1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.1 | NCERT Maths Class 12 Chapter 1 Exercise 1.1 all questions UP Board Hindi Medium
1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.1 | NCERT Maths Class 12 Chapter 1 Exercise 1.1 all questions UP Board Hindi Medium
अध्याय 1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.1 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
1:— निर्धारित कीजिए कि क्या निम्न लिखित सम्बंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है:
(i) समुच्चय में $A=$ {$1,2,3,…,13,14$} सम्बंध $R$ इस प्रकार परिभाषित है कि $R=${$;(x,y) ∶3x-y=0$}
1(ii) :— प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ में $R=$ {$(x,y) ∶ y=x+5 $तथा $x<4$} द्वारा परिभाषित सम्बंध $R$.
1(iii) :— समुच्चय $A=$ {$1,2,3,4,5,6$} में $R=$ {$(x, y):$ भाज्य है $x$ से} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$ है।
1(iv) :— समस्त पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ में $R=$ {$(x,y): x-y$ एक पूर्णांक है।} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$.
1(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R$
(a) $R=${$(x,y): x$ तथा एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
(b) $R=$ {$(x,y): x$ तथा एक ही मोहल्ले में रहते हैं}
(c) $R=$ {$(x,y): x,y$ से ठीक-ठीक $7$ सेमी लंबा है}
(d) $R=$ {$(x,y): x,y$ की पत्नी है}
(e) $R=${$(x,y): x,y$ के पिता हैं}
2. सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में $R=$ {$(a,b): a≤{b^2} $}, द्वारा परिभाषित संबंध $R,$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
3. जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {$1,2,3,4,5,6$} में $R=$ {$(a,b): b=a+1$} द्वारा परिभाषित संबंध $R$ स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।
4. सिद्ध कीजिए कि R में $R=$ {$(a,b): a≤b$}, द्वारा परिभाषित संबंध $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
5. IMP जाँच कीजिए कि क्या $R$ में $R=$ {$(a,b):≤b^3$} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?
6. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {$1,2,3$} में $R=$ {$(1,2),(2,1)$} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
7. सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय $A$ में $R=$ {$(x,y): x$ तथा $y$ में पेजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है।
8. सिद्ध कीजिए कि $A=$ {$1,2,3,4,5$} में $R=$ {$(a,b):|a-b|$ सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {$1,3,5$} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {$2,4$} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं परंतु {$1,3,5$} का कोई भी अवयव {$2,4$} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
9. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $A=$ {$x ∈Z:0≤x≤12$}, में दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
(i) $R={(a,b):|a-b|, 4$ का एक गुणज है},
(ii) $R=$ {$(a,b): a=b$},
प्रत्येक दशा में $1$ से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
10. ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो
(i) सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
(ii) संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।
(v) सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।
11. सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, $R=$ {$(P, Q) $: बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु की मूल बिंदु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु $P ≠ (0,0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय $P$ से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।
12. सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय $A$ में, $R=$ {$(T_1,T_2 ): T_1,T_2$, के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं $3, 4, 5$ वाले समकोण त्रिभुज $T_1$ भुजाओं $5, 12, 13$ वाले समकोण त्रिभुज $T_2$ तथा भुजाओं $6, 8, 10$ वाले समकोण त्रिभुज $T_3$ पर विचार कीजिए।
$T_1,T_2$ और $T_3$ में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?
13. सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय $A$ में, $R=$ {$(P_1,P_2): P_1$, तथा $P_2$ की भुजाओं की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। $3, 4$ और $5$ लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
14. मान लीजिए की $XY$ तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय $L$ है और $L$ में $R=$ {$(L_1,L_2 ), ∶ L_1$ समांतर है $L_2$ के } द्वारा परिभाषित संबंध $R$ है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है रेखा $y = 2x + 4$ से संबंधित रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 15. मान लीजिए कि समुच्चय {$1,2,3,4$} में $R=$ {$(1,2),(2,2),(1,1),(4,4),(1,3),(3,3),(3,2)$} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए।
(A) $R$ स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।
(B) $R$ स्वतंत्र तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
(C) $R$ सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतंत्र नहीं है।
(D) $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है।
16. मान लीजिए कि समुच्चय $N$ में, द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध $R$ है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए: (A) $(2,4)∈R$ (B) $(3,8)∈R$ (C) $(6,8)∈R$ (D) $(8,7)∈R$
12th NCERT Math Chapter 1 Exercise 1.1 का सम्पूर्ण समाधान/Solution.
प्रश्न 1:— निर्धारित कीजिए कि क्या निम्न लिखित सम्बंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है:
(i) समुच्चय में $A=$ {$1,2,3,…,13,14$} सम्बंध $R$ इस प्रकार परिभाषित है कि $R=${$;(x,y) ∶3x-y=0$}
हल :-
दिया है– समुच्चय $A=$ {$1,2,3,…,13,14$}सम्बंध $R=${$(x,y) ∶3x-y=0$}
∵ $3x-y=0$
∴ $y=3x$
∴ $R=$ {$(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
∵ $(1,1)∉R$ ,etc.
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बंध नहीं है।
(ii) सममित सम्बंध —
∵ $(1,3)∈ R$
∵ $(3,1)∉R$
अतः $R$ सममित सम्बंध नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
∵ $(1,3)∈ R,$
$(3,9)∈ R$
$(1,9)∉R$
अतः $R$ संक्रामक सम्बंध नहीं है। Ans.
प्रश्न 1(ii) :— प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ में $R=$ {$(x,y) ∶ y=x+5 $तथा $x<4$} द्वारा परिभाषित सम्बंध $R$.
हल :-
प्राकृत संख्याओं का समुच्चय $N=${$1,2,3,…$} $R=${$x,y$}: $y= x+5$ तथा $x<4$(i) स्वतुल्य सम्बंध —
∵ $(1,1),(2,2),…∉R$
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बन्ध नहीं है।
(ii) सममिति सम्बंध —
∵ $(1,6)∈ R$
$(6,1)∉R$
अतः $R$ सममिति सम्बन्ध नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
∵ $(1,6)∈ R$
$(6,1)∉R$
$(1,1)∈ R$
अतः $R$ संक्रामक सम्बन्ध नहीं है। Ans.
प्रश्न 1(iii) :— समुच्चय $A=$ {$1,2,3,4,5,6$} में $R=$ {$(x, y):$ भाज्य है $x$ से} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$ है।
हल :-
दिया है: $A=$ {$1,2,3,4,5,6$}∵ $R=$ {$(x, y): y$ भाज्य है $x$ से }
∴ $R =$ {$(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1,5), (1,6), (2, 2),
(2, 4), (2, 6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
∵ $(1,1),(2,2),…∈R$
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बन्ध है।
(ii) सममिति सम्बंध —
∵ $(1,2)∈ R$
$(2,1)∉R$
अतः $R$ सममिति सम्बन्ध नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
∵ $(1,2)∈ R$
$(2,4)∉R$
$(1,4)∈ R$
अतः $R$ संक्रामक सम्बन्ध है। Ans.
प्रश्न 1(iv) :— समस्त पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ में $R=$ {$(x,y): x-y$ एक पूर्णांक है।} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध $R$.
हल :-
दिया है : समुच्चय $= Z$, सभी पूर्णांक∴ $R=$ {$(x,y): x-y$ एक पूर्णांक }
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $x∈Z,(x,x)∈R$
∵ $x-x=0$, एक पूर्णांक है।
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बन्ध है।
(ii) सममिति सम्बंध —
यदि $(x,y)∈Z, (x,y)∈R$
∵ $x-y$ एक पूर्णांक है।
∴ $-(x-y)$ भी एक पूर्णांक है।
$(y-x)$ भी एक पूर्णांक है।
$(2,1)∉R$
अतः $R$ सममिति सम्बन्ध नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
∵ $(1,2)∈ R$
$(2,4)∉R$
$(1,4)∈ R$
अतः $R$ संक्रामक सम्बन्ध है। Ans.
प्रश्न 1(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R$
(a) $R=${$(x,y): x$ तथा एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
(b) $R=$ {$(x,y): x$ तथा एक ही मोहल्ले में रहते हैं}
(c) $R=$ {$(x,y): x,y$ से ठीक-ठीक $7$ सेमी लंबा है}
(d) $R=$ {$(x,y): x,y$ की पत्नी है}
(e) $R=${$(x,y): x,y$ के पिता हैं}
हल :- 1V(a):– $R=${$(x,y): x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
माना समुच्चय $A=$ किसी नगर के निवासीसम्बंध $R=$ {$(x,y): x$ तथा x एक ही स्थान पर कार्य करते हैं}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $x∈ A$
$(x,x)∈R, x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $x,y∈ A$
यदि $(x,y)∈R,x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं तो यदि $(y,x)∈R,y$ तथा $x$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
अतः $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $x,y,z∈ A$
यदि $(x,y)∈R,x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
यदि $(y,z)∈R,y$ तथा $z$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
तो यदि $(x,z)∈R,x$ तथा $z$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
अतः $R$ स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक सम्बंध है। Ans.
हल :- 1V(b):– $R=$ {$(x,y): x$ तथा $y$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं}
माना समुच्चय $A=$ किसी नगर के निवासीसम्बंध $R=$ {$(x,y): x$ तथा $x$ एक ही मोहल्ले में रहते हैं}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $x∈ A$
$(x,x)∈R,x$ तथा $x$ एक ही एक ही मोहल्ले में रहते हैं}
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $x,y∈ A$
यदि $(x,y)∈R,x$ तथा $y$ एक ही एक ही मोहल्ले में रहते हैं}
तो यदि $(y,x)∈R, y$ तथा $x$ एक ही एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
अतः $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $x,y,z∈ A$
यदि $(x,y)∈R, x$ तथा $y$ एक ही एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
यदि $(y,z)∈R, y$ तथा $z$ एक ही एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
तो यदि $(x,z)∈R, x$ तथा $z$ एक ही एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
अतः $R$ स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक सम्बंध है। Ans.
हल :- 1V(c):– $R=$ {$(x,y): x,y$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है}
माना समुच्चय $A=$ किसी नगर के निवासीसम्बंध $R=$ {$(x,y): x, y$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $x∈ A$
$(x,x)∉R, x ,x$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा नहीं हो सकता है।
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बंध नहीं है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $x,y∈ A$
यदि $(x,y)∈R,x,y$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा है}
तो $(y,x)∉R$, क्योंकि $y,x$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा नहीं हो सकता है।
अतः $R$ सममित नहीं सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $x, y∈ A$
यदि $(x,y)∈R,x=y+7$
यदि $(y,z)∈R,y=z+7$
तो $(x,z)∉R,x=z+14$
अर्थात $(x,z)∉R x,z$ से ठीक-ठीक 7 सेमी लंबा नहीं हो सकता है।
अतः $R$ संक्रामक नहीं सम्बंध है।
अतः $R$ न स्वतुल्य है, न सममित और न संक्रामक सम्बंध है। Ans.
हल :- 1V(d):– $R={(x,y): x, y$ की पत्नी है}
माना समुच्चय $A=$ किसी नगर के निवासीसम्बंध $R=$ {$(x,y): x,y$ की पत्नी है}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $x∈ A$
$(x,x)∉R$, क्योकि कोई स्वयं की पत्नी नहीं हो सकती है।
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बंध नहीं है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $x, y∈ A$
यदि $(x,y)∈R,x,y$ की पत्नी है।
तो $(y,x)∉R$, क्योंकि $x,y$ की पत्नी है न कि $y$ की पत्नी $x$ है।
अतः $R$ सममित नहीं सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $(x,y)∈R,x,y$ की पत्नी है। अतः $y$ पति है।
यदि $(y,z)∉R,y,z$ की पत्नी नहीं हो सकती क्योंकि $y$ पुरुष है।
तो $(x,z)∉R,x,y$ की पत्नी है।
अर्थात $(x,z)∉R x,z$ की पत्नी नहीं हो सकती क्योंकि $x, y$ की पत्नी है। अब एक साथ किसी और की पत्नी नहीं हो सकती है।
अतः $R$ संक्रामक नहीं सम्बंध है।
अतः $R$ न स्वतुल्य है, न सममित और न ही संक्रामक सम्बंध है। Ans.
हल :- 1V(e):– $R=$ {$(x,y): x,y$ के पिता हैं}
माना समुच्चय A= किसी नगर के निवासीसम्बंध $R=$ {$(x,y): x,y$ के पिता हैं}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $x∈ A$
$(x,x)∉R$, क्योकि कोई स्वयं के पिता नहीं हो सकती है।
अतः $R$ स्वतुल्य सम्बंध नहीं है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $x,y∈ A$
यदि $(x,y)∈R,x,y$ के पिता हैं।
तो $(y,x)∉R$, क्योंकि $x,y$ के पिता हैं।
न कि $y$ के पिता $x$ हैं।
अतः $R$ सममित नहीं सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $(x,y)∈R,x,y$ के पिता हैं।
यदि $(y,z)∈R,y,z$ के पिता हैं।
तो $(x,z)∉R,x,z$ के पिता नहीं बल्कि दादा हैं।
अतः $R$ संक्रामक नहीं सम्बंध है।
अतः $R$ न स्वतुल्य है, न सममित और न ही संक्रामक सम्बंध है। Ans.
2. सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में $R=$ {$(a,b): a≤{b^2} $}, द्वारा परिभाषित संबंध $R,$ न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
हल :-
दिया है: $R=$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चयसम्बन्ध $R=$ {$(a,b): a≤ {b^2}$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $1/2 ∈ set R$,
तो $(1/2,1/2) ∉ R , 1/2≥{1/2}^2$
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध नहीं है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $2,5 ∈ set R$
यदि $(2,5)∈ relation R ,2≤5^2$
तो $(5,2)∉ R ,5>2^2$
∴ $R$ सममित सम्बंध नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $(2,-2)∈ relation R, 2≤{(-2)}^2$
यदि $(-2,1)∈ relation R, -2≤1^2$
तो $(2,1)∉ R ,2>1^2$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध नहीं है।
अतः $R$ न स्वतुल्य, न सममित और न ही संक्रामक है। Ans.
3. जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {$1,2,3,4,5,6$} में $R=$ {$(a,b): b=a+1$} द्वारा परिभाषित संबंध $R$ स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।
हल :-
दिया है: समुच्चय $A$ (माना)= {$1,2,3,4,5,6$}सम्बन्ध $R=$ {$(a,b): b=a+1$}
$R=$ {$(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
∵ $(1,1) ∉ R$, etc.
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध नहीं है।
(ii) सममित सम्बंध —
∵ $(1,2) ∈ R$
$(2,1) ∉ R$
∴ $R$ सममित सम्बंध नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
∵ $(1,2) ∈ R$
∵ $(2,3) ∈ R$
$(1,3) ∉ R$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध नहीं है।
अतः $R$ न स्वतुल्य, न सममित और न ही संक्रामक है। Ans.
4. सिद्ध कीजिए कि R में $R=$ {$(a,b): a≤b$}, द्वारा परिभाषित संबंध $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
हल :-
दिया है: समुच्चय $=R$सम्बन्ध $R=$ {$(a,b): a≤b$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $a ∈ set R$
तो $(a,a) ∈ relation R, ∵ a=a$
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
$(1,2) ∈ relation R,1≤2$
$(2,1) ∈ relation R,2>1$
∴ $R$ सममित सम्बंध नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
$(a,b) ∈ relation R,a≤b$
$(b,c) ∈ relation R,b≤c$
$a≤b,b≤c⇒a≤c$
$(a,c) ∈ relation R,a≤c$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
अतः $R$ स्वतुल्य और संक्रामक किन्तु सममित नहीं है। Proved.
5. IMP जाँच कीजिए कि क्या $R$ में $R=$ {$(a,b):≤b^3$} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?
हल :-
दिया है: समुच्चय $R =$ समस्त बहुभुजसम्बन्ध $R=$ {$(a,b):≤b^3$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $1/2 ∈ Set R$
तो $(1/2,1/2) ∉ Relation R$,
∵ $1/2>{(1/2)}^3$
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध नहीं है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $(1,2) ∈ Relation R, ∵ 1>2^3$
किन्तु $(2,1) ∈ Relation R, ∵ 2>1^3$
∴ $R$ सममित सम्बंध नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
चूंकि $(3,3/2) ∈ Relation R, ∵ 3>{(3/2)}^3$
तथा $(3/2,6/5) ∈ Relation R, ∵ 3/2>{(6/5)}^3$
तो $(3,6/5) ∈ Relation R, ∵ 3>{(6/5)}^3$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
अतः $R$ न स्वतुल्य है, न सममित है किन्तु संक्रामक है। Ans.
6. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {$1,2,3$} में $R=$ {$(1,2),(2,1)$} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
हल :-
दिया है: समुच्चय $A$ (माना) = {$1,2,3$}सम्बन्ध $R=$ {$(1,2),(2,1)$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
∵ $(1,1),(2,2),(3,3)∉ R$
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध नहीं है।
(ii) सममित सम्बंध —
∵ $(1,2), ∈ R$
तथा ∵ $(2,1) ∈ R$
∴ $R$$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
∵ $(1,2), ∈ R$
तथा ∵ $(2,1) ∈ R$
लेकिन $(1,1) ∉ R$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध नहीं है।
अतः $R$ स्वतुल्य नहीं है, सममित नहीं है लेकिन संक्रामक है। Ans.
7. सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय $A$ में $R=$ {$(x,y): x$ तथा $y$ में पेजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है।
हल :-
दिया है: समुच्चय $A=$ समस्त पुस्तकों का समुच्चयसम्बन्ध $R=$ {$(x,y): x$ तथा $y$ में पेजों की संख्या समान है}
(i) स्वतुल्य सम्बंध — यदि $x ∈ R$
यदि $(x,x) ∈ R, x = x$ (पेजों की संख्या समान है)
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
∵ $(x,y), ∈ R, x = y$ (पेजों की संख्या समान है)
∴ $(y,x), ∈ R, y=x$ (पेजों की संख्या समान है)
∴ $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $(x,y), ∈ R, x=y$ (पेजों की संख्या समान है)
यदि $(y,z), ∈ R, y=z$ (पेजों की संख्या समान है)
$x=y, y=z⇒ x=z$
अतः $(x,z), ∈ R,y=z$ (पेजों की संख्या समान है)
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
अतः $R$ स्वतुल्य है, सममित है तथा संक्रामक है।
अतः $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। Ans.
8. सिद्ध कीजिए कि $A=$ {$1,2,3,4,5$} में $R=$ {$(a,b):|a-b|$ सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {$1,3,5$} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {$2,4$} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं परंतु {$1,3,5$} का कोई भी अवयव {$2,4$} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
हल :-
दिया है: समुच्चय $A=$ {$1,2,3,4,5$}सम्बन्ध $R=$ {$(a,b):|a-b|$ सम है}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
∵ यदि $a∈A$
तो $(a,a) ∈ R |a-a| = 0$, एक सम संख्या है।
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $a, b ∈ A, |a-b|$ सम संख्या है।
तो $|-(a-b)| = 0$,एक सम संख्या है।
तो $|b-a|=0$,एक सम संख्या है।
अतः $(b,a) ∈R , |b-a|$ सम संख्या है।
∴ $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $a,b,c ∈A$,
यदि $|a- b|,∈R$, एक सम संख्या है।
यदि $|b-c| ∈ R$, एक सम संख्या है।
$|(a-b)+(b-c)|=|a-c|$ एक सम संख्या है।
∴ $(a,c)∈R$
अतः $(a,c)∈R,|b-a|$ सम संख्या है।
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य है, सममित है तथा संक्रामक है।
अतः $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। Ans.
{1,3,5} के सभी अवयव परस्पर संबंधित हैं।
(∵ विषम संख्याओं का अन्तर = सम संख्या)
{$2,4$} परस्पर संबंधित हैं।
(∵ ये सभी सम संख्या हैं।)
{$1,3,5$} के अवयव {$2,4$} से संबंधित नहीं हैं।
(∵ सम व विषम संख्याओं का अन्तर = एक विषम संख्या) Ans.
9. सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $A=$ {$x ∈Z:0≤x≤12$}, में दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
(i) $R={(a,b):|a-b|, 4$ का एक गुणज है},
(ii) $R=$ {$(a,b): a=b$},
प्रत्येक दशा में $1$ से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
हल :- (I)
दिया है: समुच्चय $A=$ {$x∈Z:0≤x≤12$},$A=$ {$0,1,2,3,……,12$}
$R=$ {$(a,b):|a-b|,4$ का एक गुणज है}
$R=$ {$(1,5),(1,9),(2,6),(2,10),(3,7),(3,11),(4,8),(4,12),(5,9),(6,10),(7,11),(8,12),(0,4),(0,8),(0,12),(1,1) ,(2,2),(3,3),…,(12,12)$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
∵ यदि $a∈A$
तो $(a,a)∈R,|a-a|,4$ का एक गुणज है।
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $a,b∈A$,
यदि $(a,b)∈R,|a-a|,4$ का एक गुणज है।
$|-(a-b)|, 4$ का एक गुणज है।
$|b-a|, 4$ का एक गुणज है।
$(b,a)∈R$
यदि $(b,a)∈R,|b-a|, 4$ का एक गुणज है।
∴ $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $a,b,c∈A$,
यदि $|a- b|,∈R, 4$ का एक गुणज है।
यदि $|b-c| ∈ R, 4$ का एक गुणज है।
$|(a-b)+(b-c)|=|a-c|, 4$ का एक गुणज है।
∴ $(a,c)∈R$
अतः $(a,c)∈R,|a-c|, 4$ का एक गुणज है।
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य है, सममित है तथा संक्रामक है।
अतः $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। Proved.
हल :- (II):–
दिया है: समुच्चय $R=$ {$(a,b): a=b$}$A=$ {$0,1,2,3,……,12$}
$R=$ {$(a,b): a=b$}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
∵ यदि $a∈A$
तो $(a,a)∈R, a=a$
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $a,b∈A$
यदि (a,b)∈R,a=b
तो $(b,a)∈R,b=a$
∴ $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $a,b,c∈A$,
यदि $(a,b)∈R,a=b$
यदि $(a,b)∈R,b=c$
तो $a=b,b=c⇒ a=c$
तब $(a,c)∈R,a=c$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य है, सममित है तथा संक्रामक है।
अतः $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। Proved.
प्रश्न 10. ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो
(i) सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
(ii) संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।
(v) सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।
हल :- (i)
सममित हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।यदि $A=$ {$1,2,3$}
$R=$ {$(1,2),(2,1)$} ,Ans.
(ii) संक्रामक हो परंतु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
यदि $A=$ {$1,2,3$}
$R=$ {$(1,2),(3,3),(1,3)$}, Ans.
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किंतु संक्रामक न हो।
यदि $A=$ {$1,2,3$}
$R=$ {$(1,1),(2,2),(3,3)$}, Ans.
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।
यदि $A=$ {$1,2,3$}
$R=$ {$(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)$}, Ans.
(v) सममित तथा संक्रामक हो किंतु स्वतुल्य न हो।
यदि $A=$ {$1,2,3$}
$R=$ {$(1,2),(2,1)(1,1)$}, Ans.
11. सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, $R=$ {$(P, Q) $: बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु की मूल बिंदु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु $P ≠ (0,0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय $P$ से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।
हल :-
दिया है: समुच्चय $R =$ {समतल में स्थित बिन्दु}सम्बन्ध $R =$ {$(P, Q)$ : बिन्दु $P$ की मूलबिंदु से दूरी = बिन्दु $Q$ की मूलबिंदु से दूरी}
$OP = OQ$
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $P ∈ R$
तो $(P, P) ∈ R , OP = OQ$
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $P, Q ∈ R$
यदि $(P, Q) ∈ R , OP = OQ$
तो यदि $(Q, P) ∈ R , OQ = OP$
∴ $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $P, Q, S ∈ R$
यदि $(P, Q) ∈ R , OP = OQ$
यदि $(Q, S) ∈ R , OQ = OS$
$OP = OQ$ तथा $OQ = OS$ ⇒ $OP = OS$
∴ $(P, S) ∈ R , OP = OS$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
∵ $R$ स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
अतः $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। Proved.
Part 2 : बिन्दु $P≠(0, 0)$ से संबंधित सभी बिन्दुओं की मूलबिन्दु से दूरी बराबर होगी अर्थात $OP = K$ (अचर संख्या) होगी।
इसलिए $P$ बिन्दु से संबंधित सभी बिन्दुओं का समुच्चय एक ऐसे वृत्त को निरूपित करेगा जिसका केन्द्र मूलबिन्दु $O$ पर है। Proved.
12. सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय $A$ में, $R=$ {$(T_1,T_2 ): T_1,T_2$, के समरूप है} द्वारा परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं $3, 4, 5$ वाले समकोण त्रिभुज $T_1$ भुजाओं $5, 12, 13$ वाले समकोण त्रिभुज $T_2$ तथा भुजाओं $6, 8, 10$ वाले समकोण त्रिभुज $T_3$ पर विचार कीजिए।
$T_1,T_2$ और $T_3$ में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?
हल :-
दिया है: समुच्चय $A =$ {समस्त त्रिभुज}सम्बन्ध $R=$ {$(T_1,T_2 ): T_1,T_2$ के समरूप है}
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $T_1 ∈ A$
तो $(T_1,T_1 ) ∈ R , T_1~T_1$
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $T_1,T_2 ∈ A$
यदि $(T_1,T_2 ) ∈ R , T_1~T_2$
तो $(T_2,T_1 ) ∈ R , T_2~T_1$
∴ $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $T_1,T_2,T_3 ∈ A$
यदि $(T_1,T_2 ) ∈ R , T_1~T_2$
तथा यदि $(T_2,T_3 ) ∈ R , T_2~T_3$
$T_1~T_2$ तथा $T_2~T_3 ⇒ T_1~T_3$
∴ $(T_1,T_3 ) ∈ R , T_1~T_3$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
∵ $R$ स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
अतः $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। Proved.
3, 4, 5 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज $=T_1$
5, 12, 13 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज $=T_2$
6, 8, 10 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज $=T_3$
अब, त्रिभुज $T_1$ और $T_3$ से
$3/6=4/8=5/10=1/2$
∴ $T_1~T_3$
अब, त्रिभुज $T_1$ और $T_2$ से
$3/5≠4/12≠5/13$
∴ $T_1$ समरूप नहीं $T_3$
अतः त्रिभुज $T_1$ और $T_3$ परस्पर संबंधित हैं। Ans.
13. सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय $A$ में, $R=$ {$(P_1,P_2): P_1$, तथा $P_2$ की भुजाओं की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। $3, 4$ और $5$ लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है: समुच्चय $A =$ समस्त बहुभुजसम्बन्ध $R=$ {$(P_1,P_2 ): P_1$ तथा $P_2$ की भुजाओं की संख्या समान है }
(i) स्वतुल्य सम्बंध —
यदि $P_1∈ A$
तो $(P_1,P_1 )∈ R,P_1=P_1$
∴ $R$ स्वतुल्य सम्बंध है।
(ii) सममित सम्बंध —
यदि $P_1,P_2∈ A$
यदि $(P_1,P_2 )∈ R,P_1=P_2$
यदि $(P_2,P_1 )∈ R,P_2=P_1$
∴ $R$ सममित सम्बंध है।
(iii) संक्रामक सम्बंध —
यदि $P_1,P_2,P_3∈ A$
यदि $(P_1,P_2 )∈ R,P_1=P_2$
यदि $(P_2,P_3 )∈ R,P_2=P_3$
$P_1=P_2 तथा P_2=P_3⇒ P_1=P_3$
तब $(P_1,P_3 )∈ R,P_1=P_3$
∴ $R$ संक्रामक सम्बंध है।
∵ $R$ स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
अतः $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। Proved.
प्रश्न 14. मान लीजिए की $XY$ तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय $L$ है और $L$ में $R=$ {$(L_1,L_2 ), ∶ L_1$ समांतर है $L_2$ के } द्वारा परिभाषित संबंध $R$ है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है रेखा $y = 2x + 4$ से संबंधित रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है — समुच्चय = {$1, 2, 3, 4$}$R =$ {$(L_1, L_2), L_1 || L_2$}
(i) स्वतुल्य सम्बन्ध — यदि $L_1 ∈ R$
तो $(L1, L1) ∈ R, L_1 || L_2$
∴ $R$ स्वतुल्य है।
(ii) सममित सम्बन्ध — यदि $(L_1, L_2) ∈ R$, ∵ $L_1 || L_2$
तो $(L_2, L_1) ∈ R$, ∴ $L_2 || L_1$
∴ $R$ सममित है।
(iii) संक्रामक सम्बन्ध — यदि $(L_1, L_2) ∈ R$, $L_1 || L_2$
तथा $(L_2, L_3) ∈ R, L_2 || L_3$
∴ $L_1 || L_3$
या $(L_1, L_3) ∈ R$
∴ $R$ संक्रामक है।
∵ $R$ स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
∴ $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है। Proved.
प्रश्न 15. मान लीजिए कि समुच्चय {$1,2,3,4$} में $R=$ {$(1,2),(2,2),(1,1),(4,4),(1,3),(3,3),(3,2)$} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए।
(A) $R$ स्वतुल्य तथा सममित है किंतु संक्रामक नहीं है।
(B) $R$ स्वतंत्र तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
(C) $R$ सममित तथा संक्रामक है किंतु स्वतंत्र नहीं है।
(D) $R$ एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल :-
दिया है — समुच्चय = {$1, 2, 3, 4$}$R =$ {$(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)$}
(i) स्वतुल्य सम्बन्ध —
∵ $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R$
∴ $R$ स्वतुल्य है।
(ii) सममित सम्बन्ध —
∵ $(1, 2) ∈ R$
तथा $(2, 1) ∉ R$ etc.
∴ $R$ सममित नहीं है।
(iii) संक्रामक सम्बन्ध — ∵ $(1, 1) ∈ R$
$(1, 3) ∈ R$
तथा पुनः $(1, 3) ∈ R$
∴ $R$ संक्रामक नहीं है।
अतः $R$ स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (B) — $(6, 8) ∈ R$ Ans.
प्रश्न 16. मान लीजिए कि समुच्चय $N$ में, द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध $R$ है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए: (A) $(2,4)∈R$ (B) $(3,8)∈R$ (C) $(6,8)∈R$ (D) $(8,7)∈R$
हल :-
समुच्चय $= N$$R =$ {$(a, b), a = b – 2, b > 6$}
$R =$ {$(6, 8), (7, 9), (8, 10), … $}
∴ $(6, 8) ∈R$
अतः सही उत्तर : विकल्प (C) — $(6, 8) ∈R$ Ans.
Please Inform any Error.
End
Exercise 1.1 - Completely Solved.
End
Exercise 1.1 - Completely Solved.
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