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6.2

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए R पर f(x)=3x+17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है।

हल :- दिया है — f(x)=3x+17
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^'(x) =d/dx (3x+17)
=3(1)+0
=3>0 (धनात्मक मान)
अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved.

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि R पर f(x)=e^2x से प्रदत्त फलन वर्धमान है।

हल :- दिया है — f(x)=e^2x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (e^2x )
=e^2x (2)
=2e^2x>0 (सभी x∈R के लिए )
अतः दिया गया फलन एक वर्धमान फलन है। Proved.
Note : Exponential Function e^x,e^2y,e^(-x) etc. हमेशा वर्धमान होते हैं।

प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए f(x)= sinx से प्रदत्त फलन
(a) (0,π/2) में वर्धमान है,
(b) (π/2,π) में ह्रासमान है,
(c) 0,π में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

हल :- दिया है — f(x)=sinx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx sinx
= cosx
∵ (0,π/2) में cosx का मान
धनात्मक होता है। ∴ f^' (x)>0
अतः (0,π/2) में f(x)=sinx एक ह्रासमान फलन है। Proved.
∵ (π/2,π) में cosx का मान ऋणात्मक होता है।
∴ f^' (x)<0
अतः (π/2,π) में दिया गया फलन f(x)=sinx एक वर्धमान फलन है। Proved.
(0,π) में cosx का मान धनात्मक व ऋणात्मक दोनों होता है।
∴ f^' (x)>0
अतः (0,π) में दिया गया फलन f(x)=sinx एक ह्रासमान फलन है। Proved.

प्रश्न 4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x)=2x^2-3x प्रदत्त फलन f (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है।

हल :- दिया है — f(x)=2x^2-3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (2x^2-3x)
f^' (x)=2.(2x)-3(1)
f^' (x)=4x-3
अंतराल के लिए
f^' (x)=0
4x-3=0
4x=3
x=3⁄4
संख्या रेखा पर —
अंतराल (a) (-∞, 3/4), (b) (3/4, ∞)
⇒ अंतराल (a) (-∞, 3/4) पर माना यदि x = -7 तब –
f^' (x)=4x-3
=4(-7)-3
= -28-3
= -31<0 (ऋणात्मक मान)
अतः अंतराल (a) (-∞, 3/4) पर फलन ह्रासमान है। Ans.
⇒ अंतराल (b) (3/4, ∞) पर माना यदि x = 10 तब –
f^' (x)=4x-3
=4(10)-3
= 10-3
= 7<0 (धनात्मक मान)
अतः अंतराल (b) (3/4, ∞) पर फलन वर्धमान है। Ans.

प्रश्न 5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x)=2x^3-3x^2-36x+7 से प्रदत्त फलन f (a) वर्धमान (b) ह्रासमान

हल :- दिया है — f(x)=2x^3-3x^2-36x+7
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (2x^3-3x^2-36x+7)
=2(3x^2 )-3(2x)-36 (1)
=6x^2-6x-36
अंतराल के लिए
f^' (x)=0
6x^2-6x-36=0
x(x-3)+2(x-3)=0
(x-3)(x+2)=0
x=3,-2
संख्या रेखा पर —
अंतराल (a) (-∞, -2), (b) (-2, 3) (c) (3, ∞)
⇒ अंतराल (a) (-∞, -2) पर माना यदि x = -100 तब –
f^' (x)=6x^2-6x-36
=6(-100)^2-6(-100)-36
= 60000+600-36
= 60574<0 (धनात्मक मान)
अतः अंतराल (a) (-∞, -2) पर फलन वर्धमान है।
⇒ अंतराल (b) (-2, 3) पर माना यदि x = 2 तब –
f^' (x)=6x^2-6x-36
=6(2)^2-6(2)-36
=24-12-36
= 24-48
= -24<0 (ऋणात्मक मान)
अतः अंतराल (b) (-2, 3) पर फलन ह्रासमान है। Ans.
⇒ अंतराल (c) (3, ∞) पर माना यदि x = 3 तब –
f^' (x)=6x^2-6x-36
=6(3)^2-6(3)-36
=54-18-36
= 54-54
= 0 (धनात्मक मान)
अतः अंतराल (a) (-2, 3) पर फलन वर्धमान है। Ans.

प्रश्न 6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या हासमान है:
(a) f(x)= x^2+2x+5
(b) f(x)= 10-6x-2x^2
(c) f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1
(d) f(x)= 6-9x-x^2
(d) f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3

हल :- (a) f(x)= x^2+2x+5
दिया है: f(x)= x^2+2x+5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (x^2+2x+5)
= 2x+2(1)+0
=2x+2
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
f^' (x)=0
2x+2=0
2x= -2
x=-1
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) (-∞, -1) (ii) (-1, ∞)
(i) (-∞, -1) पर यदि x = - 5 तो,
f^' (x)=2(-5)+2
=-10+2
= -8 (ऋणात्मक मान)
अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans.
(ii) (-1, ∞) पर यदि x = 10 तो,
f^' (x)=2(10)+2
=20+2
= 22 (धनात्मक मान)
अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। Ans.
(b) f(x)= 10-6x-2x^2
हल :- दिया है — f(x)= 10-6x-2x^2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (10-6x-2x^2 )
= 0-6(1)-2(2x)
=-6-4x
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
f^' (x)=0
-6-4x=0
-4x= 6
x=-3⁄2
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) (-∞, -3/2) (ii) (-3/2, ∞)
(i) (-∞, -3/2) पर यदि x = - 10 तो,
f^' (x)=-6-4x
=-6-4(-10)= -6+40
= 34 (धनात्मक मान)
f^' (x)>0
अतः (-∞, -3/4) पर फलन f(x) वर्धमान है। Ans.
(ii) (-3/4, ∞) पर यदि x = 10 तो,
f^' (x)=-6-4(10)
=-6-40
= -46 (ऋणात्मक मान)
f^' (x)<0
अतः (-3/4, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans.
(c) f(x)= -2x^3-9x^2-12x+1
हल :- दिया है — f(x)=- 2x^3-9x^2-12x+1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (- 2x^3-9x^2-12x+1)
= -2(3x^2 )-9(2x)-12(1)+0
=-6x^2-18x-12
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
f^' (x)=0
-6x^2-18x-12=0
-6(x^2+3x+2)= 0
x^2+3x+2=0
x^2+2x+x+2=0
x(x+2)+1(x+2)=0
(x+2)(x+1)=0
x+2=0⇒x=-2
x+1=0⇒x=-1
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) (-∞, -2) (ii) (-2, -1) (ii) (-1,-∞)
(i) (-∞, -2) पर यदि x = - 100 तो,
f^' (x)=-6x^2-18x-12
=-6(-100)^2-18(-100)-12
= -6000+1800-12
= -4212 (ऋणात्मक मान)
f^' (x)>0
अतः (-∞, -2) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans.
(ii) (-2, -1) पर यदि x = -2 तो,
f^' (x)=-6(-2)^2-18(-2)-12
= -24+36-12
= 0 (धनात्मक मान)
f^' (x)=0
अतः (-2, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। Ans.
(iii) (-1, ∞) पर यदि x = 10 तो,
f^' (x)=-6x^2-18x-12
=-6(10)^2-18(10)-12
= -600-180-12
= -782 (ऋणात्मक मान)
f^' (x)<0
अतः (-1, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans.
(d) f(x)= 6-9x-x^2
हल :- दिया है —
f(x)=6-9x-x^2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (6-9x-x^2 )
= 0-9(1)-2x
=-9-2x
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
f^' (x)=0
-9-2x=0
-2x= 9
x=-9⁄2
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) (-∞, -9/2) (ii) (-9/2, ∞)
(i) (-∞, -9/2) पर यदि x = - 10 तो,
f^' (x)=-9-2x
=-9-2(-10)
= -6+20
= 14 (धनात्मक मान)
f^' (x)>0
अतः (-∞, -3/4) पर फलन f(x) वर्धमान है। Ans.
(ii) (-9/2, ∞) पर यदि x = 10 तो,
f^' (x)=-9-4(10)
=-9-40
= -49 (ऋणात्मक मान)
f^' (x)<0
अतः (-9/2, ∞) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans.
(e) f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3
हल :– दिया है — f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)= (x+1)^3 d/dx (x-3)^3+ (x-3)^3 d/dx (x+1)^3
=(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2
=3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2
=3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3]
=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2]
=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)]
=6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1)
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
f^' (x)=0
तब क्रमशः x= -1,x=3,x=1
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) (-∞, -1) (ii) (-1, 1) (iii) (1, 3) (iv) (3, ∞)
(i) (-∞, -1) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(-)<0
अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans.
(ii) (-1, -1) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(-)<0
अतः (-1, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है। Ans.
(iii) (1, 3) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(+)>0
अतः (1, 3) पर फलन f(x) वर्धमान है। Ans.
(iv) (3, ∞,) पर f^' (x) का चिन्ह =(+)(+)(+)>0
अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) वर्धमान है। Ans.

प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि y=log⁡〖(1+x)〗-2x/(2+ x),x> - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।

हल :- दिया है: y=log⁡(1+x)-2x/(2+ x),x> - 1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx log⁡(1+x)-d/dx [2x/(2+ x)]
=1/(1+x)-[((2+x) d/dx 2x-2x d/dx (2+x) )/(2+x)^2 ]
=1/(1+x)-[((2+x) 2(1)-2x (0+1) )/(2+x)^2 ]
=1/(1+x)-[(4+2x-2x )/(2+x)^2 ]
=1/(1+x)-4/(2+x)^2
=((2+x)^2-4(1+x))/((1+x) (2+x)^2 )
=(4+4x+x^2-4-4x)/((1+x) (2+x)^2 )
=x^2/((1+x) (2+x)^2 )
यहां x^2,(2+x)^2>0 क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं।
तथा (1+x)>0, क्योंकि x>-1 से 1
∵ dy/dx का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है
अतः फलन y संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved.

प्रश्न 8. x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y=[x(x-2)]^2 एक वर्धमान फलन है।

हल :- दिया है — y=[x(x-2)]^2
y=[x^2-2x]^2
y= x^4+4x^2-4x^3
y= x^4-4x^3+4x^2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx (x^4-4x^3+4x^2 )
= 4x^3-4(3x^2 )+4(2x)
= 4x^3-12x^2+8x
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
dy/dx=0
4x^3-12x^2+8x=0
4x (x^2-3x+2)=0
4x (x^2-2x-x+2)=0
4x [x(x-2)-1(x-2)]=0
4x(x-2)(x-1)=0
x=0,x=2,x=1
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु ,
(-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞) हैं।
⇒ अंतराल (-∞, 0) पर,
dy/dX का चिन्ह=(-)(-)(-)
∴ dy/dX<0
अतः अंतराल (-∞, 0) पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल (0, 1) पर
dy/dX का चिन्ह=(+)(-)(-)
अतः dy/dX>0
अतः अंतराल (0, 1) पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (1, 2) पर
dy/dX का चिन्ह=(+)(-)(+)
अतः dy/dX<0
अतः अंतराल (1, 2) पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल (2, ∞) पर
dy/dX का चिन्ह=(+)(+)(+)
अतः dy/dX>0
अतः अंतराल (2, ∞) पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
अतः अंतराल (0,1), (2, ∞) पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans.

प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए कि [0,π/2] में y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ,θ का एक वर्धमान फलन है।

हल :- दिया है: y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=((2+cosθ) d/dx 4sinθ-4sinθ d/dθ (2+cosθ))/(2+cosθ)^2 -d/dθ (θ)
=((2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ))/(2+cosθ)^2 -1
=(8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ)/〖⁡(2+cosθ)〗^2 -1
=(8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2)/〖⁡(2+cosθ)〗^2
=(8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ])/〖⁡(2+cosθ)〗^2
=(8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ)/〖⁡(2+cosθ)〗^2
=(4cosθ-cos^2 θ)/〖⁡(2+cosθ)〗^2
=(cosθ (4-cosθ))/〖⁡(2+cosθ)〗^2
अंतराल [0,π/2] में तथा व
∴dy/dx>0
अतः फलन [0,π/2] में एक वर्धमान फलन है। Ans.

प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है।

हल :- माना f(x)= logx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx logx
f^' (x)=1/x
अतः अंतराल (0,π) में (0,π) x=π/2 हो तो —
f^' (x)=1/(π⁄2)=2/π
f^' (x)>0
अतः अंतराल (0,π) में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved.

प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x)= x^2-x+1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

हल :- दिया है — f(x)= x^2-x+1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx ( x^2-x+1)
f^' (x)=2x-1+0
f^' (x)=2x-1
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
f^' (x)=0
2x-1=0
2x=1
x=1/2
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु (i) (-1, 1/2) व (ii) (1/2, 1) हैं तथा बिन्दु (-1, 1) को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है।
⇒ अब यदि अंतराल (-1,1⁄2) पर x=1/4 हो तो —
f^' (x)=2×1/4-1=1/2-1
f^' (x)= -1/2
f^' (x)<0
अतः अंतराल (-1,1⁄2) में फलन ह्रासमान है।
⇒ अब यदि अंतराल (1/2,1) पर x=3/4 हो तो —
f^' (x)=2×3/4-1=3/2-1
f^' (x)= 1/2
f^' (x)>0
अतः अंतराल (1/2,1) में फलन वर्धमान है।
अतः दिया गया फलन f(x) अंतराल (-1, 1) में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved.

प्रश्न 12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, π/2) में ह्रासमान हैं?
(A) cosx
(B) cos2x
(C) cos3x
(D) tanx

हल :- (A) माना f(x)=cosx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (cosx)
f^' (x)= -sinx
⇒ अंतराल (0, π/2) पर —
sinx<0
-sinx>0
f^' (x)<0
अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (B) माना f(x)=cos2x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर — f^' (x)=d/dx (cos2x)
f^' (x)= -2sin2x
⇒ अंतराल (0, π/2) पर यदि x = π/2 तो —
f^' (x)= -2sin2×π/4
= -2 sin⁡〖π/2〗
=-2×1
=-2
f^' (x)<0
अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (C) माना f(x)=cos3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (cos3x)
f^' (x)= -3sin3x
f^' (x)= -3[┤]
⇒ अंतराल (0, π/2) पर यदि x = π/2 तो —
f^' (x)= -2sin2×π/4
= -2 sin⁡〖π/2〗
=-2×1
=-2
f^' (x)<0
अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (D) माना f(x)=tanx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (tanx)
f^' (x)= sec^2 x
अंतराल (0, π/2) पर —
sec^2 x>0,क्योंकि पूर्ण वर्ग है।
∴ f^' (x)>0
अतः अंतराल (0, π/2) पर फलन वर्धमान है। Ans.

प्रश्न 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^100+sin⁡x- 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है?
(A) (0,1)
(B) (π/2, π)
(C) (0, π/2)
(D) इनमें से कोई नहीं

हल :- दिया है : f(x)=x^100+sin⁡x- 1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (x^100+sin⁡x- 1)
= 100x^99+ cosx-0
= 100x^99+ cosx
⇒ अंतराल (A), (0,1) पर —
100x^99>0
cosx<0
f^' (x)>0
अतः फलन (0,1) पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (B), (π/2, π) पर —
100x^99>0
cosx<0
f^' (x)>0
अतः फलन (0,1) पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (C), (0, π/2) पर —
100x^99>0
cosx>0
f^' (x)>0
अतः फलन (0, π/2) पर वर्धमान है।
अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans.

प्रश्न 14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f(x)= x^2+ ax+1 से प्रदत्त फलन वर्धमान है।

हल :- दिया है: f(x)= x^2+ ax+1, तथा अंतराल [1, 2]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (x^2+ ax+1)
=2x+a(1)+0
= 2x+a
⇒ अंतराल [1, 2] में फलन वर्धमान होने के लिए –
f^' (x)>0
2x+a>0
a>-2x
अंतराल [1, 2] में a के न्यूनतम मान के लिए x = 1 रखने पर —
a>-2(1)
a>-2
अतः a का न्यूनतम मान -2 है। Ans.

प्रश्न 15. मान लीजिए [-1,1] से असंयुक्त एक अंतराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x)= x+1/x से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।

हल :- दिया है: अंतराल I= R-[-1,1]
तथा f(x)= x+1/x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (x+1/x) =1-1/x^2 =(x^2-1)/x^2 ⇒ अंतराल I= R-[-1,1] में x^2-1>0 तथा x^2>0 ∴ f^' (x)>0 अतः फलन f(x)= x+1/x अंतराल I में वर्धमान है। Proved.

प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन f(x)=log⁡sinx,(0,π/2) में वर्धमान और (π/2,π) में ह्रासमान है।

हल :- दिया है: f(x)=log⁡sinx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx log⁡sinx
=1/sinx .cosx
= cotx
⇒ अंतराल (0,π/2) में cotx धनात्मक है।
∴ f^' (x)>0
अतः अंतराल (0,π/2) में फलन वर्धमान है। Proved.
⇒ अंतराल (π/2,π) में cotx ऋणात्मक है।
∴ f^' (x)<0
अतः अंतराल (π/2,π) में फलन ह्रासमान है। Proved.

प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=log⁡〖|cosx|,(0,π/2)〗 में वर्धमान है और (3π/2,2π) में ह्रासमान है।

हल :- दिया है: f(x)=log⁡|cosx|
X के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx log⁡|cosx|
=1/cosx .(-sinx)
= - tanx
⇒ अंतराल (0,π/2) में tanx धनात्मक है।
∴ f^' (x)<0
∴ अंतराल (0,π/2) में फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल (3π/2,2π) में tanx ऋणात्मक है।
∴ f^' (x)>0
∴ अंतराल (3π/2,2π) में फलन वर्धमान है।
अतः अंतराल (3π/2,2π) में फलन वर्धमान और अंतराल (0,π/2) में फलन ह्रासमान है। Proved.

प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100 वर्धमान है।

हल :- दिया है: f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
f^' (x)=d/dx (x^3 - 3x^2 + 3x-100) = 3x^2-3(2x)+3(1)-0
= 3(x^2-2x+1)
= 3 (x-1)^2
अतः x∈ R में, (x-1)^2 धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है।
∴f^' (x)>0 होगा।
अतः R में, दिया गया फलन f(x) वर्धमान है। Ans.

प्रश्न 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y= x^2 e^(-x) वर्धमान है?
(A) (- 00, 00)
(B) (-2,0)
(C) (2, ∞)
(D) (0,2)

हल :- दिया है: y= x^2 e^(-x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर —
dy/dx=d/dx 〖(x〗^2 e^(-x))
= x^2 d/dx (e^(-x) )+e^(-x) d/dx x^2
= x^2.e^(-x) (-1)+ e^(-x) .(2x)
= -x^2 e^(-x)+2x e^(-x)
= xe^(-x) (-x+2)
फलन वर्धमान होने के लिए —
dy/dx >0
xe^(-x) (-x+2)>0
x>0,e^(-x)>0,2-x>0
x>0,e^(-x)>0,-x>-2
x>0,e^(-x)>0,x<2
अतः अंतराल (0, 2) में दिया गया फलन वर्धमान होगा।
∴ सही उत्तर : विकल्प (D) (0, 2) Ans.