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उदाहरण 1:– x=1 पर फलन के सांतत्य की जाँच कीजिए।
उदाहरण 2:– जाँचिए कि क्या फलन f(x)=x^2,x=0 पर संतत है।
उदाहरण 3:– x=0 पर फलन f(x)=|x| के सांतत्य पर विचार कीजिए।
उदाहरण 4:– दर्शाइए कि फलन f(x)={■(x^3+3,&यदि x≠0@1,&यदि x=0)┤ x=0 पर संतत नहीं है।
उदाहरण 5:– उन बिंदुओं की जाँच कीजिए जिन पर अचर फलन (Constant function) f(x)=k संतत है।
उदाहरण 6:– सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के लिए तत्समक फलन (Identity function) f(x)=x , प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए संतत है।
उदाहरण 7:– क्या f(x)=|x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
उदाहरण 8:– फलन f(x)=x^3+x^2-1 के सांतत्य पर विचार कीजिए।
उदाहरण 9:– f(x)=1/x,x≠0 द्वारा परिभाषित फलन f के सांतत्य पर विचार कीजिए।
उदाहरण 10:– निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए: f(x)={■(x+2,&यदि x≤1@x-2,&यदि x>1)┤
उदाहरण 11:– निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित फलन f के समस्त (सभी) सांतत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए f(x)={■(x+2,&यदि x<1@0,&यदि x=1@x-2,&यदि x>1)┤
उदाहरण 12:– निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए: f(x)={■(x+2,&यदि x<0@-x+2,&यदि x>0)┤
उदाहरण 13:– निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए: f(x)={■(x&यदि x≥0@x^2,&यदि x<0)┤
उदाहरण 14:– दर्शाइए कि प्रत्येक बहुपद फलन संतत फलन होता है।
उदाहरण 15:– f(x)=[x] द्वारा परिभाषित महत्तम पूर्णांक फलन के असांतत्य के समस्त बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहां [x] उस महत्तम पूर्णांक को प्रकट करता है, जो x से कम या उसके बराबर है।
उदाहरण 16:– सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक परिमेय फलन संतत होता है।
उदाहरण 17:– sine फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए।
उदाहरण 18:– सिद्ध कीजिए कि f(x)=tanx एक संतत फलन है।
उदाहरण 19:– दर्शाइए कि f(x)=sin(x^2 ) द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है।
उदाहरण 20:– दर्शाइए कि f(x)=|(1-x+|x|)| द्वारा परिभाषित फलन f, जहां x एक वास्तविक संख्या है, एक संतत फलन है।
उदाहरण 21:– f(x)=sin(x^2 ) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 22:– tan(2x+3) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 23:– x के सापेक्ष sin(cos (x^2 )) अवकलन कीजिए।
उदाहरण 24:– यदि x-y=π तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 25:– यदि y+siny=cosx तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 26:– f(x)=sin^(-1)x अवकलज ज्ञात कीजिए। यह मान लीजिए कि इसका अस्तित्व है।
उदाहरण 27:– f(x)=tan^(-1)x अवकलज ज्ञात कीजिए। यह मानते हुए कि इसका अस्तित्व है।
उदाहरण 28:– क्या यह सत्य है कि x के सभी वास्तविक मानों के लिए x=e^logx है?
उदाहरण 29:– x के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए। (i) e^(-x) (ii) sin(logx),x>0 (iii) cos^(-1)(e^x ) (iv) e^cosx
उदाहरण 30:– x के सापेक्ष √((x-3)(x^2+4)/(3x^2+4x+5)) का अवकलन कीजिए।
उदाहरण 31:– x के सापेक्ष a^x का अवकलन कीजिए, जहां a एक धन अचर है।
उदाहरण 32:– x के सापेक्ष x^sinx का अवकलन कीजिए, जबकि x>0 है।
उदाहरण 33:– यदि y^x+x^y+x^x=a^b है। तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 34:– यदि x=acosθ,y=a sinθ, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 35:– यदि x=at^2,y=2at, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 36:– यदि x=a(θ+sinθ),y=a(1-cosθ), तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 37:– यदि x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 38:– यदि x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) तो dy/dx ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 39:– यदि y=Asinx+Bcosx है तो सिद्ध कीजिए कि (d^2 y)/(dx^2 )+y=0 है।
उदाहरण 40:– यदि y=3e^2x+2e^3x है तो सिद्ध कीजिए कि (d^2 y)/(dx^2 )-5 dy/dx+6y=0 है।
उदाहरण 41:– यदि y=sin^(-1) x है तो दर्शाइए कि (1-x^2 ) (d^2 y)/(dx^2 )-x dy/dx=0 है।
उदाहरण 42:– फलन y=x^2+2 के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए, जब a=-2 तथा b=2 है।
उदाहरण 43:– अंतराल [2,4] में फलन f(x)=x^2 के लिए माध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिए है।
उदाहरण 44:– x के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए। (i) √(3x+2)+1/√(2x^2+4) (ii) e^(sec^2 x)+3 cos^(-1)x>0 (iii) log_7(logx)
उदाहरण 45:– x के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए। (i) cos^(-1)(sinx) (ii) tan^(-1)(sinx/(1+cosx)) (iii) sin^(-1)(2^(x+1)/(1+4^x ))
उदाहरण 46:– यदि सभी 0 उदाहरण 47:– धनात्मक अचर a के लिए यदि dy/dx ज्ञात कीजिए, जहां
y=a^(t+1/t) तथा x=(t+1/t)^a है। उदाहरण 48:– e^cosx के सापेक्ष sin^2x का अवकलन कीजिए।
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