प्रश्नावली (7.2) NCERT Math Class 12th SOLVED BY : AJAY SIR

7 समाकलन | प्रश्नावली 7.2 | NCERT Maths Class 12 Chapter 7 Exercise 7.2 all questions UP Board Hindi Medium

7 समाकलन (Integrals) प्रश्नावली (7.2) NCERT Math Class 12th SOLVED By : AJAY SIR

अध्याय 7 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 7.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?

1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए।

1. ${2x}/{1+x^2}$

2. ${{(logx)}^2}/x$

3. $1/{x+xlogx}$ 

4. $sinx. sin⁡(cosx)$

5. $sin(ax+b). cos⁡(ax+b)$

6. $√(ax+b)$

7. $x^2 (1-1/{x^2})$

8. $ax^2+bx+C$

9. $2x^2+e^x$

10. ${(√x-1/√x)}^2$

11. $∫{x^3+5x^2-4}/x^2 dx$

12. $∫{x^3+3x+4}/{√x} dx$

13. $∫{x^3-x^2+x-1}/{x-1} dx$

14. $∫(1-x) √x dx$

15. $∫√x (3x^2+2x+3) dx$

16. $∫(2x-3cosx+e^x) dx$

17. $∫(2x^2-3sinx+5√x) dx$

18. $∫secx(secx+tanx) dx$

19. $∫{sec^2 x}/{cosec^2 x} {dx}$

20. $∫{{2-3sinx}/{cos^2 ⁡x}} ⁡{dx}$

प्रश्न $21$ एवं $22$ में सही उत्तर का चयन कीजिए :

21. $(√x+1/{√x})$ का प्रतिअवकलज है :
(A) $1/3 x^{1⁄3} +2x^{1∕2} +C$
(B) $2/3 x^{2/3} + 1/2 x^2+C$
(C) $2/3 x^{3⁄2} +2x^{1/2} +C$
(D) $2/3 x^{1/2}+2x^{1/2} +C$

22. यदि $d/{dx} f(x)=4x^3 - 3/{x^4}$ जिसमें $f(2)=0$ है तो $f(x)$ है :
(A) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(B) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(C) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(D) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$

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12th NCERT Math Chapter 7 Exercise 7.2 का सम्पूर्ण समाधान/Solution.

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1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए।
1. ${2x}/{1+x^2}$

हल :-

$∫{2x}/{1+x^2} dx =?$
माना $1+x^2= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0+2x)dx= dt$
$2x dx= dt$
$∫{2x}/{1+x^2} dx= ∫{dt}/t dx$
$=log⁡{|t|+C}$
$=log⁡{|1+x^2|+C$ Ans.

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2. ${{(logx)}^2}/x$

हल :-

$∫{{(logx)}^2}/x dx = ?$
माना $logx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${1/x}dx= dt$
$∫{{(logx)}^2}/x dx= ∫t^2 dt$
$=t^{2+1}/{2+1}$
$={t^3}/3+C$
$=1/3 {(logx)}^3+C$ Ans.

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3. $1/{x+xlogx}$

हल :-

$∫(1/{x+xlogx}) dx =?$
$∫1/(x+xlogx) dx= ∫1/{x(1+logx)} dx$
माना $1+logx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$(0+1/x)dx= dt$
${dx}/x= dt$
$∫1/{x(1+logx)} dx=∫{dt}/t$
$=log⁡|t|+C$
$=log⁡|1+logx|+C$ Ans.

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4. $sinx. sin⁡(cosx)$

हल :-

$∫{sinx. sin⁡(cosx)} dx =?$
माना $cosx= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$-sinx dx= dt$
$sinx dx= -dt$
$∫{sinx. sin⁡(cosx)} dx$
$=∫{sint (-dt)} $
$=-∫{sint dt} $
$=-(-cost)+C$
$=cost+C$
$=cos⁡(cosx)+C$ Ans.

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5. $sin(ax+b) cos⁡(ax+b)$

हल :-

$∫{sin(ax+b) cos⁡(ax+b)} dx =?$
माना $ax+b= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$[a(1)+0] dx= dt$
$a dx= dt$
$dx={1/a} dt$
$∫{sin(ax+b). cos⁡(ax+b)} dx$
$=∫{sint. cost (dt/a)}$
$=1/a ∫{2/2×sint. cost dt}$
$=1/{2a} ∫{2sint cost dt} $
$=1/{2a} ∫{sin2t dt} $
$=1/{2a} {(-cos2t)}/2+C$
$=-1/{4a} cos⁡2t+C$
$=-1/{4a} cos⁡2(ax+b)+C$ Ans.

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6. $√(ax+b)$

हल :-

हल : $∫√(ax+b) dx= ∫{(ax+b)}^{1⁄2} dx$
माना $ax+b= t$
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$[a(1)+0] dx= dt$
$a dx= dt$
$dx={1/a} dt$
$∫{(ax+b)}^{1⁄2} dx$ =1/a ∫{t^{1⁄2} dt}$
$=1/a {t^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1} +C$
$=1/a {t^{3⁄2}}/{3⁄2}+C$
$=2/{3a} t^{3⁄2}+C$
$=2/{3a} {(ax+b)}^{3⁄2}+C$
Ans.

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7. x√(x+2)

हल :-

हल : ∫▒〖 x√(x+2)〗 dx = ∫▒〖x(x+2)^(1⁄2) 〗 dx माना x+2= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (1+0) dx= dt  dx= dt ∵x+2= t ∴ x= t-2 ∫▒〖x(x+2)^(1⁄2) 〗 dx= ∫▒〖(t-2) t^(1⁄2) 〗 dt  = ∫▒(t^(3⁄2)-2t^(1⁄2) ) dt =∫▒t^(3⁄2) dx-2∫▒t^(1⁄2) dx =t^(3⁄2+1)/(3⁄2+1)-2 t^(1⁄2+1 )/(1⁄2+1)+C  =t^(5∕2)/(5⁄2)-2 t^(3⁄2)/(3⁄2)+C =2/5 t^(5⁄2)-4/3 t^(3⁄2)+C =2/5 (x+2)^(5⁄2)-4/3 (x+2)^(3⁄2)+C Ans.

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8. x√(1+2x^2 )

हल :-

हल : ∫▒〖 x√(1+2x^2 )〗 dx माना 1+2x^2= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (0+2.2x) dx= dt  4x dx= dt  x dx=dt/4 ∫▒〖 x√(1+2x^2 )〗 dx=1/4 ∫▒√t dt =1/4 ∫▒t^(1⁄2) dt =1/4 t^(1⁄2+1 )/(1⁄2+1)+C  =1/4 t^(3⁄2)/(3⁄2)+C =2/12 t^(3⁄2)+C =1/6 t^(3⁄2)+C =1/6 (1+2x^2 )^(3⁄2)+C Ans.

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9. (4x+2) √(x^2+x+1)

हल :-

हल : ∫▒〖(4x+2) √(x^2+x+1)〗 dx =∫▒〖2(2x+1) √(x^2+x+1)〗 dx =2∫▒〖(2x+1) √(x^2+x+1)〗 dx माना x^2+x+1= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (2x+1+0)dx= dt  (2x+1)dx= dt 2∫▒〖(2x+1) √(x^2+x+1)〗 dx=2∫▒√t dt =2∫▒t^(1⁄2) dt =2 t^(1⁄2+1 )/(1⁄2+1)+C  =2 t^(3⁄2)/(3⁄2)+C =4/3 t^(3⁄2)+C =4/3 (x^2+x+1)^(3⁄2)+C Ans.

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10. 1/(x-√x)

हल :-

∫▒1/(x-√x) dx= ∫▒1/(√x (√x-1) ) dx माना √x-1= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (1/(2√x)-0)dx= dt 1/(2√x) dx= dt 1/√x dx=2 dt ∫▒1/(√x (√x-1) ) dx=∫▒1/t(2dt) =2∫▒dt/t =2 log⁡|t|+C =2 log⁡|√x-1|+C Ans.

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  11. x/√(x+4) ,x>0 ∫▒x/√(x+4) dx माना x+4= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (1-0)dx= dt dx= dt ,eq(1) x+4=t  x= t-4 ,eq(2) ∫▒x/√(x+4) dx=∫▒(t-4)/√t dt =∫▒t/√t dt-∫▒4/√t dt =∫▒t^(1⁄2) dt-4∫▒t^(-1⁄2) dt =t^(1⁄2+1)/(1⁄2+1)-4 t^((-1)⁄2+1 )/(-1⁄2+1)+C  =t^(3∕2)/(3⁄2)-4 t^(1⁄2)/(1⁄2)+C =2/5 t^(3⁄2)-8t^(1⁄2)+C =2/5 (x+4)^(3⁄2)-8(x+4)^(1⁄2)+C Ans.   12. (x^3-1)^(1/3) x^5 ∫▒〖(x^3-1)^(1/3) x^5 〗 dx माना x^3-1= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (3x^2-0)dx= dt 3x^2 dx= dt 3x^2 dx=dt/3 ,eq(1) x^3-1=t  x^3= t+1 ,eq(2) ∫▒〖(x^3-1)^(1/3) x^2.x^3 〗 dx =1/3 ∫▒〖t^(1⁄3) (t+1) 〗 dt =1/3 ∫▒(t^(4⁄3)+ t^(1⁄3) ) dt =1/3 [∫▒t^(4⁄3) dt+∫▒t^(1⁄3) dt] =1/3 [=t^(4⁄3+1)/(4⁄3+1)+t^((-1)⁄2+1 )/(-1⁄2+1)]+C =1/3 [ t^(7∕3)/(7⁄3)+t^(4⁄3)/(4⁄3)]+C =1/3 [3/7 t^(7⁄3)+3/4 t^(4⁄3) ]+C =3/3 [1/7 t^(7⁄3)+1/4 t^(4⁄3) ]+C =1/7 t^(7⁄3)+1/4 t^(4⁄3)+C =1/7 (x^3-1)^(7⁄3)+1/4 (x^3-1)^(4⁄3)+C ,Ans.   13. x^2/(2+3x^3 )^3 ∫▒x^2/(2+3x^3 )^3 dx माना 2+3x^3= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (0+3.3x^2 )dx= dt 9x^2 dx= dt x^2 dx=dt/9 ∫▒x^2/(2+3x^3 )^3 dx=1/9 ∫▒dt/t^3 =1/9 ∫▒t^(-3) dt =2/9 t^(-3+1 )/(-3+1)+C  =1/9 t^(-2)/(-2)+C =-1/18 t^(-2)+C =-1/18 (2+3x^3 )^(-2)+C =-1/18 1/(2+3x^3 )^2 +C ,Ans.   14. 1/(x(logx)^m ) ,x>0,m≠1 ∫▒1/(x(logx)^m ) dx माना logx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (1/x)dx= dt ∫▒1/(x(logx)^m ) dx=∫▒dt/t^3 =∫▒dt/t^m =∫▒t^(-m) dt  =t^(-m+1)/(-m+1)+C  =t^(1-m)/(1-m)  =(logx)^(1-m)/(1-m)+C ,Ans.   15. x/(9-4x^2 ) ∫▒x/(9-4x^2 ) dx माना 9-4x^2= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (0-4.2x)dx= dt -8x dx= dt x dx=-dt/8 ∫▒x/(9-4x^2 ) dx=-1/8 ∫▒dt/t =-1/8 ∫▒dt/t =-1/8 log⁡|t|+C =〖-1/8 log〗⁡|9-4x^2 |+C ,Ans.   16. e^(2x+3) ∫▒e^(2x+3) dx माना 2x+3= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (2.1+0)dx= dt x dx=dt/2 x dx=dt/2 ∫▒e^(2x+3) dx=1/2 ∫▒e^t dt =1/2 e^t+C =1/2 e^(2x+3)+C ,Ans.   17. x/e^(x^2 ) ∫▒x/e^(x^2 ) dx माना x^2= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — 2x dx= dt x dx=dt/2 ∫▒x/e^(x^2 ) dx=1/2 ∫▒dt/e^t =1/2 ∫▒e^(-t) dt =1/2 (-e^(-t) )+C =1/2 (-e^(-x^2 ) )+C =1/(2e^(x^2 ) )+C ,Ans.   18. e^(tan^(-1) x)/(1+x^2 ) ∫▒e^(tan^(-1) x)/(1+x^2 ) dx माना tan^(-1)⁡x= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (1/(1+x^2 )) dx= dt ∫▒e^(tan^(-1) x)/(1+x^2 ) dx=∫▒e^t dt =e^t+C =e^(tan^(-1) x)+⁡C ,Ans.   19. (e^2x-1)/(e^2x+1) ∫▒〖(e^2x-1)/(e^2x+1) 〗 dx अंश और हर में e^x से भाग देने पर — ∫▒〖(e^2x-1)/(e^2x+1) 〗 dx = ∫▒〖(e^2x/e^x -1/e^x )/(e^2x/e^x +1/e^x ) 〗 dx ∫▒〖(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) ) 〗 dx माना e^x+e^(-x)= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (e^x-e^(-x) ) dx= dt ∫▒〖(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) ) 〗 dx=∫▒dt/t =log⁡|t|+C =log⁡|e^x+e^(-x) |+C ,Ans.   19. (e^2x-e^(-2x))/(e^2x+e^(-2x ) ) ∫▒(e^2x-e^(-2x))/(e^2x+e^(-2x ) ) dx माना e^2x+e^(-2x)= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (e^2x.2+e^(-2x) (-2)) dx= dt 2(e^2x-e^(-2x) ) dx= dt (e^2x+e^(-2x) )dx=dt/2 ∫▒(e^2x-e^(-2x))/(e^2x+e^(-2x ) ) dx=1/2 ∫▒dt/t =1/2 log⁡|t|+C =1/2 log⁡|e^2x-e^(-2x) |+C ,Ans.   21. tan^2⁡(2x-3) ∫▒tan^2⁡(2x-3) dx माना 2x+3= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (2.1+0)dx= dt x dx=dt/2 x dx=dt/2 ∫▒tan^2⁡(2x-3) dx=1/2 ∫▒〖tan^2 t〗 dt =1/2 ∫▒(sec^2⁡t-1) dt =1/2 [∫▒〖sec^2 t〗 dt -∫▒1 d] =1/2 [tant-t] C =1/2 tant-1/2 t+C =1/2 tan⁡(2x+3)-1/2 (2x+3)+C ,Ans.   22. sec^2⁡(7-4x) ∫▒sec^2⁡(7-4x) dx माना 7-4x= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (0-4.1)dx= dt -4 dx=dt dx=-dt/4 ∫▒sec^2⁡(7-4x) dx=-1/4 ∫▒〖sec^2 t〗 dt =-1/4 ∫▒〖sec^2 t〗 dt =-1/4 tant+C =-1/4 tan⁡(7-4x)+C Ans.   23. ( sin^(-1) x)/√(1-x^2 ) ∫▒( sin^(-1) x)/√(1-x^2 ) dx माना sin^(-1) x= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — 1/√(1-x^2 ) dx= dt ∫▒( sin^(-1) x)/√(1-x^2 ) dx=∫▒t dt =t^(1+1)/(1+1)+C =t^2/2+C =1/2 (sin^(-1) )^2+C Ans.   24. (2cosx-3sinx)/(6cosx+4sinx) ∫▒〖(2cosx-3sinx)/(6cosx+4sinx) 〗 dx = ∫▒〖(2cosx-3sinx)/2(3cosx+2sinx) 〗 dx =1/2 ∫▒〖(2cosx-3sinx)/(3cosx+2sinx) 〗 dx माना 3cosx+2sinx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — [3(-sinx)+2cosx]dx=dt  (-3sinx+2cosx)dx= dt (2cosx-3sinx)dx= dt 1/2 ∫▒〖(2cosx-3sinx)/(3cosx+2sinx) 〗 dx =1/2 ∫▒dt/t =log⁡|t|+C =log⁡|3cosx+2sinx|+C Ans.   25. 1/(cos^2 x(1-tanx)^2 ) ∫▒〖1/(cos^2 x(1-tanx)^2 ) 〗 dx माना 1-tanx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (0-sec^2⁡x)dx=dt -sec^2⁡x dx= dt sec^2⁡x dx=- dt 1/(cos^2 x) dx=- dt ∫▒〖1/(cos^2 x(1-tanx)^2 ) 〗 dx =-∫▒dt/t^2 =-∫▒〖t^(-2) dt〗 =-t^(-2+1)/(-2+1)+C =-t^(-1)/(-1)+C =t^(-1)+C =1/t+C =1/(1-tanx)+C Ans.   26. (cos√x)/√x ∫▒〖(cos√x)/√x 〗 dx माना √x= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — 1/(2√x) dx=dt 1/√x dx=2dt ∫▒〖(cos√x)/√x 〗 dx =2∫▒cost dt =2 sint+C =2 sin√x+C Ans.   27. 1/(cos^2 x(1-tanx)^2 ) ∫▒〖1/(cos^2 x(1-tanx)^2 ) 〗 dx माना 1-tanx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (0-sec^2⁡x)dx=dt -sec^2⁡x dx= dt sec^2⁡x dx=- dt 1/(cos^2 x) dx=- dt ∫▒〖1/(cos^2 x(1-tanx)^2 ) 〗 dx =-∫▒dt/t^2 =-∫▒〖t^(-2) dt〗 =-t^(-2+1)/(-2+1)+C =-t^(-1)/(-1)+C =t^(-1)+C =1/t+C =1/(1-tanx)+C Ans.   28. √sin2x cos2x ∫▒〖√sin2x cos2x〗 dx माना sin2x= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (cos2x.2) dx= dt 2cos2x dx= dt cos2x dx=1/2 dt ∫▒〖√sin2x cos2x〗 dx=1/2 ∫▒〖√t dt〗 =1/2 ∫▒t^(1⁄2) dt =1/2 t^(1⁄2+1)/(1⁄2+1)+C =1/2 t^(3∕2)/(3⁄2)+C =2/6 t^(3⁄2)+C =1/3 〖sin2x〗^(3⁄2)+C Ans.   28. ( cosx)/√(1+sinx) ∫▒〖( cosx)/√(1+sinx) 〗 dx माना 1+sinx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (0+cosx) dx= dt cosx dx= dt ∫▒〖( cosx)/√(1+sinx) 〗 dx=∫▒dt/√t =∫▒t^(-1⁄2) dt =t^(-1⁄2+1)/(-1⁄2+1)+C =t^(1∕2)/(1⁄2)+C =2 t^(1⁄2)+C =2 √t+C =2 √(1+sinx)+C Ans.   29. cotx log⁡sinx ∫_(cotx log⁡sinx⁡) dx माना log⁡sinx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (1/sinx.cosx)dx=dt cosx/sinx dx=dt cotx dx= dt ∫_(cotx log⁡sinx⁡) dx =∫▒t dt =t^(1+1)/(1+1)+C =t^2/2+C =1/2 (log⁡sinx )^2+C Ans.   30. sinx/(1+cosx) ∫▒〖sinx/(1+cosx) 〗 dx माना 1+cosx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (0-sinx)dx=dt -sin⁡x dx= dt sin⁡x dx=- dt ∫▒〖sinx/(1+cosx) 〗 dx =-∫▒dt/t =-log⁡|t|+C =log⁡|1+cosx|+C Ans.   31. sinx/(1+cosx)^2 ∫▒sinx/(1+cosx)^2 dx माना 1+cosx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — [0+(-sinx)]dx= dt -sinx dx=dt sinx dx= -dt ∫▒sinx/(1+cosx)^2 dx=-∫▒1/t^2 dt =-∫▒t^(-2) dt = -t^(-2+1)/(-2+1)+C = -t^(-1)/(-1)+C  =1/t+C =1/((1+cosx) )+C ,Ans.   32. 1/(1+cotx) ∫▒1/(1+cotx) dx = ∫▒1/(1+cosx/sinx) dx = ∫▒1/((sinx+cosx)/sinx) dx = ∫▒sinx/(sinx+cosx) dx = ∫▒sinx/(sinx+cosx) dx =1/2 ∫▒2sinx/(sinx+cosx) dx =1/2 ∫▒(sinx+ sinx)/(sinx+cosx) dx =1/2 ∫▒(sinx+cosx+ sinx-cosx)/(sinx+cosx) dx =1/2 ∫▒(sinx+ sinx)/(sinx+cosx) dx+1/2 ∫▒(sinx- sinx)/(sinx+cosx) dx =1/2 ∫▒1 dx+1/2 ∫▒(sinx- sinx)/(sinx+cosx) dx =1/2 x+1/2 ∫▒(sinx- sinx)/(sinx+cosx) dx माना sinx+cosx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — [cosx+(-sinx)]dx= dt (cosx-sinx )dx=dt =1/2 x+1/2 ∫▒dt/t =1/2 x+1/2 log⁡|t|+C =1/2 x+1/2 log⁡|sinx+cosx|+C,Ans.   33. 1/(1-tanx) ∫▒1/(1-tanx) dx =∫▒1/(1-sinx/cosx) dx =∫▒1/((cosx-sinx)/cosx) dx =∫▒cosx/(cosx-sinx) dx =1/2 ∫▒2cosx/(cosx-sinx) dx =1/2 ∫▒(cosx+cosx)/(cosx-sinx) dx =1/2 ∫▒(cosx+cosx+sinx-sinx)/(cosx-sinx) dx =1/2 ∫▒(cosx+sinx)/(cosx-sinx) dx+ 1/2 ∫▒(cosx-sinx)/(cosx-sinx) dx =1/2 ∫▒(cosx+sinx)/(cosx-sinx) dx+ 1/2 ∫▒1 dx =1/2 ∫▒(cosx+sinx)/(cosx-sinx) dx+ 1/2 x माना cosx-sinx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (-sinx-cosx) dx= dt -(sinx+cosx) dx= dt (sinx+cosx) dx=- dt 1/2 ∫▒(cosx+sinx)/(cosx-sinx) dx+ 1/2 x=∫▒〖-dt/t〗+1/2 x =-∫▒dt/t+1/2 x =-1/2 log|t|+1/2 x =-1/2 log|cosx-sinx|+1/2 x+C ,Ans.   34. √tanx/(sinx cosx) ∫▒〖√tanx/(sinx cosx) 〗 dx = ∫▒〖√tanx/(sinx cosx) .√tanx/√tanx 〗 dx = ∫▒〖tanx/(sinx cosx) .1/√tanx 〗 dx = ∫▒〖(sinx/cosx)/(sinx cosx) .1/√tanx 〗 dx = ∫▒〖sinx/(sinx cos^2⁡x ) .1/√tanx 〗 dx = ∫▒〖1/cos^2⁡x .1/√tanx 〗 dx = ∫▒〖sec^2⁡x 1/√tanx 〗 dx माना tanx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — sec^2⁡x dx=dt  ∫▒〖sec^2⁡x 1/√tanx 〗 dx = ∫▒〖dt/√t 〗 =∫▒〖t^(-1⁄2) 〗 dt =t^(-1⁄2+1)/(-1⁄2+1)+C =t^(1⁄2)/(1⁄2)+C =2 t^(1⁄2)+C =2 √t+C =2 √tanx+C Ans.   36. ((x+1) (x+logx)^2)/x ∫▒〖(x+1)(x+logx)^2/x 〗 dx=∫▒〖(x/x+1/x) (x+logx)^2 〗 dx =∫▒〖(1+1/x) (x+logx)^2 〗 dx माना x+logx= t दोनों पक्षों का अवकलन करने पर — (1+1/x)dx=dt ∫▒〖(1+1/x) (x+logx)^2 〗 dx=∫▒t^2 dt =t^(2+1)/(2+1)+C =t^3/3+C =(x+logx)^3/3+C,Ans. Exercise- 7.2 Completely Solved. AJAY SIR (Revolution Classes Rasulabad)