प्रश्नावली (7.2) NCERT Math Class 12th SOLVED BY : AJAY SIR

7 समाकलन | प्रश्नावली 7.2 | NCERT Maths Class 12 Chapter 7 Exercise 7.2 all questions UP Board Hindi Medium

7 समाकलन (Integrals) प्रश्नावली (7.2) NCERT Math Class 12th SOLVED By : AJAY SIR

अध्याय 7 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 7.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?

1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए।

1. ${2x}/{1+x^2}$

2. ${{(logx)}^2}/x$

3. $1/{x+xlogx}$ 

4. $sinx. sin⁡(cosx)$

5. $sin(ax+b). cos⁡(ax+b)$

6. $√(ax+b)$

7. $x√(x+2)$

8. $x√(1+2x^2)$

9. $(4x+2) √(x^2+x+1)$

10. $1/{x-√x}$

11. $x/{√(x+4)} ,x>0$

12. $(x^3-1)^{1/3} x^5$

13. ${x^2}/{(2+3x^3)}^3$

14. $1/{x(logx)^m}, x>0, m≠1$

15. $x/{9-4x^2}$

16. $e^{2x+3}$

17. $x/{e^{x^2}}$

18. ${e^{tan^{-1} x}}/{1+x^2}$

19. ${e^{2x}-1}/{e^{2x}+1}$

20. ${e^{2x}-e^{-2x}}/{e^{2x} +e^{-2x}}$

21. $tan^2 ⁡(2x-3)$

22. $sec^2⁡(7-4x)$

23. ${sin^{-1} x}/{√(1-x^2)}$

24. ${2cosx-3sinx}/{6cosx+4sinx}$

25. $1/{cos^2 x (1-tanx)^2}$

26. ${cos√x}/{√x}$

27. $1/{cos^2 x (1-tanx)^2}$

28. $√{sin2x} cos2x$

29. ${cosx}/{√{1+sinx}}$

30. $cotx log⁡sinx$

31. ${sinx}/{1+cosx}$

32. ${sinx}/{(1+cosx)^2}$

33. $1/{1+cotx}$

34. $1/{1-tanx}$

35. ${√{tanx}}/{sinx cosx}$

36. ${(x+1) (x+logx)^2}/x$

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12th NCERT Math Chapter 7 Exercise 7.2 का सम्पूर्ण समाधान/Solution.

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1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए।
1. ${2x}/{1+x^2}$

हल :-

$∫{2x}/{1+x^2} dx =?$
माना $1+x^2= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0+2x)dx= dt$
$2x dx= dt$
$∫{2x}/{1+x^2} dx= ∫{dt}/t dx$
$=log⁡{|t|+C}$
$=log⁡{|1+x^2|+C$ Ans.

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2. ${{(logx)}^2}/x$

हल :-

$∫{{(logx)}^2}/x dx = ?$
माना $logx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${1/x}dx= dt$
$∫{{(logx)}^2}/x dx= ∫t^2 dt$
$=t^{2+1}/{2+1}$
$={t^3}/3+C$
$=1/3 {(logx)}^3+C$ Ans.

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3. $1/{x+xlogx}$

हल :-

$∫1/{x+xlogx} dx =?$
$∫1/{x+xlogx} dx= ∫1/{x(1+logx)} dx$
माना $1+logx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0+1/x)dx= dt$
${dx}/x= dt$
$∫1/{x(1+logx)} dx=∫{dt}/t$
$=log⁡|t|+C$
$=log⁡|1+logx|+C$ Ans.

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4. $sinx sin⁡(cosx)$

हल :-

$∫{sinx. sin⁡(cosx)} dx =?$
माना $cosx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$-sinx dx= dt$
$sinx dx= -dt$
$∫{sinx. sin⁡(cosx)} dx$
$=∫{sint (-dt)} $
$=-∫{sint dt} $
$=-(-cost)+C$
$=cost+C$
$=cos⁡(cosx)+C$ Ans.

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5. $sin(ax+b) cos⁡(ax+b)$

हल :-

$∫{sin(ax+b) cos⁡(ax+b)} dx =?$
माना $ax+b= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$[a(1)+0] dx= dt$
$a dx= dt$
$dx={1/a} dt$
$∫{sin(ax+b). cos⁡(ax+b)} dx$
$=∫{sint. cost ({dt}/a)}$
$=1/a ∫{2/2×sint. cost dt}$
$=1/{2a} ∫{2sint cost dt} $
$=1/{2a} ∫{sin2t dt} $
$=1/{2a} {(-cos2t)}/2+C$
$=-1/{4a} cos⁡2t+C$
$=-1/{4a} cos⁡2(ax+b)+C$ Ans.

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6. $√(ax+b)$

हल :-

हल : $∫√(ax+b) dx= ∫{(ax+b)}^{1⁄2} dx$
माना $ax+b= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$[a(1)+0] dx= dt$
$a dx= dt$
$dx={1/a} dt$
$∫{(ax+b)}^{1⁄2} dx =1/a ∫{t^{1⁄2} dt}$
$=1/a {t^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1} +C$
$=1/a {t^{3⁄2}}/{3⁄2}+C$
$=2/{3a} t^{3⁄2}+C$
$=2/{3a} {(ax+b)}^{3⁄2}+C$
Ans.

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7. $x√(x+2)$

हल :-

$∫x√(x+2) dx =?$ $= ∫x(x+2)^{1⁄2} dx$
माना $x+2= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(1+0) dx= dt$
$dx= dt$
∵ $x+2= t$
∴ $x= t-2$
$∫x(x+2)^{1⁄2} dx= ∫(t-2) t^{1⁄2} dt$
$= ∫(t^{3⁄2} -2t^{1⁄2}) dt$
$=∫t^{3⁄2} dx - 2∫t^{1⁄2} dx$
$={t^{3⁄2+1}}/{3⁄2+1} -2 {t^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1}+C$
$={t^{5∕2}}/{5⁄2} -2 {t^{3⁄2}}/{3⁄2} +C$
$=2/5 t^{5⁄2} - 4/3 t^{3⁄2}+C$
$=2/5 (x+2)^{5⁄2} -4/3 (x+2)^{3⁄2}+C$
Ans.

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8. $x√(1+2x^2)$

हल :-

$∫x√(1+2x^2) dx$
माना $1+2x^2= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0+2.2x) dx= dt$
 $4x dx= dt$
 $x dx={dt}/4$
$∫x√(1+2x^2) dx=1/4 ∫√t dt$
$=1/4 ∫t^{1⁄2} dt$
$=1/4 {t^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1} +C$
$=1/4 {t^{3⁄2}}/{3⁄2}+C$
$=2/{12} t^{3⁄2}+C$
$=1/6 t^{3⁄2}+C$
$=1/6 (1+2x^2)^{3⁄2}+C$ Ans.

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9. $(4x+2) √(x^2+x+1)$

हल :-

$∫(4x+2) √(x^2+x+1) dx$
$=∫2(2x+1) √(x^2+x+1) dx$
$=2∫(2x+1) √(x^2+x+1) dx$
माना $x^2+x+1= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(2x+1+0)dx= dt$
$(2x+1)dx= dt$
$2∫(2x+1) √(x^2+x+1) dx=2∫√t dt$
$=2∫t^{1⁄2} dt$
$=2 {t^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1}+C$
 $=2 {t^{3⁄2}}/{3⁄2}+C$
$=4/3 t^{3⁄2}+C$
$=4/3 (x^2+x+1)^{3⁄2}+C$ Ans.

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10. $1/{x-√x}$

हल :-

$∫1/{x-√x} dx= ∫1/{√x (√x-1)} dx$
माना $√x-1= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$({1/{2√x}}-0)dx= dt$
$1/{2√x} dx= dt$
$1/{√x} dx=2 dt$
$∫1/{√x (√x-1)} dx=∫{1/t} (2dt)$
$=2∫{dt}/t$
$=2 log⁡|t|+C$
$=2 log⁡|√x-1|+C$ Ans.

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11. $x/{√(x+4)} ,x>0$

हल :-

$∫x/{√(x+4)} dx$
माना $x+4= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(1-0)dx= dt$
$dx= dt ,eq(1)$
$x+4=t$
$x= t-4 ,eq(2)$
$∫x/{√(x+4)} dx=∫{t-4}/{√t} dt$
$=∫t/{√t} dt- ∫4/{√t} dt$
$=∫t^{1⁄2} dt -4∫t^{{-1}⁄2} dt$
$=t^{1⁄2+1}/{1⁄2+1} -4 t^{{-1}⁄2+1 }/{{-1}⁄2+1}+C$
$=t^{3∕2}/{3⁄2}-4 t^{1⁄2}/{1⁄2}+C$
$=2/5 t^{3⁄2} -8t^{1⁄2}+C$
$=2/5 (x+4)^{3⁄2} -8(x+4)^{1⁄2} +C$ Ans.

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12. $(x^3-1)^{1/3} x^5$

हल :-

$∫(x^3-1)^{1/3} x^5 dx$
माना $x^3-1= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(3x^2-0)dx= dt$
$3x^2 dx= dt$
$3x^2 dx={dt}/3 ,eq(1)$
$x^3-1=t$
$x^3= t+1 ,eq(2)$
$∫(x^3-1)^{1/3} x^2.x^3 dx$
$=1/3 ∫t^{1⁄3} (t+1) dt$
$=1/3 ∫t^{4⁄3} + t^{1⁄3} dt$
$=1/3 [∫t^{4⁄3} dt+∫t^{1⁄3} dt]$
$=1/3 [{t^{4⁄3+1}}/{4⁄3+1}+ {t^{1⁄3+1}}/{1⁄3+1}]+C$
$=1/3 [{t^{7∕3}}/{7⁄3} + {t^{4⁄3}}/{4⁄3}]+C$
$=1/3 [{3/7}   t^{7⁄3} + 3/4  t^{4⁄3}]+C$
$=3/3 [{1/7}  t^{7⁄3} + 1/4  t^{4⁄3}]+C$
$=1/7  t^{7⁄3} +1/4  t^{4⁄3}+C$
$=1/7  (x^3-1)^{7⁄3} +1/4  (x^3-1)^{4⁄3} +C$, Ans.

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13. ${x^2}/{(2+3x^3)}^3$

हल :-

$∫{x^2}/{(2+3x^3)}^3 dx$
माना $2+3x^3= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0+3.3x^2)dx= dt$
$9x^2 dx= dt$
$x^2 dx={dt}/9$
$∫{x^2}/{(2+3x^3)}^3 dx=1/9 ∫{dt}/{t^3}$
$=1/9 ∫t^{-3} dt$
$=2/9 {t^{-3+1}}/{-3+1} +C$
 $=1/9 {t^{-2}}/{-2} +C$
$={-1}/{18} t^{-2} +C$
$={-1}/{18} (2+3x^3)^{-2} +C$
$={-1}/{18} 1/{(2+3x^3)}^2 +C$, Ans.

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14. $1/{x(logx)^m}, x>0, m≠1$

$∫1/{x(logx)^m} dx$

हल :-

माना $logx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${1/x}dx= dt$
$∫1/{x(logx)^m} dx=∫{dt}/{t^m}$
$=∫t^{-m} dt$
$={t^{-m+1}}/{-m+1} +C$
$={t^{1-m}}/{1-m}$
$={(logx)^{1-m}}/{1-m} +C$, Ans.

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15. $x/{9-4x^2}$

हल :-

$∫x/{9-4x^2} dx$
माना $9-4x^2= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0-4.2x)dx= dt$
$-8x dx= dt$
$x dx={-dt}/8 ={{-1}/8} dt$
$∫x/{9-4x^2} dx={-1}/8 ∫{dt}/t$
$={-1}/8 ∫{dt}/t$
$={-1}/8 log⁡|t|+C$
$={-1}/8 log⁡|9-4x^2|+C$, Ans.

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16. $e^{2x+3}$

हल :-

$∫e^{2x+3} dx$
माना $2x+3= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(2.1+0)dx= dt$
$x dx={dt}/2$
$x dx={dt}/2$
$∫e^{2x+3} dx=1/2 ∫e^t dt$
$=1/2 e^t+C$
$=1/2 e^{2x+3}+C$, Ans.

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17. $x/{e^{x^2}}$

हल :-

$∫x/{e^{x^2}} dx$
माना $x^2= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$2x dx= dt$
$x dx={dt}/2$
$∫x/{e^{x^2}} dx=1/2 ∫{dt}/{e^t}$
$=1/2 ∫e^{-t} dt$
$=1/2 (-e^{-t}) +C$
$=1/2 (-e^{-x^2})+C$
$=-1/{2e^{x^2}}+C$, Ans.

---

18. ${e^{tan^{-1} x}}/{1+x^2}$

हल :-

${e^{tan^{-1} x}}/{1+x^2}$
माना $tan^{-1} x= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(1/{1+x^2}) dx= dt$
${e^{tan^{-1} x}}/{1+x^2} dx=∫e^t dt$
$=e^t+C$
$=e^{tan^{-1} x}+⁡C$, Ans.

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19. ${e^{2x}-1}/{e^{2x}+1}$

हल :-

$∫{e^{2x}-1}/{e^{2x}+1} dx$
अंश और हर में $e^x$ से भाग देने पर —
$∫{e^{2x}-1}/{e^{2x}+1} dx$
$= ∫{e^{2x}}/{e^x -1/{e^x}}/{e^{2x}/{e^x +1}/{e^x} dx$
$∫{e^x-e^{-x}}/{e^x+e^{-x}} dx$
माना $e^x+e^{-x}= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$∫{e^x-e^{-x}}/{e^x+e^{-x}} dx=∫{dt}/t $=log⁡|t|+C$
$=log⁡|e^x+e^{-x}|+C$, Ans.

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20. ${e^{2x}-e^{-2x}}/{e^{2x} +e^{-2x}}$

हल :-

$∫{e^{2x}-e^{-2x}}/{e^{2x} +e^{-2x}} dx$
माना $e^{2x}+e^{-2x}= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$e^{2x} . (2) + e^{-2x} (-2) dx= dt$
$2(e^{2x}-e^{-2x}) dx= dt$
$e^{2x}+e^{-2x} dx={dt}/2$
$∫{e^{2x}-e^{-2x}}/{e^{2x}+e^{-2x}} dx=1/2 ∫{dt}/t$
$=1/2 log⁡|t|+C$
$=1/2 log⁡|e^{2x}-e^{-2x}|+C$, Ans.

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21. $tan^2 ⁡(2x-3)$

हल :-

$∫tan^2⁡(2x-3) dx$
माना $2x+3= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(2.1+0)dx= dt$
$x dx={dt}/2$
$x dx={dt}/2$
$∫tan^2⁡(2x-3) dx=1/2 ∫tan^2 t dt$
$=1/2 ∫(sec^2⁡t-1) dt$
$=1/2 [∫sec^2 t dt -∫1 dt]$
$=1/2 [tant-t] +C$
$=1/2 tant-1/2 t+C$
$=1/2 tan⁡(2x+3)-1/2 (2x+3)+C$, Ans.

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22. $sec^2⁡(7-4x)$

हल :-

$∫sec^2⁡(7-4x) dx$
माना $7-4x= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0-4.1)dx= dt$
$-4 dx=dt$
$dx=-{dt}/4$
$∫sec^2⁡(7-4x) dx=-1/4 ∫sec^2 t dt$
$=-1/4 ∫sec^2 t dt$
$=-1/4 tant+C$
$=-1/4 tan⁡(7-4x)+C$, Ans.

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23. ${sin^{-1} x}/{√(1-x^2)}$

हल :-

$∫{sin^{-1} x}/√{1-x^2} dx$
माना $sin^{-1} x= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$1/{√(1-x^2)} dx= dt$
$∫{sin^{-1} x}/{√(1-x^2)} dx=∫t dt$
$=t^{1+1}/{1+1}+C$
$={t^2}/2+C$
$=1/2 (sin^{-1})^2+C$, Ans.

---

 

24. ${2cosx-3sinx}/{6cosx+4sinx}$

हल :-

$∫{2cosx-3sinx}/{6cosx+4sinx} dx$
$= ∫{2cosx-3sinx}/{2(3cosx+2sinx)} dx$
$=1/2 ∫{2cosx-3sinx}/{3cosx+2sinx} dx$
माना $3cosx+2sinx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$[3(-sinx)+2cosx]dx=dt$
$(-3sinx+2cosx)dx= dt$
$(2cosx-3sinx)dx= dt$
$1/2 ∫{2cosx-3sinx}/{3cosx+2sinx} dx=1/2 ∫{dt}/t$
$=log⁡|t|+C$
$=log⁡|3cosx+2sinx|+C$, Ans.

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25. $1/{cos^2 x (1-tanx)^2}$

हल :-

$∫1/{cos^2 x (1-tanx)^2} dx$
माना $1-tanx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0-sec^2⁡x)dx=dt$
$-sec^2⁡x dx= dt$
$sec^2⁡x dx=- dt$
$1/{cos^2 x} dx=- dt$
$∫1/{cos^2 x(1-tanx)^2} dx=-∫{dt}/{t^2}$
$=-∫t^{-2} dt$
$={-t^{-2+1}}/{-2+1} +C$
$=-t^{-1}/{-1}+C$
$=t^{-1}+C$
$=1/t+C$
$=1/{1-tanx}+C$, Ans.

---

 

26. ${cos√x}/{√x}$

हल :-

$∫{cos√x}/{√x} dx$
माना $√x= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —$
$1/{2√x} dx=dt$
$1/{√x} dx=2dt$
$∫{cos√x}/{√x} dx=2∫cost dt$
$=2 sint+C$
$=2 sin√x+C$, Ans.

---

 

27. $1/{cos^2 x (1-tanx)^2}$

हल :-

$∫1/{cos^2 x (1-tanx)^2} dx$
माना $1-tanx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0-sec^2 ⁡x)dx=dt$
$-sec^2⁡ x dx= dt$
$sec^2⁡ x dx=- dt$
$1/{cos^2 x} dx=- dt$
$∫1/{cos^2 x(1-tanx)^2} dx =-∫{dt}/{t^2}$
$=-∫t^{-2} dt$
$=-t^{-2+1}/{-2+1}+C$
$=-t^{-1}/{-1}+C$
$=t^{-1}+C$
$=1/t+C$
$=1/{1-tanx}+C$, Ans.

---

 

28. $√{sin2x} cos2x$

हल :-

$∫√{sin2x} cos2x dx$
माना $sin2x= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(cos2x.2) dx= dt$
$2cos2x dx= dt$
$cos2x dx=1/2 dt$
$∫√{sin2x} cos2x dx=1/2 ∫√t dt $
$=1/2 ∫t^{1⁄2} dt$
$=1/2 t^{1⁄2+1}/{1⁄2+1}+C$
$=1/2 t^{3∕2}/{3⁄2}+C$
$=2/6 t^{3⁄2}+C$
$=1/3 sin2x^{3⁄2}+C$, Ans.

---

 

29. ${cosx}/{√{1+sinx}}$

हल :-

$∫{cosx}/{√{1+sinx}} dx$
माना $1+sinx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0+cosx) dx= dt$
$cosx dx= dt$
$∫{cosx}/{√{1+sinx}} dx=∫{dt}/{√t}$
$=∫t^{{-1}⁄2} dt$
$={t^{{-1}⁄2+1}}/{{-1}⁄2+1}+C$
$={t^{1∕2}}/{1⁄2}+C$
$=2 t^{1⁄2}+C$
$=2 √t+C$
$=2 √{1+sinx}+C$, Ans.

---

 

30. $cotx log⁡sinx$

हल :-

$∫{cotx. log⁡sinx⁡} dx$
माना $log⁡sinx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$1/{sinx}.cosx dx=dt$
${cosx}/{sinx} dx=dt$
$cotx dx= dt$
$∫{cotx. log⁡sinx⁡} dx$
$=∫t dt$
$={t^{1+1}}/{1+1}+C$
$=t^2/2+C$
$=1/2 (log⁡sinx)^2+C$, Ans.

---

 

31. ${sinx}/{1+cosx}$

हल :-

$∫{sinx}/{1+cosx} dx$
माना $1+cosx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0-sinx)dx=dt$
$-sin⁡x dx= dt$
$sin⁡x dx=- dt$
$∫{sinx}/{1+cosx} dx$
$=-∫{dt}/t$
$=-log⁡|t|+C$
$=log⁡|1+cosx|+C$, Ans.

---

 

32. ${sinx}/{(1+cosx)^2}$

हल :-

$∫{sinx}/{(1+cosx)^2} dx$
माना $1+cosx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$[0+(-sinx)]dx= dt$
$-sinx dx=dt$
$sinx dx= -dt$
$∫{sinx}/{(1+cosx)^2} dx=-∫1/{t^2} dt$
$=-∫t^{-2} dt$
$= -t^{-2+1}/{-2+1} +C$
$={ -t^{-1}}/{-1}+C$
$=1/t+C$
$=1/{1+cosx}+C$, Ans.

---

 

33. $1/{1+cotx}$

हल :-

$∫1/{1+cotx} dx$
$= ∫1/{1+cosx/sinx} dx$
$= ∫1/{{sinx+cosx}/{sinx}} dx$
$= ∫{sinx}/{sinx+cosx} dx$
$= ∫{sinx}/{sinx+cosx} dx$
$=1/2 ∫{2sinx}/{sinx+cosx} dx$
$=1/2 ∫{sinx+ sinx}/{sinx+cosx} dx$
$=1/2 ∫{sinx+cosx+ sinx-cosx}/{sinx+cosx} dx$
$=1/2 ∫{sinx+ sinx}/{sinx+cosx} dx+1/2 ∫{sinx- sinx}/{sinx+cosx} dx $
$=1/2 ∫1 dx+1/2 ∫{sinx- sinx}/{sinx+cosx} dx$
$=1/2 x+1/2 ∫{sinx- sinx}/{sinx+cosx} dx$
माना $sinx+cosx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$[cosx+(-sinx)]dx= dt$
$(cosx-sinx )dx=dt$
$=1/2 x+1/2 ∫{dt}/t$
$=1/2 x+1/2 log⁡|t|+C$
$=1/2 x+1/2 log⁡|sinx+cosx|+C$, Ans.

---

 

34. $1/{1-tanx}$

हल :-

$∫1/{1-tanx} dx$
$=∫1/{1-sinx/cosx} dx$
$=∫1/{{cosx-sinx}/{cosx}} dx$
$=∫{cosx}/{cosx-sinx} dx$
$=1/2 ∫{2cosx}/{cosx-sinx} dx$
$=1/2 ∫{cosx+cosx}/{cosx-sinx} dx$
$=1/2 ∫{cosx+cosx+sinx-sinx}/{cosx-sinx} dx$
$=1/2 ∫{cosx+sinx}/{cosx-sinx} dx+ 1/2 ∫{cosx-sinx}/{cosx-sinx} dx $
$=1/2 ∫{cosx+sinx}/{cosx-sinx} dx+ 1/2 ∫1 dx$
$=1/2 ∫{cosx+sinx}/{cosx-sinx} dx+ 1/2 x$
माना $cosx-sinx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(-sinx-cosx) dx= dt$
$-(sinx+cosx) dx= dt$
$(sinx+cosx) dx=- dt$
$1/2 ∫{cosx+sinx}/{cosx-sinx} dx+ 1/2 x=∫{-dt}/t +1/2 x$
$=-∫{dt}/t+1/2 x$
$=-1/2 log|t|+1/2 x$
$=-1/2 log|cosx-sinx|+1/2 x+C$, Ans.

---

 

35. ${√{tanx}}/{sinx cosx}$

हल :-

$∫{√{tanx}}/{sinx cosx} dx = ∫{{√{tanx}}/{sinx cosx}}.{{√{tanx}}/{√{tanx}}} dx$
$= ∫{{tanx}/{sinx cosx}} .{1/{√{tanx}}}dx$
$= ∫{{{sinx}/{cosx}}/{sinx cosx}}.{1/{√{tanx}}} dx$
$= ∫{sinx}/{sinx cos^2 ⁡x} .{1/{√{tanx}}} dx$
$= ∫{1/cos^2⁡ x}.{1/{√{tanx}}} dx$
$= ∫sec^2⁡ x {1/{√{tanx}}} dx$
माना $tanx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$sec^2⁡ x dx=dt$
$∫sec^2⁡ x {1/{√{tanx}}} dx = ∫{dt}/{√t} $
$=∫t^{{-1}⁄2}dt$
$={t^{-1}⁄2+1}/{{-1}⁄2+1}+C$
$={t^{1⁄2}}/{1⁄2}+C$
$=2 t^{1⁄2}+C$
$=2 √t+C$
$=2 √{tanx}+C$, Ans.

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36. ${(x+1) (x+logx)^2}/x$

हल :-

$∫{(x+1)(x+logx)^2}/x dx=∫({x/x}+{1/x}) (x+logx)^2 dx$
$=∫(1+{1/x}) (x+logx)^2 dx$
माना $x+logx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(1+{1/x})dx=dt$
$∫(1+{1/x}) (x+logx)^2 dx=∫t^2 dt$
$=t^{2+1}/{2+1}+C$
$={t^3}/3+C$
$={(x+logx)^3}/3+C$, Ans.

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End

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Exercise 7.2 - Completely Solved.

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