Test 3
Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग
$(x+1)^3 (x-3)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)= (x+1)^3 d/{dx} (x-3)^3+ (x-3)^3 d/{dx} (x+1)^3$
$=(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)]$
$=6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1)$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^' (x)=0$
तब क्रमशः $x= -1,x=3,x=1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, 1)$ (iii) $(1, 3)$ (iv) $(3, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है।
(ii) $(-1, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः $(-1, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(iii) $(1, 3)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(1, 3)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(iv) $(3, ∞)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
7. सिद्ध कीजिए कि y=log(1+x)-{2x}/(2+ x), x> - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है: $y=log(1+x)-{2x\/{2+ x}, x> - 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} log(1+x)-d/{dx} [{2x}/{2+ x}]$
$=1/{1+x}-[{(2+x) d/{dx} 2x-2x d/{dx} (2+x)}/(2+x)^2 ] $
$=1/{1+x}-[{(2+x) 2(1)-2x (0+1) }/(2+x)^2 ]$
$=1/{1+x}-[{4+2x-2x}/(2+x)^2 ]$
$=1/{1+x}-4/(2+x)^2$
$={(2+x)^2-4(1+x)}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={4+4x+x^2-4-4x}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={x^2}/{(1+x) (2+x)^2}$
यहां $x^2, (2+x)^2>0$ क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं।
तथा $(1+x)>0$, क्योंकि $x>-1$ से।
∵ ${dy}/{dx}$ का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है।
अतः फलन $y$ संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved. 8. $x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y=[x(x-2)]^2 एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है — $y=[x(x-2)]^2$
$y=[x^2-2x]^2$
$y= x^4+4x^2-4x^3$
$y= x^4-4x^3+4x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^4-4x^3+4x^2 )$
$= 4x^3-4(3x^2 )+4(2x)$
$= 4x^3-12x^2+8x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
${dy}/{dx}=0$
$4x^3-12x^2+8x=0$
$4x (x^2-3x+2)=0$
$4x (x^2-2x-x+2)=0$
$4x [x(x-2)-1(x-2)]=0$
$4x(x-2)(x-1)=0 $
$x=0,x=2,x=1 $
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु, $(-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞)$ हैं।
⇒ अंतराल $(-∞, 0)$ पर,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह=(-)(-)(-)
∴ ${dy}/{dx}<0$
अतः अंतराल $(-∞, 0)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(0, 1)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(-)(-)$
अतः ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(0, 1)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
⇒ अंतराल $(1, 2)$ पर
${{dy}/{dx}}$ का चिन्ह $=(+)(-)(+)$
अतः ${{dy}/{dx}<0}$
अतः अंतराल $(1, 2)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(2, ∞)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)$
अतः ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
अतः अंतराल $(0,1), (2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans. 9. सिद्ध कीजिए कि [0,π/2] में y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ,θ का एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है: $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={(2+cosθ) d/{dx} 4sinθ-4sinθ {(2+cosθ)}/(2+cosθ)^2 -d/{dθ} (θ)$
$={(2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ)}/(2+cosθ)^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ}/(2+cosθ)^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2}/(2+cosθ)^2$
$={8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ]}/(2+cosθ)^2$
$={8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ}/(2+cosθ)^2$
$={4cosθ-cos^2 θ}/(2+cosθ)^2$
$={cosθ (4-cosθ)}/(2+cosθ)^2$
अंतराल $[0,π/2]$ में
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः फलन $[0,π/2]$ में एक वर्धमान फलन है। Ans. 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है। हल :- माना $f(x)= logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} logx$
$f^' (x)=1/x$
अतः अंतराल $(0, π)$ में $(0,π) x=π/2$ हो तो —
$f^' (x)=1/{π⁄2}=2/π$
$f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(0, π)$ में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved. 11. सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x)= x^2-x+1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :- दिया है — $f(x)= x^2-x+1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} ( x^2-x+1)$
$f^' (x)=2x-1+0$
$f^' (x)=2x-1$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^' (x)=0$
$2x-1=0 $
$2x=1 $
$x=1/2$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु (i) $(-1, 1/2)$ व (ii) $(1/2, 1)$ हैं तथा बिन्दु $(-1, 1)$ को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है।
⇒ अब यदि अंतराल $(-1,1⁄2)$ पर $x=1/4$ हो तो —
$f^' (x)=2×1/4-1=1/2-1$
$f^' (x)= -1/2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(-1,1⁄2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अब यदि अंतराल $(1/2,1)$ पर $x=3/4$ हो तो —
$f^' (x)=2×3/4-1=3/2-1$
$f^' (x)= ½$
$f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(1/2,1)$ में फलन वर्धमान है।
अतः दिया गया फलन $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved. 12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, π/2) में ह्रासमान हैं? (A) cosx (B) cos2x (C) cos3x (D) tanx हल :- (A) माना $f(x)=cosx $
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cosx)$
$f^' (x)= -sinx$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sinx<0$
$-sinx>0$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (B) माना $f(x)=cos2x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos2x)$
f^' (x)= -2sin2x
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin(2×π/4)$
$= -2 sin(π/2)$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (C) माना $f(x)=cos3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos3x)$
$f^' (x)= -3sin3x$
$f^' (x)= -3[sin3x]$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin(2×π/4)$
$= -2 sin{π/2}$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (D) माना $f(x)=tanx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (tanx)$
$f^' (x)= sec^2 x$
अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sec^2 x>0$, क्योंकि पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन वर्धमान है। Ans. 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^100+sinx- 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है? (A) (0,1) (B) (π/2, π) (C) (0, π/2) (D) इनमें से कोई नहीं हल :- दिया है : $f(x)=x^100+sinx- 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^100+sinx- 1)$
$= 100x^99+ cosx-0$
$= 100x^99+ cosx$
⇒ अंतराल (A) $(0,1)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx < 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (B) $(π/2, π)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx < 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (C) $(0, π/2)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx > 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0, π/2)$ पर वर्धमान है।
अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans.
14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f(x)= x^2+ ax+1 से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :- दिया है: $f(x)= x^2+ ax+1$, तथा अंतराल $[1, 2]$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^2+ ax+1)$
$=2x+a(1)+0$
$= 2x+a$
⇒ अंतराल $[1, 2]$ में फलन वर्धमान होने के लिए –
$f^' (x) > 0$
$2x+a > 0$
$a > -2x$
अंतराल $[1, 2]$ में $a$ के न्यूनतम मान के लिए $x = 1$ रखने पर —
$a>-2(1)$
$a>-2$
अतः $a$ का न्यूनतम मान $-2$ है। Ans. 15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में f(x)= x+1/x से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है। हल :- दिया है: अंतराल $I= R-[-1,1]$
तथा $f(x)= x+1/x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x+1/x)$
$=1-1/x^2$
$={x^2-1}/{x^2}$
⇒ अंतराल $I= R-[-1,1]$ में $x^2-1 > 0$ तथा $x^2>0$
∴ $f^' (x) > 0$
अतः फलन $f(x)= x+1/x$ अंतराल $I$ में वर्धमान है। Proved. 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx$, (0, π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है। हल :- दिया है: $f(x)=logsinx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (logsinx)$
$=1/{sinx} .cosx$
$= cotx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $cotx$ धनात्मक है।
∴ $f^' (x) > 0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ में फलन वर्धमान है। Proved.
⇒ अंतराल $(π/2, π)$ में $cotx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^' (x) < 0$
अतः अंतराल $(π/2,π)$ में फलन ह्रासमान है। Proved. 17. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=log[|cosx|,(0,π/2)] में वर्धमान है और (3π/2,2π) में ह्रासमान है। हल :- दिया है: $f(x)=log|cosx|$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} [log|cosx|]$
$=1/{cosx} .(-sinx)$
$= - tanx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $tanx$ धनात्मक है।
∴ $f^' (x)<0$
∴ अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में $tanx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^' (x) > 0$
∴ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान है।
अतः अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान और अंतराल $(0, π/2)$ में फलन ह्रासमान है। Proved. 18. सिद्ध कीजिए कि $R$ में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है। हल :- दिया है: $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^3 - 3x^2 + 3x-100)$
$= 3x^2-3(2x)+3(1)-0$
$= 3(x^2-2x+1)$
$= 3 (x-1)^2$
अतः $x∈ R$ में, $(x-1)^2$ धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^' (x) > 0$ होगा।
अतः $R$ में, दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है। Proved. 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y= x^2 e^(-x) वर्धमान है? (A) (- 00, 00) (B) (-2,0) (C) (2, ∞) (D) (0,2) हल :- दिया है: $y= x^2 e^{-x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [(x^2 e^{-x}]$
$= x^2 d/{dx} [e^{-x}+e^{-x}] d/{dx} [x^2]$
$= x^2.e^{-x} (-1)+ e^{-x} .(2x)$
$= -x^2 e^{-x}+2x e^{-x}$
$= xe^{-x} (-x+2)$
फलन वर्धमान होने के लिए —
${dy}/{dx} > 0$
$xe^{-x} (-x+2) > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, 2-x > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, -x > -2$
$x>0, e^{-x} > 0, x < 2$
अतः अंतराल $(0, 2)$ में दिया गया फलन वर्धमान होगा।
∴ सही उत्तर : विकल्प (D) $(0, 2)$ Ans.
$(x+1)^3 (x-3)^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)= (x+1)^3 d/{dx} (x-3)^3+ (x-3)^3 d/{dx} (x+1)^3$
$=(x+1)^3 3(x-3)^2+ (x-3)^3 .3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^3 (x-3)^2+ 3(x-3)^3 (x+1)^2$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [x+1+x-3]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2x-2]$
$=3(x+1)^2 (x-3)^2 [2(x-1)]$
$=6(x+1)^2 (x-3)^2 (x-1)$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^' (x)=0$
तब क्रमशः $x= -1,x=3,x=1$
संख्या रेखा पर बिन्दु,
(i) $(-∞, -1)$ (ii) $(-1, 1)$ (iii) $(1, 3)$ (iv) $(3, ∞)$
(i) $(-∞, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः (-∞, -1) पर फलन f(x) ह्रासमान है।
(ii) $(-1, -1)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(-)<0$
अतः $(-1, -1)$ पर फलन $f(x)$ ह्रासमान है।
(iii) $(1, 3)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(1, 3)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
(iv) $(3, ∞)$ पर $f^' (x)$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)>0$
अतः $(-∞, -1)$ पर फलन $f(x)$ वर्धमान है।
7. सिद्ध कीजिए कि y=log(1+x)-{2x}/(2+ x), x> - 1 अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है: $y=log(1+x)-{2x\/{2+ x}, x> - 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} log(1+x)-d/{dx} [{2x}/{2+ x}]$
$=1/{1+x}-[{(2+x) d/{dx} 2x-2x d/{dx} (2+x)}/(2+x)^2 ] $
$=1/{1+x}-[{(2+x) 2(1)-2x (0+1) }/(2+x)^2 ]$
$=1/{1+x}-[{4+2x-2x}/(2+x)^2 ]$
$=1/{1+x}-4/(2+x)^2$
$={(2+x)^2-4(1+x)}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={4+4x+x^2-4-4x}/{(1+x) (2+x)^2}$
$={x^2}/{(1+x) (2+x)^2}$
यहां $x^2, (2+x)^2>0$ क्योंकि ये पूर्ण वर्ग हैं।
तथा $(1+x)>0$, क्योंकि $x>-1$ से।
∵ ${dy}/{dx}$ का चिन्ह सभी प्रांतों (अंतराल) में धनात्मक है।
अतः फलन $y$ संपूर्ण अंतराल में एक वर्धमान फलन है। Proved. 8. $x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y=[x(x-2)]^2 एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है — $y=[x(x-2)]^2$
$y=[x^2-2x]^2$
$y= x^4+4x^2-4x^3$
$y= x^4-4x^3+4x^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^4-4x^3+4x^2 )$
$= 4x^3-4(3x^2 )+4(2x)$
$= 4x^3-12x^2+8x$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
${dy}/{dx}=0$
$4x^3-12x^2+8x=0$
$4x (x^2-3x+2)=0$
$4x (x^2-2x-x+2)=0$
$4x [x(x-2)-1(x-2)]=0$
$4x(x-2)(x-1)=0 $
$x=0,x=2,x=1 $
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु, $(-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞)$ हैं।
⇒ अंतराल $(-∞, 0)$ पर,
${dy}/{dx}$ का चिन्ह=(-)(-)(-)
∴ ${dy}/{dx}<0$
अतः अंतराल $(-∞, 0)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(0, 1)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(-)(-)$
अतः ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(0, 1)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
⇒ अंतराल $(1, 2)$ पर
${{dy}/{dx}}$ का चिन्ह $=(+)(-)(+)$
अतः ${{dy}/{dx}<0}$
अतः अंतराल $(1, 2)$ पर फलन निरन्तर ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $(2, ∞)$ पर
${dy}/{dx}$ का चिन्ह $=(+)(+)(+)$
अतः ${dy}/{dx}>0$
अतः अंतराल $(2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है।
अतः अंतराल $(0,1), (2, ∞)$ पर फलन निरन्तर वर्धमान है। Ans. 9. सिद्ध कीजिए कि [0,π/2] में y=(4 sinθ)/(2+ cosθ)-θ,θ का एक वर्धमान फलन है। हल :- दिया है: $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={(2+cosθ) d/{dx} 4sinθ-4sinθ {(2+cosθ)}/(2+cosθ)^2 -d/{dθ} (θ)$
$={(2+cosθ) 4cosθ-4sinθ(0-sinθ)}/(2+cosθ)^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ}/(2+cosθ)^2 -1$
$={8cosθ+4cos^2 θ+4sin^2 θ-(2+cos^2 θ)^2}/(2+cosθ)^2$
$={8cosθ+4(cos^2 θ+sin^2 θ)-[4+cos^2 θ+4cosθ]}/(2+cosθ)^2$
$={8cosθ+4-4-cos^2 θ-4cosθ}/(2+cosθ)^2$
$={4cosθ-cos^2 θ}/(2+cosθ)^2$
$={cosθ (4-cosθ)}/(2+cosθ)^2$
अंतराल $[0,π/2]$ में
∴ ${dy}/{dx}>0$
अतः फलन $[0,π/2]$ में एक वर्धमान फलन है। Ans. 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0,π) में वर्धमान है। हल :- माना $f(x)= logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} logx$
$f^' (x)=1/x$
अतः अंतराल $(0, π)$ में $(0,π) x=π/2$ हो तो —
$f^' (x)=1/{π⁄2}=2/π$
$f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(0, π)$ में लघुणकीय फलन वर्धमान फलन है। Proved. 11. सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x)= x^2-x+1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है। हल :- दिया है — $f(x)= x^2-x+1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} ( x^2-x+1)$
$f^' (x)=2x-1+0$
$f^' (x)=2x-1$
अंतराल बिन्दुओं के लिए —
$f^' (x)=0$
$2x-1=0 $
$2x=1 $
$x=1/2$
संख्या रेखा पर —
यहां अंतराल बिन्दु (i) $(-1, 1/2)$ व (ii) $(1/2, 1)$ हैं तथा बिन्दु $(-1, 1)$ को उपर्युक्त दो भागों में विभाजित करता है।
⇒ अब यदि अंतराल $(-1,1⁄2)$ पर $x=1/4$ हो तो —
$f^' (x)=2×1/4-1=1/2-1$
$f^' (x)= -1/2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(-1,1⁄2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अब यदि अंतराल $(1/2,1)$ पर $x=3/4$ हो तो —
$f^' (x)=2×3/4-1=3/2-1$
$f^' (x)= ½$
$f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(1/2,1)$ में फलन वर्धमान है।
अतः दिया गया फलन $f(x)$ अंतराल $(-1, 1)$ में न तो वर्धमान में न तो ह्रासमान है। Proved. 12. निम्नलिखित में कौन से फलन (0, π/2) में ह्रासमान हैं? (A) cosx (B) cos2x (C) cos3x (D) tanx हल :- (A) माना $f(x)=cosx $
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cosx)$
$f^' (x)= -sinx$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sinx<0$
$-sinx>0$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (B) माना $f(x)=cos2x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos2x)$
f^' (x)= -2sin2x
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin(2×π/4)$
$= -2 sin(π/2)$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (C) माना $f(x)=cos3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (cos3x)$
$f^' (x)= -3sin3x$
$f^' (x)= -3[sin3x]$
⇒ अंतराल $(0, π/2)$ पर यदि $x = π/2$ तो —
$f^' (x)= -2sin(2×π/4)$
$= -2 sin{π/2}$
$=-2×1$
$=-2$
$f^' (x)<0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन ह्रासमान है। Ans.
हल :- (D) माना $f(x)=tanx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (tanx)$
$f^' (x)= sec^2 x$
अंतराल $(0, π/2)$ पर —
$sec^2 x>0$, क्योंकि पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^' (x)>0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ पर फलन वर्धमान है। Ans. 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में f(x)=x^100+sinx- 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है? (A) (0,1) (B) (π/2, π) (C) (0, π/2) (D) इनमें से कोई नहीं हल :- दिया है : $f(x)=x^100+sinx- 1$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^100+sinx- 1)$
$= 100x^99+ cosx-0$
$= 100x^99+ cosx$
⇒ अंतराल (A) $(0,1)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx < 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (B) $(π/2, π)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx < 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0,1)$ पर वर्धमान है।
⇒ अंतराल (C) $(0, π/2)$ पर —
$100x^99 > 0$
$cosx > 0$
$f^' (x) > 0$
अतः फलन $(0, π/2)$ पर वर्धमान है।
अतः दिए गए किसी भी अंतराल पर फलन ह्रासमान नहीं है।
अतः सही उत्तर : विकल्प (D) इनमें से कोई नहीं। Ans.
14. a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f(x)= x^2+ ax+1 से प्रदत्त फलन वर्धमान है। हल :- दिया है: $f(x)= x^2+ ax+1$, तथा अंतराल $[1, 2]$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^2+ ax+1)$
$=2x+a(1)+0$
$= 2x+a$
⇒ अंतराल $[1, 2]$ में फलन वर्धमान होने के लिए –
$f^' (x) > 0$
$2x+a > 0$
$a > -2x$
अंतराल $[1, 2]$ में $a$ के न्यूनतम मान के लिए $x = 1$ रखने पर —
$a>-2(1)$
$a>-2$
अतः $a$ का न्यूनतम मान $-2$ है। Ans. 15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में f(x)= x+1/x से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है। हल :- दिया है: अंतराल $I= R-[-1,1]$
तथा $f(x)= x+1/x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x+1/x)$
$=1-1/x^2$
$={x^2-1}/{x^2}$
⇒ अंतराल $I= R-[-1,1]$ में $x^2-1 > 0$ तथा $x^2>0$
∴ $f^' (x) > 0$
अतः फलन $f(x)= x+1/x$ अंतराल $I$ में वर्धमान है। Proved. 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=logsinx$, (0, π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है। हल :- दिया है: $f(x)=logsinx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (logsinx)$
$=1/{sinx} .cosx$
$= cotx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $cotx$ धनात्मक है।
∴ $f^' (x) > 0$
अतः अंतराल $(0, π/2)$ में फलन वर्धमान है। Proved.
⇒ अंतराल $(π/2, π)$ में $cotx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^' (x) < 0$
अतः अंतराल $(π/2,π)$ में फलन ह्रासमान है। Proved. 17. सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)=log[|cosx|,(0,π/2)] में वर्धमान है और (3π/2,2π) में ह्रासमान है। हल :- दिया है: $f(x)=log|cosx|$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} [log|cosx|]$
$=1/{cosx} .(-sinx)$
$= - tanx$
⇒ अंतराल $(0,π/2)$ में $tanx$ धनात्मक है।
∴ $f^' (x)<0$
∴ अंतराल $(0,π/2)$ में फलन ह्रासमान है।
⇒ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में $tanx$ ऋणात्मक है।
∴ $f^' (x) > 0$
∴ अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान है।
अतः अंतराल $({3π}/2, 2π)$ में फलन वर्धमान और अंतराल $(0, π/2)$ में फलन ह्रासमान है। Proved. 18. सिद्ध कीजिए कि $R$ में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है। हल :- दिया है: $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=d/{dx} (x^3 - 3x^2 + 3x-100)$
$= 3x^2-3(2x)+3(1)-0$
$= 3(x^2-2x+1)$
$= 3 (x-1)^2$
अतः $x∈ R$ में, $(x-1)^2$ धनात्मक होगा क्योंकि यह पूर्ण वर्ग है।
∴ $f^' (x) > 0$ होगा।
अतः $R$ में, दिया गया फलन $f(x)$ वर्धमान है। Proved. 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में y= x^2 e^(-x) वर्धमान है? (A) (- 00, 00) (B) (-2,0) (C) (2, ∞) (D) (0,2) हल :- दिया है: $y= x^2 e^{-x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [(x^2 e^{-x}]$
$= x^2 d/{dx} [e^{-x}+e^{-x}] d/{dx} [x^2]$
$= x^2.e^{-x} (-1)+ e^{-x} .(2x)$
$= -x^2 e^{-x}+2x e^{-x}$
$= xe^{-x} (-x+2)$
फलन वर्धमान होने के लिए —
${dy}/{dx} > 0$
$xe^{-x} (-x+2) > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, 2-x > 0$
$x > 0, e^{-x} > 0, -x > -2$
$x>0, e^{-x} > 0, x < 2$
अतः अंतराल $(0, 2)$ में दिया गया फलन वर्धमान होगा।
∴ सही उत्तर : विकल्प (D) $(0, 2)$ Ans.
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