5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | सॉल्यूशन प्रश्नावली 5.2 | NCERT Math Class 12 Chapter 5 Exercise 5.2 all questions UP Board Hindi Medium
5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | सॉल्यूशन प्रश्नावली 5.2 | NCERT Math Class 12 Chapter 5 Exercise 5.2 all questions UP Board Hindi Medium
निम्नलिखित प्रश्नों में ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।प्रश्न 1 से 8 में $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए
निम्नलिखित प्रश्नों में ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए
1. $2x+3y=sinx$
2. $2x+3y=siny$
3. $ax+by^2=cosy$
4. $xy+ y^2=tanx+y$
5. $x^2+xy+y^2=100$
6. $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$
7. $sin^2 y+cosxy=k$
8.$ sin^2 x+cos^2 x=1$
9. $y=sin^{-1} {{2x}/{1+x^2}}$
10. $y=tan^{-1} {{3x-x^3}/{1-3x^2}},-1/√3<x<1/√3$
11.$ y=cos^{-1} {{1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
12. $y=sin^{-1} {{1-x^2}/{1+x^2}}, 0<x<1$
13. $y=cos^{-1} {{2x}/{1+x^2}},-1<x<1$
14. $y=sin^{-1} {2x√{1-x^2}}, {-1}/{√2} <x<1/√2$
15.$ y=sec^{-1} {2x√{1-x^2}}, {-1}/{√2} <x< 1/{√2}$
प्रश्न 1:- $2x+3y=sinx$
हल:-
दिया है: $2x+3y=sinx$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (2x)+d/{dx} (3y)=d/{dx} (sinx) $
$=2.(1)+3 {dy}/{dx}=cosx$
$3{dy}/{dx}=cosx-2$
${dy}/{dx}={cosx-2}/3$ Ans.
प्रश्न 2:- $2x+3y=siny$
हल:-
दिया है: $2x+3y=siny$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (2x)+d/{dx} (3y)=d/{dx} (siny)$
$=2.(1)+3 {dy}/{dx}=cosy {dy}/{dx}$
$3 {dy}/{dx}-cosy {dy}/{dx}=-2$
$-3 {dy}/{dx}+cosy {dy}/{dx}=2$
$cosy {dy}/{dx}-3 {dy}/{dx}=2$
${dy}/{dx} (cosy-3)=2$
${dy}/{dx}=2/{cosy-3}$, Ans.
प्रश्न 3:- $ax+by^2=cosy$
हल:-
दिया है: $ax+by^2=cosy$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (ax)+d/{dx} (by^2)=d/{dx} (cosy)$
$=a.(1)+b.2y {dy}/{dx}=-siny {dy}/{dx}$
$2by {dy}/{dx}+siny {dy}/{dx}=-a$
${dy}/{dx} (2by+siny)=-a$
${dy}/{dx}=-{a}/{2by+siny}$, Ans.
प्रश्न 4:- $xy+ y^2=tanx+y$
हल:-
दिया है: $xy+ y^2=tanx+y$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (xy)+d/{dx} (y^2)=d/{dx} (tanx)+d/{dx} (y)$
$=x d/{dx} (y)+y. d/{dx} (x)+2y d/{dx}$
$ (y)=sec^2x+{dy}/{dx}$
$x {dy}/{dx}+y.(1)+2y {dy}/{dx}=sec^2x+{dy}/{dx}$
$x {dy}/{dx}+2y {dy}/{dx}-{dy}/{dx}=sec^2(x-y)$
${dy}/{dx} (x+2y-1)=sec^2(x-y)$
${dy}/{dx}={sec^2 (x-y)}/{x+2y-1}$, Ans.
प्रश्न 5:- $x^2+xy+y^2=100$
हल:-
दिया है: $x^2+xy+y^2=100$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x^2)+d/{dx} (xy)+d/{dx} (y^2)=d/{dx} (100)$
$d/{dx} (x^2)+x d/{dx} (y)+y. d/{dx} (x)+2y d/{dx} (y)=d/{dx} (100) $
$2x.(1)+x {dy}/{dx}+y.(1)+2y {dy}/{dx}=0$
$2x+x {dy}/{dx}+y+2y {dy}/{dx}=0$
$x {dy}/{dx}+2y {dy}/{dx}=-2x-y$
${dy}/{dx} (x+2y)=-(2x+y)$
${dy}/{dx}={-(2x+y)}/{x+2y}$,Ans.
or, ${dy}/{dx}=-{2x+y}/{x+2y}$, Ans.
प्रश्न 6:- $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$
हल:-
दिया है: $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x^3)+x^2 {dy}/{dx}+y d/{dx} (x^2)+x d/{dx} (y^2)+y^2 d/{dx} (x)+{dy}/{dx} (y^3)=d/{dx} (81)$
$3x^2+x^2 {dy}/{dx}+y(2x)+x.(2y) {dy}/{dx}+y^2 (1)+3y^2 {dy}/{dx}=0$
$x^2 {dy}/{dx}+2xy {dy}/{dx}+3y^2 {dy}/{dx}=-3x^2-2xy-y^2$
${dy}/{dx} (x^2+2xy+3y^2)=-(3x^2+2xy+y^2)$
${dy}/{dx}={-(3x^2+2xy+y^2)}/{x^2+2xy+3y^2}$, And.
$or,{dy}/{dx}=-{3x^2+2xy+y^2}/{x^2+2xy+3y^2}$, Ans.
प्रश्न 7:- $sin^2 y+cosxy=k$
हल:-
दिया है: $sin^2 y+cosxy=k$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (sin^2 y)+d/{dx} (cosxy)=d/{dx} (k)$
$2siny d/{dx} (siny)+(-sinxy) d/{dx} (xy)=0$
$2siny.cosy {dy}/{dx}-sinxy[x {dy}/{dx}+y d/{dx} (x)]=0$
$sin2y {dy}/{dx}-sinxy[x {dy}/{dx}+y d/{dx} (1)]=0$
$sin2y {dy}/{dx}-x.sinxy {dy}/{dx}-y.sinxy=0$
$sin2y {dy}/{dx}-x.sinxy {dy}/{dx}=ysinxy$
${dy}/{dx} (sin2y-xsinxy)=ysinxy$
${dy}/{dx}={ysinxy}/{sin2y-xsinxy}$, Ans.
प्रश्न 8:- $sin^2 x+cos^2 y=1$
हल:-
दिया है: $sin^2 x + cos^2 y=1$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (sin^2 x)+d/{dx} ({cos}^2 y)=d/{dx} (1)$
$2sinx d/{dx} (sinx)+(2cosy) d/{dx} (cosy)=0$
$2sinx.cosx+2cosy.(-siny) {dy}/{dx}=0$
$sinx-cos2y {dy}/{dx}=0,∵2sinθcosθ=sin2θ$
$-cos2y {dy}/{dx}=-sin2x$
$cos2y {dy}/{dx}=sin2x$
${dy}/{dx}={sin2x}/{cos2y}$, Ans.
प्रश्न 9:- $y={sin}^{-1} {2x}/{1+x^2}$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1}{2x}/{1+x^2}$∵ $2 {tan}^{-1}x={sin}^{-1} {2x}/{1+x^2}$
∴ $y=2{tan}^{-1}x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=2(1/{1+x^2})$
${dy}/{dx}=2/{1+x^2}$, Ans.
प्रश्न 10:- $y={tan}^{-1} {{3x-x^3}/{1-3x^2}}, {-1}/{√3} <x<1/{√3}$
हल:-
दिया है: $y={tan}^{-1} {{3x-x^3}/{1-3x^2}}, {-1}/{√3} <x< 1/{√3}$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1} x$
∴ $y={tan}^{-1} ({3tanθ-tan^3 θ}/{1-3tan^2 θ})$
$y={tan}^{-1} (tan3θ) $
$y=3θ $
$y=3 {tan}^{-1} x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=3 d/{dx} ({tan}^{-1} x)$
${dy}/{dx}=3(1/{1+x^2})$
${dy}/{dx}=3/{1+x^2}$, Ans.
प्रश्न 11:- $y={cos}^{-1} {{1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
हल:-
दिया है: $y={cos}^{-1} {{1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={cos}^{-1} {{1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$y={cos}^{-1} (cos2θ)$
$y=3θ$
$y=2 {tan}^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=2(1/{1+x^2})$
${dy}/{dx}=2/{1+x^2}$, Ans.
प्रश्न 12:- $y={sin}^{-1} {{1-x^2}/{1+x^2}}, 0<x<1$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1} {{1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={sin}^{-1} {{1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$y={sin}^{-1} (cos2θ)$
$y={sin}^{-1} [sin(π/2 - 2θ)]$
$y=π/2 - 2θ$
$y=π/2 - 2{tan}^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (π/2) -2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=0 - 2(1/{1+x^2})$
${dy}/{dx}={-2}/{1+x^2}$, Ans.
प्रश्न 13:- $y={cos}^{-1} {{2x}/{1+x^2}}, -1<x<1$
हल:-
दिया है: $y={cos}^{-1}{{2x}/{1+x^2}},-1<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={cos}^{-1} ({2tanθ}/{1+tan^2 θ})$
$y={cos}^{-1} (sin2θ)$
$y={cos}^{-1} [cos(π/2 - 2θ)]$
$y=π/2 - 2θ$
$y=π/2 - 2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (π/2) - 2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=0- 2(1/{1+x^2})$
${dy}/{dx}={{-2}/{1+x^2}}$, Ans.
प्रश्न 14:- $y={sin}^{-1} (2x√{1-x^2}), {-1}/{√2} <x< 1/{√2}$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1} {2x√{1-x^2}}, {-1}/{√2} <x<1/√2$माना $x=sinθ⇒θ=sin^{-1}x$
∴ $y={sin}^{-1} (2sinθ√{1-sin^2 θ})$
$y={sin}^{-1} (2sinθ√{cos^2 θ})$
$y={sin}^{-1} (2sinθcosθ)$
$y={sin}^{-1} (sin2θ)$
$y=2θ$
$y=2 sin^{-1} x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} {{sin}^{-1} x}$
${dy}/{dx}=2(1/{√{1-x^2}})$
${dy}/{dx}=2/{√{1-x^2}}$, Ans.
प्रश्न 15:- $y={sec}^{-1} {2x√{1-x^2}}, {-1}/{√2} <x<1/√2$
हल:-
दिया है: $y={sec}^{-1} {2x√{1-x^2}}, {-1}/{√2} <x<1/√2$माना $x=cosθ⇒θ=cos^{-1}x$
∴ $y={sec}^{-1} {1/{2cos^2 θ-1}} $
$y={sec}^{-1} {1/{cos2θ}}$
$y={sec}^{-1} (sec2θ)$
$y=2θ$
$y=2 cos^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} {{cos}^{-1} x}$
${dy}/{dx}=2({-1}/√{1-x^2})$
${dy}/{dx}={{-2}/{√{1-x^2}}$,Ans.
or, ${dy}/{dx}=-{2}/{√{1-x^2}$, Ans.
टिप्पणियाँ
एक टिप्पणी भेजें