5 सांतत्य एवं अवकलनीयता अनुप्रयोग | प्रश्नावली 5.5 | NCERT Maths Class 12 Chapter 5 Exercise 5.5 all questions UP Board Hindi Medium
5 सांतत्य एवं अवकलनीयता अनुप्रयोग | प्रश्नावली 5.5 | NCERT Maths Class 12 Chapter 5 Exercise 5.5 all questions UP Board Hindi Medium
Solved By : Ajay Sir — Revolution Classes प्रश्नावली 5.5अध्याय 5 अवकलज के अनुप्रयोग | प्रश्नावली 5.5 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
1. $cosx.cos2x.cos3x$
2. $√[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}]$
3. ${(logx)}^{cosx}$
4. $x^x- 2^{sinx}$
5. ${(x+3)}^{2}.{(x+4)}^{3}.{(x+5)}^4$
6. ${(x+1/x)}^x+ x^{(1+1/x)}$
7. ${(logx)}^x+ x^{logx}$
8. ${sinx}^x+ sin^{-1} √x$
9. $x^{sinx}+(sinx)^{cosx}$
10. $x^{cosx} + {x^2+1}/{x^2-1}$
11. $(xcosx)^x+(xsinx)^{1/x}$
12. $x^y+y^x=1$
13. $y^x= x^y$
14. ${(cosx)}^y={(cosy)}^x$
15. $xy=e^{(x-y)}$
16. $f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+ x^8)$ द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार $f^'(1)$ ज्ञात कीजिए।
17. $(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$ का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
12th NCERT Math Chapter 5 Exercise 5.5 का सम्पूर्ण समाधान/Solution.
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
1. $cosx.cos2x.cos3x$
हल :-
माना $y= cosx.cos2x.cos3x$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[cosx.cos2x.cos3x]$
$logy=logcosx+ logcos2x+ logcos3x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx}logy = d/{dx}logcosx + d/{dx}logcos2x + d/{dx}logcos3x$
$1/y {dy}/{dx} =1/{cosx} d/{dx}cosx + 1/{cos2x}d/{dx}cos2x + 1/{cos3x}d/{dx} cos3x$
${dy}/{dx} = y[1/{cosx}(-sinx)(1) + 1/{cos2x}(-sin2x)(2) + 1/{cos3x}(-sin3x)(3)]$
${dy}/{dx} = y[{-sinx}/{cosx} -2 {sin2x}/{cos2x} - 3{sin3x}/{cos3x}]$
${dy}/{dx} = y [-tanx-2tan2x-3tan3x]$
${dy}/{dx} = cosx.cos2x.cos3x [-tanx-2tan2x-3tan3x]$ Ans.
2. $√[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}]$
हल :-
माना $y=√[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}] ={[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}]}^{1/2}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy={1/2} log[{{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}}]$
$logy = {1/2} [log(x-1)+ log(x-2)- log(x-3)-log(x-4)-log(x-5)]$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx} = {1/2} [d/{dx}log(x-1) + d/{dx} log(x-2) - d/{dx}log(x-3) - d/{dx}log(x-4) - d/{dx}log(x-5)]$
${dy}/{dx} = y×{1/2} [1/{(x-1)}(1-0) + 1/{(x-2)}(1-0) - 1/{(x-3)}(1-0) - 1/{(x-4)}(1-0) - 1/{(x-5)}(1-0)]$
${dy}/{dx} =1/2 √[{(x-1)(x-2)}/{(x-3)(x-4)(x-5)}] [1/{x-1}+1/{x-2} -1/{x-3} -1/{x-4} -1/{x-5}]$ Ans.
3. ${(logx)}^{cosx}$
हल :-
माना $y= {(logx)}^{cosx}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=cosx. log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx} = [cosx. log(logx)]$
${1/y} {dy}/{dx} =cosx d/{dx}{log(logx)} + log(logx)d/{dx}{cosx}$
${1/y} {dy}/{dx} = cosx. 1/{logx} .d/{dx}logx + log(logx)(-sinx)$
${dy}/{dx} =y[{cosx}/{logx}. 1/x - sinx. log(logx)]$
${dy}/{dx} = {(logx)}^{cosx} [{cosx}/{x logx} - sinx. log(logx)]$ Ans.
4. $x^x- 2^{sinx}$
हल :-
माना $y= x^x - 2^{sinx}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy= xlogx - sinxlog2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx} = [x d/{dx} logx + logx d/{dx}{x}] - [sinx d/{dx} log2 + log2 d/{dx} sinx]$
$1/y {dy}/{dx} = [x.{1/x}.(1)+ logx.(1)] - [sinx(0) + log2 (cosx)]$
${dy}/{dx} = y[1 + logx] - [0 + log2.(cosx)]$
${dy}/{dx} = y[1 + logx - cosxlog2]$
${dy}/{dx} = ({x^x- 2^{sinx}})[1 + logx - cosxlog2]$ Ans.
5. ${(x+3)}^{2}.{(x+4)}^{3}.{(x+5)}^4$
हल :-
माना $y={(x+3)}^{2}.{(x+4)}^{3}.{(x+5)}^4$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[{(x+3)}^{2}.{(x+4)}^{3}.{(x+5)}^4 ]$
$logy=2 log(x+3) + 3 log(x+4) + 4 log(x+5)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/y} {dy}/{dx}=d/{dx} [2log(x+3) + 3log(x+4)।+ 4 log(x+5)]$
${1/y} {dy}/{dx} =2 d/{dx} {log(x+3)} + 3 d/{dx} {log(x+4)} + 4 d/{dx} {log(x+5)}$
${1/y} {dy}/{dx} =2/{(x+3)} (1+0) + 3/{(x+4)} (1+0) + 4/{(x+5)} (1+0)$
${dy}/{dx} =y[2/{(x+3)} + 3/{(x+4)} + 4/{(x+5)}]$
${dy}/{dx} = {(x+3)}^2 .{(x+4)}^3 .{(x+5)}^4 [2/{(x+3)} + 3/{(x+4)} + 4/{(x+5)}]$ Ans.
${dy}/{dx} = {(x+3)}^2 .{(x+4)}^3 .{(x+5)}^4 [{2(x+4)(x+5)+3(x+3)(x+5)+4(x+3)(x+4)}/{(x+3)(x+4)(x+5)}]$
${dy}/{dx} = {(x+3)} .{(x+4)}^2 .{(x+5)}^3 [2(x^2+9x+20)+3(x^2+8x+15)+4(x^2+7x+12)]$
${dy}/{dx} = {(x+3)} .{(x+4)}^2 .{(x+5)}^3 [2x^2+18x+40+3x^2+24x+45+4x^2+28x+48)]$
${dy}/{dx} = {(x+3)} .{(x+4)}^2 .{(x+5)}^3 [9x^2+70x+133]$ Ans. Ans.
6. ${(x+1/x)}^x+ x^{(1+1/x)}$
हल :-
$y= {(x+1/x)}^x+ x^{(1+1/x)}$पुनः माना $u= {(x+1/x)}^x$ तथा $v= x^{(1+1/x)}$
$y= u+ v$
∵ $u= {(x+1/x)}^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(x+1/x)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/u} {du}/{dx} = x d/{dx} log(x+1/x) + log(x+1/x) d/{dx} (x)$
${1/u} {du}/{dx} =x 1/{(x+1/x)} (1-1/{x^2})+ log(x+1/x) (1)$
${1/u} {du}/{dx} = u [x 1/{(x+1/x)} (1-1/{x^2})+ log(x+1/x) (1)]$
${1/u} {du}/{dx} = u [({1-1/x^2})(x/{1+1/x}) + log(1+1/x)]$
${1/u} {du}/{dx} = u [(x/{{x+1}/x})({1-1/x^2}) + log(1+1/x)]$
${du}/{dx} = u[{x^2}/{(x^2+1)} {(x^2-1)}/{x^2} + log(x+1/x)]$
${du}/{dx} ={(x+1/x)}^x [{x^2-1}/{x^2+1} + log(x+1/x)], eq(1)$
Now, ∵ $v= x^{(1+1/x)}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=(1+1/x) logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/v} {dv}/{dx} = (1+1/x) d/{dx}logx + logx d/{dx}(1+1/x)$
${1/v} {dv}/{dx} = (1+1/x){1/x} + logx .{(0+{-}1/{x^2})$
${dv}/{dx} =v [{x+1}/{x} {1/x} -logx({- 1/x^2})]$
${dv}/{dx} =v[{x+1}/{x^2} - logx/x^2]$
${dv}/{dx} =x^{(1+1/x)} [{x+1-logx}/{x^2}],(2)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx} = {du}/{dx} + {dv}/{dx} $
समी (1) व (2) से मान रखने पर —
${dy}/{dx} = {(x+1/x)}^x [{x^2-1}/{x^2+1} + log(x+1/x)] + x^{(1+1/x)}[{x+1-logx}/{x^2}]$ Ans.
7. ${(logx)}^x+ x^{logx}$
हल :-
माना $y= {(logx)}^x+ x^{logx}$पुनः माना $u= {(logx)}^x$ तथा $v= x^{logx}$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx} = {du}/{dx} + {dv}/{dx}, eq(1)$
∵ $u= {(logx)}^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/u} {du}/{dx} = x d/{dx} log(logx) + log(logx) d/{dx} (x)$
${1/u} {du}/{dx} = x.{1/{logx}}.{1/x}.1 + log(logx).1$
${1/u} {du}/{dx} = 1/{logx} + log(logx)$
${du}/{dx} = u[1/{logx} + log(logx)]$
${du}/{dx}={(logx)}^x [1/{logx} + log(logx)], eq(2)$
Now, ∵ $v= x^{logx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=logx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/v} {dv}/{dx} = logx d/{dx} logx + logx d/{dx} logx$
${1/u} {dv}/{dx} = logx.{1/x} + logx.{1/x}$
${dv}/{dx} = v[{logx}/x + {logx}/x]$
${dv}/{dx}= v[{2logx}/x] $
${dv}/{dx}=x^{logx} [{2logx}/x], eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx} =[ {(logx)}^x [1/{logx} + log(logx) ] + x^{logx} [{2logx}/x]$
${dy}/{dx} = {(logx)}^{x} {1/{logx}} [1+logx. log(logx)] + {2x^{logx}}/x.logx]$
${dy}/{dx} = {(logx)}^{x-1} [1+logx. log(logx) ] + 2x^{logx-1}.logx]$, Ans.
8. ${sinx}^x+ sin^{-1} √x$
हल :-
माना $y= {sinx}^x+ sin^{-1} √x$पुनः माना $u= {sinx}^x$ तथा $v= sin^{-1} √x$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$ {dy}/{dx} = {du}/{dx} + {dv}/{dx} , eq(1) $
∵ $u= {(sinx)}^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/u} {du}/{dx} = x d/{dx} log(sinx)+ log(sinx) d/{dx} (x)$
${1/u} {du}/{dx} =x.1/{sinx}.cosx.1 + log(sinx).1$
${du}/{dx} =u [x cotx+ log(sinx) ]$
${du}/{dx} ={(sinx)}^x [x cotx+ log(sinx)], eq(2)$
Now,∵ $v= sin^{-1} √x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dv}/{dx} = d/{dx} sin^{-1} √x$
${dv}/{dx} =1/√{1-{(√x)}^2} d/{dx} √x$
${dv}/{dx} =1/{√1-x} 1/{2 √x}$
${dv}/{dx} =1/{2 √{x(1-x)}$
${dv}/{dx} =1/{2 √x-x^2} , eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}={(sinx)}^x [x cotx+ log(sinx) ]+ 1/{2 √(x-x^2)}$, Ans.
9. $x^{sinx}+(sinx)^{cosx}$
हल :-
माना $y= x^{sinx} + (sinx)^{cosx}$पुनः माना $u= x^{sinx}$ तथा $v= (sinx)^{cosx}$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx} = {du}/{dx} + {dv}/{dx} , eq(1)$
∵ $u= x^{sinx}$
दोनों पक्षों का $log लेने पर —
$logu= sinx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/u} {du}/{dx} = sinx d/{dx} logx+ logx d/{dx} sinx$
${1/u} {du}/{dx} = sinx.1/x + logx.cosx$
${du}/{dx} = u [sinx/x + logx.cosx]$
${du}/{dx} = x^{sinx} [{sinx}/x + logx.cosx], eq(2)$
Now,∵ $v= (sinx)^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv= cosx log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/v} {dv}/{dx} = cosx d/{dx} log(sinx)+ log(sinx) d/{dx} cosx$
${1/v} {dv}/{dx} = cosx.1/{sinx}.d/{dx} sinx+ log(sinx).(-sinx)$
${dv}/{dx} = v[cotx.cosx -sinx log(sinx)]$
${dv}/{dx} =(sinx)^{cosx} [cosx.cotx -sinx log(sinx)], eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx} = x^{sinx} [{sinx}/x + logx.cosx]+ (sinx)^{cosx} [cosx.cotx -sinx log(sinx)]$, Ans.
10. $x^{cosx} + {x^2+1}/{x^2-1}$
हल :-
माना $y= x^{cosx} + {x^2+1}/{x^2-1}$पुनः माना $u= x^{cosx}$ तथा $v={x^2+1}/{x^2-1}$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx} = {du}/{dx} + {dv}/{dx} , eq(1)$
∵ $u=x^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/u} {du}/{dx} = cosx d/{dx} logx+ logx d/{dx} cosx$
${1/u} {du}/{dx} =cosx.1/x + logx.(-sinx)$
${du}/{dx} = u [{cosx}/x-sinx logx ]$
${du}/{dx} = x^{cosx} [{cosx}/x - sinx logx ], eq(2)$
Now, ∵ $v= {x^2+1}/{x^2-1}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log {{x^2+1}/{x^2-1}}$
$logv=log {x^2+1} - log {x^2 -1}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/v} {dv}/{dx} = 1/{x^2+1} d/{dx} (x^2+1) - 1/{x^2-1} d/{dx} (x^2-1)$
${1/v} {dv}/{dx} = 1/{x^2+1}.(2x+0) - 1/{x^2-1}.(2x-0)$
${1/v} {dv}/{dx} = [{2x}/{x^2+1} - {2x}/{x^2-1}]$
${dv}/{dx} = v[(2x(x^2-1) - {2x (x^2+1)}/{(x^2+1)(x^2-1)}]$
$dv/dx= {x^2+1}/{x^2-1} [{2x^2-2x-2x^2-2x}/{(x^2+1)(x^2-1)}]$
${dv}/{dx} = {-4x}/{(x^2-1)}^2 , eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx} =x^{cosx} [{cosx}/x - sinx logx] +{-4x}/{(x^2-1)}^2$
${dy}/{dx} = x^{cosx} [{cosx}/x - sinx logx ] - {4x}/{(x^2-1)}^2$ , Ans.
11. $(xcosx)^x+(xsinx)^{1/x}$
हल :-
माना $y= (xcosx)^x+(xsinx)^{1/x}$पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= {x^2+1§/{x^2-1}$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx}+{dv}/{dx} , eq(1)$
∵ $u=x^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/u} {du}/{dx}= cosx d/{dx} logx+ logx d/{dx} cosx$
${1/u} {du}/{dx}=cosx.1/x + logx.(-sinx)$
${du}/{dx}=u [{cosx}/x-sinx logx ]$
${du}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x-sinx logx ], eq(2)$
Now,∵ $v= {x^2+1}/{x^2-1}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log {x^2+1}/{x^2-1}$
$logv=log(x^2+1)-log(x^2-1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/v} {dv}/{dx}=1/{x^2+1} d/{dx} (x^2+1) -1/{x^2-1} d/{dx} (x^2-1)$
${1/v} {dv}/{dx} =1/{x^2+1}.(2x+0) -1/{x^2-1}.(2x-0)$
${1/v} {dv}/{dx}=[{2x}/{x^2+1} - {2x}/{x^2-1}]$
${dv}/{dx} = v[{2x(x^2-1)- {2x (x^2+1)}/{(x^2+1)(x^2-1)}]$
${dv}/{dx} = {x^2+1}/{x^2-1}[{2x^2-2x-2x^2-2x}/{x^2+1)(x^2-1}]$
${dv}/{dx} ={-4x}/{x^2-1}^2 , eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx} =x^{cosx} [{cosx}/x-sinx logx ]+{-4x}/{(x^2-1)}^2$
${dy}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x-sinx logx ]- {4x}/{(x^2-1)}^2$ , Ans.
12. $x^y+y^x=1$
हल :-
दिया है: $x^y+y^x=1$पुनः माना $u= x^y$ तथा $v= y^x$
$u+ v=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${du}/{dx} + {dv}/{dx} =0 , eq(1)$
∵ $u=x^y$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=y logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/u} {du}/{dx} = y d/{dx} logx+ logx d/{dx} y$
${1/u} {du}/{dx} =y.1/x + logx.{dy}/{dx}$
${du}/{dx}=u [y/x+logx {dy}/{dx}]$
${du}/{dx} = x^y [y/x+logx {dy}/{dx}], eq(2)$
Now, $∵v=y^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=x logy$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${1/v} {dv}/{dx} =x d/{dx} logy+ logy d/{dx} x$
${1/v} {dv}/{dx} = x.1/y .{dy}/{dx} + logy .1$
${1/v} {dv}/{dx} = v[x/y {dy}/{dx} + logy]$
${dv}/{dx} = y^x [x/y {dy}/{dx} + logy], eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$x^y [y/x+logx {dy}/{dx}]+y^x [x/y {dy}/{dx} + logy]=0$
$x^y.y/x .+ x^y .logx .{dy}/{dx} + y^x .x/y .{dy}/{dx} +y^x logy=0$
$x^y .logx .{dy}/{dx} + y^x .x/y .{dy}/{dx} =- y^x logy- x^y.y/x$
${dy}/{dx} [x^y .logx+ y^x .x/y]=- y^x logy- x^y.y/x$
${dy}/{dx} [{y x^y logx+ y^x x }/y]={- (x y^x logy+ x^y.y)}/x$
${dy}/{dx} ={{-( x y^x logy+ x^y.y)}/x}/{{y x^y logx+ y^x x }/y} = -{y (x y^x logy- x^y.y)}/{x (y x^y logx+ y^x x )}$
${dy}/{dx} = {y x (y^x logy- x^{y-1}.y)}/{x y (x^y logx+ y^{x-1} x )}$
${dy}/{dx} ={-(y^x logy - x^{y-1} .y)}/{x^y logx+ y^{x-1}}$, Ans.
13. $y^x= x^y$
हल :-
दिया है: $y^x= x^y$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$x log y= y logx$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$x d/{dx} logy+logy d/{dx} x= y d/{dx} logx + logx {dy}/{dx}$
$x.1/y .{dy}/{dx} + logy .1= y .1/x .1+logx {dy}/{dx}$
$x/y .{dy}/{dx} -logx {dy}/{dx} =y/x-logy$
${dy}/{dx} (x/y -logx)=y/x-logy$
${dy}/{dx} ={y/x-logy}/{x/y - logx}$
${dy}/{dx} ={{y- xlogy}/x}/{{x-ylogx}/y}$
${dy}/{dx} ={y(y-xlogy)}/{x(x-ylogx)}$, Ans.
14. ${(cosx)}^y={(cosy)}^x$
हल :-
दिया है: ${(cosx)}^y={(cosy)}^x$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$y log(cosx)= x log(cosy)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$y d/{dx} log(cosx) + log(cosx) {dy}/{dx} = x d/{dx} log(cosy)+log(cosx) d/{dx} x$
$y .1/{cosx}.(-sinx).1 +।log(cosx) {dy}/{dx} = x.1/{cosy}.(-siny).{dy}/{dx} +log(cosx).1$
$-y tanx + log(cosx) {dy}/{dx} = -x tany {dy}/{dx} +log(cosx)$
$log(cosx) {dy}/{dx} +x tany {dy}/{dx} = log(cosx)+y tanx$
${dy}/{dx} [log(cosx)+x tany]= log(cosx)+y tanx$
${dy}/{dx} ={log(cosx)+y tanx}/{log(cosx)+x tany}$ Ans.
15. $xy=e^{(x-y)}$
हल :-
दिया है: $xy=e^{(x-y)}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$log(xy) = (x-y)loge$
$logx+ logy=(x-y)loge$
$logx+ logy=x-y ,∵ loge=1$
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} logx + d/{dx} logy= d/{dx} x- d/{dx} y$
${1/x} .+{1/y} .{dy}/{dx} =1- {dy}/{dx}$
${1/y} .{dy}/{dx} + {dy}/{dx} =1-{1/x}$
${dy}/{dx} (1/y+1)= {x- 1}/x$
${dy}/{dx} ({1+y}/y)= {x- 1}/x$
${dy}/{dx} ({1+y}/y)= {x- 1}/x × {y/{1+y}} $
${dy}/{dx} = {y(x-1)}/{x(y+1)}$ Ans.
16. $f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+ x^8)$ द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार $f^'(1)$ ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है: $f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+ x^8)$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$log(f(x))=log(1+x)+log(1+x^2)+log(1+x^4) +log(1+ x^8)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} {log(f(x)) to} =d/{dx} log(1+x)+d/{dx} log(1+x^2)+d/{dx} log(1+x^4 )+d/{dx} log(1+ x^8)$
$1/{f(x)}.f^'(x)=1/{1+x} (0+1)+1/{1+x^2} (0+2x)+1/{1+x^4} (0+4x^3) + 1/{1+x^8} (0+8x^7 )$
$f^'(x)=f(x)[1/{1+x} (0+1)+ {2x}/{1+x^2} +{4x^3}/{1+x^4} + {8x^7}/{1+x^8}]$
$f^' (x)= (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+ x^8)[1/{1+x} + {2x}/{1+x^2} + {4x^3}/{1+x^4} +{8x^7}/{1+x^8}]$, Ans.
$f^' (1)= (1+1)(1+1^2 )(1+1^4 )(1+ 1^8)[1/{1+1} + {2.(1)}/{1+1^2} + {4(1)^3}/{1+{1}^4} + {8(1)^7}/{1+(1)^8}]$
$f^'(1)= (1+1)(1+1)(1+1)(1+ 1)[1/{1+1} +2/{1+1} +4/{1+1} +8/{1+1}]$
$f^'(1)= 2×2×2×2[1/2 +2/2 +4/2 +8/2 ]=16× {1/2} [1+2+4+8]$
$f^'(1)= 8×15=120$ Ans.
17. $(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$ का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
हल (i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
माना $y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$गुणनफल नियम का प्रयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=(x^2-5x+8) d/{dx} (x^3+7x+9)+(x^3+7x+9) d/{dx} (x^2-5x+8)$
${dy}/{dx}=(x^2-5x+8)(3x^3+7)+(x^3+7x+9)(2x-5)$
${dy}/{dx}=3x^4-15x^3+24x^2+7x^2-35x+56+2x^4+14x^2+18x-5x^3-35x-45$
${dy}/{dx}=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11$ Ans.
हल:– (ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
माना $y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$$y=x^5+7x^3+9x^2-5x^4-35x^2-45x+8x^3+56x+72$
$y=x^5-5x^4+15x^3-26x^2+11x+72$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=x^5-5 d/{dx} x^4+15 d/{dx} x^3-26 d/{dx} x^2+11 d/{dx} x+ d/{dx} 72$
${dy}/{dx}=5(x^4 )-5(4x^3 )+15(3x^2 )-26(2x)+11(1)+0$
${dy}/{dx}=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11$ Ans.
हल:– (iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
माना $y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log(x^2-5x+8)+log(x^3+7x+9)$
${1/y} {dy}/{dx}=1/{(x^2-5x+8)} (2x-5) + 1/{(x^3+7x+9)}(3x^2+7)$
${dy}/{dx}=y[{(2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8)}/{(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)}]$
${dy}/{dx}=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)[{(2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8)}/{(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)}]$
${dy}/{dx}=[(2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8)]$
${dy}/{dx}=[2x^4-5x^3+14x^2-35x+18x-45+3x^4+7x^2-15x^3-35x+24x^2+56]$
${dy}/{dx}=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11 $ Ans.
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End
Exercise 5.5 - Completely Solved.
End
Exercise 5.5 - Completely Solved.
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