Test

1. अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए:
(a) $({17}/{81})^{1/4}$
(b) $(33)^{-1/5}$

2. सिद्ध कीजिए कि $f(x)={logx}/x द्वारा प्रदत्त फलन $x=e$ पर उच्चतम है।

3. किसी निश्चित आधार $b$ के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $3$ cm/s की दर से घट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।

4. वक्र $x^2=4y$ के बिंदु $(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

5. सिद्ध कीजिए कि वक्र $x=a cosθ+aθ sinθ, y= a sinθ-aθ cosθ$ के किसी बिंदु $θ$ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।

6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिस पर
$f(x)={4sinx-2x-xcosx}/{2+cosx}
से प्रदत्त फलन $f$ (i) निरंतर वर्धमान (ii) निरंतर ह्रासमान है।

7. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)= x^3+1/{x^3{ ,x≠0$ से प्रदत फलन
(i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।

8. दीर्घवृत्त ${x^2}/{a^2} +{y^2}/{a^2} =1 अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।

9. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs$ ${70} /m^2$ और दीवारों पर $Rs$ $={45}/m^2$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी को लागत क्या है?

10. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग $k$ है, जहाँ $k$ एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।

11. किसी आयत के ऊपर बने अर्द्धवृत्त के आकार वाली खिड्‌की है। खिड़‌की का संपूर्ण परिमाप $10$ m है। पूर्णतया खुली खिड़‌की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

12. त्रिभुज की भुजाओं $a$ और $b$ दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई $(a^{2/3}+ b^{2/3})^{2/3}$ है।

13. उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)=f(x-2)^4 (x+1)^3 द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का,
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है
(iii) नत परिवर्तन बिंदु है।

14. $f(x)=cos^2⁡x+sinx, x∈[0,π]$ द्वारा प्रदत फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

15. सिद्ध कीजिए कि $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊंचाई ${4r}/3$ है।

16. मान लीजिए $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f$ इस प्रकार है कि सभी $x ∈ (a, b)$ के लिए $f’(x)>0$ है के सिद्ध कीजिए कि $(a, b)$ पर $f$ एक वर्धमान फलन है।

17. सिद्ध कीजिए कि एक $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई ¢{2R}/{√3} है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।

18. सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण $α$ और ऊंचाई $h$ के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊंचाई, शंकु के ऊंचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकमत आयतन $4/{27} πh^3 tan^2 α$ है।

प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों के सही उत्तर चुनिए।

19. एक $10$ m त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में $314$ ${m^3}/h$ की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:
(A) 1m/h
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/h

20. चक x=p+31-8,y=2r-21-5 के बिंदु (2-1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता हैः

(A) ${22}/7$
(B) $6/7$
(C) $7/6$
(D) ${-6}/7$

21. रेखा $y = mx + 1$, वक्र $y=4x$ की एक स्पर्श रेखा है यदि $m$ का मान है:
(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $1/2$

22. वक्र $2y+x^2=3$ के बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
(A) $x+y=0$
(B) $x-y-0$
(C) $x+y+1=0$
(D) $x-y=1$

23. वक्र $x = 4y$ का बिंदु $(1, 2)$ से हो कर जाने वाला अभिलंब हैः
(A) $x+y=3$
(B) $x-y=3$
(C) $x+y=1$
(D) $x-y=1$

24. वक्र $9y^2=x^3$ पर वे बिंदु जहाँ पर वक्र का अभिलंब अक्षों से समान अंतः खंड बनाता है:
(A) $(4, ±8/3)$
(B) $(4, {-8}/3)$
(C) $(4, ±3/8)$
(B) (A) $(±4, 8/3)$