66

प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए:

1. $sin(x^2+5)$

2. $cos(sinx)$

3. $sin(ax+ b)$

4. $sec(tan⁡{√x})$

5. ${sin(ax+b)}/{cos(cx+d)}$

⁡⁡

6. ${cos⁡x^3}.{sin}^2⁡(x^5)$

7. $2√{cot⁡(x^2)}$

8. $cos{√x}$

9. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=|x-1|x∈R, x=1$ पर अवकलित नहीं है।

10. सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन $f(x)=[x],0< x<3 ,x=1$ तथा $x=2$ पर अवकलित नहीं है।

प्रश्न 1:-$sin(x^2+5)$

हल:- माना — $y=sin(x^2+5)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(x^2+5)]$
$=cos(x^2+5) d/{dx} (x^2+5)$
$=cos(x^2+5)(2x+0)$
$=2x.cos(x^2+5)$, Ans.

$ लगाना है प्रत्येक गणित समीकरण में। प्रश्नावली 5.3 निम्नलिखित प्रश्नों में dy/dx ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए
निम्नलिखित प्रश्नों में dy/dx ज्ञात कीजिए

1. 2x+3y=sinx

2. 2x+3y=siny

3. ax+by^2=cosy

4. xy+ y^2=tan⁡x+y

5. x^2+xy+y^2=100

6. x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81

7. sin^2 y+cos⁡xy=k

8. sin^2 x+〖cos〗^2 x=1

9. y=sin^(-1)⁡(2x/(1+x^2 ))

10. y=tan^(-1)⁡((3x-x^3)/(1-3x^2 )),-1/√3

11. y=cos^(-1)⁡((1-x^2)/(1+x^2 )),0

12. y=sin^(-1)⁡((1-x^2)/(1+x^2 )),0

13. y=cos^(-1)⁡(2x/(1+x^2 )),-1

14. y=sin^(-1)⁡(2x√(1-x^2 )),-1/√2

15. y=sec^(-1)⁡(2x√(1-x^2 )),-1/√2

प्रश्न 1:- 2x+3y=sinx

हल:-

दिया है: 2x+3y=sinx
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
d/dx (2x)+d/dx (3y)=d/dx (sinx)
=2.(1)+3 dy/dx=cosx
3 dy/dx=cosx-2
dy/dx=(cosx-2)/3, Ans.

प्रश्न 2:- 2x+3y=siny

हल:-

दिया है: 2x+3y=siny
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
d/dx (2x)+d/dx (3y)=d/dx (siny)
=2.(1)+3 dy/dx=cosy dy/dx
3 dy/dx-cosy dy/dx=-2
-3 dy/dx+cosy dy/dx=2
cosy dy/dx-3 dy/dx=2
dy/dx (cosy-3)=2
dy/dx=2/(cosy-3), Ans.

प्रश्न 3:- ax+by^2=cosy

हल:-

दिया है: ax+by^2=cosy
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
d/dx (ax)+d/dx (by^2 )=d/dx (cosy)
=a.(1)+b.2y dy/dx=-siny dy/dx
2by dy/dx+siny dy/dx=-a
dy/dx (2by+siny)=-a
dy/dx=-a/(2by+siny), Ans.

प्रश्न 4:- xy+ y^2=tan⁡x+y

हल:-

दिया है: xy+ y^2=tan⁡x+y
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
d/dx (xy)+d/dx (y^2 )=d/dx (tanx)+d/dx (y)
=x d/dx (y)+y. d/dx (x)+2y d/dx
(y)=sec^2⁡x+dy/dx
x dy/dx+y.(1)+2y dy/dx=sec^2⁡x+dy/dx
x dy/dx+2y dy/dx-dy/dx=sec^2⁡x-y
dy/dx (x+2y-1)=sec^2⁡x-y
dy/dx=(sec^2⁡x-y)/(x+2y-1), Ans.

प्रश्न 5:- x^2+xy+y^2=100

हल:-

दिया है: x^2+xy+y^2=100
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
d/dx (x^2 )+d/dx (xy)+d/dx (y^2 )=d/dx (100)
d/dx (x^2 )+x d/dx (y)+y. d/dx (x)+2y d/dx (y)=d/dx (100)
2x.(1)+x dy/dx+y.(1)+2y dy/dx=0
2x+x dy/dx+y+2y dy/dx=0
x dy/dx+2y dy/dx=-2x-y
dy/dx (x+2y)=-(2x+y)
dy/dx=(-(2x+y))/((x+2y) ),Ans.
or,dy/dx=-(2x+y)/(x+2y), Ans.

प्रश्न 6:- x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81

हल:-

दिया है: x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
d/dx (x^3 )+x^2 dy/dx+y d/dx (x^2 )+x d/dx (y^2 )+y^2 d/dx (x)+dy/dx (y^3 )=d/dx (81)
3x^2+x^2 dy/dx+y(2x)+x.(2y) dy/dx+y^2 (1)+3y^2 dy/dx=0
x^2 dy/dx+2xy dy/dx+3y^2 dy/dx=-3x^2-2xy-y^2
dy/dx (x^2+2xy+3y^2 )=-(3x^2+2xy+y^2 )
dy/dx=-((3x^2+2xy+y^2 ))/((x^2+2xy+3y^2 ) ), Ans.

or,dy/dx=-(3x^2+2xy+y^2)/(x^2+2xy+y^2 ),Ans.

प्रश्न 7:- sin^2 y+cos⁡xy=k

हल:-

दिया है: sin^2 y+cos⁡xy=k
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
d/dx (sin^2 y)+d/dx (cos⁡xy )=d/dx (k)
2siny d/dx (siny)+(-sinxy) d/dx (xy)=0
2siny.cosy dy/dx-sinxy[x dy/dx+y d/dx (x)]=0
sin2y dy/dx-sinxy[x dy/dx+y d/dx (1)]=0
sin2y dy/dx-x.sinxy dy/dx-y.sinxy=0
sin2y dy/dx-x.sinxy dy/dx=ysinxy
dy/dx (sin2y-xsinxy)=ysinxy
dy/dx=ysinxy/(sin2y-xsinxy), Ans.

प्रश्न 8:- sin^2 x+〖cos^2〗⁡y=1

हल:-

दिया है: sin^2 x+〖cos^2〗⁡y=1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
d/dx (sin^2 x)+d/dx (〖cos〗^2 y)=d/dx (1)
2sinx d/dx (sinx)+(2cosy) d/dx (cosy)=0
2sinx.cosx+2cosy.(-siny) dy/dx=0
sinx-cos2y dy/dx=0,∵2sinθcosθ=sin2θ
-cos2y dy/dx=-sin2x
cos2y dy/dx=sin2x
dy/dx=sin2x/cos2y, Ans.

प्रश्न 9:- y=〖sin〗^(-1)⁡(2x/(1+x^2 ))

हल:-

दिया है: y=〖sin〗^(-1)⁡(2x/(1+x^2 ))
∵2 〖tan〗^(-1)⁡x=〖sin〗^(-1)⁡(2x/(1+x^2 ))
∴y=2 〖tan〗^(-1)⁡x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=2 d/dx (〖tan〗^(-1)⁡x )
dy/dx=2(1/(1+x^2 ))
dy/dx=2/(1+x^2 ), Ans.

प्रश्न 10:- y=〖tan〗^(-1)⁡((3x-x^3)/(1-3x^2 )),-1/√3

हल:-

दिया है: y=〖tan〗^(-1)⁡((3x-x^3)/(1-3x^2 )),-1/√3 माना x=tanθ⇒θ=〖tan〗^(-1)⁡x
∴y=〖tan〗^(-1)⁡((3tanθ-tan^3 θ)/(1-3tan^2 θ))
y=〖tan〗^(-1)⁡(tan3θ)
y=3θ
y=3 〖tan〗^(-1)⁡x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=3 d/dx (〖tan〗^(-1)⁡x )
dy/dx=3(1/(1+x^2 ))
dy/dx=3/(1+x^2 ), Ans.

प्रश्न 11:- y=〖cos〗^(-1)⁡((1-x^2)/(1+x^2 )),0

हल:-

दिया है: y=〖cos〗^(-1)⁡((1-x^2)/(1+x^2 )),0 माना x=tanθ⇒θ=〖tan〗^(-1)⁡x
∴y=〖cos〗^(-1)⁡((1-tan^2 θ)/(1+tan^2 θ))
y=〖cos〗^(-1)⁡(cos2θ)
y=3θ
y=2 〖tan〗^(-1)⁡x
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
dy/dx=2 d/dx (〖tan〗^(-1)⁡x )
dy/dx=2(1/(1+x^2 ))
dy/dx=2/(1+x^2 ), Ans.

प्रश्न 12:- y=〖sin〗^(-1)⁡((1-x^2)/(1+x^2 )),0

हल:-

दिया है: y=〖sin〗^(-1)⁡((1-x^2)/(1+x^2 )),0 माना x=tanθ⇒θ=〖tan〗^(-1)⁡x
∴y=〖sin〗^(-1)⁡((1-tan^2 θ)/(1+tan^2 θ))
y=〖sin〗^(-1)⁡(cos2θ)
y=〖sin〗^(-1)⁡[sin(π/2-2θ)]⁡
y=π/2-2θ
y=π/2-2 〖tan〗^(-1)⁡x
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (π/2)-2 d/dx (〖tan〗^(-1)⁡x )
dy/dx=0-2(1/(1+x^2 ))
dy/dx=(-2)/(1+x^2 ), Ans.

प्रश्न 13:- y=〖cos〗^(-1)⁡(2x/(1+x^2 )),-1

हल:-

दिया है: y=〖cos〗^(-1)⁡(2x/(1+x^2 )),-1 माना x=tanθ⇒θ=〖tan〗^(-1)⁡x
∴y=〖cos〗^(-1)⁡(2tanθ/(1+tan^2 θ))
y=〖cos〗^(-1)⁡(sin2θ)
y=〖cos〗^(-1)⁡[cos(π/2-2θ)]⁡
y=π/2-2θ
y=π/2-2 〖tan〗^(-1)⁡x
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (π/2)-2 d/dx (〖tan〗^(-1)⁡x )
dy/dx=0-2(1/(1+x^2 ))
dy/dx=(-2)/(1+x^2 ), Ans.

प्रश्न 14:- y=〖sin〗^(-1)⁡(2x√(1-x^2 )),-1/√2

हल:-

दिया है: y=〖sin〗^(-1)⁡(2x√(1-x^2 )),-1/√2 माना x=sinθ⇒θ=sin^(-1)⁡x
∴y=〖sin〗^(-1)⁡(2sinθ√(1-sin^2 θ))
y=〖sin〗^(-1)⁡(2sinθ√(〖cos〗^2 θ))
y=〖sin〗^(-1)⁡(2sinθcosθ)
y=〖sin〗^(-1)⁡(sin2θ)
y=2θ
y=2 sin^(-1)⁡x
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
dy/dx=2 d/dx (〖sin〗^(-1)⁡x )
dy/dx=2(1/√(1-x^2 ))
dy/dx=2/√(1-x^2 ), Ans.

प्रश्न 15:- y=〖sec〗^(-1)⁡(2x√(1-x^2 )),-1/√2

हल:-

दिया है: y=〖sec〗^(-1)⁡(2x√(1-x^2 )),-1/√2 माना x=cosθ⇒θ=cos^(-1)⁡x
∴y=〖sec〗^(-1)⁡(1/(2c〖os〗^2 θ-1))
y=〖sec〗^(-1)⁡(1/cos2θ)
y=〖sec〗^(-1)⁡(sec2θ)
y=2θ
y=2 cos^(-1)⁡x
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
dy/dx=2 d/dx (〖cos〗^(-1)⁡x )
dy/dx=2((-1)/√(1-x^2 ))
dy/dx=(-2)/√(1-x^2 ),Ans.
or,dy/dx=-2/√(1-x^2 ), Ans.

प्रश्नावली 5.4 निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

1. e^x/sinx

2. e^(sin^(-1) x)

3. e^(x^3 )

4. sin(tan^(-1) e^x )

5. log⁡(cos e^x )⁡

6. e^x+e^(x^2 )+e^(x^3 )+e^(x^4 )+e^(x^5 )

7. √(e^√x ),x>0

8. log(log⁡x),x > 1

9. cos⁡x/log⁡x ,x > 0

10. cos(log⁡x+e^x )

d/dx (u/v)=(v×d/dx (u)-u d/dx (v))/v^2

or,d/dx (u/v)=(v×u^'-u×v^')/v^2
or,d/dx (अंश/हर)=(हर×d/dx (अंश)-अंश d/dx (हर))/〖हर〗^2

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।

प्रश्न 1:- e^x/sinx

हल:-

माना y=e^x/sinx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (e^x/sinx)
=(sinx×d/dx (e^x )-e^x d/dx (sinx))/(sinx)^2
=(sinx.(e^x )-e^x (cosx))/(sin^2 x)
=(e^x (sinx-cosx))/(sin^2 x) Ans.

प्रश्न 2:- e^(sin^(-1) x)

हल:-

माना y=e^(〖sin〗^(-1) x)
⁡x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (e^(〖sin〗^(-1) x) )
=e^(〖sin〗^(-1) x) d/dx (〖sin〗^(-1)⁡x )
=e^(〖sin〗^(-1) x).(1/√(1-x^2 ))
=e^(〖sin〗^(-1) x)/√(1-x^2 ) Ans.

प्रश्न 3:- 〖e^x〗^3

हल:-

माना y=〖e^x〗^3
⁡x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (〖e^x〗^3 )
=〖e^x〗^3 d/dx (x^3 )
=〖e^x〗^3.(3x^2 )
=3x^2.〖e^x〗^3 Ans.

प्रश्न 4:- sin(tan^(-1) e^(-x) )

हल:-

माना y=sin(tan^(-1) e^(-x) )
⁡x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx [sin(tan^(-1) e^(-x) )]
=cos(tan^(-1) e^(-x) ) d/dx (tan^(-1) e^(-x) )
=cos(tan^(-1) e^(-x) ).1/(1+(e^(-x) )^2 ).d/dx (e^(-x) )
=cos(tan^(-1) e^(-x) )/(1+e^(-2x) ).e^(-x) .d/dx (-x)
=(e^(-x) cos(tan^(-1) e^(-x) ))/(1+e^(-2x) ).(-1)
=-(e^(-x) cos(tan^(-1) e^(-x) ))/(1+e^(-2x) ) Ans.

प्रश्न 5:- log(cos e^x )

हल:-

माना y=log(cos e^x )
⁡x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx [log(cos e^x )]
=1/(cos e^x ).d/dx (cos e^x )
=1/(cos e^x ).(-sin e^x ).d/dx (e^x )
=-(sin e^x)/(cos e^x ).(e^x )
=-e^x.tan⁡〖e^x 〗 Ans.

प्रश्न 6:- e^x+e^(x^2 )+⋯+e^(x^5 )

हल:-

माना y=e^x+e^(x^2 )+e^(x^3 )+e^(x^4 )+e^(x^5 )
⁡x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (e^x+e^(x^2 )+e^(x^3 )+e^(x^4 )+e^(x^5 ) )
=d/dx e^x+d/dx e^(x^2 )+d/dx e^(x^3 )+d/dx e^(x^4 )+d/dx e^(x^5 )
=e^x d/dx (x)+e^(x^2 ) d/dx (x^2 )+e^(x^3 ) d/dx (x^3 ) +e^(x^4 ) d/dx (x^4 )+e^(x^5 ) d/dx (x^5 )
=e^x (1)+e^(x^2 ) (2x)+e^(x^3 ) (3x^2 ) +e^(x^4 ) (4x^3 )+e^(x^5 ) (5x^4 )
=e^x+2x.e^(x^2 )+3x^2.e^(x^3 )+4x^3.e^(x^4 )+5x^4.e^(x^5 ) Ans.

प्रश्न 7:- √(e^√x ) ,x>0

हल:-

माना y=√(e^√x ) ,x>0
⁡x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (√(e^√x ))
=1/(2√(e^√x )).d/dx (e^√x )
=1/(2√(e^√x )).e^√x.d/dx (√x)
=e^√x/(2√(e^√x )).(1/(2√x))
=(√(e^√x ).√(e^√x ))/(2√(e^√x )).(1/(2√x))
=√(e^√x )/(4√x) Ans.

प्रश्न 8:- log(logx),x>1

हल:-

माना y=log(logx),x>1
⁡x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx [log(logx)]
=1/logx.d/dx (logx)
=1/logx.1/x
=1/xlogx Ans.

प्रश्न 9:- cosx/logx,x>0

हल:-

माना y=cosx/logx,x>0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (cosx/logx)
=(logx×d/dx (cosx)-cosx d/dx (logx))/(logx)^2
=(logx.(-sinx)-cosx.1/x)/(logx)^2
=(-xsinx.logx-cosx)/〖x(logx)〗^2
=(-(xsinx.logx+cosx))/(x(logx)^2 ) Ans.

प्रश्न 10:- cos(logx+e^x )

हल:-

माना y=cos(logx+e^x )
⁡x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx [cos(logx+e^x )]
=-sin(logx+e^x )[d/dx (logx)+d/dx (e^x )]
=-sin(logx+e^x )[1/x+e^x ] Ans.

प्रश्नावली 5.5 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

1. cosx.cos2x.cos3x

2. √((x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5) )

3. (logx)^cosx

4. x^x- 2^sinx

5. (x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4

6. (x+1/x)^x+ x^((1+1/x) )

7. (logx)^x+ x^logx⁡

8. (sinx)^x+ sin^(-1) √x

9. x^sinx+(sinx)^cosx

10. x^cosx+(x^2+1)/(x^2-1)

11. (xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)

12. x^y+y^x=1

13. y^x= x^y

14. (cosx)^y=(cosy)^x

15. xy=e^((x-y) )

16. f(x)=(1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 ) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f^' (1) ज्ञात कीजिए।

17 (x^2-5x+8)(x^3+7x+9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।

18. यदि u,v तथा w,x के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात प्रथम–गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय–लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि

d/dx (u.v.x)=du/dx v.w+u.dv/dx .w+u.v dw/dx

1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

प्रश्न 1:- cosx.cos2x.cos3x

हल:-

माना y= cosx.cos2x.cos3x
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡y=log⁡[cosx.cos2x.cos3x]
log⁡y=logcosx+ logcos2x+ logcos3x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/y dy/dx=d/dx logcosx+d/dx logcos2x+d/dx logcos3x
1/y dy/dx=1/cosx d/dx cosx+1/cos2x d/dx cos2x+1/cos3x d/dx cos3x
1/y dy/dx=1/cosx (-sinx)(1)+1/cos2x (-sin2x)(2)+1/cos3x (-sin3x)(3)
1/y dy/dx=-sinx/cosx-2 sin2x/cos2x-3 sin3x/cos3x dy/dx= y [-tanx-2tan2x-3tan3x]
dy/dx= cosx.cos2x.cos3x [-tanx-2tan2x-3tan3x] Ans.

प्रश्न 2:- √((x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5) )

हल:-

माना y=√((x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5) ) =[((x-1)(x-2))/(x-3)(x-4)(x-5) ]^(1/2)
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡y=1/2 log[(x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5) ]
log⁡y=1/2 [log(x-1)+ log(x-2)- log(x-3)-log(x-4)-log(x-5)]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/y dy/dx=1/2 d/dx [log(x-1)+ log(x-2)- log(x-3)-log(x-4)-log(x-5)]
1/y dy/dx=1/2 [d/dx log(x-1)+d/dx log(x-2)-d/dx log(x-3)-d/dx log(x-4)-d/dx log(x-5)]
dy/dx=1/2 y [1/((x-1) ) (1-0)+1/((x-2) ) (1-0)-1/((x-3) ) (1-0)-1/((x-4) ) (1-0)-1/((x-5) ) (1-0)]
dy/dx=1/2 √((x-1)(x-2)/(x-3)(x-4)(x-5) ) [1/((x-1) )+1/((x-2) )-1/((x-3) )-1/((x-4) )-1/((x-5) )] Ans.

प्रश्न 3:- (logx)^cosx

हल:-

माना y= (logx)^cosx
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡y=cosx log(logx)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/y dy/dx=log(logx) d/dx cosx+cosx d/dx log(logx)
1/y dy/dx=log(logx)(-sinx)+cosx 1/logx 1/x
dy/dx=y[-sinx log(logx)+cosx/(x logx) ]
dy/dx=(logx)^cosx [-sinx log(logx)+cosx/(x logx) ]
dy/dx=(logx)^cosx [cosx/(x logx)-sinx log(logx)] Ans.

प्रश्न 4:- x^x- 2^sinx

हल:-

माना y= x^x-2^sinx
पुनः माना u= x^x तथा v= 2^sinx
∵ y = u- v
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡u= x logx तथा logv= sinx log2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx=logx d/dx x+x d/dx logx तथा
1/v dv/dx=log2 d/dx sinx+ sinx d/dx log2
du/dx=u [logx.(1)+x.1/x.(1)] तथा dv/dx=v[log2 (cosx)+ sinx(0)]
du/dx=x^x [logx+1] तथा dv/dx=2^sinx [cosx log2]
∵ y = u- v
∴dy/dx=du/dx-dv/dx
dy/dx= x^x [logx+1]- 2^sinx [cosx log2] Ans.

प्रश्न 5:- (x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4

हल:-

माना y=(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡y=log⁡[(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4 ]
log⁡y=2 log⁡〖(x+3)〗+3 log⁡〖(x+4)〗+〖4 log〗⁡〖(x+5)〗
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/y dy/dx=d/dx [2 log⁡(x+3)+3 log⁡(x+4)+〖4 log〗⁡(x+5) ]
1/y dy/dx=2 d/dx log⁡〖(x+3) 〗+ 3 d/dx log⁡〖(x+4) 〗+ 4 d/dx log⁡〖(x+5) 〗
1/y dy/dx=2/((x+3) ) (1+0)+3/((x+4) ) (1+0)+4/((x+5) ) (1+0)
dy/dx=y[2/((x+3) ) + 3/((x+4) ) + 4/((x+5) )]
dy/dx=(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4 [2/((x+3) ) + 3/((x+4) ) + 4/((x+5) )]
dy/dx=(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4 [(2(x+4)(x+5)+3(x+3)(x+5)+4(x+3)(x+4))/(x+3)(x+4)(x+5) ] Ans.

प्रश्न 6:- (x+1/x)^x+ x^((1+1/x) )

हल:-

माना y= (x+1/x)^x+ x^((1+1/x) )
पुनः माना u= (x+1/x)^x तथा v= x^((1+1/x) )
y= u+ v
∵u= (x+1/x)^x
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡u= x log⁡(x+1/x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx= x
d/dx log⁡(x+1/x)+ log⁡(x+1/x) d/dx (x)
1/u du/dx=x 1/((x+1/x) ) ⁡(1-1/x^2 )+ log⁡(x+1/x) (1)
du/dx=u[〖x^2/((x^2+1) ) ((x^2-1))/x^2 + log〗⁡(x+1/x) ]
du/dx=x log⁡(x+1/x) [〖(x^2-1)/(x^2+1)+log〗⁡(x+1/x) ],(1)
Now,∵v= x^((1+1/x) )
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡v=(1+1/x) logx
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/v dv/dx= (1+1/x) d/dx log⁡x+ logx d/dx (1+1/x)
1/u dv/dx= (1+1/x)⁡〖1/x〗+ log⁡x .(0-1/x^2 )
dv/dx=v[〖(x+1)/x^2 -1/x^2 log〗⁡x ]
dv/dx=x^((1+1/x) ) [〖(x+1)/x^2 -1/x^2 log〗⁡x ]
dv/dx=x^((1+1/x) ) [(x+1-log⁡x)/x^2 ],(2)
∵ y= u+ v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=du/dx+dv/dx
समी (1) व (2) से मान रखने पर —
dy/dx=x log⁡(x+1/x) [〖(x^2-1)/(x^2+1)+log〗
⁡(x+1/x) ]+x^((1+1/x) ) [(x+1-log⁡x)/x^2 ] Ans.

प्रश्न 7:- (logx)^x+ x^logx⁡

हल:-

माना y= (logx)^x+ x^logx⁡
पुनः माना u= (logx)^x तथा v= x^logx⁡
∵ y= u+ v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)
∵u= (logx)^x
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡u= x log⁡(logx)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx= x d/dx log⁡(logx)+ log⁡(logx) d/dx (x)
1/u du/dx=x.1/logx.1/x.1 + log⁡(logx).1
du/dx=u[1/logx+ log⁡(logx) ]
du/dx=(logx)^x [1/logx+ log⁡(logx) ],(2)
Now,∵v= x^logx⁡
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡v=logx logx
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/v dv/dx= logx d/dx log⁡x+ logx d/dx logx
1/u dv/dx= 〖logx.〗⁡〖1/x〗+ log⁡x.1/x
dv/dx=v[logx/x+logx/x]
dv/dx=x^logx [2logx/x],(3)
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
dy/dx=(logx)^x [1/logx+ log⁡(logx) ]+x^logx [2logx/x]
dy/dx=(logx)^(x-1) [1+logx log⁡(logx) ]+x^logx [2logx/x], Ans.

प्रश्न 8:- (sinx)^x+ sin^(-1) √x

हल:-

माना y= (sinx)^x+ sin^(-1) √x
पुनः माना u= (sinx)^x तथा v= sin^(-1) √x
∵ y= u+ v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)
∵u= (sinx)^x
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡u= x log⁡(sinx)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx= x d/dx log⁡(sinx)+ log⁡(sinx) d/dx (x)
1/u du/dx=x.1/sinx.cosx.1 + log⁡(sinx).1
du/dx=u [x cotx+ log⁡(sinx) ]
du/dx=(sinx)^x [x cotx+ log⁡(sinx) ],(2)
Now,∵v= sin^(-1) √x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dv/dx=d/dx sin^(-1) √x
dv/dx=1/√(1-(√x)^2 ) d/dx √x
dv/dx=1/(√(1-x) ) 1/(2 √x)
dv/dx=1/(2 √(x(1-x) ) )
dv/dx=1/(2 √(x-x^2 ) ) ,(3)
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
dy/dx=(sinx)^x [x cotx+ log⁡(sinx) ]+ 1/(2 √(x-x^2 ) ), Ans.

प्रश्न 9:- x^sinx+(sinx)^cosx

हल:-

माना y= x^sinx+(sinx)^cosx
पुनः माना u= x^sinx तथा v= (sinx)^cosx
∵ y= u+ v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)
∵u= x^sinx
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡u= sinx logx
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx= sinx d/dx log⁡x+ log⁡x d/dx sinx
1/u du/dx=sinx.1/x + log⁡x.cosx
du/dx=u [sinx/x + log⁡x.cosx]
du/dx=x^sinx [sinx/x + log⁡x.cosx],(2)
Now,∵v= (sinx)^cosx
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡v= cosx log⁡(sinx)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/v dv/dx=cosx d/dx log⁡(sinx)+ log⁡(sinx) d/dx cosx
1/v dv/dx=cosx.1/sinx.d/dx sinx+ log⁡(sinx).(-sinx)
dv/dx=v[cotx.cosx -sinx log⁡〖(sinx)] 〗
dv/dx=(sinx)^cosx [cosx.cotx -sinx log⁡〖(sinx)]〗 ,(3)
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
dy/dx=x^sinx [sinx/x + log⁡x.cosx]+
(sinx)^cosx [cosx.cotx -sinx log⁡〖(sinx)]〗, Ans.

प्रश्न 10:- x^cosx+(x^2+1)/(x^2-1)

हल:-

माना y= x^cosx+(x^2+1)/(x^2-1)
पुनः माना u= x^cosx तथा v= (x^2+1)/(x^2-1)
∵ y= u+ v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)
∵u=x^cosx
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡u= cosx logx
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx= cosx d/dx log⁡x+ log⁡x d/dx cosx
1/u du/dx=cosx.1/x + log⁡x.(-sinx)
du/dx=u [cosx/x-sinx log⁡x ]
du/dx=x^cosx [cosx/x-sinx log⁡x ],(2)
Now,∵v= (x^2+1)/(x^2-1)
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡v=log⁡〖(x^2+1)/(x^2-1)〗
log⁡v=log⁡〖(x^2+1)〗-log⁡〖〖(x〗^2-1)〗
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/v dv/dx=1/(x^2+1) d/dx (x^2+1)-1/(x^2-1) d/dx (x^2-1)
1/v dv/dx=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)
1/v dv/dx=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]
dv/dx= v[(2x(x^2-1)-2x (x^2+1))/(x^2+1)(x^2-1) ]
dv/dx= (x^2+1)/(x^2-1) [(2x^2-2x-2x^2-2x)/(x^2+1)(x^2-1) ]
dv/dx=(-4x)/(x^2-1)^2 ,(3)
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx log⁡x ]+(-4x)/(x^2-1)^2
dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx log⁡x ]-4x/(x^2-1)^2 , Ans.

प्रश्न 11:- (xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)

हल:-

माना y= (xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)
पुनः माना u= x^cosx तथा v= (x^2+1)/(x^2-1)
∵ y= u+ v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=du/dx+dv/dx ,(1)
∵u=x^cosx
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡u= cosx logx
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx= cosx d/dx log⁡x+ log⁡x d/dx cosx
1/u du/dx=cosx.1/x + log⁡x.(-sinx)
du/dx=u [cosx/x-sinx log⁡x ]
du/dx=x^cosx [cosx/x-sinx log⁡x ],(2)
Now,∵v= (x^2+1)/(x^2-1)
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡v=log⁡〖(x^2+1)/(x^2-1)〗
log⁡v=log⁡〖(x^2+1)〗-log⁡〖〖(x〗^2-1)〗
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/v dv/dx=1/(x^2+1) d/dx (x^2+1)-1/(x^2-1) d/dx (x^2-1)
1/v dv/dx=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)
1/v dv/dx=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]
dv/dx= v[(2x(x^2-1)-2x (x^2+1))/(x^2+1)(x^2-1) ]
dv/dx= (x^2+1)/(x^2-1) [(2x^2-2x-2x^2-2x)/(x^2+1)(x^2-1) ]
dv/dx=(-4x)/(x^2-1)^2 ,(3)
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx log⁡x ]+(-4x)/(x^2-1)^2
dy/dx=x^cosx [cosx/x-sinx log⁡x ]-4x/(x^2-1)^2 , Ans.

प्रश्न 12:- x^y+y^x=1

हल:-

x^y+y^x=1
पुनः माना u= x^y तथा v= y^x
u+ v=1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
du/dx+dv/dx=0 ,(1)
∵u=x^y
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡u=y logx
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx= y d/dx log⁡x+ log⁡x d/dx y
1/u du/dx=y.1/x + log⁡x.dy/dx
du/dx=u [y/x+log⁡x dy/dx]
⁡du/dx=x^y [y/x+log⁡x dy/dx],(2)
Now,∵v=y^x
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡v=x logy
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/v dv/dx=x d/dx logy+ logy d/dx x
1/v dv/dx= x.1/y .dy/dx+ logy .1
1/v dv/dx=v[x/y dy/dx+ logy]
dv/dx=y^x [x/y dy/dx+ logy],(3)
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
x^y [y/x+log⁡x dy/dx]+y^x [x/y dy/dx+ logy]=0
x^y.y/x .+ x^y .logx .dy/dx+
y^x .x/y .dy/dx+y^x logy=0
x^y .logx .dy/dx+ y^x .x/y .dy/dx =- y^x logy- x^y.y/x .
dy/dx [x^y .logx+ y^x .x/y]=- y^x logy- x^y.y/x .
dy/dx [(y x^y logx+ y^x x )/y]=(- (x y^x logy+ x^y.y))/x
dy/dx =((-( x y^x logy+ x^y.y))/x)/((y x^y logx+ y^x x )/y)=-(y (x y^x logy- x^y.y))/(x (y x^y logx+ y^x x ) )
dy/dx = (y x (y^x logy- x^(y-1).y))/(x y (x^y logx+ y^(x-1) x ) )
dy/dx =(-( y^x logy- x^(y-1).y ))/(x^y logx+ y^(x-1) ) Ans.

प्रश्न 13:- y^x= x^y

हल:-

y^x= x^y
दोनों पक्षों का log लेने पर —
x log y= y logx
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
x d/dx log⁡y+log⁡〖y d/dx〗 x= y
d/dx logx+log⁡x dy/dx
x.1/y .dy/dx+ logy .1= y .1/x .1+log⁡x dy/dx
x/y .dy/dx-log⁡〖x 〗 dy/dx =y/x-log⁡y
dy/dx (x/y -log⁡〖x 〗 )=y/x-log⁡y
dy/dx =(y/x-log⁡y)/(x/y- log x) =((y- xlogy)/x)/((x-ylogx)/y)
dy/dx =(y(y-xlogy))/x(x-ylogx) Ans.

प्रश्न 14:- (cosx)^y=(cosy)^x

हल:- (cosx)^y=(cosy)^x
दोनों पक्षों का log लेने पर —
y log⁡(cosx)= x log⁡(cosy)
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
y d/dx log⁡(cosx)+log⁡〖(cosx) dy/dx〗= x
d/dx log(cosy)+〖⁡log〗⁡(cosx) d/dx x
y .1/cosx.(-sinx).1+log⁡〖(cosx) dy/dx〗= x.1/cosy.(-siny).dy/dx +〖⁡log〗⁡(cosx).1
-y tanx+log⁡〖(cosx) dy/dx〗= -x tany dy/dx +〖⁡log〗⁡(cosx)
log⁡〖(cosx) dy/dx〗+x tany dy/dx = log⁡(cosx)+y tanx
dy/dx [log(cosx)+x tany]= log⁡(cosx)+y tanx
dy/dx =(log⁡(cosx)+y tanx)/(log(cosx)+x tany) Ans.

प्रश्न 15:- xy=e^((x-y) )

हल:-

xy=e^((x-y) )
दोनों पक्षों का log लेने पर —
logx+ logy=(x-y) log⁡e
logx+ logy=x-y ,∵ loge=1
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
d/dx logx+d/dx logy= d/dx x-d/dx y
1/x .1+1/y .dy/dx=1-dy/dx
1/y .dy/dx+dy/dx =1-1/x
dy/dx (1/y+1)= 1-1/x
dy/dx=(1-1/x )/(1+1/y)=((x-1)/x)/((y+1)/y)
dy/dx=(y(x-1))/(x(y+1)) Ans.

प्रश्न 16:- f(x)=(1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 ) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f^' (1) ज्ञात कीजिए।

हल:-

दिया है: f(x)=(1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 )
दोनों पक्षों का log लेने पर —
log⁡f(x)=log⁡(1+x)+log⁡(1+x^2 )+log⁡(1+x^4 )+log⁡〖(1+ x^8 ) 〗
x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
d/dx log⁡f(x)=d/dx log⁡(1+x)+d/dx log⁡(1+x^2 )+d/dx log⁡(1+x^4 )+d/dx log⁡〖(1+ x^8 ) 〗
1/(f(x)).f^' (x)=1/(1+x) (0+1)+1/(1+x^2 ) (0+2x)+1/(1+x^4 ) (0+4x^3 )+1/(1+x^8 ) (0+8x^7 )
f^' (x)=f(x)[1/(1+x) (0+1)+1/(1+x^2 ) (0+2x)+1/(1+x^4 ) (0+4x^3 )+1/(1+x^8 ) (0+8x^7 )]
f^' (x)= (1+x)(1+x^2 )(1+x^4 )(1+ x^8 )[1/(1+x) +2x/(1+x^2 ) +(4x^3)/(1+x^4 ) +(8x^7)/(1+x^8 ) ], Ans.

f^' (1)= (1+1)(1+1^2 )(1+1^4 )(1+ 1^8 )[1/(1+1) +(2.(1))/(1+1^2 ) +(4(1)^3)/(1+(1)^4 ) +(8(1)^7)/(1+(1)^8 ) ]
f^' (1)= (1+1)(1+1)(1+1)(1+ 1)[1/(1+1) +2/(1+1) +4/(1+1) +8/(1+1) ]
f^' (1)= 2×2×2×2[1/2 +2/2 +4/2 +8/2 ]=16.1/2 [1+2+4+8]
f^' (1)= 8×15=120 Ans.

प्रश्न 17:- (x^2-5x+8)(x^3+7x+9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा

हल:-

(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
माना y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)
गुणनफल नियम का प्रयोग करके x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=(x^2-5x+8) d/dx
(x^3+7x+9)+(x^3+7x+9) d/dx (x^2-5x+8)
dy/dx=(x^2-5x+8)(3x^3+7)+(x^3+7x+9)(2x-5)
dy/dx=3x^4-15x^3+24x^2+7x^2-
35x+56+2x^4+14x^2+18x-5x^3-35x-45
dy/dx=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11 Ans.

हल:-

(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
माना y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)
y=x^5+7x^3+9x^2-5x^4-35x^2-45x+8x^3+56x+72
y=x^5-5x^4+15x^3-26x^2+11x+72
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=x^5-5 d/dx x^4+15 d/dx x^3-26 d/dx x^2+11 d/dx x+d/dx 72
dy/dx=5(x^4 )-5(4x^3 )+15(3x^2 )-26(2x)+11(1)+0
dy/dx=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11 Ans.

हल:-

(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
माना y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)
दोनों पक्षों का log लेने पर —
logy=log(x^2-5x+8)+log⁡(x^3+7x+9)
1/y dy/dx=1/((x^2-5x+8) ) (2x-5)+1/((x^3+7x+9) ) (3x^2+7)
dy/dx=y[((2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8))/(x^2-5x+8)(x^3+7x+9) ]
dy/dx=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)[((2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8))/(x^2-5x+8)(x^3+7x+9) ]
dy/dx=[(2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8)]
dy/dx=[2x^4-5x^3+14x^2-35x+18x-45+3x^4+7x^2-15x^3-35x+24x^2+56]
dy/dx=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11 Ans.

यहां तीनों विधियों से प्राप्त dy/dx समान है।
प्रश्नावली 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में x तथा y दिए गए समीकरणों द्वारा एक दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बंधित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना dy/dx ज्ञात कीजिए।

1. x=2at^2,y= at^4

2. x= acosθ,y= bcosθ

3. x= sint,y= cos2t

4. x= 4 t,y=4/t

5. x= cosθ-cos2θ,y=sinθ-sin2θ

6. x=a(θ-sinθ),y=a(1+cosθ)

7. x=sin^3⁡t/√cos2t,y=cos^3⁡t/√cos2t

8. x=a(cost+log⁡〖tan t/2〗 ),y=asint

9. x=asecθ,y=btanθ

10. x=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ-θcosθ)

11. यदि x=√(a^sin^(-1)⁡t ) ,y=√(a^cos^(-1)⁡t ) तो दर्शाइए कि dy/dx=-y/x

प्रश्न 1:- x=2at^2,y= at^4

हल:-

दिया है: x=2at^2,y= at^4
t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dt=d/dx (2at^2 )=2a (2t)
dx/dt=4at
तथा dy/dt=d/dx (at^4 )=a (4t^3 )
dy/dt=4at^3
∵dy/dt=(dy⁄dt)/(dx⁄dt)=(4at^3)/4at=3t
∴ dy/dt=3t, Ans.

प्रश्न 2:- x= acosθ,y= bcosθ

हल:-

दिया है: x= acosθ,y= bcosθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dθ=d/dθ (acosθ)=a (-sinθ)
dx/dθ= - asinθ
तथा dy/dθ=d/dθ (bcosθ)=b (-sinθ)
dy/dθ=- bsinθ
∵dy/dθ=(dy⁄dθ)/(dx⁄dθ)=(- bsinθ)/(- asinθ)=b/a
∴ dy/dx=b/a , Ans.

प्रश्न 3:- x= sint,y= cos2t

हल:-

दिया है: x= sint,y= cos2t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dt=d/dt (sint)= cost
dx/dt= cost
तथा dy/dt=d/dt (cos2t)= (-sin2t).2
dy/dt= -2sin2t
∵dy/dx=(dy⁄dt)/(dx⁄dt)=(-2sin2t)/cost
∵dy/dx=(-2 . 2sint cost)/cost= - 4 sint
∴ dy/dx= - 4 sint, Ans.

प्रश्न 4:- x= 4 t,y=4/t

हल:-

दिया है: x= 4 t,y=4/t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dt=d/dt (4t)= 4.(1)
dx/dt= 4
तथा dy/dt=d/dt (4/t)=d/dx (4t^(-1) )
dy/dt= 4 .(-t^(-2) ).1=4 .(-1)/t^2
dy/dt= -4/t^2
∵dy/dx=(dy⁄dt)/(dx⁄dt)=(-4/t^2 )/4=(-4)/(4t^2 )
∴ dy/dx=(-1)/t^2 , Ans.

प्रश्न 5:- x= cosθ-cos2θ,y=sinθ-sin2θ

हल:-

दिया है: x=cosθ-cos2θ,y=sinθ-sin2θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dθ=d/dθ (cosθ-cos2θ)
dx/dθ= -sinθ-(-sin2θ).2
dx/dθ= -sinθ+2sin2θ
तथा dy/dθ=d/dθ (sinθ-sin2θ)
dy/dθ= cosθ-(cos2θ).2
dy/dθ=cosθ-2cos2θ
∵dy/dx=(dy⁄dθ)/(dx⁄dθ)=(cosθ-2cos2θ)/(-sinθ+2sin2θ)
∴ dy/dx= (cosθ-2cos2θ)/(2sin2θ-sinθ) Ans.

प्रश्न 6:- x=a(θ-sinθ),y=a(1+cosθ)

हल:-

दिया है: x=a(θ-sinθ),y=a(1+cosθ)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dθ=d/dθ [a(θ-sinθ)]
=d/dθ (θ-sinθ)
= a[d/dθ (θ)-d/dθ (sinθ)]
=a (1-cosθ)
तथा dy/dθ=d/dθ [a(θ+cosθ)]
=a d/dθ (1+cosθ)
= a[d/dθ (1)+d/dθ (cosθ)]
=a (0-sinθ)
=-asinθ
∵dy/dθ=(dy⁄dθ)/(dx⁄dθ)=(- asinθ)/(a (1-cosθ) )
∴ dy/dx=(-sinθ)/(1-cosθ) , Ans.

dy/dx=sinθ/(1-cosθ)=(-2sin θ/2 cos θ/2)/(1-[1-2sin^2 θ/2] )⁡
=(-2sin θ/2 cos θ/2)/(2sin^2 θ/2)
=-(cos θ/2)/(sin θ/2)
∴dy/dx=-cot θ/2 , Ans.

प्रश्न 7:- x=〖sin〗^3⁡t/√cos2t,y=〖cos〗^3⁡t/√cos2t

हल:-

दिया है: x=〖sin〗^3⁡t/√cos2t,y=〖cos〗^3⁡t/√cos2t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dt=d/dt (〖sin〗^3⁡t/√cos2t)
=(√cos2t d/dt (〖sin〗^3 t)-〖sin〗^3 t d/dt (√cos2t))/〖⁡(√cos2t)〗^2
=(√cos2t.3sin^2 t.cost-sin^3 t.1/(2√cos2t).(-sin2t).2)/cos2t
=(3√cos2t.sin^2 t.cost+sin^3 t.sin2t/√cos2t)/cos2t
=(3cos2t.sin^2 t.cost+sin^3 t.sin2t)/(cos2t√cos2t)
तथा dy/dt=d/dt (〖cos〗^3⁡t/√cos2t)
=(√cos2t d/dt (〖cos〗^3 t)-〖cos〗^3 t d/dt (√cos2t))/〖⁡(√cos2t)〗^2
=(√cos2t.3cos^2 t.(-sint)-cos^3 t.1/(2√cos2t).(-sin2t).2)/cos2t
=(-3√cos2t.cos^2 t.sint+〖cos〗^3 t.sin2t/√cos2t)/cos2t
=(-3cos2t.cos^2 t.sint+〖cos〗^3 t.sin2t)/(cos2t√cos2t)
dy/dx=(dy⁄dt)/(dx⁄dt)=((-3cos2t.cos^2 t.sint+〖cos〗^3 t.sin2t)/(cos2t√cos2t))/((3cos2t.sin^2 t.cost+sin^3 t.sin2t)/(cos2t√cos2t))
dy/dx=(-3cos2t.cos^2 t.sint+cos^3 t.sin2t)/(3cos2t.sin^2 t.cost+〖sin〗^3 t.sin2t)
dy/dx=(-3cos2t.cos^2 t.sint+cos^3
t.2sincost)/(3cos2t.sin^2 t.cost+〖sin〗^3 t.2sintcost)
dy/dx=(cos^2⁡t.sint(-3cos2t+2cos^2 t))/(sin^2 t.cost(3cos2t+2〖sin〗^2 t) )
dy/dx=cost/sint.[(-3(2 cos^2⁡t-1)+⁡2cos^2 t)/(3(1-2sin^2 t)+⁡2sin^2 t)]
dy/dx=cost/sint.[(-6 cos^2⁡t+3+2cos^2 t)/(3-6 sin^2⁡t+2sin^2 t)]
dy/dx=cost/sint.[(-4 cos^2⁡t+3)/(3-4 sin^2⁡t )]
dy/dx=(-4cos^3 t+3cost)/(3sint-4sin^3 t)
dy/dx=-cos3t/sin3t=-cot3t
∴ dy/dx=-cot3t, Ans.

प्रश्न 8:- x=a(cost+logtan t/2),y= asint

हल:-

दिया है: x=a(cost+logtan t/2),y= asint
t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dt=d/dx [a(cost+logtan t/2)]
=a[d/dx cost+d/dx logtan t/2]
=a[-sint+1/(tan t/2).⁡sec^2 t/2.(1/2)]
=a[-sint+(cos t/2)/(sin t/2).1/(cos^2 t/2) .(1/2)]
=a[-sint+1/(2 sin t/2.cos t/2)]
=a[-sint+1/sint]=a[(-sin^2 t+1)/sint]
dx/dt=(a.cos^2 t)/sint
तथा dy/dt=d/dx (asint)=acost
∵dy/dt=(dy⁄dt)/(dx⁄dt)=acost/((a.cos^2 t)/sint)
=(acost.sint)/(a.cos^2 t)=sint/cost
⁡∴ dy/dt=tant, Ans.

प्रश्न 9:- x=asecθ,y=btanθ

हल:-

दिया है: x=asecθ,y=btanθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dθ=d/dθ (asecθ)=asecθtanθ
तथा dy/dt=d/dt (btanθ)=bsec^2 θ
dy/dx=(dy⁄dθ)/(dx⁄dθ)=(bsec^2 θ)/asecθtanθ
dy/dx=b/a.secθ/tanθ=b/a.(1/cosθ)/(sinθ/cosθ)
=b/a.1/sinθ=b/a cosecθ
∴ dy/dx=b/a cosecθ, Ans.

प्रश्न 10:- x=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ-θcosθ)

हल:-

दिया है: x=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ-θcosθ)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dθ=d/dθ [a(cosθ+θsinθ)]
=a[d/dθ cosθ+θ d/dθ sinθ+sinθ d/dθ θ]
=a[-sinθ+θcosθ+sinθ.1]
=aθcosθ
तथा dy/dθ=d/dθ [a(sinθ+θcosθ)]
=a[d/dθ sinθ-(θ d/dθ cosθ+cosθ d/dθ θ)]
=a[cosθ-(θ(-sinθ)+cosθ.1)]
=a[cosθ+θsinθ-cosθ]
=aθsinθ
∵dy/dθ=(dy⁄dθ)/(dx⁄dθ)=aθsinθ/aθcosθ=sinθ/cosθ
∴ dy/dx=tanθ , Ans.

प्रश्न 11:- यदि x=√(a^〖sin〗^(-1)⁡t ) ,y=√(a^〖cos〗^(-1)⁡t ) तो दर्शाइए कि dy/dx=-y/x

हल:-

दिया है: x=√(a^〖sin〗^(-1)⁡t ) ,y=√(a^〖cos〗^(-1)⁡t )
सिद्ध करना है: dy/dx=-y/x
t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dx/dt=d/dt (√(a^〖sin〗^(-1)⁡t ))=d/dx 〖(a^(sin^(-1) t) )⁡〗^(1⁄2)
=1/2 〖(a^(sin^(-1) t) )⁡〗^((-1)⁄2) d/dx a^sin^(-1)⁡t
माना α=a^sin^(-1)⁡t
दोनों पक्षों का log लेने पर –
logα=log⁡(a^sin^(-1)⁡t )
logα=sin^(-1)⁡t.loga
Or,logα=loga.sin^(-1)⁡t
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/α dα/dt=loga/√(1-t^2 )
dα/dt=α.loga/√(1-t^2 )
dα/dt=dα/dt=a^sin^(-1)⁡t .loga/√(1-t^2 )
∴dx/dt=1/2 〖(a^(sin^(-1) t) )⁡〗^((-1)⁄2).a^sin^(-1)⁡t .loga/√(1-t^2 ) ,eq(1)
तथा dy/dt=d/dt (√(a^〖cos〗^(-1)⁡t ))=d/dx 〖(a^(〖cos〗^(-1) t) )⁡〗^(1⁄2)
=1/2 〖(a^(cos^(-1) t) )⁡〗^((-1)⁄2) d/dx a^cos^(-1)⁡t
माना β=a^cos^(-1)⁡t
दोनों पक्षों का log लेने पर –
logβ=log⁡(a^cos^(-1)⁡t )
logβ=cos^(-1)⁡t.loga
Or,logβ=loga.cos^(-1)⁡t
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/β dα/dt=loga(-1)/√(1-t^2 )
dβ/dt=-β .loga/√(1-t^2 )
dβ/dt=-a^cos^(-1)⁡t .loga/√(1-t^2 )
∴dy/dt=-1/2 〖(a^(〖cos〗^(-1) t) )⁡〗^((-1)⁄2).a^cos^(-1)⁡t .loga/√(1-t^2 ) ,eq(2)
∵dy/dθ=(dy⁄dθ)/(dx⁄dθ)
=(-1/2 〖(a^(〖cos〗^(-1) t) )⁡〗^((-1)⁄2).a^cos^(-1)⁡t .loga/√(1-t^2 ))/(1/2 〖(a^(sin^(-1) t) )⁡〗^((-1)⁄2).a^sin^(-1)⁡t .loga/√(1-t^2 ))
=(-〖(a^(〖cos〗^(-1) t) )⁡〗^((-1)⁄2).a^cos^(-1)⁡t )/(〖(a^(sin^(-1) t) )⁡〗^((-1)⁄2).a^sin^(-1)⁡t )
=(-〖(a^(〖cos〗^(-1) t) )⁡〗^(1⁄2))/〖(a^(〖sin〗^(-1) t) )⁡〗^(1⁄2) =-√(a^〖cos〗^(-1)⁡t )/√(a^〖sin〗^(-1)t )
∵x=√(a^〖sin〗^(-1)⁡t ) ,y=√(a^〖cos〗^(-1)⁡t ) ∴ dy/dx=-y/x ,Proved.
प्रश्नावली 5.7

प्रश्न संख्या 1 से दस तक में दिए गए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए।

1. x^2+3x+2

2. x^20

3. x.cosx

4. logx

5. x^3 logx

6. e^x sin5x

7. e^6x cos3x

8. tan^(-1)⁡x

9. log⁡(logx)

10. sin⁡(logx)

11. यदि y=5cosx-3sinx है तो सिद्ध कीजिए कि (d^2 y)/(dx^2 )+y=0

12. यदि y=cos^(-1)⁡x है तो (d^2 y)/(dx^2 ) को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।

13. यदि y=3 cos⁡(logx)+4 sin⁡(logx) है तो दर्शाइए कि x^2 y_2+xy_1+y=0

14. यदि y=Ae^mx+Be^nx है तो दर्शाइए कि (d^2 y)/(dx^2 )-(m-n) dy/dx+mny=0

15. यदि y=500e^7x+600e^(-7x) है तो दर्शाइए कि (d^2 y)/(dx^2 )=49y

16. यदि e^y (x+1)=1 है तो दर्शाइए कि (d^2 y)/(dx^2 )=(dy/dx)^2 है।

17. यदि y=(tan^(-1) x)^(⁡2) है तो दर्शाइए कि (x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2 है।

प्रश्न 1:- x^2+3x+2

हल:-

माना- y=x^2+3x+2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (x^2+3x+2)
=d/dx (x^2 )+3 d/dx (x)+d/dx (2)
=2x+3+0
=2x+3
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (2x+3)
=d/dx (2x)+3 d/dx (3)
=2(1)+0=2
∴(d^2 y)/(dx^2 )=2, Ans.

अथवा हल:-

माना- y=x^2+3x+2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (x^2+3x+2)
=2x+3+0
=2x+3
Now,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (2x+3)
=2(1)+0=2
∴(d^2 y)/(dx^2 )=2, Ans.

प्रश्न 2:- x^20

हल:-

माना- y=x^20
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (x^20 )
=20x^19
अब,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (20x^19 )
=20(19x^18 )
∴(d^2 y)/(dx^2 )=380x^18, Ans.

प्रश्न 2. x^20

हल:-
माना y=x^20
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (x^20 )
dy/dx=20x^19
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (20x^19 )=20 d/dx (x^19 )
(d^2 y)/(dx^2 )=20×19x^18
(d^2 y)/(dx^2 )=389x^18, Ans.

प्रश्न 3:- x.cosx

हल:-
माना- y=x.cosx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (x.cosx)
=x d/dx (cosx)+cosx d/dx (x)
=x(-sinx)+cosx(1)
=-xsinx+cosx
अब,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (-xsinx+cosx)
=-(x d/dx sinx+sinx d/dx x)+d/dx (cosx)
=-(x.cosx+sinx.1)+(-sinx)
=-xcosx-sinx-sinx
∴(d^2 y)/(dx^2 )=-xcosx-2sinx, Ans.
अथवा 3. x.cosx
हल:- माना y=x.cosx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (x.cosx)
dy/dx=x d/dx cosx+cosx d/dx x
dy/dx=x(-sinx)+cosx.1
dy/dx=-xsinx+cosx
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (-xsinx)+d/dx=
(d^2 y)/(dx^2 )=-[x d/dx sinx+sinx d/dx x]+d/dx cosx
(d^2 y)/(dx^2 )=-[xcosx+sinx(1)]+(-sinx)
(d^2 y)/(dx^2 )=-xcosx-sinx-sinx
(d^2 y)/(dx^2 )=-xcosx-2sinx, Ans.

प्रश्न 4:- logx

हल:-
माना- y=logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (logx)
=1/x
अब,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (1/x)=d/dx (x^(-1) )
=-1.x^(-1-1)=-x^(-2)=-1/x^2
∴(d^2 y)/(dx^2 )=-1/x^2 , Ans.
4. logx

हल:-
माना y=logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (logx)
dy/dx=1/x=x^(-1)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (x^(-1) )=-1.x^(-1-1)=-x^(-2)
(d^2 y)/(dx^2 )=(-1)/x^(-2) , Ans.

प्रश्न 5:- x^3 logx

हल:-
माना- y=x^3 logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (x^3 logx)
=x^3 d/dx (logx)+logx d/dx (x^3 )
=x^3 (1/x)+logx(3x^2 )
=x^2+3x^2 logx
अब,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (x^2+3x^2 logx)
=d/dx (x^2 )+3(x^2 d/dx logx+logx d/dx x^2 )
=2x+3(x^2.1/x+logx.2x)
=2x+3x+6xlogx
=5x+6xlogx
∴(d^2 y)/(dx^2 )=x(5+6logx), Ans.
5. x^3 logx

हल:-
माना y=x^3 logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (x^3 logx)
dy/dx=x^3 d/dx logx+logx d/dx x^3
dy/dx=x^3/x+logx.3x^2
dy/dx=x^2+3x^2 logx
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (x^2 )+d/dx (3x^2 logx)
(d^2 y)/(dx^2 )=2x+3[x^2 d/dx logx+logx d/dx x^2 ]
(d^2 y)/(dx^2 )=2x+3[x^2/x+logx(2x)]
(d^2 y)/(dx^2 )=2x+3[x+2xlogx]
(d^2 y)/(dx^2 )=2x+3x+6xlogx
(d^2 y)/(dx^2 )=5x+6xlogx, Ans.

प्रश्न 6:- e^x sin5x

हल:-
माना- y=e^x sin5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (e^x sin5x)
=e^x d/dx (sin5x)+sin5x d/dx (e^x )
=e^x.(cos5x.5)+sin5x(e^x )
=5e^x cos5x+e^x sin5x
अब,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (5e^x cos5x+e^x sin5x)
=5(e^x d/dx cos5x+cos5x d/dx e^x )+(e^x d/dx sin5x+sin5x d/dx e^x )
=5(-e^x sin5x.5+cos5x.e^x )+(e^x.cos5x.5+sin5x.e^x )
=-25e^x sin5x+5e^x cos5x+5e^x cos5x+e^x sin5x
=-24e^x sin5x+10e^x cos5x
∴(d^2 y)/(dx^2 )=e^x (10e^x cos5-24e^x sin5x), Ans.
6. e^x sin5x

हल:-
माना y=e^x sin5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (e^x sin5x)
dy/dx=e^x d/dx sin5x+sin5x d/dx e^x
dy/dx=e^x.cos5x.(5)+sin5x.e^x
dy/dx=5e^x cos5x+e^x sin5x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (5e^x cos5x+e^x sin5x)
(d^2 y)/(dx^2 )=5[e^x d/dx cos5x+cos5x d/dx e^x ]+[e^x d/dx sin5x+sin5x d/dx e^x ]
(d^2 y)/(dx^2 )=5[e^x (-sin5x).5+cos5x.e^x ]+[e^x.cos5x.5+sin5x.e^x.1]
(d^2 y)/(dx^2 )=-25e^x sin5x+5e^x cos5x+5e^x cos5x+e^x sin5x
(d^2 y)/(dx^2 )=-24e^x sin5x+10e^x cos5x
(d^2 y)/(dx^2 )=2e^x (5cos5x-12sin5x), Ans.

प्रश्न 7:- e^6x cos3x

हल:-
माना- y=e^6x cos3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (e^6x cos3x)
=e^6x d/dx (cos3x)+cos3x d/dx (e^6x )
=e^6x.(-sin3x.3)+cos3x(e^6x.6)
=-3e^6x sin3x+6e^6x cos3x
अब,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (-3e^6x sin3x+6e^6x cos3x)
=-3(e^6x d/dx sin3x+sin3x d/dx e^6x )+6(e^6x d/dx cos3x+cos3x d/dx e^6x )
=-3(e^6x.cos3x.3+sin3x.e^6x.6)+6(e^6x.(-sin3x).3+cos3x.e^6x.6)
=-9e^6x cos3x-18e^6x sin3x-18e^6x sin3x+36e^6x cos3x
=27e^6x cos3x-36e^6x sin3x
∴(d^2 y)/(dx^2 )=9e^6x (3cos3x-4sin3x), Ans.
7. e^6x cos3x

हल:-
माना y=e^6x cos3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (e^6x cos3x)
dy/dx=e^6x d/dx cos3x+cos3x d/dx e^6x
dy/dx=e^6x.(-sin3x).3+cos3x.e^6x.6
dy/dx=-3e^6x sin3x+6e^6x cos3x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (-3e^6x sin3x+6e^6x cos3x)
(d^2 y)/(dx^2 )=-3[e^6x d/dx sin3x+sin3x d/dx e^6x ]+6[e^6x d/dx cos3x+cos3x d/dx e^6x ]
(d^2 y)/(dx^2 )=-3[e^6x
cos3x.3+sin3x.e^6x.6]+6[e^6x.(-sin3x).3+cos3x.e^6x.6]
(d^2 y)/(dx^2 )=-9e^6x cos3x-18e^6x sin3x-18e^6x sin3x+36e^6x cos3x
(d^2 y)/(dx^2 )=27e^6x cos3x-36e^6x sin3x
(d^2 y)/(dx^2 )=9e^6x (3cos3x-4sin3x), Ans.

प्रश्न 8:- 〖tan〗^(-1)⁡x

हल:-
माना- y=〖tan〗^(-1)⁡x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (tan^(-1)⁡x )
=1/(1+x^2 )
अब,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (1/(1+x^2 ))
=((1+x^2 ) d/dx 1-1 d/dx (1+x^2 ))/(1+x^2 )^2
=((1+x^2 ).(0)-1.(0+2x))/(1+x^2 )^2
=(0-2x)/(1+x^2 )^2
∴(d^2 y)/(dx^2 )=-2x/(1+x^2 )^2 , Ans.
8. tan^(-1)⁡x

हल:-
माना y=〖tan〗^(-1)⁡x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (tan^(-1)⁡x )
dy/dx=1/(1+x^2 )
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (1/(1+x^2 ))
(d^2 y)/(dx^2 )=(1 d/dx (1+x^2 )-(1+x^2 ) d/dx (1))/(1+x^2 )^2
(d^2 y)/(dx^2 )=(1(0+2x)-(1+x^2 )(0))/(1+x^2 )^2
(d^2 y)/(dx^2 )=(2x-0)/(1+x^2 )^2
(d^2 y)/(dx^2 )=2x/(1+x^2 )^2 , Ans.

प्रश्न 9:- log⁡(logx)

हल:-
माना- y=log⁡(logx)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx [log(logx)]
=1/logx.1/x
=1/xlogx
अब,(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (1/xlogx)
=((xlogx) d/dx 1-1 d/dx (xlogx))/(xlogx)^2
=((xlogx).(0)-1.(x.d/dx logx+logx.d/dx x))/(xlogx)^2
=(0-1.(x.1/x+logx.1))/(xlogx)^2
=(-(1+logx))/(xlogx)^2
∴(d^2 y)/(dx^2 )=-(1+logx)/(xlogx)^2 , Ans.
Or
9. log⁡(logx)

हल:-
माना y=log⁡(logx)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx [log⁡(logx) ]
dy/dx=1/logx.1/x
dy/dx=1/xlogx
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (1/xlogx)
(d^2 y)/(dx^2 )=(1 d/dx (xlogx)-(xlogx) d/dx (1))/(xlogx)^2
(d^2 y)/(dx^2 )=(1[x d/dx logx+logx d/dx x]-(xlogx) d/dx (1))/(xlogx)^2
(d^2 y)/(dx^2 )=(1[x.1/x+logx(1)]-(xlogx)(0))/(xlogx)^2
(d^2 y)/(dx^2 )=(1+logx-0)/(xlogx)^2
(d^2 y)/(dx^2 )=(1+logx)/(xlogx)^2 , Ans.

प्रश्न 10:- sin⁡(logx)
10. sin⁡(logx)

हल:-
माना y=sin⁡(logx)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx [sin⁡(logx) ]
dy/dx=cos⁡(logx).1/x
dy/dx=cos⁡(logx)/x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx [cos⁡(logx)/x]
(d^2 y)/(dx^2 )=(x d/dx cos(logx)-cos⁡(logx) d/dx (x))/(x)^2
(d^2 y)/(dx^2 )=(x[-sin(logx)].1/x.1-cos⁡(logx) (1))/x^2
(d^2 y)/(dx^2 )=(-sin(logx)-cos⁡(logx))/x^2
∴(d^2 y)/(dx^2 )=(-sin⁡(logx)-cos(logx))/x^2 ,Ans.
or,(d^2 y)/(dx^2 )=-(sin⁡(logx)+cos(logx))/x^2 , Ans.

प्रश्न 11:- यदि y=5cosx-3sinx है तो सिद्ध कीजिए कि (d^2 y)/(dx^2 )+y=0

हल:-
दिया है- y=5cosx-3sinx
सिद्ध करना है: (d^2 y)/(dx^2 )+y=0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (5cosx-3sinx)
=5(-sinx)-3cosx
=-5sinx-3cosx
∴ (d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (-5sinx-3cosx)
=-5cosx-3(-sinx)
=-5cosx+3sinx
अब,(d^2 y)/(dx^2 )+y=-5cosx+3sinx+5cosx-3sinx
=0
∴(d^2 y)/(dx^2 )+y=0, Proved.
Or

हल:-
दिया है: y=5cosx-3sinx
सिद्ध करना है: (d^2 y)/(dx^2 )+y=0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (5cosx-3sinx)
dy/dx=5 d/dx cosx-3 d/dx sinx
dy/dx=5(-sinx)-3cosx
dy/dx=-5sinx-3cosx
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (-5sinx-3cosx)
(d^2 y)/(dx^2 )=-5 d/dx sinx-3 d/dx cosx
(d^2 y)/(dx^2 )=-5cosx-3(-sinx)
(d^2 y)/(dx^2 )=-5cosx+3sinx
अब, (d^2 y)/(dx^2 )+y=-5cosx+3sinx+5cosx-3sinx=0, Proved.

12. यदि y=cos^(-1)⁡x है तो (d^2 y)/(dx^2 ) को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।

हल:-
दिया है: y=cos^(-1)⁡x
ज्ञात करना है: (d^2 y)/(dx^2 )=?
∵y=cos^(-1)⁡x
∴ cosy=x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
d/dx cosy=d/dx x
-siny dy/dx=1
dy/dx=1/(-siny)
dy/dx=-cosecy
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (-cosecy)
(d^2 y)/(dx^2 )=-(-cosecy.coty) dy/dx
(d^2 y)/(dx^2 )=cosecy.coty dy/dx
अब dy/dx का मान रखने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=cosecy.coty.(-cosecy)
(d^2 y)/(dx^2 )=cosec^2 y.coty, Ans.

13. यदि y=3 cos⁡(logx)+4 sin⁡(logx) है तो दर्शाइए कि x^2 y_2+xy_1+y=0

हल:-
दिया है: y=3 cos⁡(logx)+4 sin⁡(logx)
सिद्ध करना है: x^2 y_2+xy_1+y=0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
y_1=d/dx [3 cos⁡(logx)+4 sin⁡(logx) ]
y_1=3 d/dx [cos⁡(logx) ]+4 d/dx [sin⁡(logx) ]
y_1=3[-sin⁡〖(logx).1/x〗 ]+4[cos⁡(logx).1/x]
y_1=(-3 sin⁡(logx))/x+(4 cos⁡(logx))/x
दोनों ओर x का गुणा करने पर –
xy_1=-3 sin⁡(logx)+4 cos⁡(logx)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
xy_2+y_1 (1)=-3 d/dx [sin⁡(logx) ]+4 d/dx [cos⁡(logx) ]
xy_2+y_1=-3 cos⁡(logx).1/x+4[-sin(logx)].1/x
xy_2+y_1=(-3 cos⁡(logx))/x-(4 sin⁡(logx))/x
पुनः दोनों ओर x का गुणा करने पर –
x^2 y_2+xy_1=-3 cos⁡(logx)-4 sin⁡(logx)
x^2 y_2+xy_1=-[3 cos⁡(logx)+4 sin⁡(logx) ]
x^2 y_2+xy_1=-y
x^2 y_2+xy_1+y=0, Proved.

14. यदि y=Ae^mx+Be^nx है तो दर्शाइए कि (d^2 y)/(dx^2 )-(m+n) dy/dx+mny=0

हल:-
दिया है: y=Ae^mx+Be^nx
सिद्ध करना है: (d^2 y)/(dx^2 )-(m+n) dy/dx+mny=0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (Ae^mx+Be^nx )
dy/dx=A d/dx e^mx+B d/dx e^nx
dy/dx=Ae^mx.m+Be^nx.n
dy/dx=Ame^mx+B〖ne〗^nx,eq(1)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (Ame^mx+B〖ne〗^nx )
(d^2 y)/(dx^2 )=Am d/dx e^mx+Bn d/dx e^nx
(d^2 y)/(dx^2 )=Ame^mx.m+Bne^nx.n
(d^2 y)/(dx^2 )=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx eq(2)
Now,LHS=(d^2 y)/(dx^2 )-(m+n) dy/dx+mny
=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-(m+n)Ame^mx+B〖ne〗
^nx+mn(Ae^mx+Be^nx )
=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-(Am^2 e^mx-B〖mne〗
^nx+Amne^mx+B〖n^2 e〗^nx )+Amne^mx.m+Bmn^2 e^nx.n
=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-Am^2 e^mx-Bmne^nx-
Amne^mx-Bn^2 e^nx+Amne^mx+Bmn e^nx
=0=RHS
LHS=RHS
∴ (d^2 y)/(dx^2 )-(m+n) dy/dx+mny=0, Proved.

15. यदि y=500e^7x+600e^(-7x) है तो दर्शाइए कि (d^2 y)/(dx^2 )=49y

हल:-
दिया है: y=500e^7x+600e^(-7x)
सिद्ध करना है: (d^2 y)/(dx^2 )=49y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=d/dx (y=500e^7x+600e^(-7x) )
dy/dx=500 d/dx e^7x+600 d/dx e^(-7x)
dy/dx=500e^7x.7+600e^(-7x).(-7)
dy/dx=3500e^7x-4200e^(-7x)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (3500e^7x-4200e^(-7x) )
(d^2 y)/(dx^2 )=3500 d/dx e^7x-4200 d/dx e^(-7x)
(d^2 y)/(dx^2 )=3500e^7x.7-4200e^(-7x).(-7)
(d^2 y)/(dx^2 )=7(3500e^7x.7+4200e^(-7x) )
(d^2 y)/(dx^2 )=7×7(500e^7x.7+600e^(-7x) )
(d^2 y)/(dx^2 )=49(500e^7x.7+600e^(-7x)
),∵y=500e^7x+600e^(-7x)
∴ (d^2 y)/(dx^2 )=49y, Proved.

16. यदि e^y (x+1)=1 है तो दर्शाइए कि (d^2 y)/(dx^2 )=(dy/dx)^2 है।

हल:-
दिया है: e^y (x+1)=1
सिद्ध करना है: (d^2 y)/(dx^2 )=(dy/dx)^2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
e^y d/dx (x+1)+(x+1) d/dx e^y=d/dx (1)
e^y (1+0)+(x+1) e^y dy/dx=0
e^y+e^y (x+1) dy/dx=0
e^y (x+1) dy/dx=-e^y
dy/dx=-e^y/(e^y (x+1) )
dy/dx=-1/((x+1) ) ,eq(1)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(d^2 y)/(dx^2 )=d/dx (-1/(x+1))
(d^2 y)/(dx^2 )=-[((x+1) d/dx (1)+1 d/dx (x+1))/(x+1)^2 ]
(d^2 y)/(dx^2 )=-[((x+1)(0)+1(1+0))/(x+1)^2 ]
(d^2 y)/(dx^2 )=-[(0+1)/(x+1)^2 ]
(d^2 y)/(dx^2 )=-1/(x+1)^2 ,eq(2)
अब समी (1) से —
(dy/dx)^2=(-1/(x+1))^2=(-1)/((x+1) )×(-1)/((x+1) )
(dy/dx)^2=1/(x+1)^2 ,eq(3)
समी० (1) और (3) से,
(d^2 y)/(dx^2 )=(dy/dx)^2, Proved.

17. यदि y=(tan^(-1) x)^2 है तो दर्शाइए कि (x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2 है।

हल:-
दिया है: y=(tan^(-1) x)^2
सिद्ध करना है: (x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
dy/dx=2.tan^(-1) x.1/(1+x^2 )=(2 tan^(-1) x)/(1+x^2 )
(1+x^2 ) dy/dx=2 tan^(-1)⁡x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर –
(1+x^2 ) (d^2 y)/(dx^2 )+dy/dx.d/dx (1+x^2 )=d/dx (2 tan^(-1)⁡x )
(1+x^2 ) (d^2 y)/(dx^2 )+dy/dx.(0+2x)=2/(1+x^2 )
(x^2+1) (d^2 y)/(dx^2 )+2x dy/dx=2/(1+x^2 )
दोनों पक्षों में (1+x^2 ) का गुणा करने पर —
(x^2+1)^2 (d^2 y)/(dx^2 )+2x(x^2+1) dy/dx=2
∵dy/dx=y_1,(d^2 y)/(dx^2 )=y_2
∴ (x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2, Proved.
प्रश्नावली 5.8
1. फलन f(x)=x^2+2x-8,x∈ [-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x)=[x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x)=[x] के लिए x∈[-2,2]
(iii) f(x)= x^2-1 के लिए x∈[1,2]

3. यदि f∶[-5,5]→ R एक संतत फलन है और यदि f^' (x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि f(-5)≠f(5).

4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल [a,b] में f(x)= x^2-4x-3 जहाँ a=1 और b=4 है।

5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल [a, b] में f(x)= x^3-5x^2-3x जहाँ a=1 और b=3 है। f^' (c)=0 के लिए c∈(1,3) को ज्ञात कीजिए।

6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।

प्रश्न 1. फलन f(x)=x^2+2x-8,x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

हल:-
दिया है: f(x)=x^2+2x-8,x∈[-4,2]
f^' (x)=2x+2,eq(1)
चूंकि f(x) एक बहुपदीय फलन है।
अतः f(x) अन्तराल [-4,2] में सतत व अवकलनीय है।
अब, f(-4)=〖(-4)〗^2+2(-4)-8=16-8-8=0
तथा f(2)=〖(2)〗^2+2(2)-8=4+4-8=0
∵f(-4)=f(2)
अब समी० (1) से,
f^' (x)=2x+2
∴f^' (c)=2c+2
परन्तु रोले की प्रमेय से,
f^' (c)=0
2c+2=0
2c=-2 c
=-2/2
c=-1∈[-4,2]
चूंकि सभी नियम सन्तुष्ट हैं। अतः रोले की प्रमेय सत्यापित है। Proved.

प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x)=[x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x)=[x] के लिए x∈[-2,2]
(iii) f(x)= x^2-1 के लिए x∈[1,2]

हल:-
(i):– दिया है: f(x)=[x], x∈[5,9]
f^' (x)=2x+2,eq(1)
चूंकि [x] एक महत्तम पूर्णांक फलन है।
चूंकि प्रत्येक महत्तम पूर्णांक फलन ∀x∈R के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
अतः f(x) पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। Ans.

हल:-
(ii):– दिया है: f(x)=[x], x∈[-2,2]
f^' (x)=2x+2,eq(1)
चूंकि [x] एक महत्तम पूर्णांक फलन है।
चूंकि प्रत्येक महत्तम पूर्णांक फलन ∀x∈R के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
अतः f(x) पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। Ans.
हल:-
(iii):– दिया है: f(x)=x^2-1, x∈[1,2]
f^' (x)=2x+2,eq(1)
∵ x^2-1 एक बहुपदीय फलन है।
चूंकि प्रत्येक बहुपदीय फलन [1,2] पर सतत तथा अवकलनीय होगा।
अब, f(1)=1^2-1=1-1=0
तथा f(2)=2^2-1=4-1=3
∵ f(1)≠f(2)
अतः फलन f(x) रोले की प्रमेय सन्तुष्ट नहीं करता है। Ans.

प्रश्न 3. यदि f∶[-5,5]→ R एक संतत फलन है और यदि f^' (x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि f(-5)≠f(5).

हल:-
दिया है: f∶[-5,5]→ R, एक संतत फलन है।
f^' (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं है अर्थात f^' (c)≠0.
सिद्ध करना है: f(-5)≠f(5).
माध्यमान प्रमेय से,
(f(b)-f(a))/(b-a)≠0
(f(5)-f(-5))/(5-(-5) )≠0
(f(5)-f(-5))/10≠0
f(5)-f(-5)≠0
f(5)≠f(-5)
या f(-5)≠f(5), Proved.

प्रश्न 4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल
[a,b] में f(x)= x^2-4x-3 जहाँ a=1 और b=4 है।

हल:-
दिया है: f(x)= x^2-4x-3,x∈[1,4]
f^' (c)=2x-4
∵ x^2-1 एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन f(x), अंतराल [1,2] पर सतत व अवकलनीय होगा।
अब, f(1)=1^2-4(1)-3=1-4-3=6
तथा f(4)=4^2-4(4)-3=16-16-3=-3
∵ f(1)≠f(4)
जबकि माध्यमान प्रमेय से,
f^' (c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2c-4=(f(4)-f(1))/(4-1)
2c-4=(-3-(-6))/3
2c-4=(-3+6)/3=3/3=1
2c=1+4=5
c=5/2,∈[1,4] Proved.

प्रश्न 5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल [a, b] में f(x)= x^3-5x^2-3x जहाँ a=1 और b=3 है। f^' (c)=0 के लिए c∈(1,3) को ज्ञात कीजिए।

हल:-
दिया है: f(x)= x^3-5x^2-3x, x∈[1,3]
f^' (x)=3x^2-10x-3,eq(1)
∵ f(x)= x^3-5x^2-3x एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन f(x) अन्तराल [1,3] पर सतत तथा अवकलनीय है।
अब, f(1)=1^3-5(1^2 )-3=1-5-3=-7
तथा f(3)=3^3-5(3^2 )-3=27-45-3=-27
∵ f(1)≠f(3)
जबकि माध्यमान प्रमेय से,
f^' (c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
3c^2-10c-3=(f(3)-f(1))/(3-1)
3c^2-10c-3=(-27-(-7))/2
3c^2-10c-3=(-27+7)/2=(-20)/2
3c^2-10c-3=-10
3c^2-3c-7c+7=0
3c(c-3)-7(c-3)=0
(c-3)(3c-7)=0
c=3 or c=7/3,
यहां c=7/3∈[1,3] Proved.
अब यदि f^' (c)=0 तो c∈(1,3) ज्ञात संभव नहीं है।
क्योंकि f(1)≠f(3)

प्रश्न 6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।

हल:-
(i):– दिया है: f(x)=[x], के लिए x∈[5,9]
∵ f(x)=[x] एक महत्तम पूर्णांक फलन है। जो x∈R के लिए न तो सतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः यहां माध्यमान प्रमेय लागू नहीं हो सकता है।

हल:-
(ii):– दिया है: f(x)=[x], के लिए x∈[-2,2]
∵ f(x)=[x] एक महत्तम पूर्णांक फलन है। जो x∈R के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।

हल:-
(iii):– दिया है: f(x)=x^2-1, x∈[1,2]
f^' (x)=2x,eq(1)
∵ x^2-1 एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन [1,2] पर सतत तथा अवकलनीय है।
अब, f(1)=1^2-1=1-1=0
तथा f(2)=2^2-1=4-1=3
∵ f(1)≠f(2)
अतः माध्यमान प्रमेय से —
f^' (c)=(f(b)-f(a))/(b-a)
2c=(3-0)/(2-1)=3/1=3
2c=3 or c=3/2
यहां c=3/2 ∈[1,2]
अतः माध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है। Proved.
अध्याय 5 पर विविध प्रश्नावली
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए: cos^(-1)

1. (3x^2-9x+5)^9

2. sin^3 x+cos^6 x

3. (5x)^(3cosx 2x)

4. sin^(-1)⁡(x√x),0≤x≤1.

5. (cos^(-1)⁡〖x/2〗 )/√(2x+7),-2
6. 〖cot〗^(-1)⁡[(√(1+sinx)+√(1-sinx))/(√(1+sinx)- √(1-sinx))],0
7. (logx)^logx,x>1

8. cos⁡(acosx+bsinx), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।

9. (sinx-cosx)^((sinx-cosx) ),π/4
10. x^x+x^a+a^x+a^a, किसी नियत a>0 तथा x>0 के लिए।

11. x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2 ) किसी नियत x>3 के लिए।

12. यदि y=12(1-cosx),x= 10(t-sinx),-π/2
13. यदि y=sin^(-1)⁡x+sin^(-1)⁡√(1-x^2 ),0< x<1 है तो dy/dx ज्ञात कीजिए।

14. यदि -1 dy/dx=-1/(1+x)^2

15. यदि किसी c>0 के लिए (x- a)^2+(y- b)^2= c^2 है तो सिद्ध कीजिए कि:
[1+(dy/dx)^2 ]^(3/2)/((d^2 y)/(dx^2 )) ,
a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।

16. यदि cos y= x cos⁡(a+y), तथा cosa≠±1, तो सिद्ध कीजिए कि:
dy/dx=(cos^2 (a+y))/sina⁡

17. यदि x= a(cost+tsint) और y= a(sint-tcost) तो (d^2 y)/(dx^2 ) ज्ञात कीजिए।

18. यदि f(x)=|x|^3 तो प्रमाणित कीजिए कि f"(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।

19. गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए d/dx (x^n )=nx^(n-1) है।

20. sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।

21. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

22. यदि y=|■(f(x)&f(b)&f(c)@l&m&n@a&b&c)| तो सिद्ध कीजिए कि dy/dx=|■(f^' (x)&f^' (x)&f^' (x)@l&m&n@a&b&c)|

23. यदि y=e^(acos^(-1) x),-1≤x≤1 तो दर्शाइए कि: (1-x^2 ) (d^2 y)/(dx^2 )-x dy/dx-a^2 y=0
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

प्रश्न 1:- (3x^2-9x+5)^9

हल:-
माना — y=(3x^2-9x+5)^9
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (3x^2-9x+5)^9
=9(3x^2-9x+5)^8 d/dx (3x^2-9x+5)
=9(3x^2-9x+5)^8.(6x-9)
=9(3x^2-9x+5)^8.3(2x-3)
=27(2x-3) (3x^2-9x+5)^8, Ans.

प्रश्न 2. sin^3 x+cos^6 x

हल:-
माना — y=sin^3 x+cos^6 x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (sin^3 x+cos^6 x)
=d/dx sin^3 x+d/dx cos^6 x
=3sin^2 x d/dx sinx+6cos^5 x d/dx cosx
=3sin^2 x(cosx)+6cos^5 x(-sinx)
=3sinxcosx(sinx-2cos^4 x), Ans.

प्रश्न 3. (5x)^(3cosx 2x)

हल:-
माना — y=(5x)^(3cosx 2x)
दोनों पक्षों का log लेने पर —
logy=3cos2x.log5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/y.dy/dx=3cos2x.d/dx log5x+log5x.d/dx 3cos2x
1/y.dy/dx=3cos2x.1/5x.5+log5x.3(-sin2x).2
1/y.dy/dx=3cos2x/x-6log5xsin2x
1/y.dy/dx=3(cos2x/x-2sin2xlog5x)
dy/dx=3y(cos2x/x-2sin2xlog5x)
dy/dx=3(5x)^(3cosx 2x).(cos2x/x-2sin2xlog5x), Ans.

प्रश्न 4. 〖sin〗^(-1)⁡(x√x),0≤x≤1.

हल:-
माना y=sin^(-1)⁡(x√x),0≤x≤1.
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx [sin^(-1)⁡(x√x) ]=d/dx [sin^(-1)⁡(x^(3⁄2) ) ]
=1/√(1-(x^(3⁄2) )^2 ).d/dx (x^(3⁄2) )
=1/√(1-x^3 ).3/2.x^(1⁄2)
=3/2 x^(1⁄2)/√(1-x^3 )
=3/2 √(x/(1-x^3 )), Ans.

प्रश्न 5. (〖cos〗^(-1)⁡〖x/2〗 )/√(2x+7),-2

हल:-
माना y=(cos^(-1)⁡〖x/2〗 )/√(2x+7),-2 x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx ((cos^(-1)⁡〖x/2〗 )/√(2x+7))
=(√(2x+7).d/dx cos^(-1)⁡〖x/2〗+cos^(-1)⁡〖x/2〗.d/dx √(2x+7))/(√(2x+7))^2
=(√(2x+7).(-1)/√(1-(x/2)^2 ).1/2+cos^(-1)⁡〖x/2〗.1/(2√(2x+7)).2)/(2x+7)
=-1/(2x+7) [√(2x+7) (1/(1-x^2/4)) 1/2+cos^(-1)⁡〖x/2〗/√(2x+7)]
=-1/(2x+7) [√(2x+7) (2/(4-x^2 )) 1/2+cos^(-1)⁡〖x/2〗/√(2x+7)]
=-[1/√(2x+7).1/(4-x^2 )+cos^(-1)⁡〖x/2〗/(2x+7)^(3⁄2) ], Ans.

प्रश्न 6. 〖cot〗^(-1)⁡[(√(1+sinx)+√(1-sinx))/(√(1+sinx)-√(1-sinx))],0

हल:-
माना y=〖cot〗^(-1)⁡[(√(1+sinx)+√(1-sinx))/(√(1+sinx)-√(1-sinx))],0 y=〖cot〗^(-1)⁡[(√(sin^2⁡〖x/2〗+cos^2⁡〖x/2〗+2 sin⁡〖x/2〗 cos⁡〖x/2〗 )+√(sin^2⁡〖x/2〗+cos^2⁡〖x/2〗-2 sin⁡〖x/2〗 cos⁡〖x/2〗 ))/(√(sin^2⁡〖x/2〗+cos^2⁡〖x/2〗+2 sin⁡〖x/2〗 cos⁡〖x/2〗 )-√(sin^2⁡〖x/2〗+cos^2⁡〖x/2〗-2 sin⁡〖x/2〗 cos⁡〖x/2〗 ))]
y=〖cot〗^(-1)⁡[(√((sin⁡〖x/2〗+cos⁡〖x/2〗 )^2 )+√((sin⁡〖x/2〗-cos⁡〖x/2〗 )^2 ))/(√((sin⁡〖x/2〗+cos⁡〖x/2〗 )^2 )-√((sin⁡〖x/2〗-cos⁡〖x/2〗 )^2 ))]
y=cot^(-1) [((sin⁡〖x/2〗+cos⁡〖x/2〗 )+(sin⁡〖
x/2〗-cos⁡〖x/2〗 ))/((sin⁡〖x/2〗+cos⁡〖x/2〗 )-(sin⁡〖x/2〗-cos⁡〖x/2〗 ) )]
y=〖cot〗^(-1)⁡[2cos⁡〖x/2〗/(2 sin⁡〖x/2〗 )]
y=〖cot〗^(-1)⁡[cot^(-1)⁡〖x/2〗 ]
y=x/2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=1/2 d/dx (x)
dy/dx=1/2 (1)
dy/dx=1/2, Ans.

प्रश्न 7. (logx)^logx,x>1

हल:-
माना — y=(logx)^logx,x>1
दोनों पक्षों का log लेने पर —
logy=logx.log⁡(logx)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/y.dy/dx=logx.d/dx log⁡(logx)+log⁡(logx).d/dx logx
1/y.dy/dx=logx.1/logx.1/x+log⁡(logx).1/x.(1)
dy/dx=y[1/x+log⁡(logx)/x]
dy/dx=(logx)^logx [(1+log⁡(logx))/x], Ans.

प्रश्न 8. cos⁡(acosx+bsinx), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।

हल:-
माना — y=cos⁡(acosx+bsinx)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx cos⁡(acosx+bsinx)
dy/dx=-sin⁡(acosx+bsinx) d/dx (acosx+bsinx)
dy/dx=-sin⁡(acosx+bsinx) [a(-sinx)+bcosx]
dy/dx=-sin⁡(acosx+bsinx) [-(asinx-bcosx)]
dy/dx=sin⁡(acosx+bsinx) (asinx-bcosx), Ans.

प्रश्न 9. (sinx-cosx)^((sinx-cosx) ),π/4

हल:-
माना — y=(sinx-cosx)^((sinx-cosx) ),π/4 दोनों पक्षों का log लेने पर —
logy=(sinx-cosx).log⁡(sinx-cosx)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/y.dy/dx=(sinx-cosx).d/dx log⁡(sinx-cosx)+log⁡(sinx-cosx).d/dx (sinx-cosx)
1/y.dy/dx=(sinx-cosx)/(sinx-cosx).[cosx-(-sinx)]+log⁡(sinx-cosx).[cosx-(-sinx)]
1/y.dy/dx=[cosx+sinx]+log⁡(sinx-cosx).[cosx+sinx]
1/y.dy/dx=(cosx+sinx)[1+log⁡(sinx-cosx) ]
dy/dx=y(cosx+sinx)[1+log⁡(sinx-cosx) ]
dy/dx=(sinx-cosx)^((sinx-cosx)
).(cosx+sinx)[1+log⁡(sinx-cosx) ], Ans.

प्रश्न 10. x^x+x^a+a^x+a^a, किसी नियत a>0 तथा x>0 के लिए।

हल:-
माना — y=x^x+x^a+a^x+a^a,a>0 तथा x>0
पुनः माना u=x^x
दोनों पक्षों का log लेने पर —
logu=xlogx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx=d/dx (xlogx)
1/u du/dx=x d/dx logx+logx d/dx x
1/u du/dx=x.1/x+logx.(1)
1/u du/dx=1+logx
du/dx=u(1+logx)
du/dx=x^x (1+logx),eq(1)
∵ y=x^x+x^a+a^x+a^a
dy/dx=du/dx+d/dx x^a+d/dx a^x+d/dx a^a
dy/dx=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga+0
dy/dx=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga,Ans.

प्रश्न 11. x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2 ) किसी नियत x>3 के लिए।

हल:-
माना — y=x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2 ) तथा x>3
पुनः माना u=x^(x^2-3) तथा (x-3)^(x^2 )
∵y=u+v
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=du/dx+dv/dx ,eq(1)
∵u=x^(x^2-3)
दोनों पक्षों का log लेने पर —
logu=(x^2-3)logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
1/u du/dx=(x^2-3) d/dx logx+logx d/dx (x^2-3)
1/u du/dx=(x^2-3).1/x+logx.(2x-0)
1/u du/dx=[(x^2-3+2x^2.logx)/x]
du/dx=u[(x^2-3+2x^2.logx)/x]
du/dx=x^x (1+logx),eq(1)
∵ y=x^x+x^a+a^x+a^a
dy/dx=du/dx+d/dx x^a+d/dx a^x+d/dx a^a
dy/dx=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga+0
dy/dx=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga, Ans.

प्रश्न 12. यदि y=12(1-cosx),x= 10(t-sinx),-π/2

प्रश्न 13. यदि y=〖sin〗^(-1)⁡x+〖sin〗^(-1)⁡√(1-x^2 ),0< x<1 है तो dy/dx ज्ञात कीजिए।

प्रश्न14. यदि -1 dy/dx=-1/(1+x

प्रश्न 15. यदि किसी c>0 के लिए (x- a)^2+(y- b)^2= c^2 है तो सिद्ध कीजिए कि:
[1+(dy/dx)^2 ]^(3/2)/((d^2 y)/(dx^2 )) ,
a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।

प्रश्न 16. यदि cos y= x cos⁡(a+y), तथा cosa≠±1, तो सिद्ध कीजिए कि:
dy/dx=(〖cos〗^2 (a+y))/sina⁡

प्रश्न 17. यदि x= a(cost+tsint) और y= a(sint-tcost) तो (d^2 y)/(dx^2 ) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 18. यदि f(x)=|x|^3 तो प्रमाणित कीजिए कि f"(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।

हल:-
दिया है: f(x)=|x|^3
f(x)={■(x^3,&यदि x≥0@-x^3,&यदि x<0)┤
x≥0 जब तो f(x)=x^3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=3x^2
f" (x)=3(2x)=6x
तथा जब x<0 तो —
f(x)=-x^3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=-3x^2
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f" (x)=-3(2x)=-6x
अतः f" का अस्तित्व है।
f(x)={■(x^3,&यदि x≥0@-x^3,&यदि x<0)┤ , Ans.

प्रश्न 19. गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए d/dx (x^n )=nx^(n-1) है।

हल:-
दिया है: P(n): d/dx (x^n )=nx^(n-1)
n=1 रखने पर —
P(1): d/dx (x^1 )=1.x^(1-1) ,eq(1)
d/dx (x)=1,जोकि सत्य है।
माना यह परिणाम n=k के लिए भी सत्य है।
P(k): d/dx (x^k )=k.x^(k-1) ,eq(2)
अब हम इस परिणाम को n=k+1 के लिए सत्य सिद्ध करेंगे।
P(k+1): d/dx (x^(k+1) )=(k+1).x^((k+1)-1)
LHS=d/dx (x^(k+1) )=d/dx (x^k.x)
=x^k d/dx (x)+x d/dx (x^k )
=x^k (1)+x(kx^(k-1) )
=x^k+x(kx^(k-1) )
=x^k+kx^k
=x^k (1+k)
=(k+1) x^k
=(k+1) x^((k+1)-1)=RHS
अतः यह परिणाम n=k+1 के लिए भी सत्य है। Proved.

प्रश्न 20. sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।

हल:-
दिया है: sin⁡(A + B)= sinA cosB + cosA sinB
यदि A और B,x में कोई फलन है तो x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
d/dx [sin⁡(A + B) ]=d/dx [ sinA cosB + cosA sinB]
cos⁡(A+B) d/dx (A+B)=sinA d/dx cosB+cosB d/dx
sinA+cosA d/dx sinB+sinB d/dx cosA
cos⁡(A+B) (dA/dx+dB/dx)=sinA(-sinB)
dB/dx+cosBcosA dA/dx+cosAcosB dB/dx+sinB(-sinA) dA/dx
cos⁡(A+B) (dA/dx+dB/dx)=(cosAcosB-sinAsinB)
dB/dx+(cosAcosB-sinAsinB) dA/dx
cos⁡(A+B) (dA/dx+dB/dx)=(cosAcosB-sinAsinB)(dA/dx+dB/dx)
cos⁡(A+B)=(cosAcosB-sinAsinB) ,Ans.

प्रश्न 21. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।

हल:-
हां ऐसे फलन का अस्तित्व है जो प्रत्येक बिन्दु पर संतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय हो।
माना f(x)=|x-1|+|x-2|
चूंकि मापांक फलन प्रत्येक x∈R के लिए संतत फलन होता है। यहां f(x) दो मापांक फलनों |x-1| और |x-2| का योगफल है। अतः फलन प्रत्येक x∈R के लिए संतत फलन है।
अब,