अवकलज के अनुप्रयोग | प्रश्नावली 6.2 | NCERT Maths Class 12 Chapter 6 Exercise 6.2 all questions UP Board Hindi Medium
प्रश्नावली 6.2 DodgerBlue
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x) =d/{dx} (3x+17)$
$=3(1)+0$
$=3>0$ (धनात्मक मान)
अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (e^{2x})$
$=e^{2x} (2)$
$=2e^{2x}>0 $ (सभी $x∈R$ के लिए )
अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved.
Note : Exponential Function $e^x,e^{2y},e^{-x}$ etc. हमेशा वर्धमान होते हैं।
3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन
(a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है,
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} sinx $
$= cosx$
∵ $(0,π/2)$ में $cosx$ का मान धनात्मक होता है।
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(0,π/2)$ में $f(x)=sinx$ एक ह्रासमान फलन है। Proved.
∵ $(π/2,π)$ में $cosx$ का मान ऋणात्मक होता है।
∴ $f^'(x)<0$
अतः $(π/2,π)$ में दिया गया फलन $f(x)=sinx$ एक वर्धमान फलन है। Proved.
$(0,π)$ में $cosx$ का मान धनात्मक व ऋणात्मक दोनों होता है।
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(0,π)$ में दिया गया फलन $f(x)=sinx$ एक ह्रासमान फलन है। Proved.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (2x^2-3x)$
$f^'(x)=2.(2x)-3(1)$
$f^'(x)=4x-3$
अंतराल के लिए
$f^'(x)=0$
$4x-3=0$
$4x=3 $
$ x=3⁄4 $
संख्या रेखा पर —
अंतराल (a) (-∞, 3/4), (b) (3/4, ∞)
⇒ अंतराल (a) $(-∞, 3/4)$ पर माना यदि $x = -7$ तब –
$f^'(x)=4x-3$
$=4(-7)-3$
$= -28-3$$
$= -31<0$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल (a) $(-∞, 3/4)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
⇒ अंतराल (b) $(3/4, ∞)$ पर माना यदि $x = 10$ तब –
$f^'(x)=4x-3$
$=4(10)-3$ $= 10-3$
$= 7>0 $(धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल (b) $(3/4, ∞)$ पर फलन वर्धमान है। Ans.
$f^'(x)=d/{dx} (2x^3-3x^2-36x+7)$
$=2(3x^2 )-3(2x)-36$ , eq(1)
$=6x^2-6x-36$
अंतराल के लिए —
$f^'(x)=0$
$6x^2-6x-36=0$
$x(x-3)+2(x-3)=0$
$(x-3)(x+2)=0$
$x=3,-2$
संख्या रेखा पर —
अंतराल (a) $(-∞, -2), (b) (-2, 3) (c) (3, ∞)$
⇒ अंतराल (a) $(-∞, -2)$ पर माना यदि $x = -100$ , तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6{(-100)}^2-6(-100)-36$
$= 60000+600-36$
$= 60574>0$ (धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल (a) $(-∞, -2)$ पर फलन वर्धमान है।
⇒ अंतराल (b) $(-2, 3)$ पर माना यदि $x = 2$ , तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6{(2)}^2-6(2)-36$
$=24-12-36$
$= 24-48$
$= -24<0$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)<0$
अतः अंतराल (b) $(-2, 3)$ पर फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल (c) $(3, ∞)$ पर माना यदि $x = 3$ , तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6{(3)}^2-6(3)-36$
$=54-18-36$
$= 54-54$
$= 0$ (धनात्मक मान)
अतः अंतराल (a) $(-2, 3)$ पर फलन वर्धमान है।Ans.
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन $f$ वर्धमान या हासमान है:
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^2+2x+5)$
$= 2x+2(1)+0$
$=2x+2$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$2x+2=0$
$2x= -2$
$x=-1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर यदि $x = - 5$ तो,
$f^'(x)=2(-5)+2$
$=-10+2$
$= -8$ (ऋणात्मक मान)
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(ii) $(-1, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=2(10)+2$
$=20+2$
$= 22$ (धनात्मक मान)
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (10-6x-2x^2)$
$= 0-6(1)-2(2x)$
$=-6-4x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-6-4x=0$
$-4x= 6$
$x=-3⁄2$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $ (-∞, -3/2)$ (ii) $(-3/2, ∞)$
(i) $(-∞, -3/2)$ पर यदि $x = - 10$ तो,
$f^'(x)=-6-4x $
$=-6-4(-10)= -6+40$
$= 34$ (धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(-∞, -3/4)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(ii) $(-3/4, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-6-4(10)$
$=-6-40$
$= -46$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)<0$
अतः $(-3/4, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (- 2x^3-9x^2-12x+1)$
$= -2(3x^2)-9(2x)-12(1)+0$
$=-6x^2-18x-12$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-6x^2-18x-12=0$
$-6(x^2+3x+2)= 0$
$x^2+3x+2=0$
$x^2+2x+x+2=0$
$x(x+2)+1(x+2)=0$
$(x+2)(x+1)=0$
$x+2=0⇒x=-2$
$x+1=0⇒x=-1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
$(i) (-∞, -2) (ii) (-2, -1) (ii) (-1,-∞)$
(i) $(-∞, -2)$ पर यदि $x = - 100$ तो,
$f^'(x)=-6x^2-18x-12$
$=-6{(-100)}^2-18(-100)-12$
$= -6000+1800-12$
$= -4212$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(-∞, -2)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(ii) $(-2, -1)$ पर यदि $x = -2$ तो,
$f^'(x)=-6{(-2)}^2-18(-2)-12$
$= -24+36-12$
$= 0$ (धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)=0$
अतः $(-2, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(iii) $(-1, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-6x^2-18x-12$
$=-6{(10)}^2-18(10)-12$
$= -600-180-12$
$= -782$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)<0$
अतः $(-1, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (6-9x-x^2)$
$= 0-9(1)-2x$
$=-9-2x
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-9-2x=0$
$-2x= 9$
$x=-9⁄2$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -9/2)$ (ii) $(-9/2, ∞)$
(i) $(-∞, -9/2)$ पर यदि $x = - 10$ तो,
$f^'(x)=-9-2x$
$=-9-2(-10)$
$= -6+20$
$= 14$ (धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(-∞, -3/4)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(ii) $(-9/2, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-9-4(10)$
$=-9-40$
$= -49$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)<0$
अतः $(-9/2, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)= {(x+1)}^3$
$=d/{dx} {(x-3)}^3+ {(x-3)}^3$
$=d/{dx} {(x+1)}^3
$={(x+1)}^3 3{(x-3)}^2+ {(x-3)}^3 .3 {(x+1)}^2$
$=3{(x+1)}^3 {(x-3)}^2+ 3{(x-3)}^3 {(x+1)}^2$
$=3{(x+1)}^2 {(x-3)}^2 [x+1+x-3]$
$=3{(x+1)}^2 {(x-3)}^2 [2x-2]$
$=3{(x+1)}^2 {(x-3)}^2 [2(x-1)]$
$=6{(x+1)}^2 {(x-3)}^2 (x-1)$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
तब क्रमशः $x= -1,x=3,x=1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
$(i) (-∞, -1) (ii) (-1, 1) (iii) (1, 3) (iv) (3, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(ii) $(-1, -1)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः $(-1, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(iii) $(1, 3)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(1, 3)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(iv) $(3, ∞)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$ {dy}/{dx}=d/{dx} log(1+x)-d/{dx} [{2x}/{2+ x}] $
$=1/{1+x}-[{(2+x) d/{dx} 2x-2x d/{dx} (2+x)}/{(2+x)}^2] $
$=1/{1+x}-[{(2+x) 2(1)-2x (0+1)}/{(2+x)}^2]$
$=1/{1+x}-[{4+2x-2x}/{(2+x)}^2]$
$=1/{1+x}-4/{(2+x)}^2$
$={{(2+x)}^2-4(1+x)}/{(1+x) {(2+x)}^2)}$
$={4+4x+x^2-4-4x}/{(1+x) {(2+x)}^2}$
$=x^2/{(1+x) {(2+x)}^2}$
यहां $x^2,{(2+x)}^2>0$ क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं।
तथा $(1+x)>0,$ क्योंकि $x>-1$ से,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है।
अतः फलन y संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved.
$y=[x^2-2x]^2$
$y= x^4+4x^2-4x^3$
$y= x^4-4x^3+4x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^4-4x^3+4x^2 )$
$= 4x^3-4(3x^2 )+4(2x)$
$= 4x^3-12x^2+8x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
${dy}/{dx}=0$
$4x^3-12x^2+8x=0$
$4x(x^2-3x+2)=0$
$4x (x^2-2x-x+2)=0$
$4x [x(x-2)-1(x-2)]=0$
$4x(x-2)(x-1)=0$
$x=0,x=2,x=1$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु ,
$(-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞)$ हैं।
⇒ अंतराल $(-∞, 0)$ पर,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह$=(-)(-)(-)$
∴ ${dy}/{dx}<0$
अतः अंतराल $(-∞, 0)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(0, 1)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह$=(+)(-)(-)$
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(0, 1)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
⇒ अंतराल $(1, 2)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(-)(+)$
∴ ${dy}/{dx}<0$
अतः अंतराल ($1, 2)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(2, ∞)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह$ =(+)(+)(+)$
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
अतः अंतराल $ (0,1), (2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={(2+cosθ) d/{dx} 4sinθ-4sinθ d/{dθ} (2+cosθ)}/{(2+cosθ)}^2 -d/{dθ} (θ)$
$={(2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ)}/{(2+cosθ)}^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ}/{(2+cosθ)}^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2}/{(2+cosθ)}^2$
$={8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ]}/{(2+cosθ)}^2$
$={8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ}/{(2+cosθ)}^2$
$={4cosθ-cos^2 θ}/{(2+cosθ)}^2$
$={cosθ (4-cosθ)}/{(2+cosθ)}^2$
अंतराल $[0,π/2]$ में
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः फलन $[0,π/2]$ में एक वर्धमान फलन है। Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} logx$
$f^'(x)=1/x$
अतः अंतराल $(0,π)$ में $ x=π/2$ हो तो —
$f^'(x)=1/{π⁄2}=2/π $
$f^'(x)>0$
अतः अंतराल $(0,π)$ में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^2-x+1)$
$f^'(x)=2x-1+0$
$f^'(x)=2x-1$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$2x-1=0$
$2x=1$
$x=1/2$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु (i) $(-1, 1/2)$ व (ii) $(1/2, 1)$ हैं।
तथा बिन्दु $(-1, 1)$ को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है।
⇒ अब यदि अंतराल $(-1,1⁄2)$ पर $x=1/4$ हो तो —
$f^'(x)=2×1/4-1=1/2-1$
$f^'(x)= -1/2$
$f^'(x)<0$
अतः अंतराल $(-1,1⁄2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अब यदि अंतराल $(1/2,1)$ पर $x=3/4$ हो तो —
$f^'(x)=2×3/4-1=3/2-1$
$f^'(x)= 1/2$
$f^'(x)>0$
अतः अंतराल $(1/2,1)$ में फलन वर्धमान है।
अतः दिया गया फलन $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved.
12. निम्नलिखित में कौन से फलन $(0, π/2)$ में ह्रासमान हैं?
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/dx (cosx)$
f$^'(x)= -sinx$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sinx$ <0
$-sinx>0$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है।
माना $f(x)=cos2x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos2x)$
$f^' (x)= -2sin2x$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin2×π/4$
$= -2 sin(π/2)$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है।
माना $f(x)=cos3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos3x)$
$f^' (x)= -3sin3x$
$f^' (x)= -3[┤]$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin2×π/4$
$= -2 sin(π/2)$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है।
माना $f(x)=tanx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (tanx)$
$f^' (x)= sec^2 x$
अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sec^2 x>0$ ,क्योंकि पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन वर्धमान है।
13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में $f(x)=x^100+sinx- 1$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ ह्रासमान है?
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^{100}+sinx- 1)$
$= 100x^{99}+ cosx-0$
$= 100x^{99}+ cosx$
⇒ अंतराल (A), $(0,1)$ पर —
$100x^{99}>0$
$cosx<0$
$f^'(x)>0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (B), $(π/2, π)$ पर —
$100x^{99}>0$
$cosx<0$
$f^' (x)>0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (C), $(0, π/2)$ पर —
$100x^{99}>0$
$cosx>0$
$f^'(x)>0$
अतः फलन $(0, π/2)$ पर वर्धमान है।
अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^2+ ax+1)$
$=2x+a(1)+0$
$= 2x+a$
⇒ अंतराल $[1, 2]$ में फलन वर्धमान होने के लिए –
$f^'(x)>0$
$2x+a>0$
$a>-2x$
अंतराल $[1, 2]$ में $a$ के न्यूनतम मान के लिए $x = 1$ रखने पर —
$a>-2(1)$
$a>-2$
अतः $a$ का न्यूनतम मान $ -2$ है। Ans.
तथा $f(x)= x+1/x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x+1/x)$
$=1-1/x^2$
$={x^2-1}/x^2$
⇒ अंतराल $I= R-[-1,1]$ में $x^2-1>0$ तथा $x^2>0$
∴ $f^'(x)>0$
अतः फलन $f(x)= x+1/x$ अंतराल $I$ में वर्धमान है।
Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} logsinx$
$=1/{sinx} .cosx$
$= cotx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $cotx$ धनात्मक है।
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल $(0,π/2)$ में फलन वर्धमान है। Proved.
⇒ अंतराल $(π/2,π)$ में $cotx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^'(x)<0$
अतः अंतराल $(π/2,π)$ में फलन ह्रासमान है। Proved.
$f^'(x)=d/{dx} log|cosx| $
$=1/{cosx} .(-sinx)$
$= - tanx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $tanx$ धनात्मक है।
∴ $f^'(x)<0$
∴ अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $({3π}/2,2π)$ में tanx ऋणात्मक है।
∴ $f^'(x)>0$
∴ अंतराल $({3π}/2,2π)$ में फलन वर्धमान है।
अतः अंतराल $({3π}/2,2π)$ में फलन वर्धमान और अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है। Proved.
$f^'(x)=d/{dx} (x^3 - 3x^2 + 3x-100)$
$= 3x^2-3(2x)+3(1)-0$
$= 3(x^2-2x+1)$
$= 3{(x-1)}^2$
अतः $x∈ R$ में, ${(x-1)}^2$ धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^'(x)>0$ होगा।
अतः $R$ में, दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y= x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^2 e^{-x})$
$= x^2 d/{dx} e^{-x} +e^{-x} d/{dx} x^2$
$= x^2.e^{-x} (-1)+ e^{-x} .(2x)$
$= -x^2 e^{-x}+2x e^{-x}$
$= xe^{-x} (-x+2) $
फलन वर्धमान होने के लिए —
${dy}/{dx} >0$
$xe^{-x} (-x+2)>0$
$x>0,e^{-x}>0,2-x>0$
$x>0,e^{-x}>0,-x>-2$
$x>0,e^{-x}>0,x<2$
अतः अंतराल $(0, 2)$ में दिया गया फलन वर्धमान होगा।
∴ सही उत्तर : विकल्प (D) (0, 2) Ans.
6 अवकलज के अनुप्रयोग | प्रश्नावली 6.2 | NCERT Maths Class 12 Chapter 6 Exercise 6.2 all questions UP Board Hindi Medium
अध्याय 6 अवकलज के अनुप्रयोग | प्रश्नावली 6.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
1. सिद्ध कीजिए $R$ पर $f(x)=3x+17$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
2. सिद्ध कीजिए कि $R$ पर $f(x)=e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन
(a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है,
(b) $(π/2,π)$ में ह्रासमान है,
(c) $0,π$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^2-3x$ प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है।
5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$ से प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन $f$ वर्धमान या हासमान है:
(a) $f(x)= x^2+2x+5$
(b) $f(x)= 10-6x-2x^2$
(c) $f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1$
(d) $f(x)= 6-9x-x^2$
(d) $f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3$
7. सिद्ध कीजिए कि $y=log{(1+x)}-{2x}/{(2+ x)},x> - 1$ अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
8. $x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y={[x(x-2)]}^2$ एक वर्धमान फलन है।
9. सिद्ध कीजिए कि $[0,π/2]$ में $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ, θ$ का एक वर्धमान फलन है।
10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है।
11. सिद्ध कीजिए कि $(-1, 1)$ में $f(x)= x^2-x+1$ से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
12. निम्नलिखित में कौन से फलन $(0, π/2)$ में ह्रासमान हैं?
(A) $cosx$
(B) $cos2x$
(C) $cos3x$
(D) $tanx$
13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में $f(x)=x^100+sinx- 1$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ ह्रासमान है?
(A) $(0,1)$
(B) $(π/2, π)$
(C) $(0, π/2)$
(D) इनमें से कोई नहीं
14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल $[1, 2]$ में $f(x)= x^2+ ax+1$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में $f(x)= x+1/x$ से प्रदत्त फलन $f$, वर्धमान है।
16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx,(0,π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है।
17. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=log|cosx|, (0,π/2)$ में वर्धमान है और $({3π}/2,2π)$ में ह्रासमान है।
18. सिद्ध कीजिए कि $R$ में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है।
19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y= x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
(A) $(- 00, 00)$
(B) $(-2,0)$
(C) $(2, ∞)$
(D) $(0,2)$
12th NCERT Math Chapter 6 Exercise 6.2 का सम्पूर्ण समाधान/Solution.
1. सिद्ध कीजिए $R$ पर $f(x)=3x+17$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल :-
दिया है — $f(x)=3x+17$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x) =d/{dx} (3x+17)$
$=3(1)+0$
$=3>0$ (धनात्मक मान)
अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved.
2. सिद्ध कीजिए कि $R$ पर $f(x)=e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल :-
दिया है — $f(x)=e^{2x}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (e^{2x})$
$=e^{2x} (2)$
$=2e^{2x}>0 $ (सभी $x∈R$ के लिए )
अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved.
Note : Exponential Function $e^x,e^{2y},e^{-x}$ etc. हमेशा वर्धमान होते हैं।
3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन
(a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है,
(b) $(π/2,π)$ में ह्रासमान है,
(c) $0,π$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल :-
दिया है — $f(x)=sinx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} sinx $
$= cosx$
∵ $(0,π/2)$ में $cosx$ का मान धनात्मक होता है।
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(0,π/2)$ में $f(x)=sinx$ एक ह्रासमान फलन है। Proved.
∵ $(π/2,π)$ में $cosx$ का मान ऋणात्मक होता है।
∴ $f^'(x)<0$
अतः $(π/2,π)$ में दिया गया फलन $f(x)=sinx$ एक वर्धमान फलन है। Proved.
$(0,π)$ में $cosx$ का मान धनात्मक व ऋणात्मक दोनों होता है।
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(0,π)$ में दिया गया फलन $f(x)=sinx$ एक ह्रासमान फलन है। Proved.
4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^2-3x$ प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है।
हल :-
दिया है — $f(x)=2x^2-3x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (2x^2-3x)$
$f^'(x)=2.(2x)-3(1)$
$f^'(x)=4x-3$
अंतराल के लिए
$f^'(x)=0$
$4x-3=0$
$4x=3 $
$ x=3⁄4 $
संख्या रेखा पर —
अंतराल (a) (-∞, 3/4), (b) (3/4, ∞)
⇒ अंतराल (a) $(-∞, 3/4)$ पर माना यदि $x = -7$ तब –
$f^'(x)=4x-3$
$=4(-7)-3$
$= -28-3$$
$= -31<0$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल (a) $(-∞, 3/4)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
⇒ अंतराल (b) $(3/4, ∞)$ पर माना यदि $x = 10$ तब –
$f^'(x)=4x-3$
$=4(10)-3$ $= 10-3$
$= 7>0 $(धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल (b) $(3/4, ∞)$ पर फलन वर्धमान है। Ans.
5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$ से प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान
हल :-
हल :– दिया है — $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —$f^'(x)=d/{dx} (2x^3-3x^2-36x+7)$
$=2(3x^2 )-3(2x)-36$ , eq(1)
$=6x^2-6x-36$
अंतराल के लिए —
$f^'(x)=0$
$6x^2-6x-36=0$
$x(x-3)+2(x-3)=0$
$(x-3)(x+2)=0$
$x=3,-2$
संख्या रेखा पर —
अंतराल (a) $(-∞, -2), (b) (-2, 3) (c) (3, ∞)$
⇒ अंतराल (a) $(-∞, -2)$ पर माना यदि $x = -100$ , तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6{(-100)}^2-6(-100)-36$
$= 60000+600-36$
$= 60574>0$ (धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल (a) $(-∞, -2)$ पर फलन वर्धमान है।
⇒ अंतराल (b) $(-2, 3)$ पर माना यदि $x = 2$ , तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6{(2)}^2-6(2)-36$
$=24-12-36$
$= 24-48$
$= -24<0$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)<0$
अतः अंतराल (b) $(-2, 3)$ पर फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल (c) $(3, ∞)$ पर माना यदि $x = 3$ , तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6{(3)}^2-6(3)-36$
$=54-18-36$
$= 54-54$
$= 0$ (धनात्मक मान)
अतः अंतराल (a) $(-2, 3)$ पर फलन वर्धमान है।Ans.
6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन $f$ वर्धमान या हासमान है:
(a) $f(x)= x^2+2x+5$
(b) $f(x)= 10-6x-2x^2$
(c) $f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1$
(d) $f(x)= 6-9x-x^2$
(d) $f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3$
(a) $f(x)= x^2+2x+5$
हल :-
दिया है: $f(x)= x^2+2x+5$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^2+2x+5)$
$= 2x+2(1)+0$
$=2x+2$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$2x+2=0$
$2x= -2$
$x=-1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर यदि $x = - 5$ तो,
$f^'(x)=2(-5)+2$
$=-10+2$
$= -8$ (ऋणात्मक मान)
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(ii) $(-1, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=2(10)+2$
$=20+2$
$= 22$ (धनात्मक मान)
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(b) $f(x)= 10-6x-2x^2$
हल :-
$ f(x)= 10-6x-2x^2$x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (10-6x-2x^2)$
$= 0-6(1)-2(2x)$
$=-6-4x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-6-4x=0$
$-4x= 6$
$x=-3⁄2$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $ (-∞, -3/2)$ (ii) $(-3/2, ∞)$
(i) $(-∞, -3/2)$ पर यदि $x = - 10$ तो,
$f^'(x)=-6-4x $
$=-6-4(-10)= -6+40$
$= 34$ (धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(-∞, -3/4)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(ii) $(-3/4, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-6-4(10)$
$=-6-40$
$= -46$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)<0$
अतः $(-3/4, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(c) $f(x)= -2x^3-9x^2-12x+1$
हल :-
दिया है — $ f(x)=- 2x^3-9x^2-12x+1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (- 2x^3-9x^2-12x+1)$
$= -2(3x^2)-9(2x)-12(1)+0$
$=-6x^2-18x-12$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-6x^2-18x-12=0$
$-6(x^2+3x+2)= 0$
$x^2+3x+2=0$
$x^2+2x+x+2=0$
$x(x+2)+1(x+2)=0$
$(x+2)(x+1)=0$
$x+2=0⇒x=-2$
$x+1=0⇒x=-1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
$(i) (-∞, -2) (ii) (-2, -1) (ii) (-1,-∞)$
(i) $(-∞, -2)$ पर यदि $x = - 100$ तो,
$f^'(x)=-6x^2-18x-12$
$=-6{(-100)}^2-18(-100)-12$
$= -6000+1800-12$
$= -4212$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(-∞, -2)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(ii) $(-2, -1)$ पर यदि $x = -2$ तो,
$f^'(x)=-6{(-2)}^2-18(-2)-12$
$= -24+36-12$
$= 0$ (धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)=0$
अतः $(-2, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(iii) $(-1, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-6x^2-18x-12$
$=-6{(10)}^2-18(10)-12$
$= -600-180-12$
$= -782$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)<0$
अतः $(-1, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
(d) $f(x)= 6-9x-x^2$
हल :-
दिया है — $f(x)=6-9x-x^2$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (6-9x-x^2)$
$= 0-9(1)-2x$
$=-9-2x
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-9-2x=0$
$-2x= 9$
$x=-9⁄2$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -9/2)$ (ii) $(-9/2, ∞)$
(i) $(-∞, -9/2)$ पर यदि $x = - 10$ तो,
$f^'(x)=-9-2x$
$=-9-2(-10)$
$= -6+20$
$= 14$ (धनात्मक मान)
∴ $f^'(x)>0$
अतः $(-∞, -3/4)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(ii) $(-9/2, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-9-4(10)$
$=-9-40$
$= -49$ (ऋणात्मक मान)
∴ $f^'(x)<0$
अतः $(-9/2, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(e) $f(x)={(x+1)}^3 {(x-3)}^3$
हल :-
$ f(x)={(x+1)}^3 {(x-3)}^3$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)= {(x+1)}^3$
$=d/{dx} {(x-3)}^3+ {(x-3)}^3$
$=d/{dx} {(x+1)}^3
$={(x+1)}^3 3{(x-3)}^2+ {(x-3)}^3 .3 {(x+1)}^2$
$=3{(x+1)}^3 {(x-3)}^2+ 3{(x-3)}^3 {(x+1)}^2$
$=3{(x+1)}^2 {(x-3)}^2 [x+1+x-3]$
$=3{(x+1)}^2 {(x-3)}^2 [2x-2]$
$=3{(x+1)}^2 {(x-3)}^2 [2(x-1)]$
$=6{(x+1)}^2 {(x-3)}^2 (x-1)$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
तब क्रमशः $x= -1,x=3,x=1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
$(i) (-∞, -1) (ii) (-1, 1) (iii) (1, 3) (iv) (3, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(ii) $(-1, -1)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः $(-1, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(iii) $(1, 3)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(1, 3)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(iv) $(3, ∞)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है
7. सिद्ध कीजिए कि $y=log{(1+x)}-{2x}/{(2+ x)},x> - 1$ अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
हल :-
दिया है: $y=log(1+x)-{2x}/(2+ x),x> - 1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$ {dy}/{dx}=d/{dx} log(1+x)-d/{dx} [{2x}/{2+ x}] $
$=1/{1+x}-[{(2+x) d/{dx} 2x-2x d/{dx} (2+x)}/{(2+x)}^2] $
$=1/{1+x}-[{(2+x) 2(1)-2x (0+1)}/{(2+x)}^2]$
$=1/{1+x}-[{4+2x-2x}/{(2+x)}^2]$
$=1/{1+x}-4/{(2+x)}^2$
$={{(2+x)}^2-4(1+x)}/{(1+x) {(2+x)}^2)}$
$={4+4x+x^2-4-4x}/{(1+x) {(2+x)}^2}$
$=x^2/{(1+x) {(2+x)}^2}$
यहां $x^2,{(2+x)}^2>0$ क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं।
तथा $(1+x)>0,$ क्योंकि $x>-1$ से,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है।
अतः फलन y संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved.
8. $x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y={[x(x-2)]}^2$ एक वर्धमान फलन है।
हल :-
दिया है — $y={[x(x-2)]}^2$$y=[x^2-2x]^2$
$y= x^4+4x^2-4x^3$
$y= x^4-4x^3+4x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^4-4x^3+4x^2 )$
$= 4x^3-4(3x^2 )+4(2x)$
$= 4x^3-12x^2+8x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
${dy}/{dx}=0$
$4x^3-12x^2+8x=0$
$4x(x^2-3x+2)=0$
$4x (x^2-2x-x+2)=0$
$4x [x(x-2)-1(x-2)]=0$
$4x(x-2)(x-1)=0$
$x=0,x=2,x=1$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु ,
$(-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞)$ हैं।
⇒ अंतराल $(-∞, 0)$ पर,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह$=(-)(-)(-)$
∴ ${dy}/{dx}<0$
अतः अंतराल $(-∞, 0)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(0, 1)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह$=(+)(-)(-)$
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(0, 1)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
⇒ अंतराल $(1, 2)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(-)(+)$
∴ ${dy}/{dx}<0$
अतः अंतराल ($1, 2)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(2, ∞)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह$ =(+)(+)(+)$
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
अतः अंतराल $ (0,1), (2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans.
9. सिद्ध कीजिए कि $[0,π/2]$ में $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ, θ$ का एक वर्धमान फलन है।
हल :-
दिया है: ${y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={(2+cosθ) d/{dx} 4sinθ-4sinθ d/{dθ} (2+cosθ)}/{(2+cosθ)}^2 -d/{dθ} (θ)$
$={(2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ)}/{(2+cosθ)}^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ}/{(2+cosθ)}^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2}/{(2+cosθ)}^2$
$={8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ]}/{(2+cosθ)}^2$
$={8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ}/{(2+cosθ)}^2$
$={4cosθ-cos^2 θ}/{(2+cosθ)}^2$
$={cosθ (4-cosθ)}/{(2+cosθ)}^2$
अंतराल $[0,π/2]$ में
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः फलन $[0,π/2]$ में एक वर्धमान फलन है। Ans.
10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है।
हल :-
माना $f(x)= logx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} logx$
$f^'(x)=1/x$
अतः अंतराल $(0,π)$ में $ x=π/2$ हो तो —
$f^'(x)=1/{π⁄2}=2/π $
$f^'(x)>0$
अतः अंतराल $(0,π)$ में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved.
11. सिद्ध कीजिए कि $(-1, 1)$ में $f(x)= x^2-x+1$ से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल :-
दिया है —$ f(x)= x^2-x+1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^2-x+1)$
$f^'(x)=2x-1+0$
$f^'(x)=2x-1$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$2x-1=0$
$2x=1$
$x=1/2$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु (i) $(-1, 1/2)$ व (ii) $(1/2, 1)$ हैं।
तथा बिन्दु $(-1, 1)$ को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है।
⇒ अब यदि अंतराल $(-1,1⁄2)$ पर $x=1/4$ हो तो —
$f^'(x)=2×1/4-1=1/2-1$
$f^'(x)= -1/2$
$f^'(x)<0$
अतः अंतराल $(-1,1⁄2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अब यदि अंतराल $(1/2,1)$ पर $x=3/4$ हो तो —
$f^'(x)=2×3/4-1=3/2-1$
$f^'(x)= 1/2$
$f^'(x)>0$
अतः अंतराल $(1/2,1)$ में फलन वर्धमान है।
अतः दिया गया फलन $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved.
12. निम्नलिखित में कौन से फलन $(0, π/2)$ में ह्रासमान हैं?
(A) $cosx$
(B) $cos2x$
(C) $cos3x$
(D) $tanx$
(A) $cosx$
हल :-
माना $f(x)=cosx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/dx (cosx)$
f$^'(x)= -sinx$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sinx$ <0
$-sinx>0$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है।
(B) $cos2x$
हल :-
माना $f(x)=cos2x$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos2x)$
$f^' (x)= -2sin2x$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin2×π/4$
$= -2 sin(π/2)$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है।
(C) $cosx3$
हल :-
माना $f(x)=cos3x$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos3x)$
$f^' (x)= -3sin3x$
$f^' (x)= -3[┤]$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin2×π/4$
$= -2 sin(π/2)$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है।
(D) $tanx$
हल :-
माना $f(x)=tanx$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (tanx)$
$f^' (x)= sec^2 x$
अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sec^2 x>0$ ,क्योंकि पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन वर्धमान है।
13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में $f(x)=x^100+sinx- 1$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ ह्रासमान है?
(A) $(0,1)$
(B) $(π/2, π)$
(C) $(0, π/2)$
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :-
दिया है : $f(x)=x^{100}+sinx- 1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^{100}+sinx- 1)$
$= 100x^{99}+ cosx-0$
$= 100x^{99}+ cosx$
⇒ अंतराल (A), $(0,1)$ पर —
$100x^{99}>0$
$cosx<0$
$f^'(x)>0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (B), $(π/2, π)$ पर —
$100x^{99}>0$
$cosx<0$
$f^' (x)>0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (C), $(0, π/2)$ पर —
$100x^{99}>0$
$cosx>0$
$f^'(x)>0$
अतः फलन $(0, π/2)$ पर वर्धमान है।
अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans.
14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल $[1, 2]$ में $f(x)= x^2+ ax+1$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल :-
दिया है: $f(x)= x^2+ ax+1$, तथा अंतराल $[1, 2]$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^2+ ax+1)$
$=2x+a(1)+0$
$= 2x+a$
⇒ अंतराल $[1, 2]$ में फलन वर्धमान होने के लिए –
$f^'(x)>0$
$2x+a>0$
$a>-2x$
अंतराल $[1, 2]$ में $a$ के न्यूनतम मान के लिए $x = 1$ रखने पर —
$a>-2(1)$
$a>-2$
अतः $a$ का न्यूनतम मान $ -2$ है। Ans.
15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में $f(x)= x+1/x$ से प्रदत्त फलन $f$, वर्धमान है।
हल :-
हल :– दिया है: अंतराल $I= R-[-1,1]$तथा $f(x)= x+1/x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x+1/x)$
$=1-1/x^2$
$={x^2-1}/x^2$
⇒ अंतराल $I= R-[-1,1]$ में $x^2-1>0$ तथा $x^2>0$
∴ $f^'(x)>0$
अतः फलन $f(x)= x+1/x$ अंतराल $I$ में वर्धमान है।
Ans.
16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx,(0,π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है।
हल :-
हल :– दिया है: $f(x)=logsinx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} logsinx$
$=1/{sinx} .cosx$
$= cotx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $cotx$ धनात्मक है।
∴ $f^'(x)>0$
अतः अंतराल $(0,π/2)$ में फलन वर्धमान है। Proved.
⇒ अंतराल $(π/2,π)$ में $cotx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^'(x)<0$
अतः अंतराल $(π/2,π)$ में फलन ह्रासमान है। Proved.
17. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=log|cosx|, (0,π/2)$ में वर्धमान है और $({3π}/2,2π)$ में ह्रासमान है।
हल :-
हल :– दिया है: $f(x)=log|cosx|$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —$f^'(x)=d/{dx} log|cosx| $
$=1/{cosx} .(-sinx)$
$= - tanx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $tanx$ धनात्मक है।
∴ $f^'(x)<0$
∴ अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $({3π}/2,2π)$ में tanx ऋणात्मक है।
∴ $f^'(x)>0$
∴ अंतराल $({3π}/2,2π)$ में फलन वर्धमान है।
अतः अंतराल $({3π}/2,2π)$ में फलन वर्धमान और अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है। Proved.
18. सिद्ध कीजिए कि $R$ में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है।
हल :-
हल :– दिया है: $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100 x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —$f^'(x)=d/{dx} (x^3 - 3x^2 + 3x-100)$
$= 3x^2-3(2x)+3(1)-0$
$= 3(x^2-2x+1)$
$= 3{(x-1)}^2$
अतः $x∈ R$ में, ${(x-1)}^2$ धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^'(x)>0$ होगा।
अतः $R$ में, दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y= x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
(A) $(- 00, 00)$
(B) $(-2,0)$
(C) $(2, ∞)$
(D) $(0,2)$
हल :-
हल :– दिया है: $y= x^2 e^{-x}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^2 e^{-x})$
$= x^2 d/{dx} e^{-x} +e^{-x} d/{dx} x^2$
$= x^2.e^{-x} (-1)+ e^{-x} .(2x)$
$= -x^2 e^{-x}+2x e^{-x}$
$= xe^{-x} (-x+2) $
फलन वर्धमान होने के लिए —
${dy}/{dx} >0$
$xe^{-x} (-x+2)>0$
$x>0,e^{-x}>0,2-x>0$
$x>0,e^{-x}>0,-x>-2$
$x>0,e^{-x}>0,x<2$
अतः अंतराल $(0, 2)$ में दिया गया फलन वर्धमान होगा।
∴ सही उत्तर : विकल्प (D) (0, 2) Ans.
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End
Exercise 6.2 - Completely Solved.
End
Exercise 6.2 - Completely Solved.
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