2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | प्रश्नावली 2.2 | NCERT Maths Class 12 Chapter 2 Exercise 2.2 all questions UP Board Hindi Medium
2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | प्रश्नावली 2.2 | NCERT Maths Class 12 Chapter 2 Exercise 2.2 all questions UP Board Hindi Medium
अध्याय 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | प्रश्नावली 2.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
1:— $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3), x ∈[{-1}/2,1/2]$
2:— $3cos ^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x) , x∈[1/2,1]$
3:— $tan^{-1}2/{11}+tan^{-1} 7/{24}= tan^{-1}1/2$
4:— $2tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/7= tan^{-1}{31}/{17}$
निम्नलिखित फलनों को सरलतम रुप में लिखिए:
5:— $tan^{-1}{√{1+x^2}-1}/x, x≠0 $
6:— $tan^{-1}1/{√(x^2-1)} ,|x|>1$
7:— $tan^{-1}√({1-cosx}/{1+ cosx}), 0<x<π$
8:— $tan^{-1} ({cosx-sinx}/{cosx+sinx}), {-π}/4<x< {3π}/4$
9:— $tan^{-1}x/{√(a^2-x^2)}, |x|<a $
10:— $tan^{-1} ({3a^2x-x^3}/{a^3-3ax^2}), a>0; {-a}/{√3}<x<a/√3$
निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।
11:— $tan^{-1} [2cos(2sin^{-1} {1/2})]$
12:— $cot(tan^{-1} a+cot^{-1} a)$
13:— $tan 1/2 [sin^{-1} {2x}/{1+x^2 } + cos^{-1} {1-y^2}/{1+y^2}],|x|<1; y>1$ तथा $xy<1$
14:— यदि $sin(sin^{-1} 1/5 + cos^{-1} x)=1,$ तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
15:— यदि $tan^{-1} {x-1}/{x-2} + tan^{-1}{x+1}/{x+2} =π/4$,तो x का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न संख्या 16 से 18 में दिए प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:
16:– $sin^{-1} (sin {2π}/3)$ का मान ज्ञात कीजिए।
17:— $tan^{-1}(tan {3π}/4)$ का मान ज्ञात कीजिए।
18:– $tan(sin^{-1}3/5 + cot^{-1}{3/2})$ का मान ज्ञात कीजिए।
19:– $cos^{-1}(cos {7π}/6)$ का मान बराबर है:
(A) ${7π}/6$ (B) ${5π}/6$ (C) $π/3$ (D) $π/6$
20:– $sin(π/3- sin^{-1}({-1}/2))$ का मान है
(A) 1/2 है (B) 1/3 है (C) 1/4 है (D) 1
21:– $tan^{-1}√3 - cot^{-1}(-√3)$ का मान है:
(A)πहै (B) -π/2 है (C)0 है (D) 2√3
12th NCERT Math Chapter 2 Exercise 2.2 का सम्पूर्ण समाधान/Solution.
निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
प्रश्न 1:— $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3), x ∈[{-1}/2,1/2]$
हल :-
सिद्ध करना है:$3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3 ),x ∈[{-1}/2,1/2]$
Frist Method: माना $x= sinθ$
$sin^{-1}x=θ$
$RHS=sin^{-1}(3x-4x^3)$
$=sin^{-1}(3sinθ-4 sin^3θ)$
$=sin^{-1}(sin3θ)$
∵ $sin3θ=3sinθ-4 sin^3θ$
$RHS=3θ$
$=3 sin^{-1}x$
$=LHS$
$RHS=LHS$
अतः $3sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3 )$ Proved.
Second Method: माना $x= sinθ$
$sin^{-1}x=θ$
सूत्र $sin3θ=3sinθ-4 sin^3θ$
$sin3θ=3x-4x^3$
$3θ=sin^{-1}(3x-4x^3)$
$3 sin^{-1}x=sin^{-1}(3x-4x^3)$ Proved.
प्रश्न 2:— $3cos ^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x) , x∈[1/2,1]$
हल :-
सिद्ध करना है:$3cos ^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$
Frist Method: माना $x= cosθ$
$cos^{-1}x=θ$
$RHS=cos^{-1}(4x^3-3x)$
$=cos^{-1}(4 cos^3θ-3cosθ)$
$=cos^{-1}(cos3θ)$
∵ सूत्र $cos3θ=4 cos^3θ-3cosθ$
$RHS=3θ$
$=3 cos^{-1}x$
$=LHS$
$RHS=LHS$
अतः $3cos^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$ Proved.
Second Method: माना $x= cosθ$
$cos^{-1}x=θ$
सूत्र $cos3θ=4 cos^3θ-3cosθ$
$cos3θ=4x^3-3x$
$3θ=cos^{-1}(4x^3-3x)$
$3 cos^{-1}x=cos^{-1}(4x^3-3x)$ Proved.
प्रश्न 3:— $tan^{-1}2/{11}+tan^{-1} 7/{24}= tan^{-1}1/2$
हल :-
सिद्ध करना है:$tan^{-1}2/{11}+tan^{-1}7/{24}= tan^{-1} 1/2$
$LHS=tan^{-1}2/{11}+tan^{-1}7/{24}$
∵ $tan^{-1}x+tan^{-1}x= tan^{-1}{x-y}/{1+xy$
$tan^{-1}2/{11}+tan^{-1}7/{24}=tan^{-1} ({2/{11}+7/{24}}/{1-{2/{11}×7}/{24}})$
$=tan^{-1}({{48+77}/{11×24}}/{{11×24-14}/{11×24}})$
$=tan^{-1}{125}/{264-14}$
$=tan^{-1}{125}/{250}$
$=tan^{-1}1/2$
$=RHS$
$LHS=RHS$
अतः $tan^{-1}2/{11}+tan^{-1}7/{24}= tan^{-1}$ Proved.
प्रश्न 4:— $2tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/7= tan^{-1}{31}/{17}$
हल :-
सिद्ध करना है:$2tan^{-1} 1/2+tan^{-1}1/7= tan^{-1} {31}/{17}$
∵ $2tan^{-1}x= tan^{-1}{2x}/{1-x^2}$
∴ $2tan^{-1}1/2=tan^{-1}{2×1/2}/{1-{(1/2)}^2}$
$=tan^{-1}1/{1-1/4}$
$=tan^{-1}1/({{4-1}/4})$
$=tan^{-1}1/{(3/4)}$
$=tan^{-1}4/3$
$LHS=2tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/7$
$=tan^{-1}4/3 +tan^{-1}1/7$
$=tan^{-1}({4/3+1/7}/{1-{4/3×1/7}})$
$=tan^{-1}({{28+3}/{21}}/{{21-4}/{21}})$
$=tan^{-1}{31}/{17}$
$=RHS$
$LHS=RHS$
अतः $2tan^{-1}1/2+tan^{-1}1/7= tan^{-1} {31}/{17}$ Proved.
निम्नलिखित फलनों को सरलतम रुप में लिखिए:
प्रश्न 5:— $tan^{-1}{√{1+x^2}-1}/x, x≠0 $
हल :-
दिया है:$tan^{-1}{√{1+x^2}-1}/x, x≠0$
माना $x=tanθ⇒θ=tan^{-1}x$
$tan^{-1}{√{1+x^2}-1}/x=tan^{-1}={√{1+tan^2θ}-1}/{tanθ}$
$=tan^{-1}{√{sec^2θ}-1}/{tanθ}$
$=tan^{-1}{secθ-1}/{tanθ}$
$=tan^{-1}({secθ}/{tanθ}-1/{tanθ})$
$=tan^{-1}({1/{cosθ}}/{{sinθ}/{cosθ}}-1/{{sinθ}/{cosθ}}) =tan^{-1}(1/{sinθ}-{cosθ}/{sinθ})$
$=tan^{-1}({1-cosθ}/{sinθ})$
$=tan^{-1}({1-({1-2sin^2 θ/2})/{2sin θ/2 cos {θ/2}})$
∵ $cosθ=1-2sin^2 {θ/2}, sinθ=2 sin {θ/2} cos {θ/2} $
$=tan^{-1}({1-1+2sin^2 θ/2}/{2sin {θ/2} cos {θ/2}})$
$=tan^{-1}({2sin^2{θ/2}}/{2sin {θ/2} cos {θ/2}})$
$=tan^{-1}({sin {θ/2}}/{cos {θ/2}})$
$=tan^{-1}(tan θ/2)$
$=θ/2=tan^{-1}{x/2}$
$=1/2 tan^{-1}x,$ Ans.
प्रश्न 6:— $tan^{-1}1/{√(x^2-1)} ,|x|>1$
हल :-
दिया है: $tan^{-1}1/{√(x^2-1)} ,|x|>1$माना $x=secθ⇒θ=sec^{-1}x$
∴ $tan^{-1} 1/{√(x^2-1)}=tan^{-1}1/{√(sec^2 θ-1)}$
$=tan^{-1}1/{√(tan^2 θ)}$
$=tan^(-1) 1/{tanθ}$
$=tan^{-1} cotθ$
$=tan^{-1}[tan(π/2-θ)]$
$=π/2-θ$
$=π/2-sec^{-1}x$, Ans.
प्रश्न 7:— $tan^{-1}√({1-cosx}/{1+ cosx}), 0<x<π$
हल :-
दिया है: $tan^{-1}√({1-cosx}/{1+ cosx}), 0<x<π$$tan^{-1}√({1-cosx}/{1+ cosx}), 0<x<π $ $=tan^{-1}√({1-(1-2sin^2{x/2})}/{1+ 2 cos^2{x/2}-1})$
$=tan^{-1}√({1-1+2sin^2{x/2}}/{1+ 2 cos^2{x/2}-1})$
$=tan^{-1}√({2sin^2{x/2}}/{2 cos^2{x/2}})$
$=tan^{-1}√({sin^2{x/2}}/{cos^2{x/2}})$
$=tan^{-1}√(tan^2 {x/2})$
$=tan^{-1} (tan {x/2})$
$=x/2$
$tan^{-1}√({1-cosx}/{1+ cosx}) =x/2$, Ans.
प्रश्न 8:— $tan^{-1} ({cosx-sinx}/{cosx+sinx}), {-π}/4<x< {3π}/4$
हल :-
दिया है: $tan^{-1}({cosx-sinx}/{cosx+sinx})$$tan^{-1}({cosx-sinx}/{cosx+sinx})=tan^{-1} ({{cosx}/{cosx}-{sinx}/{cosx}}/{{cosx}/{cosx}+{sinx}/{cosx}})$
$=tan^{-1}({1-tanx}/{1+tanx})$
$=tan^{-1} ({tan{π/4}-tan{π/4} tanx}/{tan{π/4}-tan{π/4}tanx})$
$=tan^{-1}[tan({π/4}-x)]$
$=π/4 -x$, Ans.
प्रश्न 9:— $tan^{-1}x/{√(a^2-x^2)}, |x|<a $
हल :-
दिया है: $tan^{-1} x/{√(a^2-x^2)} ,|x|>1$माना $x=asinθ$
$sinθ=x/a$
$θ=sin^{-1}{x/a}$ समी(1)
∴ $tan^{-1} x/{√(a^2-x^2)}=tan^{-1} {sinθ}/{√(a^2-(asinθ)^2)}$
$=tan^{-1} {asinθ}/{√(a^2-a^2 sin^2 θ)}$
$=tan^{-1} {asinθ}/{a√(1-{sin}^2 θ)$
$=tan^{-1} {sinθ}/{√({cos}^2 θ)}$
$=tan^{-1}{sinθ}/{cosθ}$
$=tan^{-1} (tanθ)$
$=θ$, { ∵ $θ=sin^{-1} x/a$ समी(1) से }
$=sin^{-1} x/a$, Ans.
प्रश्न 10:— $tan^{-1} ({3a^2x-x^3}/{a^3-3ax^2}), a>0; {-a}/{√3}<x<a/√3$
हल :-
दिया है– $tan^{-1} ({3a^2x-x^3}/{a^3-3ax^2}), a>0; {-a}/{√3}<x<a/√3$माना $x=a tanθ$
$tanθ=x/a$
$θ=tan^{-1} x/a$
$=tan^{-1}({3a^2 x-x^3}/{a^3-3ax^2})$
$=tan^{-1}({3a^3 tanθ-a^3 tan^3θ}/{a^3-3tan^2 θ})$
$=tan^{-1} [{a^3}/{a^3} ({3tanθ-tan^3θ}/{1-3tan^2 θ})]$
$=tan^{-1} ({3tanθ-tan^3θ}/{1-3tan^2 θ})$
$=tan^{-1}(tan3θ)$ {∵ $tan3θ={3tanθ-tan^3 θ}/{1-3tan^2 θ}$
$=3θ$
$=3 tan^{-1} x/a$, Ans.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11:— $tan^{-1} [2cos(2sin^{-1} {1/2})]$
हल :-
दिया है– $tan^{-1} [2cos(2sin^{-1} {1/2})]$माना $y=sin^{-1}(1/2)$
$siny=1/2$
$siny=sin{π/6}$
∵ $sin^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
$y=π/6$
$sin^{-1}(1/2)=π/6$
∴ $tan^{-1}[2cos(2 sin^{-1}1/2)]=tan^{-1}[2cos(2×π/6)]$
$=tan^{-1}[2 cos(π/3)]$
$=tan^{-1}[2×1/2]$
$=tan^{-1}[1]$
$=tan^{-1}[tan π/4]$
$=π/4$, Ans.
प्रश्न 12:— $cot(tan^{-1} a+cot^{-1} a)$
हल :-
दिया है– $cot(tan^{-1} a+cot^{-1} a)$∵ $tan^{-1}x+cot^{-1}x=π/2$
$cot(tan^{-1} a+cot^{-1} a)=cot(π/2)=0$
Ans.
प्रश्न 13:— $tan 1/2 [sin^{-1} {2x}/{1+x^2 } + cos^{-1} {1-y^2}/{1+y^2}],|x|<1; y>1$ तथा $xy<1$
हल :-
दिया है://hai $tan 1/2 [sin^{-1} {2x}/{1+x^2 } + cos^{-1} {1-y^2}/{1+y^2}],|x|<1; y>1$ तथा $xy<1$माना $x= tanθ$
$θ =tan^{-1}x$
तथा माना $y= tanϕ$
$ϕ =tan^{-1} y$
$tan 1/2 [sin^{-1} {2x}/{1+x^2} + cos^{-1} {1-y^2}/{1+y^2}]=tan 1/2 [sin^{-1} {2tanθ}/{1+tan^2θ} + cos^{-1}{1-tan^2 ϕ}/{1+tan^2 ϕ}]$
$=tan 1/2 [sin^{-1}(sin2θ)+ cos^{-1}(cos2θ)]$
$=tan 1/2 [2θ+2ϕ]$
$=tan 1/2 × 2[θ+ϕ]$
$=tan[θ+ϕ]$
$=tan[tan^{-1}x + tan^{-1}y]$
$=tan[tan^{-1} {x+y}/{1-xy}]$
$={x+y}/{1-xy},$ Ans.
प्रश्न 14:— यदि $sin(sin^{-1} 1/5 + cos^{-1} x)=1,$ तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है: $sin(sin^{-1} 1/5 + cos^{-1} x)=1,$ तो $x =?$$sin^{-1} 1/5+cos^{-1} x=sin^{-1}1$
$sin^{-1} 1/5 + cos^{-1}x=sin^{-1}(sin π/2)$
$sin^{-1} 1/5 + cos^{-1}x=π/2$
$sin^{-1} 1/5+cos^{-1} x=sin^{-1}x+cos^{-1}x$
∵ $sin^{-1}x+cos^{-1}x=π/2$
$sin^{-1} 1/5=sin^{-1}x$
दोनों ओर तुलना करने पर —
$1/5=x$
या $x= 1/5$, Ans.
प्रश्न 15:— यदि $tan^{-1} {x-1}/{x-2} + tan^{-1}{x+1}/{x+2} =π/4$,तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है–$tan^{-1} {x-1}/{x-2} + tan^{-1}{x+1}/{x+2} =π/4$
$[{{x-1}/{x+2} +{x+1}/{x+2}}/{1-({x-1}/{x+2} × {x+1}/{x+2})}]=tan π/4$
$[{{x-1}/{x+2} + {x+1}/{x+2}}/{1-({x-1}/{x-2} ×{x+1}/{x+2})}]=1$
$[{{(x-1)(x+2)+(x+1)(x-2)}/{(x-2)(x+2)}}/{{(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)}/{(x-2)(x+2)}}]=1$
$[{(x-1)(x+2)+(x+1)(x-2)}/{(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)}]=1$
$[{x^2-x+2x-2+x^2+x-2x}/{x^2-4-(x^2-1)}]=1$
${2x^2-4}/{x^2-4-x^2+1}=1$
${2x^2-4}/{-3}=1$
$2x^2-4=-3$
$2x^2=4-3$
$2x^2=1$
$x^2=1/2$
$x=√(1/2)$
$x={±1}/√2$, Ans.
प्रश्न संख्या 16 से 18 में दिए प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 16:– $sin^{-1} (sin {2π}/3)$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है– $sin^{-1} (sin {2π}/3)$तो $x =?$
$sin^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
$sin^{-1} (sin {2π}/3)=sin^{-1} [sin(π - π/3)]$
∵ $sin(π-θ)=sinθ$
$sin^{-1} (sin {2π}/3)=sin^{-1} (sin π/3)$
$sin^{-1} (sin {2π}/3)=π/3$, Ans.
प्रश्न 17:— $tan^{-1}(tan {3π}/4)$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है– $tan^{-1}(tan {3π}/4)$∵ $tan^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
$tan^{-1}(tan {3π}/4)=tan^{-1} [tan(π-π/4)] $
$=tan^{-1} [-tan(π/4)]$, ∵ $tan(π-θ)=-tanθ$
$=tan^{-1} [tan({-π}/4)]$ ,∵ $tan(-θ) =-tanθ$
$={-π}/4$ Ans.
प्रश्न 18:– $tan(sin^{-1}3/5 + cot^{-1}{3/2})$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :-
दिया है– $tan(sin^{-1}3/5+cot^{-1}{3/2})$माना $sin^{-1}(3/5)=θ, eq(1)$
$sinθ=3/5$=लम्ब/कर्ण
तब पाइथागोरस प्रमेय से —
कर्ण$^2$ = आधार$^2$ + लम्ब$^2$
आधार $= √(5^2-3^2)$
$=√(25-9)$
$=√16$
$=4$
∴ $tanθ=3/4$
$θ=tan^{-1}{3/4}, eq(2)$
समीकरण (1) और (2) से -
$sin^{-1}{3/5}=θ=tan^{-1}{3/4}$,
Now, $tan(sin^{-1} 3/5+cot^{-1}{3/2})=tan(tan^{-1}{3/4} + tan^{-1}{2/3})$
$=tan[tan^{-1} ({3/4+2/3}/{1-(3/4×2/3)})]$
$=tan[tan^{-1} ({{9+8}/{12}}/{{12-6}/{12}})]$
$=tan[tan^{-1} ({17}/6)]$
$={17}/6$, Ans.
प्रश्न 19:– $cos^{-1}(cos {7π}/6)$ का मान बराबर है:
(A) ${7π}/6$ (B) ${5π}/6$ (C) $π/3$ (D) $π/6$
हल :-
दिया है– $cos^{-1}(cos {7π}/6)$∵ $cos^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)$ होता है।
$cos^{-1}(cos {7π}/6)=cos^{-1} [cos(2π-{5π}/6)]$
$=cos^{-1} [cos {5π}/6]$,∵ $cos(2π-θ)=cosθ$
$={5π}/6$
अतः $cos^{-1} (cos {7π}/6)={5π}/6$, Ans.
प्रश्न 20:– $sin(π/3- sin^{-1}({-1}/2))$ का मान है
(A) 1/2 है (B) 1/3 है (C) 1/4 है (D) 1
हल :-
दिया है– $sin(π/3- sin^{-1}({-1}/2))$माना $y=sin^{-1}({-1}/2)$
$siny={-1}/2$
$siny=-sin(π/6)$
$siny=sin({-π}/6)$ ,∵ $sin(-θ)=-sinθ$
∵ $sin^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
∴ $y={-π}/6$
or, $sin^{-1}({-1}/2)={-π}/6$
Now, $sin[π/3- sin^{-1}({-1}/2)]= sin[π/3-(-π/6)]$
$= sin(π/3+π/6)$
$= sin({2π+π}/6)$
$= sin({3π}/6)$
$= sin(π/2)=1$, Ans.
प्रश्न 21:– $tan^{-1}√3 - cot^{-1}(-√3)$ का मान है:
(A)πहै (B) -π/2 है (C)0 है (D) 2√3
हल :-
दिया है– $tan^{-1}√3 - cot^{-1}(-√3)$माना $x=tan^(-1)√3$
$tanx=√3$
$tanx=tan{π/3}$
∵ $ tan^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
$x=π/3$
∴ $tan^{-1}√3=π/3$
माना $y=cot^{-1}(-√3)$
$coty=-√3$
$coty=-cot(π/6)$
$coty=cot(π-π/6) ,∵cot(π-θ)=-cotθ$
$coty=cot({5π}/6)$
∵ $cot^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर (0,π) होता है।
$y={5π}/6$
∴ $cot^{-1}(-√3)={5π}/6$
$tan^{-1}√3-cot^{-1}(-√3)=π/3 -{5π}/6$
$={2π-5π}/6$
$={-3π}/6=-π/2$, Ans.
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End
Exercise 2.2 - Completely Solved.
End
Exercise 2.2 - Completely Solved.
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