फलन एवं सम्बंध | प्रश्नावली 1.2 | NCERT समाधान Class Math 12th Chapter 1 Exercise 1.2 UP Board Hindi Medium
1 सम्बंध एवं फलन | सॉल्यूशन प्रश्नावली 1.2 | NCERT Math Class 12 Chapter 1 Exercise 1.2 all questions UP Board Hindi Medium
| Book | NCERT |
|---|---|
| Class | 12th |
| Subject | Math |
| Chapter Name | 1 सम्बन्ध एवं फलन |
| Exercise | 1.2 |
| Catagory | Class 12 math notes in Hindi |
| Medium | Hindi (UP Board) |
अध्याय 1 सम्बंध एवं फलन | प्रश्नावली 1.2 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
1. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=1/2$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R_*→R$ एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $R_*$ सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $R_*$ को $N$ से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $R_*$ ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
2. निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
(i) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है।
(ii) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$ फलन है।
(iii) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: R→R$ फलन है।
(iv) $f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है।
(v) $f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$ फलन है।
3. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन $f: R→R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x],x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
4. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|x|$ द्वारा प्रदत्त मापांक फलन $f: R→R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $|x|$ बराबर $x$, यदि $x$ धन या शून्य है तथा $|x|$ बराबर $-x$, यदि $x$ ऋण है।
5. सिद्ध कीजिए कि $f: R→R$, $f(x)={■(1,&यदि x>0@0,&यदि x=0 @-1,& यदि x<0 )┤$ द्वारा प्रदत्त चिह्न फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
6. मान लीजिए कि $A={1,2,3},B={4,5,6,7}$ तथा $f={(1,4),(2,5),(3,6)}, A$ से $B$ तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f$ एकैकी है।
7. निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
(i) $f(x)=3-4x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R→R$ है।
(ii) $f(x)=1+x^2$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R→R$ है।
8. मान लीजिए कि $A$ तथा $B$ दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि $f: A×B→ B×A$ , इस प्रकार कि $f(a,b)=(b,a)$ एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
9. मान लीजिए कि समस्त $n∈ N$ के लिए
$f(n)={■((n+1)/2,&यदि n विषम है @n/2,& यदि n सम है)┤$
द्वारा परिभाषित एक फलन $f: N→N$ है। बतलाइए कि क्या फलन $f$ एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
10. मान लीजिए कि $A= R-{3}$ तथा $B= R-{1}$ हैं। $f(x)=((x-2)/(x-3))$ द्वारा परिभाषित फलन $f: A→ B$ पर विचार कीजिए। क्या $f$ एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
11. मान लीजिए कि $f: R→R, f(x)= x^4$ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।
(A) $f$ एकैकी आच्छादक है
(B) $f$ बहुएक आच्छादक है
(C) $f$ एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है
(D) $f$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
12. मान लीजिए कि $f(x)=3x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R→R$ है। सही उत्तर चुनिएः
(A) $f$ एकैकी आच्छादक है
(B) $f$ बहुएक आच्छादक है
(C) $f$ एकैकी है परंतु आच्छादक नहीं है
(D) $f$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
Handwritten Notes | प्रश्नावली 1.2 | फलन एवं सम्बन्ध कक्षा 12 गणित
12th NCERT Math Chapter 1 Exercise 1.2 का सम्पूर्ण समाधान/Solution || Computer Typed Notes
1. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=1/2$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R_*→R$ एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ $R_*$ सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत $R_*$ को $N$ से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत $R_*$ ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
हल :-
दिया है: $f(x)=1/x$$f:R→R$
एकैकी के लिए – यदि $x_1,x_2∈R$
यदि $f(x_1)=f(x_2)$
$1/x_1 =1/x_2$
$x_1=x_2$
अतः $f$ एकैकी फलन है।
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=1/x$
$x=1/y ,y≠0$
प्रश्नानुसार, प्रत्येक अवयव का एक ही प्रतिचित्रण है। अर्थात् परिसर = सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन है। Ans.
Condition 2:- यदि प्रान्त $R$ को $N$ से बदल दिया जाए तो —
$f:N→R$
एकैकी के लिए – यदि $x_1,x_2∈N$
यदि $f(x_1)=f(x_2)$
$1/x_1 =1/x_2$
$x_1=x_2 ,∀ x_1& x_2∈N$
अतः f एकैकी फलन है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=1/x$
$x=1/y ,y≠0$
यदि $y=2$ तो $x=1/2∉N$
∵ 2 का प्रतिचित्रण प्रान्त में नहीं है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
2. निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए:
(i) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है।
(ii) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$ फलन है।
(iii) $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: R→R$ फलन है।
(iv) $f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है।
(v) $f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$ फलन है।
हल 2(i) :—
दिया है: $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है।$f: N→ N$
$1→ 1$
$2→ 4$
$3→ 9$
$x→ y=x^2$
एकैकी के लिए – यदि $x_1,x_2∈N$
यदि $f(x_1 )=f(x_2)$
$x_1^2=x_2^2$
$x_1=x_2 ,∀ x_1& x_2∈N$
अतः $f$ एकैकी फलन है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना f(x)=y
$y=x^2$
$x=√y$
$f: N→ N$
$√1→ 1$
$√2→ 2$
∵ $2∈N$ तथा $√2∉N$
∵ 2 का प्रतिचित्रण $√2∉N$ प्रान्त में नहीं है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
हल 2(ii) :—
दिया है: $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$ फलन है।एकैकी के लिए – ∵ $1,-1∈Z$
$f: Z→ Z$
∵ $f(1)=1^2=1$
∵ $f(-1)=(-1)^2=1$
जबकि $1≠-1$
अतः $f$ एकैकी फलन नहीं है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=x^2$
$x=√y$
∵ $2∈Z$ तथा $√2∉Z$
∵ 2 प्रान्त के प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण $√2∉Z$ सहप्रान्त में मौजूद नहीं है। अर्थात्
परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
हल 2(iii) :—
दिया है: $f(x)=x²$ द्वारा प्रदत्त $f: R→R$ फलन है।एकैकी के लिए – $1,-1∈R$
$f(1)=1^2=1$
$f(-1)=(-1)^2=1$
जबकि $1≠-1$
अतः $f$ एकैकी फलन नहीं है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=x^2$
$x=√y$
∵ $3∈R$ तथा $√(-3)∉R$
∵ 3 का प्रतिचित्रण $√(-3)∉R$ प्रान्त में नहीं है। अर्थात् $y$ का ऐसा कोई मान नहीं है कि $x=-3$ हो।
∴ परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
हल 2(iv) :—
दिया है: $f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त $f: N→ N$ फलन है।$f: N→ N$
$1→ 1^3=1$
$2→2^3=8$
$3→3^3=27$
$x→ y=x^3$
एकैकी के लिए – यदि $x_1,x_2∈N$
यदि $f(x_1)=f(x_2)$
$x_1^3=x_2^3$
$x_1=x_2 ,∀ x_1& x_2∈N$
अतः $f$ एकैकी फलन है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=x^3$
$x=y^(1⁄3)$
$f: N→ N$
$1^(1⁄3)=1→ 1$
$2^(1⁄3)∉N→ 2$
∵ $2∈N$ तथा $2^(1⁄3)∉N$
∵ $2∈N$ का प्रतिचित्रण $2^(1⁄3)∉N$ प्रान्त में नहीं है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
हल 2(v) :—
$f(x)=x^3$ द्वारा प्रदत्त $f: Z→ Z$ फलन है।एकैकी के लिए – यदि $x_1,x_2∈N$
यदि $f(x_1 )=f(x_2)$
$x_1^3=x_2^3$
$x_1=x_2 ,∀ x_1& x_2∈Z$
अतः $f$ एकैकी फलन है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=x^3$
$x=y^(1⁄3)$
$f: N→ N$
$2^(1⁄3)∉Z→ 2$
∵ $2∈N तथा 2^(1⁄3)∉N$
∵ $2∈N$ का प्रतिचित्रण $2^(1⁄3)∉N$ प्रान्त में नहीं है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
3. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन $f: R→R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $[x],x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
हल :-
दिया है: $f(x)=[x]$ द्वारा प्रदत्त $f: R→R$ फलन है।सिद्ध करना है- $R$ न एकैकी है और न ही आच्छादक है।
एकैकी के लिए –
$f: R→ R$
$1.6→ 1$
$1.9→ 1$
$-1.5→ -2$
-1.9→ -2
x→ y=[x]
∵ $f(1.6)=1$
$f(1.9)=1$
जबकि $1.6≠1.9$
अतः $f$ एकैकी फलन नहीं है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=[x]$
$f: R→ R$
$1.6→ 1$
$1.9→ 1$
$(┤)→0$
$(┤)→-1$
$-1.5→ -2$
$-1.9→ -2$
$x→ y=[x]$
∵ प्रान्त $x∈R$ का प्रतिचित्रण पूर्णांक है। अतः प्रान्त के बहुत से अवयवों का प्रतिचित्रण सहप्रान्त में मौजूद नहीं है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
4. सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|x|$ द्वारा प्रदत्त मापांक फलन $f: R→R$, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ $|x|$ बराबर $x$, यदि $x$ धन या शून्य है तथा $|x|$ बराबर $-x$, यदि $x$ ऋण है।
हल :-
दिया है: $f: R→R$,$F(x)=|x|={■(x,&if x≥0@-x,&if x≤0 )┤$
सिद्ध करना है- $f$ न एकैकी है और न ही आच्छादक है।
एकैकी के लिए –
$f(x)=[x]$
$f: R→ R$
$1→|1|= 1$
$1→|-1|=1$
जबकि $1≠-1$
अतः $f$ एकैकी फलन नहीं है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=[x]$
$f: R→ R$
$(┤)→-2$
$(┤)→-1$
$(┤)→0$
$1→ 1$
$-1→ 1$
$(┤)→2$
$(┤)→-1$
$√3→√3$
$x→ y=[x]$
∵ सहप्रान्त के बहुत से अवयवों का प्रतिचित्रण प्रान्त में मौजूद नहीं है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
5. सिद्ध कीजिए कि $f: R→R$, $f(x)={■(1,&यदि x>0@0,&यदि x=0 @-1,& यदि x<0 )┤$ द्वारा प्रदत्त चिह्न फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल :-
दिया है: $f: R→R$,$f(x)={■(1,&यदि x>0@0,&यदि x=0 @-1,&यदि x<0 )┤$
सिद्ध करना है- $f$ न एकैकी है और न ही आच्छादक है।
एकैकी के लिए –
$f: R→ R$
$1→ 1$
$2→1$
$3→ 1$
$0→0$
$-1→ -1$
$-2→-1$
$(┤)→√3$
$x→y$
$f(1)=1$
$f(2)=1$
$f(0)=0$
$f(-1)=-1$
जबकि $1≠2$
अतः $f$ एकैकी फलन नहीं है। Ans.
आच्छादक के लिए – ∵ $√3∈R$
∵ $√3∈R$ का प्रतिचित्रण प्रान्त में मौजूद नहीं है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः $f$ आच्छादक फलन नहीं है। Ans.
6. मान लीजिए कि $A={1,2,3},B={4,5,6,7}$ तथा $f={(1,4),(2,5),(3,6)}, A$ से $B$ तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f$ एकैकी है।
हल :-
दिया है: $A={1,2,3}$$B={4,5,6,7}$
$f={(1,4),(2,5),(3,6)}$
सिद्ध करना है- $f$ एकैकी है।
एकैकी के लिए –
$f: A→ B$
$1→ 4$
$2→5$
$3→ 6$
$(┤)→7$
$f(1)=4$
$f(2)=5$
$f(3)=6$
यहां प्रान्त का प्रत्येक अवयव सहप्रान्त में अलग (unique) प्रतिबिंब दे रहा है।
अतः $f$ एकैकी फलन है। Ans.
7. निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
(i) $f(x)=3-4x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R→R$ है।
(ii) $f(x)=1+x^2$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R→R$ है।
हल (i):—
$f(x)=3-4x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R→R$ है।एकैकी के लिए –
$f: R→ R$
$0→3$
$1→-1$
$√3→3-4√3$
यदि $f(x_1 )=f(x_2)$
$3-4x_1=3-4x_2$
$-4x_1=-4x_2$
$x_1=x_2,∀x_1,x_2∈R$
अतः $f$ एकैकी फलन है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=3-4x$
$y-3=-4x$
$3-y=4x$
$(3-y)/4= x$
$f: R→ R
$3⁄4→0$
$1⁄2→1$
$(3-√3)/4→√3$
$(3-y)/4→y$
∵ सहप्रान्त के प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण प्रान्त में स्थित है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः दिया गया फलन $f$ एकैकी व आच्छादक फलन है अर्थात एकैकी व आच्छादी है। Ans.
हल (ii):—
दिया है: $f(x)=1+x^2$$f: R→R$
एकैकी के लिए –
$2→ 5$
$-2→5$
∵ $f(2)=1+(2)^2=5$
∵ $f(-2)=1+(-2)^2=5$
जबकि $2≠-2$
अतः $f$ एकैकी फलन नहीं है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=3-4x$
$1+x^2=y$
$x^2=y-1$
$x=√(y-1)$
$f: R→ R$
$√(2-1)→2$
$√(-4-1)=√(-5 )→-4$
$x=√(y-1)→y$
∵ -4∈R का प्रतिचित्रण प्रान्त में नहीं है। अर्थात् परिसर ≠ सहप्रान्त
अतः फलन $f$ आच्छादक नहीं है। Ans.
अतः दिया गया फलन $f$ न एकैकी और न ही आच्छादक फलन है अर्थात एकैकी व आच्छादी नहीं है। Ans.
8. मान लीजिए कि $A$ तथा $B$ दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि $f: A×B→ B×A$ , इस प्रकार कि $f(a,b)=(b,a)$ एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
हल :-
दिया है: $A$ व $B$ दो समुच्चय हैं।$f(a,b)=(b,a)$
$f: A×B→ B×A$
एकैकी के लिए – यदि $a_1,a_2∈A$ तथा $b_1,b_2∈B$
यदि $f(a_1,b_1 )=f(a_2,b_2)$
$(a_1,b_1 )=(a_2,b_2)$
तुलना करने पर —
$a_1=a_2$
$b_1=b_2$
अतः $f$ एकैकी फलन है। Ans.
आच्छादक के लिए – $f: A×B→ B×A$
$(a,b)→(b,a)$
$(c,d)→(d,c)$
…→⋯
∵ प्रश्नानुसार सहप्रान्त के प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण प्रान्त में मौजूद है। अर्थात् परिसर = सहप्रान्त
अतः फलन $f$ आच्छादक है। Ans.
अतः $f: A×B→ B×A$ एकैकी व आच्छादी फलन है। Ans.
9. मान लीजिए कि समस्त $n∈ N$ के लिए
$f(n)={■((n+1)/2,&यदि n विषम है @n/2,& यदि n सम है)┤$
द्वारा परिभाषित एक फलन $f: N→N$ है। बतलाइए कि क्या फलन $f$ एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल :-
दिया है: $f(n)={■((n+1)/2,&यदि n विषम है @n/2,& यदि n सम है)┤$$f: N→N$
एकैकी के लिए –
∵ $f(1)=(1+1)/2=2/2=1$, (n=1 विषम है।)
∵ $f(2)=2/2=1$, (n=2 सम है।)
जबकि $1≠2$
अतः $f$ एकैकी फलन नहीं है। Ans.
आच्छादक के लिए – $f:N→N$
$1→1$
$2→2$
$3→2$
$4→4$
$5→3$
$6→3$
$x→y$
∵ प्रान्त के प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण सहप्रान्त में मौजूद है। अर्थात् परिसर = सहप्रान्त
अतः फलन $f$ आच्छादक है।
अतः $f$ एकैकी व आच्छादी फलन है। Ans.
10. मान लीजिए कि $A= R-{3}$ तथा $B= R-{1}$ हैं। $f(x)=((x-2)/(x-3))$ द्वारा परिभाषित फलन $f: A→ B$ पर विचार कीजिए। क्या $f$ एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल :-
दिया है – $A= R-{3}$ तथा $B= R-{1}$$f(x)=((x-2)/(x-3))$
$f∶ A→B$
एकैकी के लिए — यदि $x_1,x_2∈A$
$f(x_1 )=f(x_2)$
$(x_1-2)/(x_1-3)=(x_2-2)/(x_2-3)$
$(x_1-2)(x_2-3)=(x_2-2)(x_1-3)$
$x_1 x_2-2x_2-3x_1+6= x_1 x_2-2x_1-3x_2+6$
$-2x_2-3x_1=-2x_1-3x_2$
$-2x_2+3x_2-3x_1+2x_1=0$
$x_2-x_1=0$
$x_2=x_1$
या $x_1=x_2$
अतः फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक के लिए –
$1→1⁄2$
$2→0$
$4→2$
$R-{3}→R-{1}$
$x→y=(x-2)/(x-3)$
∵ सहप्रान्त के प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण प्रान्त में मौजूद है। अर्थात् परिसर = सहप्रान्त
अतः $f$ एकैकी व आच्छादक फलन है। Ans.
11. मान लीजिए कि $f: R→R, f(x)= x^4$ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।
(A) $f$ एकैकी आच्छादक है
(B) $f$ बहुएक आच्छादक है
(C) $f$ एकैकी है किंतु आच्छादक नहीं है
(D) $f$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल :-
दिया है: $f(x)=x^4$$f: R→R$
एकैकी के लिए –
$f: R→R$
$1→1$
$-1→-1$
$x→y=x^(1⁄4)$
∵ $f(1)→1$
$f(-1)→1$
जबकि $1≠-1$
अतः $f$ एकैकी फलन नहीं है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$x^4=y$
$x=y^(1⁄4)$
$f: R→R$
$(-2)^(1⁄4 )→-2$
∵ $-2$ का प्रतिचित्रण प्रान्त में मौजूद नहीं है। अर्थात् परिसर = सहप्रान्त
अतः फलन $f$ आच्छादक नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) $f$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है। Ans.
12. मान लीजिए कि $f(x)=3x$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R→R$ है। सही उत्तर चुनिएः
(A) $f$ एकैकी आच्छादक है
(B) $f$ बहुएक आच्छादक है
(C) $f$ एकैकी है परंतु आच्छादक नहीं है
(D) $f$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल :-
दिया है: $f(x)=3x$$f: R→R$
एकैकी के लिए –
$f: R→R$
$0→0$
$1→3$
$-1→-3$
$-2→-6$
$x→y=3x$
∵ सहप्रान्त के प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण अलग (unique) है।
अतः f एकैकी फलन है। Ans.
आच्छादक के लिए – माना $f(x)=y$
$y=3x$
$x=y/3$
$f: R→R$
$0→0$
$1→3$
$-1→-3$
$-2→-6$
$x=y/3→y$
∵ सहप्रान्त के सभी अवयवों का प्रतिचित्रण प्रान्त में मौजूद है। अर्थात् परिसर = सहप्रान्त
अतः फलन $f$ आच्छादक है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (A) $f$ एकैकी आच्छादक है। Ans.
Special Computer Typed and Handwritten Notes on Exercise 1.2 (Completely Solved).
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