Test

प्रश्नावली 6.1

प्रश्न 1. वृत्त के क्षेत्रफल के परिर्वतन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) $r=3$ cm है
(b) $r=4 cm$ है

प्रश्न 2. एक घन का आपतन 8 cm$^3$/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है।

प्रश्न 3. एक वृत की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।

प्रश्न 4. एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है?

प्रश्न 5. एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 cm/s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?

प्रश्न 6. एक वृत की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब $r= 4.9$ cm है?

प्रश्न 7. एक आयत की लम्बाई $x$, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई $y$, 4 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब $x = 8$ cm और $y = 6$ cm हैं तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 8. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 cm$^3$ गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।

प्रश्न 9. एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।

प्रश्न 10. एक 5 m लम्बी सीड़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर 2 cm/s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 m दूर है?

11. एक कण वक्र $6y=x^3+2$ के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि $x$-निर्देशांक की तुलना में $y$-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।

12. हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या $1/2$ cm⁄s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है?

13. एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास $3/2 (2x+1)$ है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

14. एक पाइप से रेत 12 cm$^3$⁄s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है?

15. एक वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन से संबंध कुल लागत $C(x)$ (रुपये में)
$C(x)=0.007x^3-0.003x^2+15x+4000$
से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।

16. किसी उत्पाद की $x$ इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय $R(x)$ रुपयों में
$R(x)=13x^2+26x+15$
प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब $x = 7$ है।

प्रश्न 17 तथा 18 में सही उत्तर का चयन कीजिए:

17. एक वृत्त की त्रिज्या $r = 6$ cm पर $r$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है :
(Α) 10π
(Β) 12π
(C) 8π
(D) 11π

18. एक उत्पाद की $x$ इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में $R(x)=3x^2+36x+5$ से प्रदत्त है। जब $x = 15$ है तो सीमांत आय है:
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126

प्रश्नावली 6.1

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए $R$ पर $f(x)=3x+17$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि R पर $f(x)=e^{2x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।

प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए $f(x)= sinx$ से प्रदत्त फलन
(a) $(0,π/2)$ में वर्धमान है,
(b) $(π/2,π)$ में ह्रासमान है,
(c) $(0,π)$ में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

प्रश्न 4. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^2-3x$ प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान है।

प्रश्न 5. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x)=2x^3-3x^2-36x+7$ से प्रदत्त फलन $f$ (a) वर्धमान (b) ह्रासमान

प्रश्न 6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन $f$ वर्धमान या हासमान है:
(a) $f(x)= x^2+2x+5$
(b) $f(x)= 10-6x-2x^2$
(c) $f(x)= 2x^2-9x^2-12x+1$
(d) $f(x)= 6-9x-x^2$
(e) $f(x)=(x+1)^3 (x-3)^3$

प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि $y=log⁡(1+x)-{2x}/{2+ x}, x > - 1$ अपने संपूर्ण प्रांत में एक वर्धमान फलन है।

प्रश्न 8. $x$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए $y=[x(x-2)]^2$ एक वर्धमान फलन है।

प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए कि $[0,π/2]$ में $y={4 sinθ}/{2+ cosθ}-θ, θ$ का एक वर्धमान फलन है।

प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन $(0,π)$ में वर्धमान है।

प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि $(-1, 1)$ में $f(x)= x^2-x+1$ से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

प्रश्न 12. निम्नलिखित में कौन से फलन $(0, π/2)$ में ह्रासमान हैं?
(A) $cosx$
(B) $cos2x$
(C) $cos3x$
(D) $tanx$

प्रश्न 13. निम्नलिखित अंतरालों में से किस अंतराल में $f(x)=x^100+sinx- 1$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ ह्रासमान है?
(A) $(0,1)$
(B) $(π/2, π)$
(C) $(0, π/2)$
(D) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 14. $a$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल $[1, 2]$ में $f(x)= x^2+ ax+1$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।

प्रश्न 15. मान लीजिए $[-1,1]$ से असंयुक्त एक अंतराल $I$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $I$ में $f(x)= x+1/x$ से प्रदत्त फलन $f$, वर्धमान है।

प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए। कि फलन $f(x)=log⁡sinx, (0,π/2)$ में वर्धमान और $(π/2,π)$ में ह्रासमान है।

प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=log⁡|cosx|, (0,π/2)$ में वर्धमान है और $({3π}/2, 2π)$ में ह्रासमान है।

प्रश्न 18. सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन $f(x)= x^3 - 3x^2 + 3x-100$ वर्धमान है।

प्रश्न 19. निम्नलिखित में से किस अंतराल में $y= x^2 e^{-x}$ वर्धमान है?
(A) $(- 00, 00)$
(B) $(-2,0)$
(C) $(2, ∞)$
(D) $(0,2)$

प्रश्नावली 6.3

1. वक्र $y=3x^4-4x$ के $x=4$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

2. $y={x-1}/{x-2}, x≠2$ के वक्र $x=10$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

3. वक्र $x^2- x + 1$ $x$-निर्देशांक की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका $x$-निर्देशांक 2 है।

4. वक्र $x^3-3x^2 + 2$ की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका $y$-निर्देशांक 3 है।

5. $x= a cos^3⁡θ, y= a sin^3⁡θ$ के $θ=π/4$ पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

6. वक्र $x=1- a sin⁡θ, y= b cosθ$ के $θ=π/2$ अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

7. वक्र $y= x^3-3x^2-9x+7$ पर उन बिन्दुओं ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समांतर हैं।

8. वक्र $y=(x-2)^2$ पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा, बिन्दुओं $(2, 0)$ और $(4, 4)$ को मिलाने वाली रेखा के समांतर है।

9. वक्र $y= x^3-11x^2+5$ पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा $y= x-11$ है।

10. प्रवणता $-1$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=1/{x-1}$, $x≠-1$ को स्पर्श करती है।

11. प्रवणता $2$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=1/{x-3}, x≠3$ को स्पर्श करती है।

12. प्रवणता $0$ वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र $y=1/{x^2-2x+3}$ को स्पर्श करती है।

13. वक्र ${x^2}/9+{y^2}/{16}=1$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ
(i) $x$-अक्ष के समांतर है
(ii) $y$-अक्ष के समांतर है

14. दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए:

(i) $y= x^4-6x^3+13x^2-10x+5$ के $(0,5)$ पर
(ii) $y= x^4-6x^3+13x^2-10x+5$ के $(1,3)$ पर
(iii) $y= x^3$ के $(1,1)$ पर
(iv) $y= x^2$ के $(0,0)$ पर
(v) $x=cost, y= sint$ के $t=π/4$ पर

15. वक्र $y= x^2-2x + 7$ की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(a) रेखा $2x- y+9=0$ के समांतर है।
(b) रेखा $5y-15x=13$ पर लंब है।

16. सिद्ध कीजिए कि वक्र $y=7x^3+11$ के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समांतर है जहाँ $x = 2$ तथा $x = - 2$ है।

17. वक्र $y=x^3$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के $y$-निर्देशांक के बराबर है।

18. वक्र $y=4x^3- 2 x^5$ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिन्दु से होकर जाती हैं।

19. वक्र $x^2+ y^2-2x - 3= 0$ के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे $x$-अक्ष के समांतर हैं।

20. वक्र $ay^2= x^3$ के बिन्दु $(am^2, am^3)$ पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

21. वक्र $y= x^3+2x+6$ के उन अभिलंबो के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x+14y+4=0$ के समांतर है।

22. परवलय $y^2=4ax$ के बिन्दु $(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।

23. सिद्ध कीजिए कि वक्र $x= y^2$ और $xy= k$ एक दूसरे को समकोण पर काटती है, यदि $8k^2=1$ है।

24. अतिपरवलय ${x^2}/{a^2} –{y^2}/{b^2} =1$ के बिन्दु $(x_0,y_0)$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।

25. वक्र $y=√{3x-2}$ की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $4x-2y+5=0$ के समांतर है।

प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए

26. वक्र $y=2x^2+3sinx$ के $x=0$ पर अभिलम्ब की प्रवणता है:
(A) 3
(B) 1/3
(C) -3
(D) - 1/3

27. किस बिन्दु पर $y= x+1$ वक्र $y^2=4x$ की स्पर्श रेखा है?
(A) (1,2)
(B) (2, 1)
(C) (1,-2)
(D) (-1, 2) है।

प्रश्नावली 6.4

1. अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए:
(i) $√{25.3}$
(ii) $√{49.5}$
(iii) $√{0.6}$
(iv) $(0.009)^{1/3}$
(v) $(0.9999)^{1/10}$
(vi) $(15)^{1/4}$
(vii) $(26)^{1/3}$
(vii) $(255)^{1/4}$
(ix) $(82)^{1/4}$
(x) $(401)^2$
(xi) $(0.0037)^2$
(xii) $(26.57)^3$
(xiii) $(81.5)^4$
(xiv) $(3.968)^2$
(xv) $(32.15)^5$

2. $f(2.01)$ का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x) = 4x² + 5x + 2$ है।

3. $f(5.001)$ का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ $f(x) = x² - 7x² + 15$ है।

4. $x$ m भुजा वाले घन की भुजा में $1%$ वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

5. $x$ m भुजा वाले घन की भुजा में $1%$ हास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाले सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

6. एक गोले की त्रिज्या $7$ m मापी जाती है जिसमें $0.02$ m की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।

7. एक गोले की त्रिज्या $9$ m मापी जाती है जिसमें $0.03$ cm की त्रुटि है। इसके पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।

8. यदि $f(x) = 3x² + 15x + 5$ हो, तो $f (3.02)$ का सन्निकट मान है:
(A) $47.66$
(B) $57.66$
(C) $67.66$
(D) $77.66$

9. भुजा में $3%$ वृद्धि के कारण भुजा $x$ के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है:
(A) $0.06 x³ m³$
(B) $0.6 x³ m³$
(C) $0.09 x³ m³$

प्रश्नावली 6.5

1. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई तो. ज्ञात कीजिए:
(1) $f'(x) = (2x - 1)^2 + 3$
(6) $f(x) = 9x^2 + 12x + 2$
(i) $f(x) = - (x - 1)^2 + 10$
(iv) $y(x) = x^x + 1$

2. निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए:
(i) $f(x) = |x + 2| - 1$
(ii) $g(x) = - |x + 1| + 3$
(m) $h(x) = sin{2x} + 5$
(iv) $f(x) = |sin 4x + 3|$
(v) $h(x) = x + 1, x \in (- 1, 1)$

3. निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो. ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
$f(x) = x^2$
$g(x) = x^3 - 3x$
(iii) $h(x) = sin x + cos x, 0 < x < {\pi}/2$
(iv) $f(x) = sin x - cos x 0 < x < 2x$
(v) $f(x) = x^5 - 6x^2 + 9x + 15$
(vi) $x > 0 g(x) = x/2 + 2/x$
(vi) $g(x) = 1/{x^2 + 2}$
(viii) $0 < x < 1 f(x) = x √{1 – x}$

4. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
(i) $f(x) = e^x$
(ii) $g(x) = log(x)$
(ⅲ) $h(x) = x^2 + x^2 + x + 1$

5. प्रदत्त अंतरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(i) $f(x) = x^3, x \in [- 2, 2]$
(iii) $f'(x) = 4x - 1/2 x^2$
(ii) $f(x) = sin x + cos x, x \in [0, \pi]$

6. यदि लाभ फलन $p(x) = 41 - 72x - 18x^2$ से प्रदत्त है तो किसी कंपनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
$f(x) = (x - 1)^2 + 3, x \in [- 3, 1]$

7. अंतराल $(0.3]$ पर $3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25$ के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

8. अंतराल $(10, 2)$ के किन बिंदुओं पर फलन $sin 2x$ अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?

9. फलन का उच्चतम मान क्या है? $sin x + cos x$

10. अंतराल $[1, 3]$ में $2x^3- 24x+107$ का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अंतराल $[-3, -1]$ में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।

11. यदि दिया है कि अंतराल $[0, 2]$ में $x = 1$ पर फलन $x^4-62x^2+ ax+9$ उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

12. $[0, 2π]$ पर $x + sin 2x$ का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

13. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $24$ है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।

14. ऐसी दो धन संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए ताकि $x + y = 60$ और $xy^3$ उच्चतम हो।

15. ऐसी दो धन संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए जिनका योग $35$ हो और गुणनफल $x^2y^5$ उच्च्चतम हो।

16. ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $16$ हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।

17. $18$ cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो?

18. $45 cm × 24 cm$ की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।

19. सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।

20. सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।

21. $100 {cm}^3$ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लंब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

22. एक $28$ cm लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?

23. सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन $8/27$ होता है।

24. सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की $√2$ गुनी होती है।

25. सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $tan^{-1}⁡√2$ होता है।

अध्याय 6 पर विविध प्रश्नावली

1. अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए:
(a) $({17}/{81})^{1/4}$
(b) $(33)^{-1/5}$

2. सिद्ध कीजिए कि $f(x)={logx}/x$ द्वारा प्रदत्त फलन $x=e$ पर उच्चतम है।

3. किसी निश्चित आधार $b$ के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $3$ cm/s की दर से घट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।

4. वक्र $x^2=4y$ के बिंदु $(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण ज्ञात कीजिए।

5. सिद्ध कीजिए कि वक्र $x=a cosθ+aθ sinθ, y= a sinθ-aθ cosθ$ के किसी बिंदु $θ$ पर अभिलंब मूल बिंदु से अचर दूरी पर है।

6. अंतराल ज्ञात कीजिए जिस पर
$f(x)={4sinx-2x-xcosx}/{2+cosx}$
से प्रदत्त फलन $f$ (i) निरंतर वर्धमान (ii) निरंतर ह्रासमान है।

7. अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)= x^3+1/{x^3} ,x≠0$ से प्रदत फलन
(i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।

8. दीर्घवृत्त ${x^2}/{a^2} +{y^2}/{a^2} =1$ अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।

9. आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs$ ${70}∕{m^2}$ और दीवारों पर $Rs$ ${45}∕{m^2}$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी को लागत क्या है?

10. एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग $k$ है, जहाँ $k$ एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।

11. किसी आयत के ऊपर बने अर्द्धवृत्त के आकार वाली खिड्‌की है। खिड़‌की का संपूर्ण परिमाप $10$ m है। पूर्णतया खुली खिड़‌की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

12. त्रिभुज की भुजाओं $a$ और $b$ दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई $(a^{2/3}+ b^{2/3})^{2/3}$ है।

13. उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर $f(x)=(x-2)^4 (x+1)^3$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का,
(i) स्थानीय उच्चतम बिंदु है
(ii) स्थानीय निम्नतम बिंदु है
(iii) नत परिवर्तन बिंदु है।

14. $f(x)=cos^2⁡x+sinx, x∈[0,π]$ द्वारा प्रदत फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

15. सिद्ध कीजिए कि $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊंचाई ${4r}/3$ है।

16. मान लीजिए $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f$ इस प्रकार है कि सभी $x ∈ (a, b)$ के लिए $f’(x) > 0$ है के सिद्ध कीजिए कि $(a, b)$ पर $f$ एक वर्धमान फलन है।

17. सिद्ध कीजिए कि एक $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई ${2R}/{√3}$ है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।

18. सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण $α$ और ऊंचाई $h$ के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊंचाई, शंकु के ऊंचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकमत आयतन $4/{27} πh^3 tan^2 α$ है।

प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों के सही उत्तर चुनिए।

19. एक $10$ m त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में $314$ ${m^3}∕{h}$ की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है:
(A) $1$ ${m∕h$
(B) $0.1$ ${m∕h$
(C) $1.1$ ${m∕h$
(D) $0.5$ ${m∕h$

20. चक $x=p+31-8,y=2r-21-5$ के बिंदु $(2, -1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता हैः

(A) ${22}/7$
(B) $6/7$
(C) $7/6$
(D) ${-6}/7$

21. रेखा $y = mx + 1$, वक्र $y=4x$ की एक स्पर्श रेखा है यदि $m$ का मान है:
(A) $1$
(B) $2$
(C) $3$
(D) $1/2$

22. वक्र $2y+x^2=3$ के बिंदु $(1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
(A) $x+y=0$
(B) $x-y-0$
(C) $x+y+1=0$
(D) $x-y=1$

23. वक्र $x = 4y$ का बिंदु $(1, 2)$ से हो कर जाने वाला अभिलंब हैः
(A) $x+y=3$
(B) $x-y=3$
(C) $x+y=1$
(D) $x-y=1$

24. वक्र $9y^2=x^3$ पर वे बिंदु जहाँ पर वक्र का अभिलंब अक्षों से समान अंतः खंड बनाता है:
(A) $(4, ±8/3)$
(B) $(4, {-8}/3)$
(C) $(4, ±3/8)$
(D) $(±4, 8/3)$