7 समाकलन | प्रश्नावली 7.1 | NCERT Maths Class 12 Chapter 7 Exercise 7.1 all questions UP Board Hindi Medium
7 समाकलन | प्रश्नावली 7.1 | NCERT Maths Class 12 Chapter 7 Exercise 7.1 all questions UP Board Hindi Medium
7 समाकलन (Integrals) प्रश्नावली (7.1) NCERT Math Class 12th SOLVED By : AJAY SIRअध्याय 1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि कीजिए।
1. $sin2x$
2. $cos3x$
3. $e^{2x}$
4. ${(ax+b)}^2$
5. $sin2x-4e^{3x}$
6. $sin2x-4e^{3x}$
7. $x^2 (1-1/{x^2})$
8. $ax^2+bx+C$
9. $2x^2+e^x$
10. ${(√x-1/√x)}^2$
11. $∫{x^3+5x^2-4}/x^2 dx$
12. $∫{x^3+3x+4}/{√x} dx$
13. $∫{x^3-x^2+x-1}/{x-1} dx$
14. $∫(1-x) √x dx$
15. $∫√x (3x^2+2x+3) dx$
16. $∫(2x-3cosx+e^x) dx$
17. $∫(2x^2-3sinx+5√x) dx$
18. $∫secx(secx+tanx) dx$
19. $∫{sec^2 x}/{cosec^2 x} {dx}$
20. $∫{{2-3sinx}/{cos^2 x}} {dx}$
प्रश्न $21$ एवं $22$ में सही उत्तर का चयन कीजिए :21. $(√x+1/{√x})$ का प्रतिअवकलज है :
(A) $1/3 x^{1⁄3} +2x^{1∕2} +C$
(B) $2/3 x^{2/3} + 1/2 x^2+C$
(C) $2/3 x^{3⁄2} +2x^{1/2} +C$
(D) $2/3 x^{1/2}+2x^{1/2} +C$
22. यदि $d/{dx} f(x)=4x^3 - 3/{x^4}$ जिसमें $f(2)=0$ है तो $f(x)$ है :
(A) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(B) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(C) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(D) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
12th NCERT Math Chapter 7 Exercise 7.1 का सम्पूर्ण समाधान/Solution.
निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि कीजिए।
1. $sin2x$
हल :-
$∫sin2x dx= ?$
∵ $d/{dx} cos2x = - sin2x .2$
${-1}/2 d/{dx} cos2x = sin2x$
$d/{dx} ({-1}/2 cos2x )= sin2x$
∴ $∫sin2x dx={-1}/2 cos2x$ Ans.
2. $cos3x$
हल :-
$∫cosx dx= ?$∵ $d/{dx} sin3x = cos3x .3$
$1/3 d/{dx} sin3x = cos3x$
$d/{dx} (1/3 sin3x)= cos3x$
∴ $∫cos3x dx=1/3 sin3x $ Ans.
3. $e^{2x}$
हल :-
$∫e^{2x} dx= ?$
∵ $d/{dx} e^{2x}= e^{2x}.2$
$1/2 d/{dx} e^{2x}=e^{2x}$
$d/{dx} ({1/2} e^{2x})=e^{2x}$
∴ $∫e^{2x} dx=1/2 e^{2x}$ Ans.
4. ${(ax+b)}^2$
हल :-
$∫{(ax+b)}^2 dx= ?$∵$d/{dx} {(ax+b)}^3= {(ax+b)}^2 . d/{dx} (ax+b)$
$d/{dx} {(ax+b)}^3= 3{(ax+b)}^2 .a$
$1/{3a} d/{dx} {(ax+b)}^3={(ax+b)}^2$
$d/{dx} [1/{3a} {(ax+b)}^3]= cos3x$
∴ $∫{(ax+b)}^2 dx=1/{3a} {(ax+b)}^3$ Ans.
5. $sin2x-4e^{3x}$
हल :-
$∫(sin2x-4e^{3x}) dx= ?$
∵ $∫(sin2x-4e^{3x}) dx= ∫sin2x dx- 4∫e^{3x} dx$
$⇒ d/{dx} cos2x = - sin2x .2$
${-1}/2 d/{dx} cos2x = sin2x$
$d/{dx} ({-1}/2 cos2x )= sin2x$
$∫sin2x dx={-1}/2 cos2x (1)$
$⇒d/{dx} e^{3x} = e^{3x}.3$
$1/2 d/{dx} e^{3x}=e^{3x}$
$d/{dx} (1/3 e^{3x})=e^{3x}$
$∫e^{3x} dx=1/3 e^{3x}$ Ans.
$∫(sin2x-4e^{3x}) dx=-1/2 cos2x - 4× 1/3 e^{3x}$
∴ $∫(sin2x-4e^{3x}) dx={-1}/2 cos2x- 4/3 e^{3x}$ Ans.
6. $sin2x-4e^{3x}$
हल :-
$∫(4e^{3x}+1) dx = ∫4e^{3x} dx - ∫1dx$
$=4 ∫e^{3x} dx - ∫1dx$
$= 4 .e^{3x}/3 - x+C$
$=4/3 e^{3x} - x+C $
Ans.
7. $x^2 (1-1/{x^2})$
हल :-
$∫{x^2 (1-1/{x^2})} dx = ∫(x^2- {x^2}/{x^2}) dx$
$=∫(x^2-1) dx$
$=∫x^2 dx- ∫1 dx$
$=x^{2+1}/{2+1} -x+C$
$={x^3}/3 - x+C $ Ans.
8. $ax^2+bx+C$
हल :-
$ ∫(ax^2+bx+c) dx = a∫x^2 dx+ b ∫x dx +c ∫1 dx$
$= a. x^{2+1}/{2+1}+b. x^{1+1}/{1+1}+ cx+ C_1 $
$={ax^3}/3+{bx^2}/2+cx+C_1 $ Ans.
9. $2x^2+e^x$
हल :-
$∫(2x^2+e^x) dx = 2∫x^2 dx+ ∫e^x dx$
$= 2. {x^{2+1}}/{2+1} +e^x + C$
$=2/3 x^3+e^x +C$ Ans.
10. ${(√x-1/√x)}^2$
हल :-
$∫{(√x-1/√x)}^2 dx =∫{(x+ 1/x -2)} dx$
$= ∫x dx+ ∫1/x dx -2 ∫1 dx$
$={x^{1+1}}/{1+1} +logx-2x+C$
$={x^2}/2 + logx-2x+C $ Ans.
11. $∫{x^3+5x^2-4}/x^2 dx$
हल :-
$∫{x^3+5x^2-4}/x^2 dx$
$=∫(x^3/x^2 + {5x^2}/x^2 - {4}/x^2) dx$
$=∫(x+5-4x^{-2}) dx$
$= ∫x dx+ 5∫1 dx-4∫x^{-2} dx$
$=x^{1+1}/{1+1} +5x-4 {x^{-2+1}}/{-2+1} +C$
$={x^2}/2+5x+4x^{-1}+C$
$={x^2}/2+5x+4/x+C$ Ans.
12. $∫{x^3+3x+4}/{√x} dx$
हल :-
$∫{x^3+3x+4}/{√x} dx$
$=∫{x^3+3x+4}/{x^{1/2}} dx$
$=∫{x^3/x^(1/2} + {3x}/{x^{1/2}} + 4/{x^{1/2}} dx$
$=∫(x^{3-1/2} +3x^{1-1/2} +4x^{{-1}/2}) dx$
$=∫(x^{5/2} +3x^{1/2}+4x^{{-1}/2}) dx$
$=∫x^{5/2} dx+ 3∫x^{1/2} dx+4∫x^{{-1}/2} dx$
$=x^{{5⁄2}+1}/{{5⁄2}+1}+3 x^{1⁄2+1 }/{1⁄2+1} +4 x^{{-1}∕2+1}/{{-1⁄2}+1} +C$
$={x^{7∕2}}/{7⁄2} +3 {x^{3⁄2}}/{3⁄2} + 4{x^{1∕2}}/{1⁄2} +C$
$=2/7 x^{7⁄2}+2x^{3⁄2}+8x^{1⁄2}+C$ Ans.
13. $∫{x^3-x^2+x-1}/{x-1} dx$
हल :-
$∫{x^3-x^2+x-1}/{x-1} dx$
$=∫{x^2 (x-1)+1(x-1)}/(x-1) dx$
$=∫{(x-1)(x^2+1)}/{x-1} dx$
$=∫(x^2+1) dx$
$=∫x^2 dx+ ∫1 dx$
$={x^{2+1}}/{2+1}+ x+C$
$={x^3}/3+ x+C$ Ans.
$∫(1-x) √x dx$
$=∫(√x-x√x) dx$
$=∫(x^{1⁄2} -x^{3⁄2}) dx$
$=∫x^{1⁄2} dx-∫x^{3⁄2} dx$
$={x^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1} - {x^{3⁄2+1}}/{3⁄2+1}+C$
$={x^{3∕2}}/{3⁄2} - {x^{5⁄2}}/{5⁄2}+C$
$=2/3 x^{3⁄2} - 2/5 x^{5⁄2}+C$ Ans.
$∫√x (3x^2 + 2x + 3) dx$
$=∫(3x^2 .√x + 2x.√x + 3√x) dx$
$=∫(3x^{2+1⁄2} + 2x^{1+1⁄2} +3x^{1⁄2}) dx$
$=∫(3x^{5⁄2} + 2x^{3⁄2} +3x^{1⁄2}) dx$
$=3∫x^{5⁄2} dx + 2∫x^{3⁄2} dx+3∫x^{1⁄2} dx$
$=3 {x^{5⁄2+1}}/{1⁄2+1} + 2 {x^{3⁄2+1 }}/{3⁄2+1} + 3 {x^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1}+C$
$=3 {x^{7∕2}}/{7⁄2} +2 {x^{5⁄2}}/{5⁄2} +3 {x^{3∕2}}/{3⁄2} +C$
$=6/7 x^{7⁄2} + 4/5 x^{5⁄2} +2x^{3⁄2}+C$ Ans.
$∫(2x-3cosx+e^x) dx$
$= 2∫x dx-3∫cosx dx+ ∫e^x dx$
$=2 {x^{1+1}}/{1+1} - 3 sinx+e^x+C$
$=2 x^2/2 - 3 sinx + e^x + C$
$=x^2-3 sinx+e^x+C$ Ans.
$∫(2x^2-3sinx+5√x) dx$
$=∫(2x^2-3sinx+5x^{1⁄2}) dx$
$= 2∫x^2 dx-3∫sinx dx+ 5∫x^{1⁄2} dx$
$=2 {x^{2+1}}/{2+1} -3 (-cosx)+5 {x^{1⁄2+1 }}/{1⁄2+1} +C$
$=2 {x^3}/3+3 cosx+5 {x^{3∕2}}/{3⁄2} +C$
$=2/3 x^3+3 cosx + 10/3 x^{3∕2} +C$ Ans.
$∫secx(secx+tanx) dx$
$=∫(sec^2x+secx. tanx) dx$
$=∫sec^2 x dx + ∫secx .tanx dx$
$= tanx+ secx+C$ Ans.
$∫{{sec^2 x}/{cosec^2 x}} {dx}$
$=∫{1/{cos^2 x}}/{1/{sin^2 x}} dx$
$=∫{sin^2 x}/{cos^2 x} dx$
$=∫tan^2 x dx$
$=∫(sec^2 x - 1) dx$
$=tanx-x-C$ Ans.
$∫{2-3sinx}/{cos^2 x} {dx}$
$=∫{2/{cos^2 x}} - {3sinx}/{cosx. cosx} dx$
$=2∫sec^2 x dx - 3∫secx .tanx dx$
$=2tanx-3secx+C$ Ans.
प्रश्न $21$ एवं $22$ में सही उत्तर का चयन कीजिए :
(A) $1/3 x^{1⁄3} +2x^{1∕2} +C$
(B) $2/3 x^{2/3} + 1/2 x^2+C$
(C) $2/3 x^{3⁄2} +2x^{1/2} +C$
(D) $2/3 x^{1/2}+2x^{1/2} +C$
$∫(√x+1/{√x}) dx = ∫(x^{1⁄2} +x^{{-1}⁄2}) {dx}$
$=∫x^{1⁄2} dx+∫x^{{-1}⁄2} dx$
$=x^{1⁄2+1}/{1⁄2+1} +x^{{-1}⁄2 +1 }/{{-1}⁄2+1} +C$
$=x^{3∕2}/{3⁄2} +x^{1⁄2}/{1⁄2}+C$
$=2/3 x^{3/2}+2x^{1/2}+C$
अतः सही उत्तर : विकल्प (C) $2/3 x^{3/2} +2x^{1/2} +C$ Ans.
22. यदि $d/{dx} f(x)=4x^3 - 3/{x^4}$ जिसमें $f(2)=0$ है तो $f(x)$ है :
$d/{dx} f(x)=4x^3 - 3/{x^4}$
$d/{dx} f(x) = 4x^3 - 3x^{-4}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर —
$f(x) = ∫(4x^3 - 3x^{-4}) dx$
$=4∫x^3 dx-3∫x^{-4} dx$
$=4 x^{3+1}/{3+1} -3 x^{{-4}+1}/{{-4}+1} +C$
$=4 {x^4}/4 - 3 x^{-3}/{-3} +C$
$=x^4+x^{-3} +C$
$f(x)=x^4+1/{x^3} +C$ ,eq(1)
Now, ∵ $f(2)=0$
∴ $f(2)=2^4 + 1/{2^3} +C$
$16+1/8+C=0$
${128+1+8C}/8=0$
$128+1+8C=0$
$129+8C=0$
$8C= {-129}$
$C= {-129}/8$
$C= {-129}/8$ समी (1) में रखने पर —
$f(x)=x^4 + 1/{x^3} + {-129}/8$
$f(x)=x^4 + 1/{x^3} - {129}/8$, Ans.
$=∫{x^2 (x-1)+1(x-1)}/(x-1) dx$
$=∫{(x-1)(x^2+1)}/{x-1} dx$
$=∫(x^2+1) dx$
$=∫x^2 dx+ ∫1 dx$
$={x^{2+1}}/{2+1}+ x+C$
$={x^3}/3+ x+C$ Ans.
14. $∫(1-x) √x dx$
हल :-
$∫(1-x) √x dx$
$=∫(√x-x√x) dx$
$=∫(x^{1⁄2} -x^{3⁄2}) dx$
$=∫x^{1⁄2} dx-∫x^{3⁄2} dx$
$={x^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1} - {x^{3⁄2+1}}/{3⁄2+1}+C$
$={x^{3∕2}}/{3⁄2} - {x^{5⁄2}}/{5⁄2}+C$
$=2/3 x^{3⁄2} - 2/5 x^{5⁄2}+C$ Ans.
15. $∫√x (3x^2+2x+3) dx$
हल :-
$∫√x (3x^2 + 2x + 3) dx$
$=∫(3x^2 .√x + 2x.√x + 3√x) dx$
$=∫(3x^{2+1⁄2} + 2x^{1+1⁄2} +3x^{1⁄2}) dx$
$=∫(3x^{5⁄2} + 2x^{3⁄2} +3x^{1⁄2}) dx$
$=3∫x^{5⁄2} dx + 2∫x^{3⁄2} dx+3∫x^{1⁄2} dx$
$=3 {x^{5⁄2+1}}/{1⁄2+1} + 2 {x^{3⁄2+1 }}/{3⁄2+1} + 3 {x^{1⁄2+1}}/{1⁄2+1}+C$
$=3 {x^{7∕2}}/{7⁄2} +2 {x^{5⁄2}}/{5⁄2} +3 {x^{3∕2}}/{3⁄2} +C$
$=6/7 x^{7⁄2} + 4/5 x^{5⁄2} +2x^{3⁄2}+C$ Ans.
16. $∫(2x-3cosx+e^x) dx$
हल :-
$∫(2x-3cosx+e^x) dx$
$= 2∫x dx-3∫cosx dx+ ∫e^x dx$
$=2 {x^{1+1}}/{1+1} - 3 sinx+e^x+C$
$=2 x^2/2 - 3 sinx + e^x + C$
$=x^2-3 sinx+e^x+C$ Ans.
17. $∫(2x^2-3sinx+5√x) dx$
हल :-
$∫(2x^2-3sinx+5√x) dx$
$=∫(2x^2-3sinx+5x^{1⁄2}) dx$
$= 2∫x^2 dx-3∫sinx dx+ 5∫x^{1⁄2} dx$
$=2 {x^{2+1}}/{2+1} -3 (-cosx)+5 {x^{1⁄2+1 }}/{1⁄2+1} +C$
$=2 {x^3}/3+3 cosx+5 {x^{3∕2}}/{3⁄2} +C$
$=2/3 x^3+3 cosx + 10/3 x^{3∕2} +C$ Ans.
18. $∫secx(secx+tanx) dx$
हल :-
$∫secx(secx+tanx) dx$
$=∫(sec^2x+secx. tanx) dx$
$=∫sec^2 x dx + ∫secx .tanx dx$
$= tanx+ secx+C$ Ans.
19. $∫{sec^2 x}/{cosec^2 x} {dx}$
हल :-
$∫{{sec^2 x}/{cosec^2 x}} {dx}$
$=∫{1/{cos^2 x}}/{1/{sin^2 x}} dx$
$=∫{sin^2 x}/{cos^2 x} dx$
$=∫tan^2 x dx$
$=∫(sec^2 x - 1) dx$
$=tanx-x-C$ Ans.
20. $∫{{2-3sinx}/{cos^2 x}} {dx}$
हल :-
$∫{2-3sinx}/{cos^2 x} {dx}$
$=∫{2/{cos^2 x}} - {3sinx}/{cosx. cosx} dx$
$=2∫sec^2 x dx - 3∫secx .tanx dx$
$=2tanx-3secx+C$ Ans.
प्रश्न $21$ एवं $22$ में सही उत्तर का चयन कीजिए :
21. $(√x+1/{√x})$ का प्रतिअवकलज है :
(A) $1/3 x^{1⁄3} +2x^{1∕2} +C$ (B) $2/3 x^{2/3} + 1/2 x^2+C$
(C) $2/3 x^{3⁄2} +2x^{1/2} +C$
(D) $2/3 x^{1/2}+2x^{1/2} +C$
हल :-
$∫(√x+1/{√x}) dx = ∫(x^{1⁄2} +x^{{-1}⁄2}) {dx}$
$=∫x^{1⁄2} dx+∫x^{{-1}⁄2} dx$
$=x^{1⁄2+1}/{1⁄2+1} +x^{{-1}⁄2 +1 }/{{-1}⁄2+1} +C$
$=x^{3∕2}/{3⁄2} +x^{1⁄2}/{1⁄2}+C$
$=2/3 x^{3/2}+2x^{1/2}+C$
अतः सही उत्तर : विकल्प (C) $2/3 x^{3/2} +2x^{1/2} +C$ Ans.
22. यदि $d/{dx} f(x)=4x^3 - 3/{x^4}$ जिसमें $f(2)=0$ है तो $f(x)$ है :
(A) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(B) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(C) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
(D) $x^4+1/{x^3} -{129}/8$
हल :-
$d/{dx} f(x)=4x^3 - 3/{x^4}$
$d/{dx} f(x) = 4x^3 - 3x^{-4}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर —
$f(x) = ∫(4x^3 - 3x^{-4}) dx$
$=4∫x^3 dx-3∫x^{-4} dx$
$=4 x^{3+1}/{3+1} -3 x^{{-4}+1}/{{-4}+1} +C$
$=4 {x^4}/4 - 3 x^{-3}/{-3} +C$
$=x^4+x^{-3} +C$
$f(x)=x^4+1/{x^3} +C$ ,eq(1)
Now, ∵ $f(2)=0$
∴ $f(2)=2^4 + 1/{2^3} +C$
$16+1/8+C=0$
${128+1+8C}/8=0$
$128+1+8C=0$
$129+8C=0$
$8C= {-129}$
$C= {-129}/8$
$C= {-129}/8$ समी (1) में रखने पर —
$f(x)=x^4 + 1/{x^3} + {-129}/8$
$f(x)=x^4 + 1/{x^3} - {129}/8$, Ans.
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End
Exercise 7.1 - Completely Solved.
End
Exercise 7.1 - Completely Solved.
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