2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | प्रश्नावली 2.1 | NCERT Maths Class 12 Chapter 2 Exercise 2.1 all questions UP Board Hindi Medium
2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | प्रश्नावली 2.1 | NCERT Maths Class 12 Chapter 2 Exercise 2.1 all questions UP Board Hindi Medium
अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | प्रश्नावली 2.1 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
1:– $sin^{-1} (1/2)$
2:– $cos^{-1} (√3/2)$
3:– $cosec^{-1} (2)$
4:– $tan^{-1} (-√3)$
5:– $cos^{-1}({-1}/2)$
6:– $tan^{-1}(-1)$
7:– $sec^{-1}(2/{√3 })$
8:– $cot^{-1}(√3 )$
9:– $cos^{-1}({-1}/{√2})$
10:– $cosec^{-1}(-√2)$
11:– $tan^{-1}(1)+ cos^{-1}
12:– $cos^{-1}(1/2)+2sin^{-1}(1/2)$
13:- यदि $sin^{-x}x =y$, तो
(A) $0≤ y≤π$
(B) $π/2≤ y≤π/2$
(C) $0<y<π$
(D) ${-π}/2<y<π/2$
14:– $tan^{-1}√3 - sec^{-1}(-2)$
(A) $π$, (B) ${-π}/3$ , (C) $π/3$ , (D) ${2π}/3$
12th NCERT Math Chapter 2 Exercise 2.1 का सम्पूर्ण समाधान/Solution.
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
प्रश्न 1:– $sin^{-1} (1/2)$
हल :-
माना $y=sin^{-1} (1/2)$$siny={-1}/2$
$siny=-sin{π/6}$
∵ $sin^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(-π/2,π/2)$ होता है।
∴ $siny=sin(-π/6)$ , { ∵ $sin(-θ)=-sinθ$ }
$y={-π}/6$
अतः $sin^{-1}(1/2)$ का मुख्य मान $={-π}/6$ Ans.
प्रश्न 2:– $cos^{-1} (√3/2)$
हल :-
माना $y=cos^{-1} (√3/2)$$cosy={√3}/2$
$cosy=cos (π/6)$
∵ $cos^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)$ होता है। ∴ $y=π/6$
अतः $cos^{-1} (√3/2)=π/6$ Ans.
प्रश्न 3:– $cosec^{-1} (2)$
हल :-
माना $y= cosec^{-1} (2)$$cosec y=2$
$cosec y=cosec(π/6)$
∵ $cosec^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(-π/2,π/2)-[0]$ होता है।
∴ $y=π/6$
अतः $coseec ^{-1} (2)$ का मुख्य मान $=π/6$ Ans.
प्रश्न 4:– $tan^{-1} (-√3)$
हल :-
माना $y= tan^{-1} (-√3)$$tan y = -√3$
$tan y=-tan(π/3)$
∵ $tan^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
∴ $tany=tan ({-π}/3)$, { ∵ $tan(-θ)=-tanθ$ }
अतः $tan^{-1}(-√3)={-π}/3 $ Ans.
प्रश्न 5:– $cos^{-1}({-1}/2)$
हल :-
माना $y=cos^{-1}({-1}/2)$$cosy={-1}/2$
$cosy=-cos(π/3)$
∵ $cos^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)$ होता है।
∴ $cosy=cos(π - π/3)$, { ∵ $-cosθ=cos(π-θ)$ }
$cosy=cos({2π}/3)$
$y={2π}/3$
अतः $cos^{-1}({-1}/2)$ का मुख्य मान $={2π}/3$ Ans.
प्रश्न 6:– $tan^{-1}(-1)$
हल :-
माना $y=tan^{-1}(-1)$$tan y=-1$
$tan y= -tan(π/4)$
∵ $tan^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(-π/2, π/2)$ होता है।
∴ $tany=tan({-π}/4)$, { ∵ $tan(-θ) = -tanθ$ }
$y={-π}/4$
अतः $tan^{-1}(-1)={-π}/4$ Ans.
प्रश्न 7:– $sec^{-1}(2/{√3 })$
हल :-
माना $y= sec ^{-1}(2/{√3 })$$sec y=2/{√3}$
$sec y=sec (π/6)$
∵ $sec^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)-{π/2}$ होता है।
$y=π/6$
अतः $sec^{-1}(2/{√3})$ का मुख्य मान $=π/6$ Ans.
प्रश्न 8:– $cot^{-1}(√3 )$
हल :-
माना $y= cot^{-1} (√3 )$$cot y=√3$
$cot y=cot (π/6)$
∵ $cot^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0, π)$ होता है। ∴ $y=π/6$
अतः $cot^{-1}(√3)=π/6$ Ans.
प्रश्न 9:– $cos^{-1}({-1}/{√2})$
हल :-
माना $y= cos^{-1}({-1}/{√2})$$cos y={-1}/√2$
$cos y=-cos (π/4)$
∵ $cos^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)$ होता है।
∴ $cosy=cos (π - π/4)$, { ∵ $-cosθ=cos(π-θ)$ }
$cosy=cos({3π}/4)$
अतः $cos^{-1}({-1}/√2)$ का मुख्य मान $={3π}/4$ Ans.
प्रश्न 10:– $cosec^{-1}(-√2)$
हल :-
माना $y= cosec^{-1}(-√2)$$cosec y=-√2$
$cosec y=-cosec (π/4)$
∵ $cosec^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(-π/2,π/2)-{0}$ होता है।
∴ $cosecy=cosec ({-π}/4)$, { ∵ $-cosecθ=cosec(-θ)$ }
$y={-π}/4$
अतः $cosec^{-1}(-√2)={-π}/4$ Ans.
प्रश्न 11:– $tan^{-1}(1)+ cos^{-1}({-1}/2)+sin^{-1}({-1}/2)$
हल :-
माना $x= tan^{-1}(1)$$tan x=1$
$tan x=tan (π/4)$
∵ $tan^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(-π/2, π/2)$ होता है।
$x=π/4$, समी(1)
माना $y=cos^{-1}({-1}/2)$
$cos y={-1}/2$
$cos y=-cos (π/3)$
∵ $cos^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)$ होता है।
∴ $cosy=cos (π-π/3)$, { ∵ $-cosθ=cos(π-θ) $ }
$cosy=cos({2π}/3)$
$y={2π}/3$, समी(2)
पुनः माना $z=sin^{-1}({-1}/2)$
$sinz={-1}/2$
$sinz=-sin(π/6)$
∵ $sin^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
∴ $sinz=sin({-π}/6)$, { ∵ $sin(-θ)=-sinθ$ }
$z={-π}/6$, समी(3)
अब, $tan^{-1}(1)+ cos^{-1}({-1}/2)+sin^{-1} ({-1}/2)= x+y+z$
$=π/4 + {2π}/3 - π/6$
$={3π+8π-2π}/12$
$={9π}/{12}$
$={3π}/4$
अतः $tan^{-1}(1)+ cos^{-1}({-1}/2)+sin^{-1} ({-1}/2)={3π}/4$ Ans.
प्रश्न 12:– $cos^{-1}(1/2)+2sin^{-1}(1/2)$
हल :-
माना $x= cos^{-1}(1/2)$$cos x=1/2$
$cos x=cos π/3$
∵ $cos^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)$ होता है।
$y=π/3$ , समी(1)
पुनः माना $y=sin^{-1}(1/2)$
$siny=1/2$
$siny=sin(π/6)$
∵ $sin^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
$y=π/6$,समी(2)
अब, $cos^{-1}(1/2) + 2sin^{-1}(1/2) = x+2y$
$=π/3 + 2×{π/6}$
$=π/3 + π/3$
$={2π}/3$
अतः $cos^{-1}(1/2) + 2sin^{-1}(1/2) = {2π}/3$ Ans.
प्रश्न 13:- यदि $sin^{-x}x =y$, तो
(A) $0≤ y≤π$
(B) $π/2≤ y≤π/2$
(C) $0<y<π$
(D) ${-π}/2<y<π/2$
हल :-
दिया है : $sin^{-x}x =y$चूंकि $sin^{-1}x$ का मुख्य मान शाखा परिसर $[-π/2,π/2]$ होता है।
इसलिए ${-π}/2≤y≤π/2$
अतः सही उत्तर: विकल्प (B) $π/2≤ y≤π/2$ Ans.
प्रश्न 14:– $tan^{-1}√3 - sec^{-1}(-2)$
(A) $π$, (B) ${-π}/3$ , (C) $π/3$ , (D) ${2π}/3$
हल :-
माना $x= tan^{-1}√3$$tan x=√3$
$tan x=tan(π/3)$
∵ $tan^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2, π/2)$ होता है।
∴ $x=π/3$
पुनः माना $y= sec^{-1}(-2)$
$sec y={-2}$
$sec y=-sec π/3$
∵ $sec^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0, π)-{π/2}$ होता है।
$secy=sec(π - π/3)$, { ∵ $-secθ=sec(π-θ)$ }
$sec y=sec({2π}/3)$
$y={2π}/3$
अब, $tan^{-1}√3 - sec^{-1}(-2)= x - y$
$=π/3 - {2π}/3$
$=π- {2π}/3$
$={-π}/3$
अतः $tan^{-1}√3 - sec^{-1}(-2) = {-π}/3$
अतः सही विकल्प : (B) $ {-π}/3$ Ans.
Please Inform any Error.
End
Exercise 2.1 - Completely Solved.
End
Exercise 2.1 - Completely Solved.
टिप्पणियाँ
एक टिप्पणी भेजें