6 अवकलन के अनुप्रयोग | सॉल्यूशन प्रश्नावली 6.2 | NCERT Math Class 12 Chapter 6 Exercise 6.2 all questions UP Board Hindi Medium
6 अवकलन के अनुप्रयोग | सॉल्यूशन प्रश्नावली 6.2 | NCERT Math Class 12 Chapter 6 Exercise 6.2 all questions UP Board Hindi Medium
| Book | NCERT |
|---|---|
| Class | 12th |
| Subject | Math |
| Chapter Name | 6 अवकलन के अनुप्रयोग |
| Exercise | 6.2 |
| Catagory | Class 12 math notes in Hindi |
| Medium | Hindi (UP Board) |
अध्याय 6 अवकलन के अनुप्रयोग | प्रश्नावली 6.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए $R$ पर $f(x)=3x+17$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि R पर $f(x)=e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन
(a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है,
(b) $(π/2,π)$ में ह्रासमान है,
(c) $(0,π)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
प्रश्न 4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^2-3x$ प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है।
प्रश्न 5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$ से प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान
प्रश्न 6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन $f$ वर्धमान या हासमान है:
(a) $f(x)= x^2+2x+5$
(b) $f(x)= 10-6x-2x^2$
(c) $f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1$
(d) $f(x)= 6-9x-x^2$
(e) $f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3$
प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि $y=log(1+x)-{2x}/{2+ x}, x > - 1$ अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
प्रश्न 8. $x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y=[x(x-2)]^2$ एक वर्धमान फलन है।
प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए कि $[0,π/2]$ में $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ, θ$ का एक वर्धमान फलन है।
प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन $(0,π)$ में वर्धमान है।
प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि $(-1, 1)$ में $f(x)= x^2-x+1$ से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
प्रश्न 12. निम्नलिखित में कौन से फलन $(0, π/2)$ में ह्रासमान हैं?
(A) $cosx$
(B) $cos2x$
(C) $cos3x$
(D) $tanx$
प्रश्न 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में $f(x)=x^100+sinx- 1$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ ह्रासमान है?
(A) $(0,1)$
(B) $(π/2, π)$
(C) $(0, π/2)$
(D) इनमें से कोई नहीं
प्रश्न 14. $a$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल $[1, 2]$ में $f(x)= x^2+ ax+1$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
प्रश्न 15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में $f(x)= x+1/x$ से प्रदत्त फलन $f$, वर्धमान है।
प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx, (0,π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है।
प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=log|cosx|, (0,π/2)$ में वर्धमान है और $({3π}/2, 2π)$ में ह्रासमान है।
प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है।
प्रश्न 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y= x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
(A) $(- 00, 00)$
(B) $(-2,0)$
(C) $(2, ∞)$
(D) $(0,2)$
Handwritten Notes | प्रश्नावली 6.2 | अवकलन के अनुप्रयोग कक्षा 12 गणित
Computer Typed Notes | प्रश्नावली 6.2 | अवकलन के अनुप्रयोग कक्षा 12 गणित
प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए $R$ पर $f(x)=3x+17$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल :- दिया है — $f(x)=3x+17$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x) =d/{dx} (3x+17)$
$=3(1)+0$
$=3 > 0$ (धनात्मक मान)
अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved.
प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि R पर $f(x)=e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल :- दिया है — $f(x)=e^{2x}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x) =d/{dx} (e^{2x})$
$=e^{2x} (2)$
$=2e^{2x} > 0$ (सभी $x∈R$ के लिए)
अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved.
Note : Exponential Function $e^x, e^{2y}, e^{-x}$ etc. हमेशा वर्धमान होते हैं।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन
(a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है,
(b) $(π/2,π)$ में ह्रासमान है,
(c) $(0,π)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल :- दिया है — $f(x)=sinx$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} sinx$
$= cosx$
∵ (0,π/2) में cosx का मान
धनात्मक होता है। ∴ $f^'(x) > 0$
अतः $(0,π/2)$ में $f(x)=sinx$ एक ह्रासमान फलन है। Proved.
∵ $(π/2,π)$ में $cosx$ का मान ऋणात्मक होता है।
∴ $f^'(x) < 0$
अतः $(π/2,π)$ में दिया गया फलन $f(x)=sinx$ एक वर्धमान फलन है। Proved.
$(0,π)$ में $cosx$ का मान धनात्मक व ऋणात्मक दोनों होता है।
∴ $f^'(x) > 0$
अतः $(0,π)$ में दिया गया फलन $f(x)=sinx$ एक ह्रासमान फलन है। Proved.
प्रश्न 4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^2-3x$ प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है।
हल :- दिया है — $f(x)=2x^2-3x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (2x^2-3x)$
$f^'(x)=2.(2x)-3(1)$
$f^'(x)=4x-3$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$4x-3=0$
$4x=3$
$x=3⁄4$
संख्या रेखा पर —
अंतराल (a) $(-∞, 3/4), (b) (3/4, ∞)$
⇒ अंतराल (a) $(-∞, 3/4)$ पर माना यदि $x = -7$ तब –
$f^'(x)=4x-3$
$=4(-7)-3$
$= -28-3$
$= -31 < 0$ (ऋणात्मक मान)
अतः अंतराल (a) $(-∞, 3/4)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
⇒ अंतराल (b) $(3/4, ∞)$ पर माना यदि $x = 10$ तब –
$f^'(x)=4x-3$
$=4(10)-3$
$= 10-3$
$= 7 < 0$ (धनात्मक मान)
अतः अंतराल (b) $(3/4, ∞)$ पर फलन वर्धमान है। Ans.
प्रश्न 5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$ से प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान
हल :- दिया है — $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (2x^3-3x^2-36x+7)$
$=2(3x^2)-3(2x)-36 (1)$
$=6x^2-6x-36$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$6x^2-6x-36=0$
$x(x-3)+2(x-3)=0$
$(x-3)(x+2)=0$
$x=3,-2$
संख्या रेखा पर —
अंतराल (a) $(-∞, -2)$, (b) $(-2, 3)$ (c) $(3, ∞)$
⇒ अंतराल (a) $(-∞, -2)$ पर माना यदि $x = -100$ तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6(-100)^2-6(-100)-36$
$= 60000+600-36$
$= 60574 < 0$ (धनात्मक मान)
अतः अंतराल (a) $(-∞, -2)$ पर फलन वर्धमान है।
⇒ अंतराल (b) $(-2, 3)$ पर माना यदि $x = 2$ तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6(2)^2-6(2)-36$
$=24-12-36$
$= 24-48$
$= -24 < 0$ (ऋणात्मक मान)
अतः अंतराल (b) $(-2, 3)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
⇒ अंतराल (c) $(3, ∞)$ पर माना यदि $x = 3$ तब –
$f^'(x)=6x^2-6x-36$
$=6(3)^2-6(3)-36$
$=54-18-36$
$= 54-54$
$= 0$ (धनात्मक मान)
अतः अंतराल (a) $(-2, 3)$ पर फलन वर्धमान है। Ans.
प्रश्न 6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन $f$ वर्धमान या हासमान है:
(a) $f(x)= x^2+2x+5$
(b) $f(x)= 10-6x-2x^2$
(c) $f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1$
(d) $f(x)= 6-9x-x^2$
(e) $f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3$
हल :- (a) $f(x)= x^2+2x+5$दिया है: $f(x)= x^2+2x+5$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^2+2x+5)$
$= 2x+2(1)+0$
$=2x+2$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$2x+2=0$
$2x= -2$
$x=-1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर यदि $x = - 5$ तो,
$f^'(x)=2(-5)+2$
=-10+2
$= -8$ (ऋणात्मक मान)
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
(ii) $(-1, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=2(10)+2$
$=20+2$
$= 22$ (धनात्मक मान)
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
(b) $f(x)= 10-6x-2x^2$
हल :- दिया है — $f(x)= 10-6x-2x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (10-6x-2x^2)$
$= 0-6(1)-2(2x)$
$=-6-4x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-6-4x=0$
$-4x= 6$
$x=-3⁄2$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -3/2)$ (ii) $(-3/2, ∞)$
(i) $(-∞, -3/2)$ पर यदि $x = - 10$ तो,
$f^'(x)=-6-4x$
$=-6-4(-10)= -6+40$
$= 34$ (धनात्मक मान)
$f^'(x) > 0$
अतः $(-∞, -3/4)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
(ii) $(-3/4, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-6-4(10)$
$=-6-40$
$= -46$ (ऋणात्मक मान)
$f^'(x) < 0$
अतः $(-3/4, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
(c) $f(x)= -2x^3-9x^2-12x+1$
हल :- दिया है — $f(x)=- 2x^3-9x^2-12x+1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (- 2x^3-9x^2-12x+1)$
$= -2(3x^2)-9(2x)-12(1)+0$
$=-6x^2-18x-12$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-6x^2-18x-12=0$
$-6(x^2+3x+2)= 0$
$x^2+3x+2=0$
$x^2+2x+x+2=0$
$x(x+2)+1(x+2)=0$
$(x+2)(x+1)=0$
$x+2=0⇒x=-2$
$x+1=0⇒x=-1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -2)$ (ii) $(-2, -1)$ (ii) $(-1,-∞)$
(i) $(-∞, -2)$ पर यदि $x = - 100$ तो,
$f^'(x)=-6x^2-18x-12$
$=-6(-100)^2-18(-100)-12$
$= -6000+1800-12$
$= -4212$ (ऋणात्मक मान)
$f^'(x) > 0$
अतः $(-∞, -2)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
(ii) $(-2, -1)$ पर यदि $x = -2$ तो,
$f^'(x) =-6(-2)^2-18(-2)-12$
$= -24+36-12$
$= 0$ (धनात्मक मान)
$f^'(x) =0$
अतः $(-2, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
(iii) $(-1, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-6x^2-18x-12$
$=-6(10)^2-18(10)-12$
$= -600-180-12$
$= -782$ (ऋणात्मक मान)
$f^'(x) < 0$
अतः $(-1, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
(d) $f(x)= 6-9x-x^2$
हल :- दिया है —
$f(x)=6-9x-x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (6-9x-x^2)$
$= 0-9(1)-2x$
$=-9-2x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$-9-2x=0$
$-2x= 9$
$x=-9⁄2$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -9/2)$ (ii) $(-9/2, ∞)$
(i) $(-∞, -9/2)$ पर यदि $x = - 10$ तो,
$f^'(x)=-9-2x$
$=-9-2(-10)$
$= -6+20$
$= 14$ (धनात्मक मान)
$f^'(x) > 0$
अतः $(-∞, -3/4)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
(ii) $(-9/2, ∞)$ पर यदि $x = 10$ तो,
$f^'(x)=-9-4(10)$
$=-9-40$
$= -49$ (ऋणात्मक मान)
$f^'(x) < 0$
अतः $(-9/2, ∞)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
(e) $f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3$
हल :– दिया है — $f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)= (x+1)^3 d/{dx} (x-3)^3+ (x-3)^3 d/{dx} (x+1)^3$
$=(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)]$
$=6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1)$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
तब क्रमशः $x= -1,x=3,x=1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, 1)$ (iii) $(1, 3)$ (iv) $(3, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-) < 0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
(ii) $(-1, -1)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-) < 0$
अतः $(-1, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है। Ans.
(iii) $(1, 3)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+) > 0$
अतः $(1, 3)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
(iv) $(3, ∞)$ पर $f^'(x)$ का चिन्ह =(+)(+)(+) > 0
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि $y=log(1+x)-{2x}/{2+ x}, x > - 1$ अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।
हल :- दिया है: $y=log(1+x)-{2x}/{2+ x}, x > - 1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} log(1+x)-d/{dx} [{2x}/{2+ x}]$
$=1/{1+x}-[{(2+x) d/{dx} 2x-2x d/{dx} (2+x)}/{(2+x)^2}]$
$=1/{1+x}-[{(2+x) 2(1)-2x (0+1)}/{(2+x)^2}]$
$=1/{1+x}-[{4+2x-2x}/{(2+x)^2}]$
$=1/{1+x}-4/{(2+x)^2}$
$={(2+x)^2-4(1+x)}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={4+4x+x^2-4-4x}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={x^2}/{(1+x) (2+x)^2}$
यहां $x^2,(2+x)^2 > 0$ क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं।
तथा $(1+x) > 0$, क्योंकि $x > -1$ से 1
∵ ${dy}/{dx}$ का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है
अतः फलन $y$ संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved.
प्रश्न 8. $x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y=[x(x-2)]^2$ एक वर्धमान फलन है।
हल :- दिया है — $y=[x(x-2)]^2$$y=[x^2-2x]^2$
$y= x^4+4x^2-4x^3$
$y= x^4-4x^3+4x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^4-4x^3+4x^2)$
$= 4x^3-4(3x^2)+4(2x)$
$= 4x^3-12x^2+8x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
${dy}/{dx}=0$
$4x^3-12x^2+8x=0$
$4x (x^2-3x+2)=0$
$4x (x^2-2x-x+2)=0$
$4x [x(x-2)-1(x-2)]=0$
$4x(x-2)(x-1)=0$
$x=0, x=2, x=1$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु ,
$(-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞)$ हैं।
⇒ अंतराल $(-∞, 0)$ पर,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(-)(-)(-)$
∴ ${dy}/{dx} < 0$
अतः अंतराल $(-∞, 0)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(0, 1)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(-)(-)$
अतः ${dy}/{dx} > 0$
अतः अंतराल $(0, 1)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
⇒ अंतराल $(1, 2)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(-)(+)$
अतः ${dy}/{dx} < 0$
अतः अंतराल $(1, 2)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(2, ∞)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)$
अतः ${dy}/{dx} > 0$
अतः अंतराल $(2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
अतः अंतराल $(0,1), (2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans.
प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए कि $[0,π/2]$ में $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ, θ$ का एक वर्धमान फलन है।
हल :- दिया है: $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={(2+cosθ) d/{dx} 4sinθ-4sinθ d/dθ (2+cosθ)}/{(2+cosθ)^2 -d/dθ (θ)}$
$={(2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ)}/{(2+cosθ)^2 -1}$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ}/{(2+cosθ)^2 -1}$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2}/{(2+cosθ)^2}
$={8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ]}/{(2+cosθ)^2}$
$={8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ}/{(2+cosθ)^2}$
$={4cosθ-cos^2 θ}/{(2+cosθ)^2}$
$={cosθ (4-cosθ)}/{(2+cosθ)^2}$
अंतराल $[0,π/2]$ में
∴ ${dy}/{dx} > 0$
अतः फलन $[0,π/2]$ में एक वर्धमान फलन है। Ans.
प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन $(0,π)$ में वर्धमान है।
हल :- माना $f(x)= logx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} logx$
$f^'(x)=1/x$
अतः अंतराल $(0,π)$ में $(0,π) x=π/2$ हो तो —
$f^'(x)=1/{(π⁄2)}=2/π$
$f^'(x) > 0$
अतः अंतराल $(0,π)$ में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved.
प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि $(-1, 1)$ में $f(x)= x^2-x+1$ से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल :- दिया है — $f(x)= x^2-x+1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} ( x^2-x+1)$
$f^'(x)=2x-1+0$
$f^'(x)=2x-1$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^'(x)=0$
$2x-1=0$
$2x=1$
$x=1/2$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु (i) $(-1, 1/2)$ व (ii) $(1/2, 1)$ हैं तथा बिन्दु $(-1, 1)$ को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है।
⇒ अब यदि अंतराल $(-1,1⁄2)$ पर $x=1/4$ हो तो —
$f^'(x)=2×1/4-1=1/2-1$
$f^'(x)= -1/2$
$f^'(x) < 0$
अतः अंतराल $(-1,1⁄2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अब यदि अंतराल $(1/2,1)$ पर $x=3/4$ हो तो —
$f^'(x)=2×3/4-1=3/2-1$
$f^'(x)= 1/2$
$f^'(x) > 0$
अतः अंतराल $(1/2,1)$ में फलन वर्धमान है।
अतः दिया गया फलन $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved.
प्रश्न 12. निम्नलिखित में कौन से फलन $(0, π/2)$ में ह्रासमान हैं?
(A) $cosx$
(B) $cos2x$
(C) $cos3x$
(D) $tanx$
हल :- (A) माना $f(x)=cosx$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (cosx)$
$f^'(x)= -sinx$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sinx < 0$
$-sinx > 0$
$f^'(x) < 0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (B) माना $f(x)=cos2x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर — $f^'(x)=d/{dx} (cos2x)$
$f^'(x)= -2sin2x$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^'(x)= -2sin2×π/4$
$= -2 sinπ/2$
$=-2×1$
$=-2$
$f^'(x) < 0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (C) माना $f(x)=cos3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (cos3x)$
$f^'(x)= -3sin3x$
$f^'(x)= -3[┤]$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^'(x)= -2sin2×π/4$
$= -2 sinπ/2$
$=-2×1$
$=-2$
$f^'(x) < 0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (D) माना $f(x)=tanx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (tanx$)
$f^'(x)= sec^2 x$
अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sec^2 x > 0$,क्योंकि पूर्ण वर्ग है।
∴ $$f^'(x) > 0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन वर्धमान है। Ans.
प्रश्न 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में $f(x)=x^100+sinx- 1$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ ह्रासमान है?
(A) $(0,1)$
(B) $(π/2, π)$
(C) $(0, π/2)$
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :- दिया है : $f(x)=x^100+sinx- 1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^100+sinx- 1)$
$= 100x^99+ cosx-0$
$= 100x^99+ cosx$
⇒ अंतराल (A) $(0,1)$ पर —
$100x^99 > 0$
$ cosx < 0$
$f^'(x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (B) ($π/2, π)$ पर —
$100x^99 > 0$
$ cosx < 0$
$f^'(x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (C) $(0, π/2)$ पर —
$100x^99 > 0$
$ cosx > 0$
$f^'(x) > 0$
अतः फलन $(0, π/2)$ पर वर्धमान है।
अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans.
प्रश्न 14. $a$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल $[1, 2]$ में $f(x)= x^2+ ax+1$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल :- दिया है: $f(x)= x^2+ ax+1$, तथा अंतराल $[1, 2]$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^2+ ax+1)$
$=2x+a(1)+0$
$= 2x+a$
⇒ अंतराल $[1, 2]$ में फलन वर्धमान होने के लिए –
$f^'(x) > 0$
$2x+a > 0$
$ a > -2x$
अंतराल $[1, 2]$ में $a$ के न्यूनतम मान के लिए $x = 1$ रखने पर —
$a > -2(1)$
$a > -2$
अतः $a$ का न्यूनतम मान $-2$ है। Ans.
प्रश्न 15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में $f(x)= x+1/x$ से प्रदत्त फलन $f$, वर्धमान है।
हल :- दिया है: अंतराल $I= R-[-1,1]$तथा $f(x)= x+1/x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x+1/x)$ $=1-1/x^2 $
$=(x^2-1)/x^2$
⇒ अंतराल $I= R-[-1,1]$ में $x^2-1 > 0$ तथा $x^2 > 0$
∴ $f^'(x) > 0$
अतः फलन $f(x)= x+1/x$ अंतराल $I$ में वर्धमान है। Proved.
प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx, (0,π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है।
हल :- दिया है: $f(x)=logsinx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} logsinx$
$=1/{sinx} .cosx$
$= cotx
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $cotx$ धनात्मक है।
∴ $f^'(x) > 0$
अतः अंतराल $(0,π/2)$ में फलन वर्धमान है। Proved.
⇒ अंतराल $(π/2,π)$ में $cotx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^'(x) < $0
अतः अंतराल $(π/2,π)$ में फलन ह्रासमान है। Proved.
प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=log|cosx|, (0,π/2)$ में वर्धमान है और $({3π}/2, 2π)$ में ह्रासमान है।
हल :- दिया है: $f(x)=log|cosx|$$X$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} log|cosx|$
$=1/{cosx} .(-sinx)$
$= - tanx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $tanx$ धनात्मक है।
∴ $f^'(x) < 0$
∴ अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $({3π}/2,2π)$ में $tanx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^'(x) > 0$
∴ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान है।
अतः अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान और अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है। Proved.
प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है।
हल :- दिया है: $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^'(x)=d/{dx} (x^3 - 3x^2 + 3x-100)$
$= 3x^2-3(2x)+3(1)-0$
$= 3(x^2-2x+1)$
$= 3 (x-1)^2$
अतः $x∈ R$ में, $(x-1)^2$ धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है।
∴ $To kya > 0$ होगा।
अतः $R$ में, दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है। Ans.
प्रश्न 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y= x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
(A) $(- 00, 00)$
(B) $(-2,0)$
(C) $(2, ∞)$
(D) $(0,2)$
हल :- दिया है: $y= x^2 e^$-x}$ $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^2 e^{-x})$
$= x^2 d/{dx} (e^{-x})+e^{-x} d/{dx} x^2$
$= x^2.e^{-x} (-1)+ e^{-x} .(2x)$
$= -x^2 e^{-x}+2x e^{-x}$
$= xe^{-x} (-x+2)$
फलन वर्धमान होने के लिए —
${dy}/{dx} > 0$
$xe^{-x} (-x+2) > 0$
$x > 0,e^{-x} > 0,2-x > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, -x > -2$
$x > 0, e^{-x} > 0,x < 2$
अतः अंतराल $(0, 2)$ में दिया गया फलन वर्धमान होगा।
∴ सही उत्तर : विकल्प (D) $(0, 2)$ Ans.
Special Computer Typed and Handwritten Notes on Exercise 6.2 (Completely Solved).
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