अध्याय 2 पर विविध प्रश्नावली | NCERT Maths Class 12 Chapter 2 Miscellaneous Exercise UP Board Hindi Medium
अध्याय 2 पर विविध प्रश्नावली | NCERT Maths Class 12 Chapter 2 Miscellaneous Exercise UP Board Hindi Medium
अध्याय 2 पर विविध प्रश्नावली में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
1. $cos^{-1}(cos {13π}/6)$
2. $tan^{-1}(tan {7π}/6)$
सिद्ध कीजिए:
3. $2sin^{-1}3/5=tan^{-1}{{24}/7}$
4:- $sin^{-1}8/17 +sin^{-1}3/5= tan^(-1) {77}/{36} $
5. $cos^{-1} 4/5 + cos^{-1} {12}/{13} = cos^{-1} {33}/{65}$
6. $cos^{-1} {12}/{13} + sin^{-1} 3/5 = sin^{-1} {56}/{65}$
7. $tan^{-1} {65}/{16} = sin^{-1} 5/{13} + cos^{-1} 3/5$
8. $ tan^{-1}1/5 + tan^{-1}1/7 + tan^{-1}1/3 + tan^{-1} 1/8=π/4 $
सिद्ध कीजिए:
9. $tan^{-1}√x = 1/2 cos^{-1} {{1-x}/{1+x}},x∈[0,1]$
10. $cot^{-1} ({√{1+sinx} + √{1-sinx}}/{√{1+sinx} - √{1-sinx}})=x/2, x∈(0,π/4)$
11. $tan^{-1} {√{1+x} -√{1-x}} / {√{1+x}+√{1-x}} =π/4-1/2 cos^{-1} x,-1/√2≤x≤1$
[ संकेत: $x= cos2θ$ रखिए ]
12:– ${9π}/8 - {9/4} sin^{-1} 1/3 = {9/4} sin^{-1} {2√2}/3$
निम्नलिखित समीकरणों को सरल कीजिए:
13:– $2tan^{-1} (cosx)=tan^{-1} (2cosecx)$
14. $tan^{-1} {1-x}/{1+x}=1/2 tan^{-1} x, (x>0)$
15. $sin(tan^{-1} x), |x|<1$ बराबर होता है: (A) $x/√(1-x^2)$, (B) $1/√(1-x^2)$, (C) $1/√(1+x^2)$, (D) $x/√(1+x^2) $
16. यदि $sin^{-1} (1-x)-2sin^{-1} x=π/2$ तो $x$ का मान बराबर है∶ (A) $0,1/2$ (B) $1,1/2$ (C) $0$ (D) $1/2$
17. $tan^{-1} x/y - tan^{-1} {x-y}/{x+y}$ का मान है: (A) $π/2$ (B) $π/3$ (C) $π/4$ (D) ${3π}/4$
12th NCERT Math अध्याय 2 पर विविध प्रश्नावली का सम्पूर्ण समाधान/Solution.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1. $cos^{-1}(cos {13π}/6)$
हल :-
माना $y= cos^{-1}(cos {13π}/6)$$cosy=cos({13π}/6)$
∵ $cos^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर (0,π) होता है।
$cosy=cos(2π+π/3),$ ∵ $cos(2π+θ)=cosθ$
$cosy=cos(π/3)$
$y=π/3$
∴ $cos^{-1}(cos {13π}/6)=π/3$, Ans.
Second method —
हल :- दिया है : $cos^{-1}(cos {13π}/6)$
∵ $cos^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर (0,π) होता है।
$cos^{-1}(cos {13π}/6)=cos^{-1}[cos(2π+π/3)]$
∵ $cos(2π+θ)=cosθ$
$cos^{-1}(cos {13π}/6)=cos^{-1}[cos(π/3)]$
$cos^{-1}(cos {13π}/6)=π/3$, Ans.
प्रश्न 2. $tan^{-1}(tan {7π}/6)$
हल :-
माना $y= tan^{-1}(tan {7π}/6)$$tany=tan{7π}/6$
∵ $tan^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
$tany=tan(π+π/6)$
∵ $tan(π+θ)=tanθ$
$tany=tan{π/6}$
$y=π/6$
∴ $tan^{-1}(tan {7π}/6)=π/3$, Ans.
Second method —
हल :— दिया है– $tan^{-1}(tan {7π}/6)$
∵ $tan^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $({-π}/2,π/2)$ होता है।
$tan^{-1}(tan {7π}/6)=tan^{-1}[tan(π+π/6)]$
$=tan^{-1} (tan π/6)$
$=π/6$
$tan^{-1}(tan {7π}/6)=π/6$, Proved.
सिद्ध कीजिए:
प्रश्न 3. $2sin^{-1}3/5=tan^{-1}{{24}/7}$
हल :-
सिद्ध करना है– $2 sin^{-1}3/5=tan^{-1}{{24}/7}$माना $sin^{-1}3/5=θ$
$sinθ=3/5=$ लम्ब/कर्ण
आधार $=√(5^2-3^2 )=√(25-9)=√16=4$
∴ $tanθ=$ लम्ब/आधार $=3/4$
$tanθ=3/4$
$θ=tan^{-1}3/4$
$sin^{-1}3/5=tan^{-1}3/4$
$LHS= 2 sin^{-1}3/5 $
$=2 tan^{-1}3/4 $ , ∵ $2 tan^{-1}x=tan^{-1}{2x}/{1-x^2}$
$=tan^{-1}{2×3/4}/{1-(3/4)^2}=tan^{-1}{3/2}/{1-9/{16}}$
$=tan^{-1}{3/2}/{{16-9}/{16}}=tan^{-1}{{3/2}/{7/16}}$
$=tan^{-1}{3×16}/{7×2}=tan^{-1}{48}/{14}$
$=tan^{-1}{24}/7=RHS$
$LHS=RHS $
∴ $2 sin^{-1}3/5=tan^{-1}{24}/7$ ,Proved.
प्रश्न 4:- $sin^{-1}8/17 +sin^{-1}3/5= tan^(-1) {77}/{36} $
हल :-
सिद्ध करना है– $sin^{-1} 8/17 +sin^{-1} 3/5= tan^{-1} {77}/{36}$माना $sin^{-1} 8/{17}=x$
$sinx=8/{17}=$ लम्ब/कर्ण
आधार $=√({17}^2-8^2 )=√(289-64)=√225=15$
∴ $tanx=$ लम्ब/आधार $=8/{15}$
$tanx=8/{15}$
$x=tan^{-1} 8/{15}$
A$sin^{-1} 8/{17} =tan^{-1} 8/{15}$ ,(1)
पुनः माना $sin^{-1} 8/{17}=y$
$siny=3/5=$ लम्ब/कर्ण
आधार $=√(5^2-3^2 )=√(25-9)=√16=4$
∴ $tany=$ लम्ब/आधार $=3/4$
$tany=3/4$
$y=tan^{-1} 3/4$
$sin^{-1} 8/{17} =tan^{-1} 3/4 ,(2)$
$LHS=sin^{-1} 8/{17} + sin^{-1} 3/5 $
$= tan^{-1} 8/{15} + tan^{-1} 3/4 $
, समी(1) व (2) से
$=tan^{-1} ({8/{15}+3/4}/{1- 8/{15} × 3/4})$ , ∵ $tan^{-1}x + tan^{-1}y = tan^{-1} {x+y}/{1-xy}$
$=tan^{-1} ({{32+45}/60}/{{60-24}/60})$
$=tan^{-1} {32+45}/{60-24} $
$=tan^{-1} {77}/{36} = RHS$
$LHS=RHS$
∴ $sin^{-1} 8/{17} + sin^{-1} 3/5 = tan^{-1} {77}/{36}$, Proved.
प्रश्न 5. $cos^{-1} 4/5 + cos^{-1} {12}/{13} = cos^{-1} {33}/{65}$
हल :-
सिद्ध करना है– $cos^{-1} 4/5 + cos^{-1} {12}/{13} = cos^{-1} {33}/{65}$$ LHS=cos^{-1} 4/5 + cos^{-1} {12}/{13} $
∵ $cos^{-1}x+cos^{-1}y = cos^{-1}[xy-√(1-x^2) √(1-y^2 )]$
∴ $LHS=cos^{-1} 4/5 + cos^{-1} {12}/{13}$
$=cos^{-1}[4/5 × {12}/{13} - √(1-{(4/5)}^2 ) √(1-{(12/13)}^2)]$
$=cos^{-1} [{48}/{65} - √(1-{16}/{25}) √(1-{144}/{169})]$
$=cos^{-1} [{48}/{65} -√({25-16}/{25}) √({169-144}/{169})]$
$=cos^{-1} [{48}/{65} - √(9/{25}) √({25}/{169})]$
$=cos^{-1} [{48}/{65} - {3/5×5/{13}}]$
$=cos^{-1} [{48}/{65} - {15}/{65}]$
$=cos^{-1} {33}/{65}=RHS$
$LHS=RHS$
∴ $cos^{-1} 4/5 + cos^{-1} {12}/{13} = cos^{-1} {{33}/{65}}$, Proved.
प्रश्न 6. $cos^{-1} {12}/{13} + sin^{-1} 3/5 = sin^{-1} {56}/{65}$
हल :-
सिद्ध करना है– $cos^{-1} {12}/{13} + sin^{-1} 3/5 = sin^{-1} {56}/{65}$माना $cos^{-1} {12}/{13} =θ$
$cosθ= {12}/{13} =$ आधार/कर्ण
लम्ब $=√({13}^2- {12}^2 )=√(169-144)=√25=5$
∴ $sinθ=$ लम्ब/कर्ण $=5/{13}$
$sinθ=5/{13}$
$θ=sin^{-1} 5/{13}$
$cos^{-1} {12}/{13} = sin^{-1} 5/{13} ,(1) $
Now, $LHS=cos^{-1} {12}/{13} + sin^{-1} 3/5 $
$=sin^{-1} 5/{13} + sin^{-1} 3/5$
∵ $sin^{-1}x + sin^{-1}y = sin^{-1} [x√(1-y^2 )+y√(1-x^2)]$
$LHS= sin^{-1} [5/{13} √(1-{(3/5)}^2 )+3/5 √(1-{(5/{13})}^2)]$
$= sin^{-1} [5/{13} √(1-9/{25})+3/5 √(1-{25}/{169})]$
$=sin^{-1} [5/{13} √({25-9}/{25}) +3/5 √({169-25}/{169})]$
$=sin^{-1} [5/{13} √({16}/{25}) + 3/5 √({144}/{169})]$
$=sin^{-1} [5/{13} × 4/5 + 3/5 × {12}/{13}]$
$=sin^{-1} [{20}/{65} + {36}/{65}]$
$=sin^{-1} {55}/{65} = RHS$
$ LHS=RHS$
$cos^{-1} {12}/{13} + sin^{-1} 3/5 = sin^{-1} {56}/{65}$ Proved.
प्रश्न 7. $tan^{-1} {65}/{16} = sin^{-1} 5/{13} + cos^{-1} 3/5$
हल :-
सिद्ध करना है– $tan^{-1} {65}/{16} = sin^{-1} 5/{13} + cos^{-1} 3/5$माना $sin^{-1} 5/{13} =θ $
$sinθ = 5/{13} =$ लम्ब/कर्ण
आधार $=√({13}^2 - 5^2)=√(169-25)=√144=12$
∴ $tanθ=$ लम्ब/आधार $=5/{12}$
$tanθ=5/{12}$
$θ=tan^{-1} 5/{12}$
$sin^{-1} 5/{13} = tan^{-1} 5/{12}, (1)$
पुनः माना $cos^{-1} {3/5} =ϕ$
$ cosϕ=3/5=$ आधार/कर्ण
लम्ब $=√(5^2-3^2 )=√(25-9)=√16=4$
∴ $tanϕ=$ लम्ब/आधार $=4/3$
$tanϕ=4/3$
$ϕ=tan^{-1} 4/3$
$cos^{-1} 3/5 = tan^{-1} 4/3, (2)$
Now, $RHS= sin^{-1} 5/{13} + cos^{-1} 3/5 $
$= tan^{-1} 5/{12} + tan^{-1} {4/3} $
∵ $tan^{-1}x + tan^{-1}y = tan^{-1} {x+y}/{1-xy}$
$LHS=tan^{-1} {5/{12} + 4/3}/{1 - 5/{12}× 4/3}$
$=tan^{-1} {{15+48}/{12}/{{36-20}/{12}$
$=tan^{-1} {63}/{16} = LHS$
$RHS=LHS$
∴ $tan^{-1} {65}/{16} = sin^{-1} 5/{13} + cos^{-1} 3/5$ ,Proved.
प्रश्न 8. $ tan^{-1}1/5 + tan^{-1}1/7 + tan^{-1}1/3 + tan^{-1} 1/8=π/4 $
हल :-
सिद्ध करना है– $ tan^{-1}1/5 + tan^{-1}1/7 + tan^{-1}1/3 + tan^{-1} 1/8=π/4 $∵ $tan^{-1}x + tan^{-1}y = tan^{-1} {x+y}/{1-xy}$
$ tan^{-1} 1/5 + tan^{-1} 1/7 + tan^{-1}1/3 + tan^{-1} 1/8 $
$= tan^{-1} ({1/5+1/7}/{1-1/5×1/7}) + tan^{-1} ({1/3+1/8}/{1-1/3×1/8}) $
$=tan^{-1} ({{7+5}/{35}}/{{35-1}/35}) + tan^{-1} ({{8+3}/{24}}/{{24-1}/{24}})$
$=tan^{-1} {7+5}/{35-1} +tan^{-1} {8+3}/{24-1}$
$=tan^{-1} {12}/{34} + tan^{-1} {11}/{{23}$
$=tan^{-1} 6/{17} + tan^{-1} {11}/{23} $
$=tan^{-1} ({6/{17} + {11}/{23}}/{{1-6}/{17}×{11}/{23}})$
$= tan^{-1} ({{138+187}/{17×23}}/{{391-66}/{17×23}})$
$=tan^{-1} {138+187}/{391-66}$
$=tan^{-1} {325}/{325}$
$=tan^{-1}(1)$
$=tan^{-1}(tan π/4) $
$=π/4$
$RHS=LHS$
अतः $ tan^{-1}1/5 + tan^{-1}1/7 + tan^{-1}1/3 + tan^{-1} 1/8=π/4 $ Proved.
सिद्ध कीजिए:
प्रश्न 9. $tan^{-1}√x = 1/2 cos^{-1} {{1-x}/{1+x}},x∈[0,1]$
हल :-
सिद्ध करना है– $tan^{-1}√x = 1/2 cos^{-1} {{1-x}/{1+x}},x∈[0,1]$माना $tan^{-1}√x=θ$
$tanθ=√x$
वर्ग करने पर —
$tan^{-1} θ=x$
$RHS=1/2 cos^{-1} {{1-x}/{1+x}}$
$=1/2 cos^{-1} {{1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$=1/2 cos^{-1} (cos2θ)$
$=1/2 .2θ$
$=θ$
$=tan^{-1}√x$
$=LHS$
अतः $tan^{-1} √x=1/2 cos^{-1} {{1-x}/{1+x}}$, Proved.
प्रश्न 10. $cot^{-1} ({√{1+sinx} + √{1-sinx}}/{√{1+sinx} - √{1-sinx}})=x/2, x∈(0,π/4)$
हल :-
सिद्ध करना है– $cot^{-1} ({√{1+sinx} + √{1-sinx}}/{√{1+sinx} - √{1-sinx}})=x/2, x∈(0,π/4)$$LHS= cot^{-1} ( {√{1+sinx} + √{1-sinx}}/{√{1+sinx} - √{1-sinx}} )$
$= cot^{-1} [{√{cos^2 {x/2} + sin^2 {x/2} +2sin {x/2} cos {x/2}} +√{cos^2 {x/2}+sin^2 {x/2}-2sin {x/2} cos {x/2}}}/{√{cos^2 {x/2} +sin^2 {x/2} + 2sin {x/2} cos {x/2}} - √{cos^2 {x/2} + sin^2 {x/2} -2sin {x/2} cos {x/2}}}]$
$= cot^{-1} [{√({cos{x/2} +sin{x/2}})^2 + √({cos{x/2} - sin{x/2}})^2} /{√({cos{x/2} +sin {x/2}})^2 - √({cos {x/2} - sin {x/2}})^2}]$
$= cot^{-1} [{cos x/2+sin x/2+cos x/2-sin x/2}/{cos x/2+sin x/2 - (cos x/2-sin x/2)}]$
$= cot^{-1} [{cos x/2+sin x/2+cos x/2-sin x/2}/{cos x/2+sin x/2 - cos x/2 + sin x/2)}]$
$= cot^{-1} [{2cos x/2}/{2sin x/2}] $
$= cot^{-1} [{cos x/2}/{sin x/2}] $
$= cot^{-1} [cot x/2]$
$=x/2=RHS$
अतः $cot^{-1} ({√{1+sinx} + √{1-sinx}}/{√{1+sinx} - √{1-sinx}})=x/2$, Proved.
प्रश्न 11. $tan^{-1} {√{1+x} -√{1-x}} / {√{1+x}+√{1-x}} =π/4-1/2 cos^{-1} x,-1/√2≤x≤1$
[ संकेत: $x= cos2θ$ रखिए ]
हल :-
सिद्ध करना है– $tan^{-1} {√{1+x} -√{1-x}} / {√{1+x}+√{1-x}} =π/4-1/2 cos^{-1} x,-1/√2≤x≤1$माना $x=cos2θ$
$cos^{-1} x=2θ$
$1/2 cos^{-1} x=θ$, (1)
$LHS= tan^{-1} [{√{1+x}-√{1-x}}/{√{1+x}+√{1-x}}]$
$= tan^{-1} [{√{1+cos2θ}-√{1-cos2θ}}/{√{1+cos2θ}+√{1-cos2θ}}]$
$= tan^{-1} [{√{1+2cos^2 θ-1} -√{1-(1-2sin^2 θ)}}/{√{1+3cos^2 θ-1}+√{1-(1-2sin^2 θ)}}]$
$= tan^{-1} [{√{2cos^2 θ} - √{1-1+2sin^2 θ}}/{√{2cos^2 θ}+√{1-1+2sin^2 θ}}]$
$= tan^{-1} [{√{2cos^2 θ}-√{2sin^2 θ}}/{√{2cos^2 θ}+√{2sin^2 θ}}]$
$= tan^{-1} [{√2 cosθ -√2 sinθ}/{√2 cosθ +√2 sinθ}]$
$= tan^{-1} [{cosθ-sinθ}/{cosθ+sinθ}]$
$= tan^{-1} [{{cosθ}/{cosθ} - {sinθ}/{cosθ}}/{{cosθ}/{cosθ}+{sinθ}/{cosθ}}]$
$= tan^{-1} [{{1-tanθ}/{1+tanθ}}]$
$= tan^{-1} [{{tan{π/4} - tanθ}/{1+tan{π/4} tanθ}]$
$= tan^{-1} [tan({π/4}-θ)]$
$=π/4-θ$
$=π/4- 1/2 cos^{-1} x$
$=RHS$
अतः $tan^{-1} {√{1+x} - √{1-x}}/{√{1+x}+√{1-x}}=π/4-1/2 cos^{-1} x$, Proved.
प्रश्न 12:– ${9π}/8 - {9/4} sin^{-1} 1/3 = {9/4} sin^{-1} {2√2}/3$
हल :-
सिद्ध करना है– ${9π}/8 - {9/4} sin^{-1} 1/3 = {9/4} sin^{-1} {2√2}/3$माना $LHS= {9π}/8 - 9/4 sin^{-1} 1/3$
$= 9/4 (π/2-sin^{-1} 1/3)$
∵ $sin^{-1}x+cos^{-1}x=π/2$
∴ $sin^{-1} {1/3} +cos^{-1} {1/3}=π/2$
$LHS=9/4 (sin^{-1} {1/3} + cos^{-1} {1/3} -sin^{-1} {1/3})$
$=9/4 (cos^{-1} {1/3})$
माना $θ=cos^{-1} {1/3}$
$cosθ=1/3=$ आधार/कर्ण
लम्ब $=√(3^2-1^2 )=√(9-1)=√8=2√2$
$sinθ=$ लम्ब/कर्ण $={2√2}/3$
$θ=sin^{-1} {2√2}/3$
∴ $cos^{-1} {1/3} =sin^{-1} {2√2}/3$
$cos^{-1} {1/3}$ का मान रखने पर —
$LHS=9/4 (sin^{-1} {2√2}/3)=RHS$
अतः ${9π}/8 - 9/4 sin^{-1} {1/3}=9/4 sin^{-1} {2√2}/3$, Proved.
निम्नलिखित समीकरणों को सरल कीजिए:
प्रश्न 13:– $2tan^{-1} (cosx)=tan^{-1} (2cosecx)$
हल :-
दिया है– $2tan^{-1} (cosx)=tan^{-1} (2cosecx)$सूत्र: $2tan^{-1}x=tan^{-1} {2x}/{1-x^2}$
∵ $2tan^{-1} (cosx)=tan^{-1} (2cosecx)$
∴ $tan^{-1} {2cosx}/{1-cos^2 x}=tan^{-1} (2cosecx)$
${2cosx}/{sin^2 x+cos^2 x-cos^2 x} =2cosecx$
${2cosx}/{1-cos^2 x} =2cosecx$
${2cosx}/{sin^2 x} = {2/{sinx}}$
${cosx}/{sinx} =1$
$tanx =1=tan {π/4}$
$x=π/4$, Ans.
प्रश्न 14. $tan^{-1} {1-x}/{1+x}=1/2 tan^{-1} x, (x>0)$
हल :-
दिया है– $tan^{-1} {1-x}/{1+x}=1/2 tan^{-1} x, (x>0)$माना $x=tanθ$
$tan^{-1}x=θ$
$tan^{-1} {1-x}/{1+x}=1/2 tan^{-1} x$
$tan^{-1} {{1-tanθ}/{1+tanθ}}= 1/2 tan^{-1} (tanθ)$
$tan^{-1} [{tan {π/4} -tanθ}/{1+tan π/4 tanθ}]= 1/2 θ $
$tan^{-1} [tan(π/4-θ)]= θ/2$
$π/4-θ= θ/2$
$π/4=θ/2+θ$
$π/4=(θ+2θ)/2$
$π/4=3θ/2$
$π/4×2/3=θ$
$π/6=θ$
$π/6=tan^{-1}x$
$tan π/6=x$
$1/√3=x$
या $x=1/√3,x>0$, Proved.
प्रश्न 15. $sin(tan^{-1} x), |x|<1$ बराबर होता है: (A) $x/√(1-x^2)$, (B) $1/√(1-x^2)$, (C) $1/√(1+x^2)$, (D) $x/√(1+x^2) $
हल :-
दिया है– $sin(tan^{-1} x), |x|<1 $माना $tan^{-1}x=θ$
$tanθ = x = x/1=$ लम्ब/आधार
कर्ण $=√(x^2+1^2)=√(x^2+1)$
∵ $sinθ=$ लम्ब/कर्ण $=x/√(x^2+1)$
$θ=sin^{-1} {x/√(x^2+1)}$
अतः $tan^{-1}x=θ=sin^{-1} {x/√(x^2+1)}$
$tan^{-1} x = θ=sin^{-1} {x/√(x^2+1)}$
$tan^{-1} x$ का मान रखने पर —
$sin(tan^{-1} x)=sin(sin^{-1} {x/√(x^2+1)})$
$sin(tan^{-1} x)=x/√(x^2+1)$
अतः सही उत्तर: विकल्प (D) $x/√(x^2+1)$, Ans.
प्रश्न 16. यदि $sin^{-1} (1-x)-2sin^{-1} x=π/2$ तो $x$ का मान बराबर है∶ (A) $0,1/2$ (B) $1,1/2$ (C) $0$ (D) $1/2$
हल :-
दिया है– $sin^{-1} (1-x)-2sin^{-1}x =π/2$माना $x=sinθ⇒ sin^{-1}x=θ$
$sin^{-1} (1-x)-2sin^{-1} x=π/2$
$sin^{-1} (1-sinθ)-2sin^{-1} (sinθ)=π/2$
$sin^{-1} (1-sinθ)-2θ=π/2$
$sin^{-1} (1-sinθ)=π/2 +2θ$
$1-sinθ=sin(π/2 +2θ)$
$1-sinθ=cos2θ$
$1-sinθ=1-2sin^2θ$
$sinθ=2sin^2θ$
$2sin^2θ-sinθ=0$
$sinθ(2sinθ-1)=0$
$sinθ=0$ या $2sinθ-1=0$
$sinθ=0$ या $sinθ=1/2$
$x=0$ या $x=1/2$
चूंकि $x=1/2$ समीकरण को सन्तुष्ट नहीं करता है। अतः $x=0$,
अतः सही उत्तर: विकल्प (C) 0, Ans.
प्रश्न 17. $tan^{-1} x/y - tan^{-1} {x-y}/{x+y}$ का मान है: (A) $π/2$ (B) $π/3$ (C) $π/4$ (D) ${3π}/4$
हल :-
दिया है– $tan^{-1} x/y - tan^{-1} {x-y}/{x+y}$∵ $tan^{-1}x-tan^{-1}y = tan^{-1} {x-y}/{1+xy}$
∴ $tan^{-1} {x/y} - tan^{-1} {x-y}/{x+y}$
$=tan^{-1} [{x/y - ({{x-y}/{x+y}})}/{1+ x/y({{x-y}/{x+y}})}]$
$=tan^{-1} [{{x(x+y)-y(x-y)}/{y(x+y) }}/{{y(x+y)+x(x-y)}/{y(x+y)}}]$
$=tan^{-1} [{x(x+y)-y(x-y)}/{y(x+y)+x(x-y)}]$
$=tan^{-1} [{x^2+xy-xy+y^2}/{xy+y^2+x^2-xy}]$
$=tan^{-1} [{x^2+y^2}/{y^2+x^2}] = tan^{-1}[{x^2+y^2}/{x^2+y^2}]$
$=tan^{-1}[1]$
$=tan^{-1}[tan π/4]$
$=π/4$
अतः सही उत्तर: विकल्प (C) $π/4$, Ans.
Please Inform any Error.
End
End
विविध प्रश्नावली - 2 Completely Solved.
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