b)^3} $
$= - c^2/{(y - b)^3}, ∵(x - a)^2 + (y - b)^2= c^2$
अब, ${[1 + ({dy}/{dx})^2]^{3/2}}/{{d^2 y}/{dx^2}} ={[1 + ( - {x - a}/{y - b})^2]^{3/2}}/{ - {c^2}/{(y - b)^3}}$
$={[1 + (x - a)^2/(y - b)^2]^{3/2}}/{- {c^2}/{(y - b)^3}}$
$={[{(y - b)^2 + (x - a)}^2/(y - b)^2]^{3/2}}/{ - {c^2}/{(y - b)^3}}$
$={[{c^2}/{(y - b)^2}]^{3/2}}/{ {- c^2}/{(y - b)^3}}={c^3/{(y - b)^3}}/{ - c^2/{(y - b)^3}} $
$= - c^3/c^2 = - c, $
${[1 + ({dy}/{dx})^2]^{3/2}}/{{d^2 y}/{dx^2}}= - c$, जो $a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।, Proved.
प्रश्न 16. यदि $cos y= x cos(a + y)$, तथा $cosa≠±1$, तो सिद्ध कीजिए कि:
${dy}/{dx}={cos^2 (a + y)}/{sina}$
हल: -
दिया है: $cos y= x cos(a + y) , eq(1) $$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$ - siny {dy}/{dx}=x d/{dx} cos(a + y) + cos(a + y) d/{dx} x$
$ - siny {dy}/{dx}= - x sin(a + y) {dy}/{dx} + cos(a + y) . 1$
$xsin(a + y) {dy}/{dx} - siny {dy}/{dx}=cos(a + y) $
${dy}/{dx} [xsin(a + y) - siny]=cos(a + y) $
${dy}/{dx}={cos(a + y)}/{xsin(a + y) - siny} , eq(2) $
समी० (1) से —
$cosy= x cos(a + y)={cosy}/{cos(a + y)} , eq(3) $
$x$ का यह मान समी० (1) में रखने पर —
${dy}/{dx}={cos(a + y)}/{{cosysin(a + y)}/{cos(a + y)} - siny}={cos(a + y)}/{{cosysin(a + y) - sinycos(a + y)}/{cos(a + y)}}$
${dy}/{dx}={cos(a + y) . cos(a + y)}/{cosysin(a + y) - sinycos(a + y)}={cos^2 (a + y)}/{sin(a + y - y)}$
∵ $sin(A - B)=sinAcosB - cosAsinB$
${dy}/{dx}={cos^2 (a + y)}/{sina} $, Proved .
प्रश्न 17 . यदि $x=a(cost + tsint)$ और $y= a(sint - tcost)$ तो ${d^2 y}/{dx^2}$ ज्ञात कीजिए।
हल: -
दिया है: $x= a(cost + tsint), eq(1)$$y= a(sint - tcost), eq(2) $
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dt}=t/{dt} [a(cost + tsint)] $
${dx}/{dt}=a[t/{dt} cost + t t/{dt} sint + sint t/{dt} t] $
${dx}/{dt}=a[ - sint + tcost + sint . 1] $
${dx}/{dt}=at cost$
${dy}/{dt}=t/{dt} [a(sint - tcost)] $
${dy}/{dt}=a[t/{dt} sint - (t t/{dt} cost + cost t/{dt} t)] $
${dy}/{dt}=a[cost - ( - tsint + cost . 1)] $
${dy}/{dt}=a[cost + tsint - cost] $
${dy}/{dt}=atsint$
${dy}/{dx}=({dy}∕{dt})/({dx}∕{dt})={atsint}/{atcost}={sint}/{cost}$
${dy}/{dx}=tant$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${d^2 y}/{dx^2}=t/{dt} (tant)=sec^2 t {dt}/{dx}$
${d^2 y}/{dx^2}=sec^2 t . 1/{at} cost=1/{at} sec^2 t . sect$
${d^2 y}/{dx^2}=1/{at} sec^3 t $, Ans.
प्रश्न 18 . यदि $f(x)=|x|^3$ तो प्रमाणित कीजिए कि $f"(x)$ का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
हल: -
दिया है: $f(x)=|x|^3$$f(x)={■(x^3,&$यदि $x≥0@ - x^3,&$ यदि $x<0)┤ $
$x≥0$ जब तो $f(x)=x^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=3x^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f"(x)=3(2x)=6x$
तथा जब $x<0$ तो —
$f(x)= - x^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)= - 3x^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f"(x)= - 3(2x)= - 6x$
अतः $f"$ का अस्तित्व है।
$f(x)={■(x^3,&$ यदि $x≥0@ - x^3,&$ यदि $x<0)┤$, Ans.
प्रश्न 19 . गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक $n$ के लिए $d/{dx} (x^n)=nx^{n - 1}$ है।
हल: -
दिया है: $P(n): d/{dx} (x^n)=nx^{n - 1}$$n=1$ रखने पर —
$P(1): d/{dx} (x^1)=1 . x^{1 - 1}, eq(1) $
$d/{dx} (x)=1$,जोकि सत्य है।
माना यह परिणाम $n=k$ के लिए भी सत्य है।
$P(k): d/{dx} (x^k)=k . x^{k - 1}, eq(2) $
अब हम इस परिणाम को $n=k + 1$ के लिए सत्य सिद्ध करेंगे।
$P(k + 1): d/{dx} (x^{k + 1})=(k + 1) . x^{(k + 1) - 1}$
$LHS=d/{dx} (x^{k + 1})=d/{dx} (x^k . x)$
$=x^k d/{dx} (x) + x d/{dx} (x^k) $
$=x^k (1) + x(kx^{k - 1}) $
$=x^k + x(kx^{k - 1}) $
$=x^k + kx^k$
$=x^k (1 + k)$
$=(k + 1) x^k$
$=(k + 1) x^{(k + 1) - 1}=RHS$
अतः यह परिणाम $n=k + 1$ के लिए भी सत्य है। Proved .
प्रश्न 20 . $sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB$ का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
हल: -
दिया है: $sin(A + B)= sinA cosB + cosA sinB$यदि $A$ और $B, x$ में कोई फलन है तो $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} [sin(A + B)]=d/{dx} [sinA cosB + cosA sinB] $
$cos(A + B) d/{dx} (A + B)=sinA d/{dx} cosB + cosB d/{dx} sinA + cosA d/{dx} sinB + sinB d/{dx} cosA$
$cos(A + B) ({dA}/{dx} + {dB}/{dx})=sinA( - sinB) {dB}/{dx} + cosBcosA {dA}/{dx} + cosAcosB {dB}/{dx} + sinB( - sinA) {dA}/{dx}$
$cos(A + B) ({dA}/{dx} + {dB}/{dx})=(cosAcosB - sinAsinB) {dB}/{dx} + (cosAcosB - sinAsinB) {dA}/{dx}$
$cos(A + B) ({dA}/{dx} + {dB}/{dx})=(cosAcosB - sinAsinB)({dA}/{dx} + {dB}/{dx}) $
$cos(A + B)=(cosAcosB - sinAsinB) $, Ans.
प्रश्न 21 . क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल: -
हां ऐसे फलन का अस्तित्व है जो प्रत्येक बिन्दु पर संतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय हो।माना $f(x)=|x-1| + |x-2|$
चूंकि मापांक फलन प्रत्येक $x∈R$ के लिए संतत फलन होता है। यहां $f(x)$ दो मापांक फलनों $|x-1|$ और $|x-2|$ का योगफल है। अतः फलन प्रत्येक $x∈R$ के लिए संतत फलन है।
अब, Ans .
प्रश्न 22. यदि $y=|■(f(x)&g(x)&h(x)@l&m&n@a&b&c)|$ तो सिद्ध कीजिए कि ${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&f^' (x)&f^' (x)@l&m&n@a&b&c)|$
हल: -
दिया है: $y=|■(f(x)&g(x)&h(x)@l&m&n@a&b&c)| $सिद्ध करना है: ${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&g^' (x)&h^' (x)@l&m&n@a&b&c)| $
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=|■(d/{dx} f(x)&d/{dx} g(x)&d/{dx} h(x)@l&m&n@a&b&c)| + |■(f(x)&g(x)&h(x)@d/{dx} (l)&d/{dx} (m)&d/{dx} (n)@a&b&c)| + |■(f(x)&g(x)&h(x)@l&m&n@d/{dx} (a)&d/{dx} (b)&d/{dx} (c))| $
${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&g^' (x)&h^' (x)@l&m&n@a&b&c)| + |■(f(x)&g(x)&h(x)@0&0&0@a&b&c)| + |■(f(x)&g(x)&h(x)@l&m&n@0&0&0)| $
${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&g^' (x)&h^' (x)@l&m&n@a&b&c)| + 0 + 0$
${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&g^' (x)&h^' (x)@l&m&n@a&b&c)| $, Proved .
Technical issue to show code properly.
प्रश्न 23. यदि $y=e^{{acos}^{ - 1} x}, - 1≤x≤1$ तो दर्शाइए कि: $(1 - x^2) {d^2 y}/{dx^2} - x {dy}/{dx} - a^2 y=0$
हल: -
माना: $ y=e^{acos^{ - 1} x}, - 1≤x≤1$सिद्ध करना है: $(1 - x^2) {d^2 y}/{dx^2} - x {dy}/{dx} - a^2 y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^{acos^{ - 1} x}) $
${dy}/{dx}=e^{acos^{ - 1} x} d/{dx} (acos^{ - 1} x) $
${dy}/{dx}=e^{acos^{ - 1} x} . a ({ - 1}/{√{1 - x^2}}) $
${dy}/{dx}={- ay}/{√{1 - x^2}} , eq(1) $
$√{1 - x^2} {dy}/{dx}= - ay$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$√{1 - x^2} d/{dx} ({dy}/{dx}) + {dy}/{dx} . d/{dx} (√{1 - x^2})=d/{dx} ( - ay) $
$√{1 - x^2} {d^2 y}/{dx^2} + {dy}/{dx} . 1/{2√{1 - x^2}} . ( - 2x)= - a {dy}/{dx}$
$√{1 - x^2} {d^2 y}/{dx^2} + {dy}/{dx} . {( - x)/{√{1 - x^2}}}=( - a) . ( - ay)/{√{1 - x^2}}$
पूरे समी० में $√{1 - x^2}$ का गुणा करने पर —
$(1 - x^2) {d^2 y}/{dx^2} + {dy}/{dx} . ( - x)=( - a) . ( - ay) $
$(1 - x^2) {d^2 y}/{dx^2} - x {dy}/{dx}=a^2 y$
$(1 - x^2) {d^2 y}/{dx^2} - x {dy}/{dx} - a^2 y=0 $, Proved .
टिप्पणियाँ
एक टिप्पणी भेजें