5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | सॉल्यूशन प्रश्नावली 5.8 | NCERT Math Class 12 Chapter 5 Exercise 5.8 all questions UP Board Hindi Medium

5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | सॉल्यूशन प्रश्नावली 5.8 | NCERT Math Class 12 Chapter 5 Exercise 5.8 all questions UP Board Hindi Medium


Book NCERT
Class 12th
Subject Math
Chapter Name 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता
Exercise 5.8
Catagory Class 12 math notes in Hindi
Medium Hindi (UP Board)

अध्याय 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता | प्रश्नावली 5.8 में हम किन प्रश्नों को हल करना सीखेंगे?

1. फलन $f(x)=x^2+2x-8, x∈ [-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए। \in

2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[5, 9]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[-2, 2]$
(iii) $f(x)= x^2-1$ के लिए $x∈[1, 2]$

3. यदि $f∶[-5, 5]→ R$ एक संतत फलन है और यदि $f^'(x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि $f(-5)≠f(5)$.

4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^2-4x-3$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।

5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^3-5x^2-3x$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^'(c)=0$ के लिए $c∈(1, 3)$ को ज्ञात कीजिए।

6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।

Handwritten Notes | प्रश्नावली 5.8 | सांतत्य तथा अवकलनीयता कक्षा 12 गणित

Computer Typed Notes | प्रश्नावली 5.8 | सांतत्य तथा अवकलनीयता कक्षा 12 गणित

1. फलन $f(x)=x^2 + 2x - 8, x∈ [ -4, 2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन - किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[5, 9]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[ - 2, 2]$
(iii) $f(x)= x^2 - 1$ के लिए $x∈[1, 2]$

3. यदि $f∶[ - 5, 5]→ R$ एक संतत फलन है और यदि $f^' (x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि $f( - 5)≠f(5).$

4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^2 - 4x - 3$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।

5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^3 - 5x^2 - 3x$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^' (c)=0$ के लिए $c∈(1, 3)$ को ज्ञात कीजिए।

6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।

प्रश्न 1. फलन $f(x)=x^2 + 2x - 8, x∈[ - 4, 2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।

हल: -

दिया है: $f(x)=x^2 + 2x - 8, x∈[ - 4, 2]$
$f^'(x)=2x + 2, eq(1)$
चूंकि $f(x)$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः $f(x)$ अन्तराल $[ - 4, 2]$ में सतत व अवकलनीय है।
अब, $f(- 4)=(- 4)^2 + 2(- 4) - 8=16 - 8 - 8=0$
तथा $f(2)=(2)^2 + 2(2) - 8=4 + 4 - 8=0$
∵ $f( - 4)=f(2)$
अब समी० (1) से,
$f^'(x)=2x + 2$
∴ $f^'(c)=2c + 2$
परन्तु रोले की प्रमेय से,
$f^'(c)=0$
$2c + 2=0$
$2c= - 2 c$
$={- 2}/2$
$c= - 1∈[ - 4, 2]$
चूंकि सभी नियम सन्तुष्ट हैं। अतः रोले की प्रमेय सत्यापित है। Proved.

प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन - किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?

(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[5, 9]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[ - 2, 2]$
(iii) $f(x)= x^2 - 1$ के लिए $x∈[1, 2]$

हल: -

(i):– दिया है: $f(x)=[x], x∈[5, 9]$
$f^'(x)=2x + 2, eq(1)$
चूंकि $[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है।
चूंकि प्रत्येक महत्तम पूर्णांक फलन $∀x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
अतः $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। Ans.

हल: -

(ii):– दिया है: $f(x)=[x], x∈[ - 2, 2]$
$f^'(x)=2x + 2, eq(1)$
चूंकि $[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है।
चूंकि प्रत्येक महत्तम पूर्णांक फलन $∀x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
अतः $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। Ans.

हल: -

(iii):– दिया है: $f(x)=x^2 - 1, x∈[1, 2]$
$f^'(x)=2x + 2, eq(1)$
∵ $x^2 - 1$ एक बहुपदीय फलन है।
चूंकि प्रत्येक बहुपदीय फलन $[1, 2]$ पर सतत तथा अवकलनीय होगा।
अब, $f(1)=1^2 - 1=1 - 1=0$
तथा $f(2)=2^2 - 1=4 - 1=3$
∵ $f(1)≠f(2)$
अतः फलन $f(x)$ रोले की प्रमेय सन्तुष्ट नहीं करता है। Ans.

प्रश्न 3. यदि $f∶[ - 5, 5]→ R$ एक संतत फलन है और यदि $f^'(x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि $f( - 5)≠f(5).$

हल: -

दिया है: $f∶[ -5, 5]→ R$, एक संतत फलन है।
$f^'(x)$ किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं है अर्थात $f^'(c)≠0$.
सिद्ध करना है: $f( - 5)≠f(5)$.
माध्यमान प्रमेय से,
${f(b) - f(a)}/{b - a}≠0$
${f(5) - f( - 5)}/{5 - ( - 5)}≠0$
${f(5) - f( - 5)}/{10}≠0$
$f(5) - f( - 5)≠0$
$f(5)≠f( - 5)$
या $f( - 5)≠f(5)$, Proved.

प्रश्न 4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल
$[a, b]$ में $f(x)= x^2 - 4x - 3$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।

हल: -

दिया है: $f(x)= x^2 - 4x - 3, x∈[1, 4]$
$f^'(c)=2x - 4$
∵ $x^2 - 1$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $f(x)$, अंतराल $[1, 2]$ पर सतत व अवकलनीय होगा।
अब, $f(1)=1^2 - 4(1) - 3=1 - 4 - 3=6$
तथा $f(4)=4^2 - 4(4) - 3=16 - 16 - 3= - 3$
∵ $f(1)≠f(4)$
जबकि माध्यमान प्रमेय से,
$f^'(c)={f(b) - f(a)}/{b - a}$
$2c - 4={f(4) - f(1)}/{4 - 1}$
$2c - 4={- 3 - ( - 6)}/3$
$2c - 4={- 3 + 6}/3=3/3=1$
$2c=1 + 4=5$
$c=5/2, ∈[1, 4] $Proved.

प्रश्न 5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^3 - 5x^2 - 3x$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^'(c)=0$ के लिए $c∈(1, 3)$ को ज्ञात कीजिए।

हल: -

दिया है: $f(x)= x^3 - 5x^2 - 3x, x∈[1, 3]$
$f^'(x)=3x^2 - 10x - 3, eq(1)$
∵ $f(x)= x^3 - 5x^2 - 3x$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $f(x)$ अन्तराल $[1, 3]$ पर सतत तथा अवकलनीय है।
अब, $f(1)=1^3 - 5(1^2) - 3=1 - 5 - 3= - 7$
तथा $f(3)=3^3 - 5(3^2) - 3=27 - 45 - 3= - 27$
∵ $f(1)≠f(3)$
जबकि माध्यमान प्रमेय से,
$f^' (c)={f(b) - f(a)}/{b - a}$
$3c^2 - 10c - 3={f(3) - f(1)}/{3 - 1}$
$3c^2 - 10c - 3={- 27 - ( - 7)}/2$
$3c^2 - 10c - 3={- 27 + 7}/2={- 20}/2$
$3c^2 - 10c - 3= - 10$
$3c^2 - 3c - 7c + 7=0$
$3c(c - 3) - 7(c - 3)=0$
$(c - 3)(3c - 7)=0$
$c=3 or c=7/3, $
यहां $c=7/3 ∈[1, 3]$Proved.
अब यदि $f^'(c)=0$ तो $c∈(1, 3)$ ज्ञात संभव नहीं है।
क्योंकि $f(1)≠f(3)$

प्रश्न 6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।

हल: -

(i):– दिया है: $f(x)=[x]$, के लिए $x∈[5, 9]$
∵ $f(x)=[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है। जो $x∈R$ के लिए न तो सतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः यहां माध्यमान प्रमेय लागू नहीं हो सकता है। Ans.

हल: -

(ii):– दिया है: $f(x)=[x]$, के लिए $x∈[ - 2, 2]$
∵ $f(x)=[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है। जो $x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
Ans.

हल: -

(iii):– दिया है: $f(x)=x^2 - 1, x∈[1, 2]$
$f^'(x)=2x, eq(1)$
∵ $x^2 - 1$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $[1, 2]$ पर सतत तथा अवकलनीय है।
अब, $f(1)=1^2 - 1=1 - 1=0$
तथा $f(2)=2^2 - 1=4 - 1=3$
∵ $f(1)≠f(2)$
अतः माध्यमान प्रमेय से —
$f^' (c)={f(b) - f(a)}/{b - a}$
$2c={3 - 0}/{2 - 1}=3/1=3$
$2c=3 or c=3/2$
यहां $c=3/2 ∈[1, 2]$
अतः माध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है। Proved.
Special Computer Typed and Handwritten Notes on Exercise 5.8 (Completely Solved).
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End

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