5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | सॉल्यूशन प्रश्नावली 5.7 | NCERT Math Class 12 Chapter 5 Exercise 5.7 all questions UP Board Hindi Medium
5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | सॉल्यूशन प्रश्नावली 5.7 | NCERT Math Class 12 Chapter 5 Exercise 5.7 all questions UP Board Hindi Medium
| Book | NCERT |
|---|---|
| Class | 12th |
| Subject | Math |
| Chapter Name | 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता |
| Exercise | 5.7 |
| Catagory | Class 12 math notes in Hindi |
| Medium | Hindi (UP Board) |
अध्याय 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | प्रश्नावली 5.7 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?
प्रश्न संख्या 1 से दस तक में दिए गए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए।1. $x^2+3x+2$
2. $x^20$
3. $x.cosx$
4. $logx$
5. $x^3 logx$
6. $e^x sin5x$
7. $e^6x cos3x$
8. $tan^{-1}x$
9. $log(logx)$
10. $sin(logx)$
11. यदि y=5cosx-3sinx$ है तो सिद्ध कीजिए कि ${d^2 y}/{dx^2}+y=0$
12. यदि $y=cos^{-1}x$ है तो ${d^2 y}/{dx^2}$ को केवल $y$ के पदों में ज्ञात कीजिए।
13. यदि $y=3 cos(logx)+4 sin(logx)$ है तो दर्शाइए कि $x^2 y_2+xy_1+y=0$
14. यदि $y=Ae^{mx}+Be^{nx}$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2}-(m-n) {dy}/{dx}+mny=0$
15. यदि $y=500e^{7x}+600e^{-7x}$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2}=49y$
16. यदि $e^y (x+1)=1$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2}=({dy}/{dx})^2$ है।
17. यदि $y=(tan^{-1} x)^2$ है तो दर्शाइए कि $(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$ है।
Handwritten Notes | प्रश्नावली 5.7 | सांतत्य तथा अवकलनीयता कक्षा 12 गणित
Computer Typed Notes | प्रश्नावली 5.7 | सांतत्य तथा अवकलनीयता कक्षा 12 गणित
प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए गए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए।
प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए गए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए।
1. $x^2 + 3x + 2$
2. $x^20$
3. $x.cosx$
4. $logx$
5. $x^3 logx$
6. $e^x sin5x$
7. $e^6x cos3x$
8. $tan^{-1}x$
9. $log(logx)$
10. $sin(logx)$
11. यदि $y=5cosx-3sinx$ है तो सिद्ध कीजिए कि ${d^2 y}/{dx^2} + y=0$
12. यदि $y=cos^{-1}x$ है तो ${d^2 y}/{dx^2}$ को केवल $y$ के पदों में ज्ञात कीजिए।
13. यदि $y=3 cos(logx) + 4 sin(logx)$ है तो दर्शाइए कि $x^2 y_2 + xy_1 + y=0$
14. यदि $y=Ae^mx + Be^nx$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2} - (m-n) {dy}/{dx} + mny=0$
15. यदि $y=500e^{7x} + 600e^{-7x}$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2}=49y$
16. यदि $e^y (x + 1)=1$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2}=({dy}/{dx})^2$ है।
17. यदि $y=(tan^{-1} x)^2$ है तो दर्शाइए कि $(x^2 + 1)^2 y_2 + 2x(x^2 + 1) y_1=2$ है।
प्रश्न 1:- $x^2 + 3x + 2$
हल:-
माना- $y=x^2 + 3x + 2$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^2 + 3x + 2)$
$=d/{dx} (x^2) + 3 d/{dx} (x) + d/{dx} (2)$
$=2x + 3 + 0$
$=2x + 3$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (2x + 3)$
$=d/{dx} (2x) + 3 d/{dx} (3)$
$=2(1) + 0=2$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=2$, Ans.
अथवा हल:-
माना- $y=x^2 + 3x + 2$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^2 + 3x + 2)$
$=2x + 3 + 0$
$=2x + 3$
Now, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (2x + 3)$
$=2(1) + 0=2$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=2$, Ans.
प्रश्न 2:- $x^{20}$
हल:-
माना- $y=x^{20}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^20)$
$=20x^19$
अब, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (20x^{19})$
$=20(19x^{18})$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=380x^{18}$, Ans.
अथवा हल:-
माना $y=x^{20}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^{20})$
${dy}/{dx}=20x^{19}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (20x^{19})=20 d/{dx} (x^19)$
${d^2 y}/{dx^2}=20×19x^18$
${d^2 y}/{dx^2}=389x^18$, Ans.
प्रश्न 3:- $x.cosx$
हल:-
माना- $y=x.cosx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x.cosx)$
$=x d/{dx} (cosx) + cosx d/{dx} (x)$
$=x(-sinx) + cosx(1)$
$=-xsinx + cosx$
अब, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (-xsinx + cosx)$
$=-(x d/{dx} sinx + sinx d/{dx} x) + d/{dx} (cosx)$
$=-(x.cosx + sinx.1) + (-sinx)$
$=-xcosx - sinx - sinx$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}= -xcosx - 2sinx$, Ans.
अथवा हल:-
माना $y=x.cosx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (x.cosx)$
${dy}/{dx}=x d/{dx} cosx + cosx d/{dx} x$
${dy}/{dx}=x(-sinx) + cosx.1$
${dy}/{dx}=-xsinx + cosx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (-xsinx) + d/{dx}$
${d^2 y}/{dx^2}=-[x d/{dx} sinx + sinx d/{dx} x] + d/{dx} cosx$
${d^2 y}/{dx^2}=-[xcosx + sinx(1)] + (-sinx) $
${d^2 y}/{dx^2}=-xcosx-sinx-sinx$
${d^2 y}/{dx^2}=-xcosx-2sinx$, Ans.
प्रश्न 4:- $logx$
हल:-
माना- $y=logx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (logx)$
$=1/x$
अब, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (1/x)=d/{dx} (x^{-1})$
$=-1.x^{-1-1}=-x^{-2}=-1/{x^2}$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=-1/{x^2}$, Ans.
अथवा हल:-
माना $y=logx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (logx)$
${dy}/{dx}=1/x=x^{-1}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (x^{-1})=-1 . x^{-1-1}=-x^{-2}$
${d^2 y}/{dx^2}={-1}/{x^2}$, Ans.
प्रश्न 5:- $x^3 logx$
हल:-
माना- $y=x^3 logx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^3 logx)$
$=x^3 d/{dx} (logx) + logx d/{dx} (x^3)$
$=x^3 (1/x) + logx(3x^2)$
$=x^2 + 3x^2 logx$
अब, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (x^2 + 3x^2 logx)$
$=d/{dx} (x^2) + 3(x^2 d/{dx} logx + logx d/{dx} x^2)$
$=2x + 3(x^2 . 1/x + logx . 2x)$
$=2x + 3x + 6x . logx$
$=5x + 6x . logx$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=x(5 + 6logx)$, Ans.
अथवा हल:-
माना $y=x^3 logx$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^3 logx)$
${dy}/{dx}=x^3 d/{dx} logx + logx d/{dx} x^3$
${dy}/{dx}={x^3}/x + logx . 3x^2$
${dy}/{dx}=x^2 + 3x^2 logx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (x^2) + d/{dx} (3x^2 logx) $
${d^2 y}/{dx^2}=2x + 3[x^2 d/{dx} logx + logx d/{dx} x^2 ]$
${d^2 y}/{dx^2}=2x + 3[{x^2}/x + logx.(2x)]$
${d^2 y}/{dx^2}=2x + 3[x + 2x.logx]$
${d^2 y}/{dx^2}=2x + 3x + 6x.logx$
${d^2 y}/{dx^2}=5x + 6xlogx$, Ans.
प्रश्न 6:- $e^x sin5x$
हल:-
माना- $y=e^x sin5x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x sin5x)$
$=e^x d/{dx} (sin5x) + sin5x d/{dx} (e^x)$
$=e^x . (cos5x . 5) + sin5x(e^x)$
$=5e^x cos5x + e^x sin5x$
अब, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (5e^x cos5x + e^x sin5x)$
$=5(e^x d/{dx} cos5x + cos5x d/{dx} e^x) + (e^x d/{dx} sin5x + sin5x d/{dx} e^x)$
$=5(-e^x sin5x.5 + cos5x.e^x) + (e^x . cos5x.5 + sin5x.e^x)$
$=-25e^x sin5x + 5e^x cos5x + 5e^x cos5x + e^x sin5x$
$=-24e^x sin5x + 10e^x cos5x$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=e^x (10e^x cos5-24e^x sin5x)$, Ans.
अथवा हल:-
माना $y=e^x sin5x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x sin5x)$
${dy}/{dx}=e^x d/{dx} sin5x + sin5x d/{dx} e^x$
${dy}/{dx}=e^x.cos5x.(5) + sin5x.e^x$
${dy}/{dx}=5e^x cos5x + e^x sin5x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (5e^x cos5x + e^x sin5x) $
${d^2 y}/{dx^2}=5[e^x d/{dx} cos5x + cos5x d/{dx} e^x ] + [e^x d/{dx} sin5x + sin5x d/{dx} e^x ]$
${d^2 y}/{dx^2}=5[e^x (-sin5x).5 + cos5x.e^x ] + [e^x.cos5x.5 + sin5x.e^x.1]$
${d^2 y}/{dx^2}=-25e^x sin5x + 5e^x cos5x + 5e^x cos5x + e^x sin5x$
${d^2 y}/{dx^2}=-24e^x sin5x + 10e^x cos5x$
${d^2 y}/{dx^2}=2e^x (5cos5x-12sin5x)$, Ans.
प्रश्न 7:- $e^{6x} cos3x$
हल:-
माना- $y=e^{6x} cos3x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^{6x} cos3x)$
$=e^{6x} d/{dx} (cos3x) + cos3x d/{dx} (e^{6x})$
$=e^{6x} . (-sin3x.3) + cos3x(e^{6x} . 6)$
$=-3e^{6x} sin3x + 6e^{6x} cos3x$
अब, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (-3e^{6x} sin3x + 6e^{6x} cos3x)$
$=-3(e^{6x} d/{dx} sin3x + sin3x d/{dx} e^{6x}) + 6(e^{6x} d/{dx} cos3x + cos3x d/{dx} e^{6x})$
$=-3(e^{6x} . cos3x.3 + sin3x.e^{6x} .6) + 6(e^{6x} .(-sin3x).3 + cos3x. e^{6x} .6)$
$=-9e^{6x} cos3x- 18e^{6x} sin3x-18e^{6x} sin3x + 36e^{6x} cos3x$
$=27e^{6x} cos3x - 36e^{6x} sin3x$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=9e^{6x} (3cos3x-4sin3x)$, Ans.
अथवा हल:-
माना $y=e^{6x} cos3x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^{6x} cos3x)$
${dy}/{dx}=e^{6x} d/{dx} cos3x + cos3x d/{dx} e^{6x}$
${dy}/{dx}=e^{6x} .(-sin3x).3 + cos3x. e^{6x} .6$
${dy}/{dx}=-3e^{6x} sin3x + 6e^{6x} cos3x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (-3e^{6x} sin3x + 6e^{6x} cos3x)$
${d^2 y}/{dx^2}=-3[e^{6x} d/{dx} sin3x + sin3x d/{dx} e^{6x}] + 6[e^{6x} d/{dx} cos3x + cos3x d/{dx} e^{6x}]$
${d^2 y}/{dx^2}=-3[e^{6x}$
$cos3x.3 + sin3x . e^{6x} .6] + 6[e^{6x} .(-sin3x).3 + cos3x. e^{6x} .6]$
${d^2 y}/{dx^2}=-9e^{6x} cos3x - 18e^{6x} sin3x-18e^{6x} sin3x + 36e^{6x} cos3x$
${d^2 y}/{dx^2}=27e^{6x} cos3x - 36e^{6x} sin3x$
${d^2 y}/{dx^2}=9e^{6x} (3cos3x - 4sin3x)$, Ans.
प्रश्न 8:- ${tan}^{-1}x$
हल:-
माना- y=${tan}^{-1}x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (tan^{-1}x)$
$=1/{1 + x^2}$
अब, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (1/{1 + x^2})$
$={(1 + x^2) d/{dx} 1-1 d/{dx} (1 + x^2)}/{(1 + x^2)^2}$
$={(1 + x^2) . (0) -1 .(0 + 2x)}/{(1 + x^2)^2$
$={0-2x}/{(1 + x^2)^2}$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=-{2x}/{(1 + x^2)^2}$, Ans.
अथवा हल:-
माना $y={tan}^{-1}x$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (tan^{-1}x)$
${dy}/{dx}=1/{1 + x^2}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (1/{1 + x^2})$
${d^2 y}/{dx^2}={1 d/{dx} (1 + x^2) - (1 + x^2) d/{dx} (1)}/{(1 + x^2)^2}$
${d^2 y}/{dx^2}={1(0 + 2x)-(1 + x^2)(0)}/{(1 + x^2)^2}$
${d^2 y}/{dx^2}={2x-0}/{(1 + x^2)^2}$
${d^2 y}/{dx^2}={2x}/{(1 + x^2)^2}$, Ans.
प्रश्न 9:- $log(logx)$
हल:-
माना- $y=log(logx)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(logx)]$
$=1/{logx} .1/x$
$=1/{xlogx}$
अब, ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (1/{xlogx})$
$={(xlogx) d/{dx} 1 - 1 d/{dx} (xlogx)}/{(xlogx)^2}$
$={(xlogx).(0)-1 . (x.d/{dx} logx + logx. d/{dx} x)}/{(xlogx)^2}$
$={0-1. (x.1/x + logx.1)}/{(xlogx)^2}$
$={-(1 + logx)}/{(xlogx)^2}$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=-{(1 + logx)}/{(xlogx)^2}$, Ans.
प्रश्न 10:- $sin(logx)$
हल:-
माना $y=sin(logx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(logx)]$
${dy}/{dx}=cos(logx) . 1/x$
${dy}/{dx}={cos(logx)}/x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} [{cos(logx)}/x]$
${d^2 y}/{dx^2}={x d/{dx} cos(logx) -cos(logx) d/{dx} (x)}/{(x)^2}$
${d^2 y}/{dx^2}={x[-sin(logx)]. 1/x .1-cos(logx) (1)}/{x^2}$
${d^2 y}/{dx^2}={-sin(logx) -cos(logx)}/{x^2}$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}={-sin(logx)-cos(logx)}/{x^2}$, Ans.
or, ${d^2 y}/{dx^2}=-{sin(logx) + cos(logx)}/{x^2}$, Ans.
प्रश्न 11:- यदि $y=5cosx-3sinx$ है तो सिद्ध कीजिए कि ${d^2 y}/{dx^2} + y=0$
हल:-
दिया है- $y=5cosx-3sinx$
सिद्ध करना है: ${d^2 y}/{dx^2} + y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (5cosx-3sinx)$
$=5(-sinx)-3cosx$
$=-5sinx-3cosx$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (-5sinx-3cosx)$
$=-5cosx-3(-sinx)$
$=-5cosx + 3sinx$
अब, ${d^2 y}/{dx^2} + y=-5cosx + 3sinx + 5cosx-3sinx$
$=0$
∴ ${d^2 y}/{dx^2} + y=0$, Proved.
अथवा हल:-
दिया है: $y=5cosx-3sinx$
सिद्ध करना है: ${d^2 y}/{dx^2} + y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (5cosx-3sinx)$
${dy}/{dx}=5 d/{dx} cosx-3 d/{dx} sinx$
${dy}/{dx}=5(-sinx)-3cosx$
${dy}/{dx}=-5sinx-3cosx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (-5sinx-3cosx)$
$={d^2 y}/{dx^2}=-5 d/{dx} sinx-3 d/{dx} cosx$
${d^2 y}/{dx^2}=-5cosx-3(-sinx)$
${d^2 y}/{dx^2}=-5cosx + 3sinx$
अब, ${d^2 y}/{dx^2} + y=-5cosx + 3sinx + 5cosx-3sinx=0$, Proved.
12. यदि $y=cos^{-1}x$ है तो ${d^2 y}/{dx^2}$ को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल:-
दिया है: $y=cos^{-1}x$
ज्ञात करना है: ${d^2 y}/{dx^2}=?$
∵ $y=cos^{-1}x$
∴ $cosy=x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$d/{dx} cosy=d/{dx} x$
$-siny {dy}/{dx}=1$
${dy}/{dx}=1/{-siny}$
${dy}/{dx}=-cosecy$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (-cosecy)$
${d^2 y}/{dx^2}=-(-cosecy.coty) {dy}/{dx}$
${d^2 y}/{dx^2}=cosecy.coty {dy}/{dx}$
अब ${dy}/{dx}$ का मान रखने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=cosecy.coty.(-cosecy)$
${d^2 y}/{dx^2}=-cosec^2 y.coty$
Or, ${d^2 y}/{dx^2}=-coty.cosec^2 y$, Ans.
13. यदि $y=3 cos(logx) + 4 sin(logx)$ है तो दर्शाइए कि $x^2 y_2 + xy_1 + y=0$
हल:-
दिया है: $y=3 cos(logx) + 4 sin(logx)$
सिद्ध करना है: $x^2 y_2 + xy_1 + y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$y_1=d/{dx} [3 cos(logx) + 4 sin(logx) ]$
$y_1=3 d/{dx} [cos(logx)] + 4 d/{dx} [sin(logx) ]$
$y_1=3[-sin(logx). 1/x ] + 4[cos(logx). 1/x]$
$y_1={-3 sin(logx)}/x + {4 cos(logx)}/x$
दोनों ओर $x$ का गुणा करने पर –
$xy_1=-3 sin(logx) + 4 cos(logx)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$xy_2 + y_1 (1)=-3 d/{dx} [sin(logx) ] + 4 d/{dx} [cos(logx) ]$
$xy_2 + y_1=[-3 cos(logx). 1/x] + 4[-sin(logx)]. 1/x$
$xy_2 + y_1={-3 cos(logx)}/x - {4 sin(logx)}/x$
पुनः दोनों ओर $x$ का गुणा करने पर –
$x^2 y_2 + xy_1=-3 cos(logx) - 4 sin(logx)$
$x^2 y_2 + xy_1=-[3 cos(logx) + 4 sin(logx)]$
$x^2 y_2 + xy_1=-y$
$x^2 y_2 + xy_1 + y=0$, Proved.
14. यदि $y=Ae^{mx} + Be^{nx}$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2} - (m + n) {dy}/{dx} + mny=0$
हल:-
दिया है: $y=Ae^{mx} + Be^{nx}$
सिद्ध करना है: ${d^2 y}/{dx^2} - (m + n) {dy}/{dx} + mny=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (Ae^{mx} + Be^{nx})$
${dy}/{dx}=A d/{dx} e^{mx} + B d/{dx} e^{nx}$
${dy}/{dx}=Ae^{mx} . m + Be^{nx} . n$
${dy}/{dx}=Ame^{mx} + Bne^{nx},eq(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (Ame^{mx} + Bne^{nx})$
${d^2 y}/{dx^2}=Am d/{dx} e^{mx} + Bn d/{dx} e^{nx}$
${d^2 y}/{dx^2}=Ame^{mx} . m + Bne^{nx} . n$
${d^2 y}/{dx^2}=Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} eq(2)$
Now, $LHS={d^2 y}/{dx^2} - (m + n) {dy}/{dx} + mny$
$=Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} - (m + n)Ame^{mx} + Bne$
$e^{nx} + mn(Ae^{mx} + Be^{nx})$
$=Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} - (Am^2 e^{mx} - Bmne$
$e^{nx} + Amne^{mx} + Bn^2 e^{nx} + Amne^{mx} . m + Bmn^2 e^{nx} . n$
$=Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} - Am^2 e^{mx} - Bmne^{nx} - $
$Amne^{mx} - Bn^2 e^{nx} + Amne^{mx} + Bmn e^{nx}$
$=0=RHS$
$LHS=RHS$
∴ ${d^2 y}/{dx^2} - (m + n) {dy}/{dx} + mny=0$, Proved .
15 . यदि $y=500e^{7x} + 600e^({- 7x}$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2}=49y$
हल: -
दिया है: $y=500e^{7x} + 600e^{- 7x}$
सिद्ध करना है: ${d^2 y}/{dx^2}=49y$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (500e^{7x} + 600e^{- 7x})$
${dy}/{dx}=500 d/{dx} e^{7x} + 600 d/{dx} e^{- 7x}$
${dy}/{dx}=500e^{7x} . 7 + 600e^{- 7x} . (- 7)$
${dy}/{dx}=3500e^{7x} - 4200e^{- 7x}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} (3500e^{7x} - 4200e^{- 7x})$
${d^2 y}/{dx^2}=3500 d/{dx} e^{7x} - 4200 d/{dx} e^{- 7x}$
${d^2 y}/{dx^2}=3500e^{7x} . 7 - 4200e^{- 7x} . ( - 7)$
${d^2 y}/{dx^2}=7(3500e^{7x} . 7 + 4200e^{- 7x})$
${d^2 y}/{dx^2}=7×7(500e^{7x} . 7 + 600e^{- 7x})$
${d^2 y}/{dx^2}=49(500e^{7x} . 7 + 600e^{- 7x})$
∵ $y=500e^{7x} + 600e^{ - 7x}$
∴ ${d^2 y}/{dx^2}=49y$, Proved .
16. यदि $e^y (x + 1)=1$ है तो दर्शाइए कि ${d^2 y}/{dx^2}=({dy}/{dx})^2$ है।
हल:-
दिया है: $e^y (x + 1)=1$
सिद्ध करना है: ${d^2 y}/{dx^2}=({dy}/{dx})^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$e^y d/{dx} (x + 1) + (x + 1) d/{dx} e^y=d/{dx} (1)$
$e^y (1 + 0) + (x + 1) e^y {dy}/{dx}=0$
$e^y + e^y (x + 1) {dy}/{dx}=0$
$e^y (x + 1) {dy}/{dx}=-e^y$
${dy}/{dx}={-e^y}/{e^y (x + 1)}$
${dy}/{dx}={-1}/{x + 1}, eq(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${d^2 y}/{dx^2}=d/{dx} ({-1}/{x + 1})$
${d^2 y}/{dx^2}=[{(x + 1) d/{dx} (-1) - (-1) d/{dx} (x + 1)}/{(x + 1)^2} ]$
${d^2 y}/{dx^2}=[{-(x + 1)(0) + 1(1 + 0)}/{(x + 1)^2}]$
${d^2 y}/{dx^2}=-[{0 + 1}/{(x + 1)^2}]$
${d^2 y}/{dx^2}=-1/{(x + 1)^2}, eq(2)$
अब समी (1) से —
$({dy}/{dx})^2=({-1}/{x + 1})^2={-1}/{(x + 1)}× {-1}/{(x + 1)}$
$({dy}/{dx})^2=1/{(x + 1)^2}, eq(3)$
समी० (1) और (3) से,
${d^2 y}/{dx^2}=({dy}/{dx})^2$, Proved.
17. यदि $y=(tan^{-1} x)^2$ है तो दर्शाइए कि $(x^2 + 1)^2 y_2 + 2x(x^2 + 1) y_1=2$ है।
हल:-
दिया है: $y=(tan^{-1} x)^2$
सिद्ध करना है: $(x^2 + 1)^2 y_2 + 2x(x^2 + 1) y_1=2$
दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=2 tan^{-1} x .1/{1 + x^2}=({2 tan^{-1} x}/{1 + x^2}$
$(1 + x^2) {dy}/{dx}=2 tan^{-1} x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(1 + x^2) {d^2 y}/{dx^2} + {dy}/{dx} .d/{dx} (1 + x^2)=d/{dx} (2 tan^{-1}x)$
$(1 + x^2) {d^2 y}/{dx^2} + {dy}/{dx} . (0 + 2x)=2/{1 + x^2}$
$(x^2 + 1) {d^2 y}/{dx^2}$
Special Computer Typed and Handwritten Notes on Exercise 5.7 (Completely Solved).
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