Formula | Concept | Examples | Class 12 Maths Chapter 2 Exercise 2.1 (प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन)

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों के प्रान्त तथा परिसर      

फलन	प्रान्त	परिसर
$sin^{-1}x$	$[-1, 1]$	$[-π/2, π/2]$
$cos^{-1}x$	$[-1, 1]$	$[0, π]$
$tan^{-1}x$	$R-(-1, 1)$	$[-π/2, π/2]-{0}$
$cot^{-1}x$	$R-(-1, 1)$	$[0, π]-{π/2}$
$sec^{-1}x$	$R$	$(-π/2, π/2)$
$cosec^{-1}x$	$R$	$(0, π)$

त्रिकोणमितीय सारणी कक्षा 10 (त्रिकोणमितीय अनुपातों की सारणी)

कोण (θ)	0°	30°	45°	60°	90°
sinθ	0	$1/2$	$1/√2$	$√3/2$	1
cosθ	1	$√3/2$	$1/√2$	$1/2$	0
tanθ	0	$1/√3$	1	$√3$	∞
cotθ	∞	$√3$	1	$1/√3$	0
secθ	1	$2/√3$	$√2$	2	∞
cosecθ	∞	2	$√2$	$2/√3$	1

• $sin⁡(90°, 270°±θ)=cosθ$
• $sin⁡(180°, 360°±θ)=sinθ$

$sin(90- θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(90-θ)=cosθ$
• $cos⁡(90-θ)=sinθ$
• $tan⁡(90-θ)=cotθ$
• $cot⁡(90-θ)=tanθ$
• $sec⁡(90-θ)=cosecθ$
• $cosec⁡(90-θ)=secθ$

$sin (90+ θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(90-θ)=cosθ$
• $cos⁡(90-θ)=sinθ$
• $tan⁡(90-θ)=cotθ$
• $cot⁡(90-θ)=tanθ$
• $sec⁡(90-θ)=cosecθ$
• $cosec⁡(90-θ)=secθ$

$sin (π- θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(π-θ)=sinθ$
• $cos⁡(π-θ)=cosθ$
• $tan⁡(π-θ)=tanθ$
• $cot⁡(π-θ)=cotθ$
• $sec⁡(π-θ)=secθ$
• $cosec⁡(π-θ)=cosecθ$

$sin (π+ θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(π+θ)=sinθ$
• $cos⁡(π+θ)=cosθ$
• $tan⁡(π+θ)=tanθ$
• $cot⁡(π+θ)=cotθ$
• $sec⁡(π+θ)=secθ$
• $cosec⁡(π+θ)=cosecθ$

$sin (270- θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(270-θ)=cosθ$
• $cos⁡(270-θ)=sinθ$
• $tan⁡(270-θ)=cotθ$
• $cot⁡(270-θ)=tanθ$
• $sec⁡(270-θ)=cosecθ$
• $cosec⁡(270-θ)=secθ$

$sin (270+θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(270+θ)=cosθ$
• $cos⁡(270+θ)=sinθ$
• $tan⁡(270+θ)=cotθ$
• $cot⁡(270+θ)=tanθ$
• $sec⁡(270+θ)=cosecθ$
• $cosec⁡(270+θ)=secθ$

$sin (2π- θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(2π-θ)=sinθ$
• $cos⁡(2π-θ)=cosθ$
• $tan⁡(2π-θ)=tanθ$
• $cot⁡(2π-θ)=cotθ$
• $sec⁡(2π-θ)=secθ$
• $cosec⁡(2π-θ)=cosecθ$

$sin (2π+ θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(2π+θ)=sinθ$
• $cos⁡(2π+θ)=cosθ$
• $tan⁡(2π+θ)=tanθ$
• $cot⁡(2π+θ)=cotθ$
• $sec⁡(2π+θ)=secθ$
• $cosec⁡(2π+θ)=cosecθ$

$(- θ)$ के सूत्र

• $sin⁡(-θ)=-sinθ$
• $cos⁡(-θ)=cosθ$
• $tan⁡(-θ)=-tanθ$
• $cot⁡(-θ)=-cotθ$
• $sec⁡(-θ)=secθ$
• $cosec⁡(-θ)=-cosecθ$

Some Inverse Trigonometric Functions related Important Formulas

• $sin⁡(sin^{-1} x)=x ,x∈[-π/2,π/2]$
• $cos⁡({cos}^{-1} x)=x ,x∈[0,π]$
• $tan⁡(tan^{-1} x)=x ,x∈(-π/2,π/2)$
• $cot⁡({cot}^{-1} x)=x ,x∈(0,π)$
• $sec⁡({sec}^{-1} x)=x,x∈[0,π]-{π/2}$
• $cosec⁡({cosec}^{-1} x)=x,x∈[-π/2,π/2]-{0}$
• $sin^{-1}⁡(1/x)= cosec^{-1} x$
• $cos^{-1}⁡(1/x)= sec^{-1} x$
• $tan^{-1}(1/x)={cot}^{-1} x$
• $cot^{-1}⁡(1/x)={tan}^{-1} x$
• $sec^{-1}⁡(1/x)={cos}^{-1} x$
• $cosec^{-1}(1/x)={sin}^{-1} x$
• $sin^{-1}(-x)=- cosec^{-1} x$
• $cos^{-1}⁡(-x)=- sec^{-1} x$
• $tan^{-1}(-x)=-{cot}^{-1} x$
• $cot^{-1}⁡(-x)=-{tan}^{-1} x$
• $sec^{-1}(-x)=-{cos}^{-1} x$
• $cosec^{-1}⁡(-x)=-{sin}^{-1} x$
• $sin^{-1}⁡(-x)=π- cosec^{-1} x$
• $cos^{-1}(-x)=π- sec^{-1} x$
• $tan^{-1}(-x)=π-{cot}^{-1} x$
• $cot^{-1}⁡(-x)=π-{tan}^{-1} x$
• $sec^{-1}(-x)=π-{cos}^{-1} x$
• $cosec^{-1}⁡(-x)=π-{sin}^{-1} x$
• $sin^{-1}x+{cos}^{-1}x=π/2$
• $tan^{-1}x+{cot}^{-1}x=π/2$
• $cosec^{-1}x+sec^{-1}x=π/2$
• $tan^{-1}x+tan^{-1}⁡y=tan^{-1}[{x+y}/{1-xy}]$
• $tan^{-1}x-tan^{-1}y=tan^{-1}⁡[{x-y}/{1+xy}]$
• $tan^{-1}x+tan^{-1}y=π+tan^{-1}[{x+y}/{1-xy}]$
• $2 tan^{-1}x=tan^{-1}⁡[{2x}/{1-x^2}]$
• $2 tan^{-1}x=sin^{-1}[{2x}/{1+x^2}]$
• $2 tan^{-1}x=cos^{-1}⁡[{1-x^2}/{1+x^2 }]$
• $2 {sin}^{-1)}x={sin}^{-1} [2⁡x√(1-x^2 )]$
• $2{cos}^{-1}x={cos}^{-1} [2x^2-1]$
• $sin^2⁡θ+cos^2⁡θ=1$
• $sin^2⁡(θ/2)+cos^2⁡(θ/2)=1$
• $cos2θ=1-2{sin}^2⁡θ$
• $cos2θ=2 cos^2⁡θ-1={1+tan^2⁡θ}/{1-tan^2 θ}$
• $sin2θ=2sinθcosθ={2tanθ}/{1+tan^2 θ}$
• $⁡sin3θ=4 {cos}^3⁡θ-3cosθ$
• $cos3θ=3sinθ-4 {sin}^3⁡θ$
• $tan3θ={3tanθ-{tan}^3⁡θ}/{1-3{tan}^2 θ}$
• $sin^{-1}x+sin^{-1}⁡y=sin^{-1}⁡[x√(1-y^2 )+y√(1-x^2)]$
• $cos^{-1}x+cos^{-1}⁡y=cos^{-1}⁡[xy-√(1-x^2) √(1-y^2)]$

Some Important Substitution 

• यदि $√(1+x^2)$ तो $x=tanθ$ मानलो।
• यदि $√(1-x^2)$ तो $x=sinθ$ या $cosθ$ मानलो।
• यदि $√(x^2-1)$ तो $x=secθ$ मानलो।
• यदि $√(a^2-x^2)$ तो $x=asinθ$ मानलो।
• यदि $√(1-x)$ तो $x=cos2θ$ मानलो।
• यदि $√(1+x)$ तो $x=cos2θ$ मानलो।

मुख्य मान शाखा परिसर (Principal Value Range)

• ∵ $sin^{-1}⁡$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(-π/2,π/2)$ होता है।
• ∵ $cos^{-1}$⁡ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)$ होता है।
• ∵ $tan^{-1}$⁡ का मुख्य मान शाखा परिसर $(-π/2,π/2)$ होता है।
• ∵ $cot^{-1}$⁡ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)$ होता है।
• ∵ $sec^{-1}$⁡ का मुख्य मान शाखा परिसर $(0,π)-{π/2}$ होता है।
• ∵ $cosec^{-1}$ का मुख्य मान शाखा परिसर $(-π/2,π/2)-[0]$ होता है।