बेसिक कॉन्सेप्ट और उदाहरण प्रश्नावली 6.3 पर | अवकलन के अनुप्रयोग कक्षा 12 गणित | Handwritten and typed Notes

प्रश्नावली 6.1

प्रश्न 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिर्वतन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) $r=3$ cm है
(b) $r=4 cm$ है

हल :- (a) वृत्त की त्रिज्या (r) = 3 cm
∵ वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr^2
∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dr=d/dr (πr^2 )
=π.(2r)
=π×2×3,∵ r=3 cm
=6π (cm^2)⁄cm
(b) वृत्त की त्रिज्या (r) = 4 cm
∵ वृत्त का क्षेत्रफल (A) = πr^2
∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dr=d/dr (πr^2 )
=π.(2r)
=π×2×4,∵ r=4 cm
=8π (cm^2)⁄cm Ans.

प्रश्न 2. एक घन का आपतन 8 cm$^3$/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है।

हल :- माना घन का किनारा a तथा आयतन V है।
घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt=8 (cm^3)⁄s
दिया है – किनारे की लम्बाई (a) = 12 cm
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन dS/dt= ?
∵ घन का आयतन V=a^3
∴ आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (a^3 )
dV/dt=3a^2 da/dt
8= 3×(12)^2×da/dt
da/dt=8/(3×12×12)
da/dt=1/54,eq(1)
∵ घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल S= 6a^2
∴ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन dS/dt=d/dt (6a^2 )
=6(2a) da/dt
=6×2×12×1/54
=8/3 (cm^2)⁄s Ans.

प्रश्न 3. एक वृत की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।

हल :- माना वृत्त की त्रिज्या r तथा क्षेत्रफल A है।
त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=3 cm⁄s
वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dV/dt= ?
दिया है — त्रिज्या (r) = 10 cm
∵ वृत्त का क्षेत्रफल A=πr^2
∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (πr^2 )
=π (2r) dr/dt=π×2×10×3
=60π (cm^2)⁄s Ans.

प्रश्न 4. एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है?

हल :- माना घन की भुजा (किनारा) a सेमी तथा आयतन V सेमी3 है।
घन के किनारे में परिवर्तन da/dt=3 cm⁄s
दिया है — घन की भुजा (a) = 10 cm
घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt= ?
∵ घन का आयतन V= a^3
∴ घन के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (a^3 )
=3a^2 da/dt
=3×(10)^2×3
=3×100×3
=900 (cm^3)⁄s Ans.

प्रश्न 5. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 cm/s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?

हल :- माना वृत्त की त्रिज्या r सेमी तथा क्षेत्रफल A सेमी2 है।
त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=5 cm⁄s
वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dV/dt= ?
दिया है — त्रिज्या (r) = 8 cm
∵ वृत्त का क्षेत्रफल A=πr^2
∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (πr^2 )
=π (2r) dr/dt=π×2×8×5
=80π (cm^2)⁄s Ans.

प्रश्न 6. एक वृत की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब $r= 4.9$ cm है?

हल :- माना वृत्त की त्रिज्या r तथा परिधि C है।
त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt=0.7 cm⁄s
परिधि में परिवर्तन dC/dt= ?
दिया है — त्रिज्या (r) = 4.9 cm
∵ वृत्त की परिधि C=2πr
∴ वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (2πr)
=2π dr/dt=2π×0.7
=1.4π cm⁄s Ans.

प्रश्न 7. एक आयत की लम्बाई $x$, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई $y$, 4 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब $x = 8$ cm और $y = 6$ cm हैं तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

हल :- दिया है — आयत की लम्बाई x = 8 cm
तथा आयत की चौड़ाई y = 6 cm
लम्बाई में परिवर्तन dx/dt= -5 cm⁄min
चौड़ाई में परिवर्तन dy/dt= +4 cm⁄min
(a) परिमाप के परिवर्तन की दर dC/dt= ?
(b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर dA/dt= ?
∵ आयत का परिमाप C=2 (l+b)=2(x+y)
∴ आयत के परिमाप में परिवर्तन dC/dt
=d/dt 2(x+y)
=2 (dx/dt+dy/dt)
=2(-5+4)
=2×(-1)
= -2 cm⁄min घट रहा है। Ans.
∵ आयत का क्षेत्रफल A= l×b= x×y
∴ आयत के क्षेत्रफल में परिवर्तन dA/dt=d/dt (x×y)
=x dy/dt+y dx/dt
=8×4+6×(-5)
=32-30
=2 cm⁄min बढ़ रहा है। Ans.

प्रश्न 8. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 cm$^3$ गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।

हल :- माना गुब्बारे की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है।
गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 15 cm
गुब्बारे के आयतन परिवर्तन (dV/dt)= 900 (cm^3)⁄s
गुब्बारे की त्रिज्या में परिवर्तन (dr/dt)= ?
∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन V
=4/3 πr^3
∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन
dV/dt=d/dt (4/3 πr^3 )
dV/dt=4/3 π(3r^2 ) dr/dt
900=4/3 π×3×(15)^2×dr/dt
900=4 π×225×dr/dt
dr/dt=900/(900 π)=1/π
dr/dt=1/π cm⁄s
अतः गुब्बारे की त्रिज्या में 1/π cm⁄s की दर से वृद्धि हो रही है। Ans.

प्रश्न 9. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।

हल :- माना गुब्बारे की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है।
गुब्बारे की त्रिज्या (r) = 10 cm
त्रिज्या के सापेक्ष गुब्बारे के आयतन परिवर्तन की दर (dr/dt)= ?
∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन V
=4/3 πr^3
∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन
dV/dr=d/dr (4/3 πr^3 )
=4/3 π(3r^2 )
=4/3 π×3×(10)^2
=4/3 π×3×100
= 400 π (cm^2)⁄cm Ans.

प्रश्न 10. एक 5 m लम्बी सीड़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर 2 cm/s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 m दूर है?

हल :- चित्र में,
सीढ़ी की लम्बाई AC = 5 मीटर
दीवार की लम्बाई AB = y मीटर
दीवार से सीढ़ी की दूरी में परिवर्तन dx/dt=2 cm⁄s
दीवार पर सीढ़ी की ऊंचाई में परिवर्तन dy/dt= ?
समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से —
AC^2= AB^2+ BC^2
5^2= y^2+x^2 ,eq(1)
25= y^2+16
25-16= y^2
9= y^2
y=√9
y=3 cm
समी(1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
0=2y dy/dt+2x dx/dt
0= 2×(3) dy/dt+2×(4)×2
0= 6 dy/dt+16
6 dy/dt=-16
dy/dt=(-16)/6=(-8)/3 cm⁄s
अतः दीवार पर इसकी ऊँचाई (-8)/3 cm⁄s की दर से घट रही है। Ans.

11. एक कण वक्र $6y=x^3+2$ के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि $x$-निर्देशांक की तुलना में $y$-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।

हल :- दिया है — वक्र 6y= x^3+2,eq(1)
x-निर्देशांक में परिवर्तन = dx/dt
y-निर्देशांक में परिवर्तन = dy/dt
प्रश्नानुसार,
y-निर्देशांक में परिवर्तन dy/dt=8 dx/dt ,eq(2)
समी (1) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर —
6 dy/dt=(3x^2+0) dx/dt
6×8 dx/dt=3x^2 dx/dt
48= 3x^2
x^2=48/3=16
x=√16= ±4
जब x=4 तो ,
6y= x^2+2
6y=(4)^3+2= 64+2=66
y=66/6=11
अतः बिन्दु (4, 11)
जब x=-4 तो ,
6y= x^2+2
6y=(-4)^3+2= -64+2=-62
y=(-62)/6=(-31)/3
अतः बिन्दु (-4, -31/3)
अतः वक्र पर अभीष्ट बिन्दु (4, 11) तथा (-4, -31/3) Ans.

12. हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या $1/2$ cm⁄s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है?

हल :- माना गोलाकार बुलबुले की त्रिज्या r सेमी तथा आयतन V सेमी3 है।
त्रिज्या में परिवर्तन dr/dt= 1/2 cm⁄s
बुलबुले के आयतन में परिवर्तन dV/dt= ?
∵बुलबुले का आयतन V=4/3 πr^3
∴ बुलबुले के आयतन में परिवर्तन
dV/dt=d/dt (4/3 πr^3 )
=4/3 π (3r^2 ) dr/dt
=4π (1)×1/2
= 2π (cm^3)⁄s
अतः आयतन 2π (cm^3)⁄s की दर से बढ़ रहा है। Ans.

13. एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास $3/2 (2x+1)$ है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

हल :- माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है।
दिया है — व्यास = 3/2 (2x+1)
=(3/2 (2x+1))/2=3/4 (2x+1)
आयतन में परिवर्तन की दर dV/dx= ?
∵ गोलाकार गुब्बारे का आयतन
V=4/3 π r^3
=4/3 π [3/4 (2x+1)^3 ]
=4π/3×27/64×(2x+1)^3
V=9π/16 (2x+1)^3
∴ गुब्बारे के आयतन में परिवर्तन —
dV/dx=d/dt [9π/16 (2x+1)^3 ]
= 9π/16×3×(2x+1)^2.2
=27π/8 (2x+1)^2 (cm^3)⁄cm Ans.

14. एक पाइप से रेत 12 cm$^3$⁄s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है?

हल :- माना पाइप का आयतन V है।
तब, पाइप के आयतन में परिवर्तन की दर —
dV/dt=12 (cm^3)⁄s
माना शंकु के आधार की त्रिज्या r तथा ऊंचाई h है।
प्रश्नानुसार, h=r/6 तथा h=4 cm
r=6h
r=6×4
r=24 cm
शंकु की ऊंचाई में परिवर्तन dh/dt= ?
∵ शंकु का आयतन V=1/3 πr^2 h
=1/3 π×(6h)^2 h
=1/3 π×36 h^2×h
=12 πh^3
∴ शंकु के आयतन में परिवर्तन dV/dt=d/dt (12 πh^3 ) dh/dt
12 (cm^3)⁄s=12π (3h^2 ) dh/dt
1 (cm^3)⁄s=π×3×(4)^2 dh/dt
dh/dt=1/(π×3×16)=1/48π cm⁄s
अतः रेत से बने शंकु की ऊंचाई 1/48π cm⁄s की दर से बढ़ रही है। Ans.

15. एक वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन से संबंध कुल लागत $C(x)$ (रुपये में)
$C(x)=0.007x^3-0.003x^2+15x+4000$
से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।

हल :- दिया है — C(x)=0.007x3-0.003x^2+15x+4000
सीमांत लागत के लिए —
dC/dx=d/dx {0.007x3-0.003x^2+15x+4000}
= 0.007(3x^2 )-0.003(2x)+15(1)+0
= 0.021x^2-0.006x+15
प्रश्नानुसार 17 इकाइयों के लिए - x=17
dR/dx=0.021(17)^2-0.006(17)+15
=0.021×289-0.006×17+15
= 6.069-0.102+15
=20.967 रु. Ans.

16. किसी उत्पाद की $x$ इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय $R(x)$ रुपयों में
$R(x)=13x^2+26x+15$
प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब $x = 7$ है।

हल :- दिया है — R(x)=13x^2+26x+15
सीमांत आय के लिए —
dR/dx=d/dx (3x^2+36x+5)
= 13(2x)+26(1)+0
= 26x+26
प्रश्नानुसार x=7 इकाइयों के लिए -
dR/dx= 26(7)+26
=182+26
=208 रु. Ans. प्रश्न 17 तथा 18 में सही उत्तर का चयन कीजिए:

17. एक वृत्त की त्रिज्या $r = 6$ cm पर $r$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है :
(Α) 10π
(Β) 12π
(C) 8π
(D) 11π

हल :- वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 cm
माना वृत्त का क्षेत्रफल A है।
तब, क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर dA/dr= ?
dA/dr= d/dr (πr^2 )=π(2r)
dA/dr=π 2(6)=12π (cm^3)⁄cm
अतः सही उत्तर : विकल्प (B) 12π Ans.

18. एक उत्पाद की $x$ इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में $R(x)=3x^2+36x+5$ से प्रदत्त है। जब $x = 15$ है तो सीमांत आय है:
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126

हल :- दिया है — R(x)=3x^2+36x+5
सीमांत आय के लिए —
dR/dx=d/dx (3x^2+36x+5)
= 3(2x)+36(1)+0
= 6x+36
प्रश्नानुसार x=15 के लिए -
dR/dx= 6(15)+36
=80+36
=126
अतः सही उत्तर: विकल्प (D) 126 Ans.