Test 2

1. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=5x-3,x=0,x= -3$ तथा $x=5$ पर संतत है।

2. $x=3$ पर फलन $f(x)=2x^2-1$ के सांतत्य की जाँच कीजिए।

3. निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए:
(a) $f(x)= x-5$
(b) $f(x)=1/(x-5),x≠5$
(c) $f(x)=(x^2-25)/(x+5),x≠-5$
(d) $f(x)=|x-5|$

4. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)= x^n,x= n$ पर संतत है, जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।

5. क्या $f(x)={■(x,&यदि x≤1@5,&यदि x>1)┤$ द्वारा परिभाषित फलन $f, x=0 x=1$ तथा $x=2$ पर संतत है?

$f$ के सभी असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

6. $f(x)={■(2x+3,&यदि x≤2@2x-3,&यदि x>2)┤$

7. $f(x)={■(|x|+3,&यदि x≤-3@-2x,&यदि-3

8. $f(x)={■(|x|/x,&यदि x≠0@0,&यदि x=0)┤$

9. $f(x)={■(x/|x| ,&यदि x<0 p="" x="">

10. $f(x)={■(x+1,&यदि x≥1@x^2+1,&यदि x<1 p="">

11. $f(x)={■(x^3-3,&यदि x≤2@2x-3,&यदि x>2)┤$

12. $f(x)={■(x^10-1,&यदि x≤1@x^2,&यदि x>1)┤$

13. क्या $f(x)={■(x+5,&यदि x≤1@x-5,&यदि x>1)┤$

द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है? फलन $f$ के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ $f$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:

14. $f(x)={■(3,&यदि 0≤x≤1@4,&यदि 1

15. $f(x)={■(2x,&यदि x<0 0="" x="">1)┤$

16. $f(x)={■(-2,&यदि x≤-1@2x,&यदि-11)┤$

17. $a और $b$ के उन मानों ज्ञात कीजिए जिनके लिए f(x)={■(ax+1,&यदि x≤3@bx+3,&यदि x>3)┤$ द्वारा परिभाषित फलन $x=3$ पर संतत है।

18. $λ के किस मान के लिए
$f(x)={■(λ(x^2-2x),&यदि x≤0@4x+1,&यदि x>0)┤$
द्वारा परिभाषित फलन $x=0$ पर संतत है। $x=1$ पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।

19. दर्शाइए कि $g(x)= x-[x]$ द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है, जो $x$ के बराबर या $x$ से कम है।

20. क्या $f(x)= x^2- sinx+ 5$ द्वारा परिभाषित फलन $x=π$ पर संतत है?

21. निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए:
(a) $f(x)=sin⁡x+ cosx$
(b) $f(x)= sinx- cosx$
(c) $f(x)=sinx.cosx$

22. $cosine, cosecant, secant$ और $cotangent$ फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।

23. $f$ के सभी असांतत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ
$f(x)={■(sinx/x,&यदि x<0 p="" x="">

24. निर्धारित कीजिए कि फलन $f$
$f(x)={■(x^2 sin 1/x,&यदि x≠0@0,&यदि x=0)┤$
द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।

25. $f$ के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ $f$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है
$f(x)={■(sinx-cosx,&यदि x≠0@-1,&यदि x=0)┤$

प्रश्न 26 से 29 में के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:

26. $f(x)={■((k cosx)/(π-2x),&यदि x≠π/2@3,&यदि x=π/2)┤$
द्वारा परिभाषित फलन $x=π/2$ पर

27. $f(x)={■(kx^2,&यदि x≤2@3,&यदि x>2)┤$
द्वारा परिभाषित फलन $x = 2$ पर

28. $f(x)={■(kx+1,&यदि x≤π@cosx,&यदि x>π)┤$
द्वारा परिभाषित फलन $x=π$ पर

29. $f(x)={■(kx+1,&यदि x≤5@3x-5,&यदि x>5)┤$
द्वारा परिभाषित फलन $x=5$ पर

30. $a$ तथा $b$ के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि
$f(x)={■(5,&यदि x≤2@ax+b,&यदि 2 द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।

31. दर्शाइए कि $f(x)=cos⁡{(x)^2}$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

32. दर्शाइए कि $f(x)=|cos⁡x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

33. जाँचिए कि क्या $sin|x|$ एक संतत फलन है।

34. $f(x)=|x|-|x+1|$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ के सभी असांत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

प्रश्नावली 5.2 प्रश्न 1 से 8 में $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए:

1. $sin(x^2+5)$

2. $cos(sinx)$

3. $sin(ax+ b)$

4. $sec(tan⁡(√x) )$

5. $sin(ax+b)/cos(cx+d)$

6. $cos⁡{x^3 }.{sin}^2⁡(x^5 )$

7. $2√(cot⁡(x^2 ) )$

8. $cos(√x)$

9. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=|x-1|, x∈R, x=1$ पर अवकलित नहीं है।

10. सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन $f(x)=[x],0< x<3 p="" x="2$"> प्रश्नावली 5.3 निम्नलिखित प्रश्नों में ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए

1. $2x+3y=sinx$

2. $2x+3y=siny$

3. $ax+by^2=cosy$

4. $xy+ y^2=tan⁡x+y$

5. $x^2+xy+y^2=100$

6. $xx^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$

7. $sin^2 y+cos⁡y=k$

8. $sin^2 x+cos⁡xy=1$

9. $y=sin^(-1)⁡(2x/(1+x^2 ))$

10. $y=tan^(-1)⁡((3x-x^3)/(1-3x^2 )),-1/√3

11. $y=cos^(-1)⁡((1-x^2)/(1+x^2 )),0

12. $y=sin^(-1)⁡((1-x^2)/(1+x^2 )),0

13. $y=cos^(-1)⁡(2x/(1+x^2 )),-1

14. $y=sin^(-1)⁡(2x√(1-x^2 )),-1/√2

15. $y=sec^(-1)⁡(2x√(1-x^2 )),-1/√2 प्रश्नावली 5.4 निम्नलिखित का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

1. $e^x/sinx$

2. $e^(sin^(-1) x)$

3. $e^(x^3 )$

4. $sin(tan^(-1) e^x )$

5. $log⁡(cos e^x )$

6. $e^x+e^(x^2 )+e^(x^3 )+e^(x^4 )+e^(x^5 )$

7. $√(e^√x ),x>0$

8. $log(log⁡x),x > 1$

9. $cos⁡x/log⁡x ,x > 0$

10. $cos(log⁡x+e^x )$

Solved By : Ajay Sir — Revolution Classes प्रश्नावली 5.5 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

1. $cosx.cos2x.cos3x$

2. $√((x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5) )$

3. $(logx)^cosx$

4. $x^x- 2^sinx$

5. $(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4$

6. $(x+1/x)^x+ x^((1+1/x) )$

7. $(logx)^x+ x^logx$

8. $(sinx)^x+ sin^(-1) √x $

9. $x^sinx+(sinx)^cosx $

10.$ $x^cosx+(x^2+1)/(x^2-1)$

11. $ (xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)$

12. $ x^y+y^x=1$

13. $ y^x= x^y$

14. $ (cosx)^y=(cosy)^x $

15. $ xy=e^((x-y) ) $

16. $ f(x)=(1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 )$ द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार $f^' (1)$ ज्ञात कीजिए।

17 $(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$ का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।

18. यदि $u,v$ तथा $w,x$ के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात प्रथम–गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय–लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि $d/dx (u.v.x)=du/dx v.w+u.dv/dx .w+u.v dw/dx$

प्रश्नावली 5.6 यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में $x$ तथा $y$ दिए गए समीकरणों द्वारा एक दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बंधित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।

1. $x=2at^2,y= at^4$

2. $x= acosθ,y= bcosθ$

3. $x= sint,y= cos2t$

4. $x= 4 t,y=4/t$

5. $x= cosθ-cos2θ,y=sinθ-sin2θ$

6. $x=a(θ-sinθ),y=a(1+cosθ)$

7. $x=sin^3⁡t/√cos2t,y=cos^3⁡t/√cos2t$

8. $x=a(cost+log⁡{tan t/2} ),y=asint$

9. $x=asecθ,y=btanθ$

10. $x=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ-θcosθ)$

11. यदि x=√(a^sin^(-1)⁡t ) ,y=√(a^cos^(-1)⁡t ) तो दर्शाइए कि dy/dx=-y/x$

प्रश्नावली 5.7 प्रश्न संख्या 1 से दस तक में दिए गए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए।

1. $x^2+3x+2$

2. $x^20$

3. $x.cosx$

4. $logx$

5. $x^3 logx$

6. $e^x sin5x$

7. $e^6x cos3x$

8. $tan^(-1)⁡x$

9. $log⁡(logx)$

10. $sin⁡(logx)$

11. यदि y=5cosx-3sinx$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(d^2 y)/(dx^2 )+y=0$

12. यदि $y=cos^(-1)⁡x$ है तो $(d^2 y)/(dx^2 )$ को केवल $y$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

13. यदि $y=3 cos⁡(logx)+4 sin⁡(logx)$ है तो दर्शाइए कि $x^2 y_2+xy_1+y=0$

14. यदि $y=Ae^mx+Be^nx$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y)/(dx^2 )-(m-n) dy/dx+mny=0$

15. यदि $y=500e^7x+600e^(-7x)$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y)/(dx^2 )=49y$

16. यदि $e^y (x+1)=1$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y)/(dx^2 )=(dy/dx)^2$ है।

17. यदि $y=(tan^(-1) x)^(⁡2)$ है तो दर्शाइए कि
$(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$ है।

प्रश्नावली 5.8

1. फलन $f(x)=x^2+2x-8,x∈ [-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए। \in

2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[5,9]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[-2,2]$
(iii) $f(x)= x^2-1$ के लिए $x∈[1,2]$

3. यदि $f∶[-5,5]→ R$ एक संतत फलन है और यदि $f^'(x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि $f(-5)≠f(5)$.

4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a,b]$ में $f(x)= x^2-4x-3$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।

5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^3-5x^2-3x$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^'(c)=0$ के लिए $c∈(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।

6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।

प्रश्नावली विविध प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

1. $(3x^2-9x+5)^9$

2. $sin^3 x+cos^6 x$

3. $(5x)^(3cosx 2x)$

4. $sin^(-1)⁡(x√x),0≤x≤1$.

5. $(cos^(-1)⁡{x/2} )/√(2x+7),-2

6. ${cot}^(-1)⁡[(√(1+sinx)+√(1-sinx))/(√(1+sinx)-√(1-sinx))],0

7. $ (logx)^logx,x>1$

8. $cos⁡(acosx+bsinx)$, किन्हीं अचर a तथा b के लिए।

9. $(sinx-cosx)^((sinx-cosx) ),π/4

10. $x^x+x^a+a^x+a^a$, किसी नियत $a>0$ तथा $x>0$ के लिए।

11. $x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2 )$ किसी नियत $x>3$ के लिए।

12. यदि $y=12(1-cosx),x= 10(t-sinx),-π/2

13. $यदि $y=sin^(-1)⁡x+sin^(-1)⁡√(1-x^2 ),0< x<1 dx="" dy="" p="">

14. $यदि $-1 ${dy}/{dx}=-1/(1+x)^2$

15. यदि किसी $c>0$ के लिए $(x- a)^2+(y- b)^2= c^2$ है तो सिद्ध कीजिए कि:
$[1+(dy/dx)^2 ]^(3/2)/((d^2 y)/(dx^2 ))$, $a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।

16. यदि $cos y= x cos⁡(a+y)$, तथा $cosa≠±1$, तो सिद्ध कीजिए कि:
${dy}/{dx}=(cos^2 (a+y))/sina$

17. यदि $x= a(cost+tsint)$ और $y= a(sint-tcost)$ तो $(d^2 y)/(dx^2 )$ ज्ञात कीजिए।

18. यदि $f(x)=|x|^3$ तो प्रमाणित कीजिए कि $f"(x)$ का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।

19. गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक $n$ के लिए $d/dx (x^n )=nx^(n-1)$ है।

20. $sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB$ का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा $cosines$ के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।

21. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

22. यदि $y=|■(f(x)&f(b)&f(c)@l&m&n@a&b&c)|$ तो सिद्ध कीजिए कि ${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&f^' (x)&f^' (x)@l&m&n@a&b&c)|$

23. यदि $y=e^(acos^(-1) x),-1≤x≤1$ तो दर्शाइए कि: (1-x^2 ) (d^2 y)/(dx^2 )-x dy/dx-a^2 y=0$