Basics | Concepts | Examples | Class 12 Maths Chapter 1 Exercise 1.2 (फलन एवं सम्बंध)

फलन :–

जब किसी एक अरिक्त समुच्चय के सभी अवयवों का प्रतिचित्रण (pre- image) किसी दूसरे समुच्चय में उपस्थित हो तब इन्हें फलन कहा जाता है। अर्थात —

Example 1:-
1→2
2→4
3→6
4→8
5→10
f:A→B,A→B
यह एक फलन है।

Example 2:-
1⁄2→1
3→1
(┤)→2
4→3
f:A→B, A→B
यह एक फलन है।

Example 3:-
1→a
1→b
2→(┤)
3→c
f:A→B,A→B
यह एक फलन नहीं है।
 

किसी फलन के प्रान्त, सहप्रान्त तथा परिसर —

यदि R⊆ A×B
R={(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)}
प्रान्त (Domain)={1,2,3,4}
परिसर (Range)= {a,b,c,d}
सहप्रान्त (Co-domain)= {a,b,c,d,e}

फलन के प्रकार —

मुख्यतया फलन निम्नलिखित प्रकार के होते हैं।

(1) एकैकी फलन (One - One Function) :–

माना f(x)=2x+1
x→y
f:R→R
R→R
1→2
2→4
3→6
x→y
x_1→f(x_1)
x_2→f(x_2)
यदि f(x_1)=f(x_2)
x_1=x_2
तब फलन एकैकी होगा।

Example 1:–  f(x)=2x+1 

f(x_1 )=2x_1+1
f(x_2 )=2x_2+1
यदि f(x_1 )=f(x_2)
2x_1+1= 2x_2+1
2x_1= 2x_2
x_1= x_2
अतः दिया गया फलन f(x)=2x+1 एकैकी है।  

(2) बहुएक फलन (Many - One Function) :–

माना f(x)=x^2
f:R→R
1→1
-1→1
2→4
-2→4
x_1→f(x_1)
x_2→f(x_2)
यदि f(x_1 )=f(x_2)
x_1=x_2
x_1=-x_2
तब फलन बहुएक फलन होगा।

Example:–  f(x)=x^2 

f(x_1 )=x_1^2
f(x_2 )=x_2^2
यदि f(x_1)=f(x_2)
x_1^2=x_2^2
x_1^2-x_2^2
x_1= x_2
x_1=(-x)_2

अतः दिया गया फलन f(x)=x^2 बहुएक फलन है।  

(3) आच्छादक फलन (Onto Function) :–

f:A→B
a→1
b→2
c→3
d→4
सभी अवयवों का attachment होना चाहिए।
परिसर=सहप्रान्त
तब फलन आच्छादक फलन होगा।
 

(4) अन्तःक्षेपी फलन (Into Function) :–

f:A→B
a→1
b→2
c→3
d→4
(┤)→5
(┤)→6
जब सहप्रान्त का एक या एक से ज्यादा अवयव का attachment छूट जाए। अर्थात –
परिसर≠सहप्रान्त
तब फलन अन्तःक्षेपी फलन होगा।
 

(5) एकैकी आच्छादक फलन (One One Onto Function) :–

f:A→B
a→1
b→2
c→3
d→4

(6) एकैकी अन्तःक्षेपी फलन (One One Into Function) :–

f:A→B
a→1
b→2
c→3
d→4
(┤)→e

(7) बहुएक आच्छादक फलन (Many Onto Function) :–

f:A→B
a→1
a→2
c→3
c→4

(8) बहुएक अन्तःक्षेपी फलन (Many Into Function) :–

f:A→B
a→1
b→1
(┤)→2
c→3