5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | सॉल्यूशन प्रश्नावली 5.6 | NCERT Math Class 12 Chapter 5 Exercise 5.6 all questions UP Board Hindi Medium

5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | सॉल्यूशन प्रश्नावली 5.6 | NCERT Math Class 12 Chapter 5 Exercise 5.6 all questions UP Board Hindi Medium


Book NCERT
Class 12th
Subject Math
Chapter Name 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता
Exercise 5.6
Catagory Class 12 math notes in Hindi
Medium Hindi (UP Board)

अध्याय 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | प्रश्नावली 5.6 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में $x$ तथा $y$ दिए गए समीकरणों द्वारा एक दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बंधित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।

1. $x=2at^2, y= at^4$

2. $x= acosθ, y= bcosθ$

3. $x= sint, y= cos2t$

4. $x= 4 t, y=4/t$

5. $x= cosθ-cos2θ, y=sinθ-sin2θ$

6. $x=a(θ-sinθ), y=a(1+cosθ)$

7. $x={sin^3⁡t}/{√cos2t}, y={cos^3⁡t}/{√cos2t}$

8. $x=a(cost+log⁡{tan t/2} ), y=asint$

9. $x=asecθ,y=btanθ$

10. $x=a(cosθ+θsinθ), y=a(sinθ-θcosθ)$

11. यदि $x=√{a^sin^{-1}⁡t} ,y=√{a^{cos^{-1}⁡t}}$ तो दर्शाइए कि ${dy}/{dx}=-y/x$

Handwritten Notes | प्रश्नावली 5.6 | सांतत्य तथा अवकलनीयता कक्षा 12 गणित

Computer Typed Notes | प्रश्नावली 5.6 | सांतत्य तथा अवकलनीयता कक्षा 12 गणित

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में $x$ तथा $y$ दिए गए समीकरणों द्वारा एक दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बंधित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1:- $x=2at^2, y= at^4$

हल:-

दिया है: $x=2at^2, y= at^4$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dt}=d/{dx} (2at^2)=2a (2t)$
${dx}/{dt}=4at$
तथा ${dy}/{dt}=d/{dx} (at^4 )=a (4t^3 )$
${dy}/{dt}=4at^3$
∵ ${dy}/{dt}={dy⁄dt}/{dx⁄dt}={4at^3}/{4at}=3t$
∴ ${dy}/{dt}=3t$, Ans.

प्रश्न 2:- $x= acosθ, y= bcosθ$

हल:-

दिया है: $x= acosθ, y= bcosθ$
$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dθ}=d/{dθ} (acosθ)=a (- sinθ)$
${dx}/{dθ}= - asinθ$
तथा ${dy}/{dθ}=d/{dθ} (bcosθ)=b (- sinθ)$
${dy}/{dθ}= - bsinθ$
∵ ${dy}/{dθ}={{dy}⁄{dθ}}/{{dx}⁄{dθ}}={- bsinθ}/{- asinθ}=b/a$
∴ ${dy}/{dx}=b/a $, Ans.

प्रश्न 3:- $x= sint, y= cos2t$

हल:-

दिया है: $x= sint, y= cos2t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dt}=d/{dt} (sint)= cost$
${dx}/{dt}= cost$
तथा ${dy}/{dt}=d/{dt} (cos2t)= (- sin2t).2$
${dy}/{dt}= - 2sin2t$
∵ ${dy}/{dx}={dy⁄dt}/{dx⁄dt}={- 2sin2t}/{cos}t$
∵ ${dy}/{dx}={- 2 . 2sint cost}/{cost}= - 4 sint $
∴ ${dy}/{dx}= - 4 sint$, Ans.

प्रश्न 4:- $x= 4 t, y=4/t$

हल:-

दिया है: $x= 4 t, y=4/t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dt}=d/{dt} (4t)= 4.(1)$
${dx}/{dt}= 4$
तथा ${dy}/{dt}=d/{dt} (4/t)=d/{dx} (4t^{- 1})$
${dy}/{dt}= 4 .(- t^{- 2}).1=4 . {- 1}/{t^2}$
${dy}/{dt}= - 4/{t^2}$
∵ ${dy}/{dx}={dy⁄dt}/{dx⁄dt}={(- 4/{t^2})}/4={- 4}/{4t^2}$
∴ ${dy}/{dx}={- 1}/{t^2}$, Ans.

प्रश्न 5:- $x= cosθ - cos2θ, y=sinθ - sin2θ$

हल:-

दिया है: $x=cosθ - cos2θ, y=sinθ - sin2θ$
$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dθ}=d/{dθ} (cosθ - cos2θ)$
${dx}/{dθ}= - sinθ - (- sin2θ).2$
${dx}/{dθ}= - sinθ + 2sin2θ$
तथा ${dy}/{dθ}=d/{dθ} (sinθ - sin2θ)$
${dy}/{dθ}= cosθ - (cos2θ).2$
${dy}/{dθ}=cosθ - 2cos2θ$
∵ ${dy}/{dx}={{dy}⁄{dθ}}/{{dx}⁄{dθ}}={cosθ - 2cos2θ}/{- sinθ + 2sin2θ}$
∴ ${dy}/{dx}= {cosθ - 2cos2θ}/{2sin2θ - sinθ}$, Ans.

प्रश्न 6:- $x=a(θ - sinθ), y=a(1 + cosθ) $

हल:-

दिया है: $x=a(θ - sinθ), y=a(1 + cosθ)$
$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dθ}=d/{dθ} [a(θ - sinθ)]$
$=d/{dθ} (θ - sinθ)$
$= a[d/{dθ} (θ) - d/{dθ} (sinθ)]$
$=a (1 - cosθ)$
तथा ${dy}/{dθ}=d/{dθ} [a(θ + cosθ)]$
$=a d/{dθ} (1 + cosθ)$
$= a[d/{dθ} (1) + d/{dθ} (cosθ)]$
$=a (0 - sinθ)$
$= - asinθ$
∵ ${dy}/{dθ}={{dy}⁄{dθ}}/{{dx}⁄{dθ}}={- asinθ}/{a(1 - cosθ)}$
∴ ${dy}/{dx}={- sinθ}/{1 - cosθ}$, Ans.
${dy}/{dx}={sinθ}/{1 - cosθ}={- 2sin {θ/2} cos {θ/2} }/{1 - [1 - 2sin^2 θ/2]}$
$={- 2sin {θ/2} cos {θ/2} }/{2sin^2 {θ/2} }$
$= - {cos {θ/2}}/{sin {θ/2}}$
∴ ${dy}/{dx}= - cot {θ/2} $, Ans.

प्रश्न 7:- $x={{sin}^3 ⁡t}/{√{cos2t}}, y={{cos}^3⁡ t}/{√{cos2t}}$

हल:-

दिया है: $x={{sin}^3 ⁡t}/{√{cos2t}}, y={{cos}^3⁡ t}/{√{cos2t}}$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dt}=d/{dt}({{sin}^3 ⁡t}/{√{cos2t}})$
$={√{cos2t}. d/{dt} {sin}^3 t - {sin}^3 t d/{dt} (√{cos2t})}/{(√{cos2t})^2}$
$={√{cos2t} .3 sin^2 t . cost - sin^3 t. 1/{2√{cos2t}} .(- sin2t).2}/{cos2t}$
$={3√{cos2t} .sin^2 t .cost + sin^3 t. sin2t}/{√{cos2t} .cos2t}$
तथा ${dy}/{dt}=d/{dt} ({cos^3 ⁡t}/{√{cos2t}})$
$={√{cos2t} d/{dt} (cos^3 t) - cos^3 t d/{dt} (√{cos2t})}/{⁡(√cos2t)^2}$
$={√{cos2t} .3cos^2 t .(- sint) - cos^3 t.1/{2√{cos2t}} .(- sin2t).2}/{cos2t}$
$={- 3√{cos2t} .cos^2 t .sint + cos^3 t .sin2t}/{√{cos2t}.{cos2t}}$

${dy}/{dx}={dy⁄dt}/{dx⁄dt} =({- 3√{cos2t} .cos^2 t .sint + cos^3 t .sin2t}/{√{cos2t}.{cos2t}})/({3√{cos2t} .sin^2 t .cost + sin^3 t. sin2t}/{√{cos2t} .cos2t})$

${dy}/{dx}={- 3cos2t.cos^2 t.sint + cos^3 t .sin2t}/{3cos2t. sin^2 t .cost + sin^3 t . sin2t}$
${dy}/{dx}={- 3cos2t.cos^2 t.sint + cos^3 t.2sincost}/{3cos2t.sin^2 t.cost + sin^3 t . 2sintcost)$
${dy}/{dx}={cos^2⁡t . sint(- 3cos2t + 2cos^2 t)}/{sin^2 t .cost(3cos2t + 2sin^2 t)}$
${dy}/{dx}={cost}/{sint} .[{- 3(2 cos^2 ⁡t - 1) + ⁡2cos^2 t}/{3(1 - 2sin^2 t) + ⁡2sin^2 t}]$
${dy}/{dx}={cost}/{sint} .[{- 6 cos^2 ⁡t + 3 + 2cos^2 t}/{3 - 6 sin^2⁡ t + 2sin^2 t}]$
${dy}/{dx}={cost}/{sint} .[{- 4 cos^2⁡ t + 3}/{3 - 4 sin^2 ⁡t}]$
${dy}/{dx}={- 4cos^3 t + 3cost}/{3sint - 4sin^3 t}$
${dy}/{dx}= - {cos3t}/{sin3t}= - cot3t$
∴ ${dy}/{dx}= - cot3t$, Ans.

प्रश्न 8:- $x=a(cost + logtan {t/2}), y= asint$

हल:-

दिया है: $x=a(cost + logtan {t/2}), y= asint$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dt}=d/{dx} [a(cost + logtan {t/2})]$
$=a[d/{dx} cost + d/{dx} logtan {t/2}]$
$=a[- sint + 1/{tan {t/2}} .⁡ sec^2 {t/2} .(1/2)]$
$=a[- sint + {cos t/2}/{sin t/2} .1/{cos^2 t/2} .(1/2)]$
$=a[- sint + 1/{2 sin {t/2} .cos {t/2}}]$
$=a[- sint + 1/{sint}]=a[{- sin^2 t + 1}/{sint}]$
${dx}/{dt}={a.cos^2 t}/{sint}$
तथा ${dy}/{dt}=d/{dx} (asint)=acost$
∵ ${dy}/{dx}={dy⁄dt}/{dx⁄dt}={acost}/({a.cos^2 t}/{sint})$
$={acost.sint}/{a. cos^2 t}={sint}/{cost}$
∴ ${dy}/{dt}=tant$, Ans.

प्रश्न 9:- $x=asecθ, y=btanθ$

हल:-

दिया है: $x=asecθ, y=btanθ$
$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dθ}=d/{dθ} (asecθ)=asecθ.tanθ$
तथा ${dy}/{dt}=d/{dt} (btanθ)=bsec^2 θ$
${dy}/{dx}={{dy}⁄{dθ}}/{{dx}⁄{dθ}}={bsec^2 θ}/{asecθtanθ}$
${dy}/{dx}=b/a . {secθ}/{tanθ}=b/a .({1/{cosθ}})/({{sinθ}/{cosθ}})$
$=b/a. 1/{sinθ} =b/a .cosecθ$
∴ ${dy}/{dx}=b/a .cosecθ$, Ans.

प्रश्न 10:- $x=a(cosθ + θsinθ), y=a(sinθ - θcosθ)$

हल:-

दिया है: $x=a(cosθ + θsinθ), y=a(sinθ - θcosθ)$
$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dθ}=d/{dθ} [a(cosθ + θsinθ)]$
$=a[d/{dθ} cosθ + (θ d/{dθ} sinθ + sinθ d/{dθ} θ)]$
$=a[- sinθ + (θcosθ + sinθ.1)]$
$=a[- sinθ + θcosθ + sinθ]$
$=aθcosθ$
तथा ${dy}/{dθ}=d/{dθ} [a(sinθ + θcosθ)]$
$=a[d/{dθ} sinθ - (θ d/{dθ} cosθ + cosθ d/{dθ} θ)]$
$=a[cosθ - (θ(- sinθ) + cosθ.1)]$
$=a[cosθ + θsinθ - cosθ]$
$=aθsinθ$
∵ ${dy}/{dx}={{dy}⁄{dθ}}/{{dx}⁄{dθ}}={aθsinθ}/{aθcosθ}={sinθ}/{cosθ}$
∴ ${dy}/{dx}=tanθ $, Ans.

प्रश्न 11:- यदि $x=√{a^{sin^{- 1} t}}, y=√{a^{cos^{- 1} t}}$ तो दर्शाइए कि ${dy}/{dx}= - y/x$

हल:-

दिया है: $x=√{a^{sin^{- 1} t}}, y=√{a^{cos^{- 1} t}}$
सिद्ध करना है: ${dy}/{dx}= - y/x$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dx}/{dt}=d/{dt} (√{a^{sin^{- 1} t}})=d/{dx} (a^{sin^{- 1} t})^{{1}⁄2}$
$=1/2  (a^{sin^{- 1} t})^{{- 1}⁄2} d/{dx} (a^{sin^{- 1} t})$
माना $α=a^{sin^{- 1} ⁡t}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर –
$logα=log⁡(a^{sin^{- 1} ⁡t })$
$logα=sin^{- 1} ⁡t .loga$
Or, $logα=loga. sin^{- 1} ⁡t$
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/α {dα}/{dt}={loga}/{√{1 - t^2}}$
${dα}/{dt}=α . {loga}/{√{1 - t^2}}$
${dα}/{dt}=a^{sin^{- 1} t} . {loga}/{√{1 - t^2}}$
∴ ${dx}/{dt}=1/2 (a^{sin^{- 1} t})^{{- 1}⁄2} . a^{sin^{- 1} ⁡t} . {loga}/{√{1 - t^2 }}, eq(1)$
तथा ${dy}/{dt}=d/{dt} (√{a^{cos^{-1} t}})=d/{dx} {(a^{cos^{-1} t})⁡}^{1⁄2}$
$=1/2 (a^{cos^{- 1} t})^{{- 1}⁄2} d/{dx}  a^{cos^{- 1} ⁡t}$
माना $β=a^{cos^{- 1} ⁡t}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर –
$logβ=log⁡(a^{cos^{- 1} t})$
$logβ=cos^{- 1} t . loga$
Or, $logβ=loga. cos^{- 1}t$
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/β {dα}/{dt}=loga {- 1}/{√{1 - t^2}}$
${dβ}/{dt}= - β . {loga}/{√{1 - t^2}}$
${dβ}/{dt}= - a^{cos^{- 1}t} . {loga}/{√{1 - t^2}}$
∴ ${dy}/{dt}= - 1/2 (a^{cos^{- 1} t})^{{- 1}⁄2} . a^{cos^{- 1}⁡t} . {loga}/{√{1 - t^2}}, eq(2)$
∵ ${dy}/{dx}={{dy}⁄{dθ}}/{{dx}⁄{dθ}} ={- 1/2 (a^{cos^{- 1} t})^{{- 1}⁄2} . a^{cos^{- 1}⁡t} . {loga}/{√{1 - t^2}}}/{1/2 (a^{sin^{- 1} t})^{{- 1}⁄2} . a^{sin^{- 1} ⁡t} . {loga}/{√{1 - t^2 }}}$
${-(a^{cos^{- 1} t})^{{- 1}⁄2} . a^{cos^{- 1}⁡t}}/{(a^{sin^{- 1} t})^{{- 1}⁄2} . a^{sin^{- 1}⁡t}}$
$={- (a^{cos^{- 1} t})^{1⁄2}}/{(a^{sin^{- 1} t})^{1⁄2} $
$= - {√{a^{cos^{- 1} ⁡t}}/{√{a^{sin^{- 1} t}$
∵ $x=√{a^{sin^{- 1} t}} , y=√{a^{cos^{- 1} t}}$
∴ ${dy}/{dx}= - y/x$, Proved .
Special Computer Typed and Handwritten Notes on Exercise 5.6 (Completely Solved).
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End

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