फलन एवं सम्बंध | प्रश्नावली 1.3 | NCERT समाधान Class Math 12th Chapter 1 Exercise 1.3 UP Board Hindi Medium

1. मान लीजिए कि $f:${$1,3,4$}→{$1,2,5$} तथा $g:${$1,2,5$}→{$1,3$}, $f=$ {$(1,2),(3,5),(4,1)$} तथा $g=${$(1,3),(2,3),(5,1)$} द्वारा प्रदत्त हैं। $gof$ ज्ञात कीजिए।

हल :– $f:${$1,3,4$}→{$1,2,5$}
$g:${$1,2,5$}→{$1,3$}
$f=${$(1,2),(3,5),(4,1)$}
$g=${$(1,3),(2,3),(5,1)$}
$gof=?$
$f(1)=2,f(3)=5,f(4)=1$
$g(1)=3,g(2)=5,g(5)=1$
$gof(1)=g[f(1)]=g(2)=3$
$gof(3)=g[f(3)]=g(5)=1$
$gof(4)=g[f(4)]=g(1)=3$
अतः $gof=${$(1,3),(3,1),(4,3)$}

 

2. मान लीजिए कि $f, g$ तथा $h, R$ से $R$ तक दिए फलन हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) $(f+g)oh= foh+ goh$
(ii) $(f.g)oh=(foh).(goh)$

हल :– (i) $(f+g)oh= foh+ goh$
दिया है:  $f, g, h∶ R→R$
सिद्ध करना है: $(f+g)oh= foh+ goh$
बायां पक्ष लेने पर –
$LHS= (f+g)oh$
$={(f+g)oh}(x)$
$={foh+goh}(x)$
$=foh(x)+goh(x)$
$=goh+goh$
$= RHS$
अतः $(f+g)oh= foh+ goh, Proved.$

(ii) $(f.g)oh=(foh).(goh)$
दिया है:  $f, g, h ∶ R→R$
सिद्ध करना है: $(f.g)oh=(foh).(goh)$
बायां पक्ष लेने पर –
$LHS= (f.g)oh$
$={(f.g)oh}(x)$
$={foh.goh}(x)$
$=(foh)(x).(goh)(x)$
$=(goh).(goh)$
$= RHS$
अतः $(f.g)oh=(goh).(goh), Proved.$

 

3. $gof$  तथा $fog$ ज्ञात कीजिए, यदि
(i) $f(x)=|x|$ तथा $g(x)=|5x-2|$
(ii) $f(x)=8x^3$ तथा $g(x)= x^3$

हल :– (i) $f(x)=|x|$ तथा $g(x)=|5x-2|$
$gof=?, fog=?$
$gof=g{f(x)}= g|x|=|(5|x|-2)|$, Ans.
$fog=f{g(x)}=f(|5x-2|)=|(|5x-2|)|$, Ans.

(ii) $f(x)=8x^3$ तथा $g(x)= x^3$
$gof=?, fog=?$
$gof=g[f(x)]$
$= g(8x^3)$
$={8x^3)}^{1⁄3}$
$={[{(2x)}^3]}^{1⁄3}$
$=2x$, Ans.

$fog=f{g(x)}$
$=f(x^{1⁄3})$
$=8(x^{1⁄3})$
$=8x$, Ans.

 

4. यदि $f(x)={4x+3}/{6x-4}, x≠2/3$, तो सिद्ध कीजिए कि सभी $x≠2/3$ के लिए $fof(x)= x$ है। f का प्रतिलोम फलन क्या है?

हल :– (i) $f(x)={4x+3}/{6x-4}, x≠2/3$ 
सिद्ध करना है: $fof(x)=x$
$LHS=fof(x)$
$= f{f(x)}$
$= f [{4x+3}/{6x-4}]$
$={4[{4x+3}/{6x-4}]+3}/{6[{4x+3}/{6x-4}]-4}$

$={{[4(4x+3)+3(6x-4)]}/{6x-4}}/{{[6(4x+3)-4(6x-4)]}/{6x-4}}$

$={16x+12+18x-12}/{24x+18-24x+16}$
$={34x}/{34}$
$=x$
$=RHS$
अतः $fof(x)=x$
$f$ के प्रतिलोम फलन के लिए –
∵ $fof(x)=x$
अतः $f$ का प्रतिलोम स्वयं $f$ है। अर्थात –
$f^{-1}=f={4x+3}/{6x-4}$ ,Ans.

 

5. कारण सहित बतलाइए कि क्या निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम हैं:
(i) $f:${$1,2,3,4$}→{$10$} जहाँ $f=${$(1,10),(2,10),(3,10),(4,10)$}
(ii) $g:${$5,6,7,8$}→{$1,2,3,4$}  जहाँ $g=${$(5,4),(6,3),(7,4),(8,2)$}
(iii) $h:${$2,3,4,5$}→{$7,9,11,13$} जहाँ $h=${$(2,7),(3,9),(4,11),(5,13)$}

हल :– $(i) f:${$1,2,3,4$}→{$10$}  जहाँ $f=${$(1,10),(2,10),(3,10),(4,10)$}
$f:${$1,2,3,4$}→{$4,10$}
$f=${$(1,10),(2,10),(3,10),(4,10)$}
$1→10$
$2→10$
$3→10$
$4→10$
$f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=10$
लेकिन $1≠2≠3≠4$
यहां $f $ एकैकी नहीं है।
अतः $f$ का प्रतिलोम नहीं है। Ans.

 

6. सिद्ध कीजिए कि $f:[-1,1]→R,f(x)=x/(x+2)$, द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन $f:[-1,1]$→($f$ का परिसर), का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
(संकेत $y∈$ परिसर $f$,के लिए, $[-1,1]$ के किसी $x$ के अंतर्गत $y= f(x)=x/{x+2}$,अर्थात् $x={2y}/{1-y}$

हल:– दिया है: $f:[-1,1]→R$
$f(x)=x/{x+2}$
एकैकी के लिए – $f(x_1)=f(x_2)$
$x_1/(x_1+x_2 )=x_2/(x_2+2)$
$(x_2+2) x_1=(x_1+2) x_2$
$x_1 x_2+2x_1=x_1 x_2+2x_2$
$2x_1=2x_2$
$x_1=x_1$
अतः $f$ एकैकी है।

आच्छादक के लिए –  माना $f(x)=y$
$y=x/{x+2}$
$(x+2)y=x$
$xy+2y=x$
$xy-x=-2y$
$x(y-1)=-2y$
$x=(-2y)/(y-1)=(-2y)/(-(1-y) )$
$x=2y/(1-y)  ,y≠0$
∴ $f^(-1) (x)=g(y)$
$f^(-1) (x)=2y/(1-y)$, Ans.

 

7. $f(x)=4x+3$ द्वारा प्रदत्त फलन $f:R→R$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

हल:– दिया है: $f(x)=4x+3$
$f:R→R$
सिद्ध करना है: $f$ व्युत्क्रमणीय है।
फलन $f$ व्युत्क्रमणीय होगा यदि $f$ एक एकैकी व आच्छादक फलन हो।
एकैकी के लिए – $f(x_1)=f(x_2)$
$4x_1+3=4x_2+3$
$4x_1=4x_2$
$x_1=x_1$
अतः $f$ एकैकी है।

आच्छादक के लिए –  माना $f(x)=y$
$y=4x+3$
$y-3=4x$
${y-3}/4=x$
or, $x={y-3}/4$
∴ $f^(-1) (x)=g(y)$
$f^(-1) (x)={y-3}/4$
$[█(R→R@-3⁄4→0@-1⁄2→1@-1⁄4→2@x=(y-3)/4→y)]$
∵ सहप्रांत के प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण प्रान्त में स्थित है।
∴ अतः $f$ आच्छादक है।
अतः $f$ एकैकी व आच्छादक दोनों है।
अतः व्युत्क्रमणीय फलन $f^(-1) (y)=g(y)=(y-3)/4$, Ans.

 

8. $f(x)= x^2+4$ द्वारा प्रदत्त फलन $f:R_+ → [4,∞]$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है तथा $f$ का प्रतिलोम $f^(-1), f^(-1) (y)=√(y-4)$ , द्वारा प्राप्त होता है, जहाँ $R_+$ सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

हल:– दिया है: $f(x)= x^2+4$
$f:R→R$
सिद्ध करना है: $f$ व्युत्क्रमणीय है।
फलन $f$ व्युत्क्रमणीय होगा यदि $f$ एक एकैकी व आच्छादक फलन हो।
एकैकी के लिए – $f(x_1)=f(x_2)$
$x_1^2+4=x_2^2+4$
$x_1^2=x_2^2$
$x_1=x_1$
अतः $f$ एकैकी है।

आच्छादक के लिए –  माना $f(x)=y$
$y=x^2+4$
$y-4=x^2$
$√(y-4)=x$
or, $x=√(y-4)$

  $[█(R→[4,∞]@0→4@1→5@2→6@x→y)]$
∵ सहप्रांत के प्रत्येक अवयव का प्रतिचित्रण प्रान्त में मौजूद है।
∴ अतः $f$ आच्छादक है।
अतः $f$ एकैकी व आच्छादक दोनों है। Proved.

∴ $f^(-1) (x)=g(y)$
$f^(-1) (x)=√(y-4)$ Proved.

 

9. $f(x)=9x^2+6x-5$ द्वारा प्रदत्त फलन $f: R→[-5,∞]$ पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है तथा $f^(-1) (y)=(((√(y+6))-1)/3)$ है।

हल:– $(√(y+6))-1=3x$
$(√(y+6)-1)/3=x$
$g(y)=(√(y+6)-1)/3$
$x$ का मान समी $f(x)$ में रखने पर —
$f((√(y+6)-1)/3)=x$
$=[3((√(y+6)-1)/3)+1]^2-6$
$=[√(y+6)-1+1]^2-6$
$=[√(y+6)]^2-6$
$=y+6-6$
$=y$
∴ अतः $f$ आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी व आच्छादक दोनों है। अतः $f$ का  प्रतिलोम विद्यमान है। Proved.

यहां $f(x)=9x^2+6x-5$
$f(x)=(3x+1)^2-6$
$g(y)=(√(y+6)-1)/3$
अब, $gof=gof(x)=g[f(x)]$
$=g[(3x+1)^2-6]$
$=  (√((3x+1)^2-6+6)-1)/3$
$=(√((3x+1)^2 )-1)/3$
$=(3x+1-1)/3$
$=3x/3=x=I_x$
तथा $fog=fog(x)=f[g(x)]$
$=f[(√(y+6)-1)/3]$
$=(3x+1)^2-6$
$=[3((√(y+6)-1)/3)+1]^2-6$
$=[√(y+6)-1+1]^2-6$
$=[√(y+6)]^2-6$
$=y+6-6=y=I_y$
∵ $gof=I_x$  तथा $fog=I_y$
∴ $f^(-1)=g=g(y)=(√(y+6)-1)/3$
Or, $f^(-1) (y)=(((√(y+6))-1)/3)$

 

10. मान लीजिए कि $f: X→ Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f$ का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है। (संकेतः कल्पना कीजिए कि $f$ के दो प्रतिलोम फलन g_1 तथा $g_2$ हैं। तब सभी $y∈Y$ के लिए $fog_1  (y)=I_y  (y)= fog_2 (y)$ है। अब f के एकैकी गुण का प्रयोग कीजिए)

हल:– दिया है: $f: X→ Y$, एक व्युत्क्रमणीय फलन है।
सिद्ध करना है: $f$ का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है।
माना यदि सम्भव हो तो $f$ के दो प्रतिलोम $g_1 (y)$ तथा $g_2 (y)$ हैं।
∴ $f$ एक एकैकी व आच्छादक फलन है।
अतः प्रतिलोम फलन भी एकैकी व आच्छादक फलन होगा।

∵ $fog_1 (y)=I_y$, eq(1)
∵ $fog_2 (y)=I_y$, eq(2)
अब, समी (1) और (2) से —
f^(-1) of=I_x  तथा fof^(-1)=I_y
अतः $(f^(-1) )^(-1)=f$, Proved.
$fog_1 (y)=fog_2 (y)$
$fo(g_1)=fo(g_2)$
$g_1=g_2$
अतः फलन $f$ का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है। Proved.

   

11. $f:{1,2,3}→{a,b,c}, f(1)= a,f (2)= b$ तथा $f(3)= c$.  द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए। $f^(-1)$ ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि $(f^(-1) )^(-1)=f$  है।

हल:– दिया है: {$1,2,3$}→{a,b,c}
$f(1)= a$
$f (2)= b$
$f (3)= c$
$f={(1,a),(2,b),(3,c)}$
∵ $f:x→y$
∴ $f^(-1):y→x$
$f(a)= 1$
$f (b)= 2$
$f (c)= 3$
∴ $f^(-1)={(1,a),(2,b),(3,c)}$
अतः $(f^(-1) )^(-1)=f$, Proved.

 

12. मान लीजिए कि $f: X→ Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है सिद्ध कीजिए कि $f^(-1)$ का प्रतिलोम f है अर्थात् $(f^(-1) )^(-1)=f$ है।

हल:– दिया है: $f:x→y$, एक व्युत्क्रमणीय फलन है।
सिद्ध करना है: $(f^(-1) )^(-1)=f$
∵ $f$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है।
∴ $f$ एक एकैकी व आच्छादक फलन है।
∴ प्रतिलोम फलन $(f^(-1) )$ भी एकैकी व आच्छादक फलन होगा।

∵ $gof(x)=I_x$, eq(1)
∵ $fog(y)=I_y$ ,eq(2)
∴ $g=f^(-1)$, eq(3), व्युत्क्रमणीय के लिए
अब, समी (1) और (2) से —
$f^(-1) of=I_x  तथा $fof^(-1)=I_y$
अतः $(f^(-1) )^(-1)=f$, Proved.

 

13. यदि $f: R→ R,f(x)=(3-x^3 )^(1/3)$, द्वारा प्रदत्त है, तो $fof(x)$ बराबर है।
(A) $x^(1/3)$
(B) $x^3$
(C) $x$
(D) $(3-x^3)$

$f:R→R$
$f(x)=(3-x^3 )^(1⁄3)$
$fof(x)=?$
$fof(x)=f[f(x)]$
$=f[(3-x^3  )^(1⁄3) ]$
$=[3-((3-x^3  )^(1⁄3) )^3 ]^(1⁄3)$
$=[3-(3-x^3 )]^(1⁄3)$
$=[3-3+x^3 ]^(1⁄3)$
$=[x^3 ]^(1⁄3)$
$=x$ ,Ans.
अतः सही उत्तर: विकल्प (C) $x$ ,Ans.

14. मान लीजिए कि $f(x)=4x/(3x+4)$ द्वारा परिभाषित एक फलन $f: R-{-4/3}→R$ है। f का प्रतिलोम, अर्थात् प्रतिचित्रण (Map)g∶परिसर $f: R-{-4/3}$, निम्नलिखित में से किसके द्वारा प्राप्त होगाः
(A) $g(y)=3y/(3-4y)$
(B) $g(y)=4y/(4-3y)$
(C) $g(x)=4y/(3-4y)$
(D) $g(y)=3y/(4-3y)$

हल :– $f(x)=4x/(3x+4)$
$f:R-{-3/4}→R$
माना $f(x)=y$
$y=4x/(3x+4)$
$4x=y(3x+4)$
$4x=3xy+4y$
$4x-3xy=4y$
$x(4-3y)=4y$
$x=4y/(4-3y)$
∴ $g(y)=4y/(4-3y)$
अतः सही उत्तर: विकल्प (B) $g(y)=4y/(4-3y)$, Ans.