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उदाहरण 1:– $x=1$ पर फलन के सांतत्य की जाँच कीजिए।

उदाहरण 2:– जाँचिए कि क्या फलन $f(x)=x^2,x=0$ पर संतत है।

उदाहरण 3:– $x=0$ पर फलन $f(x)=|x|$ के सांतत्य पर विचार कीजिए।

उदाहरण 4:– दर्शाइए कि फलन $f(x)={■(x^3+3,&यदि x≠0@1,&यदि x=0)┤$ $x=0$ पर संतत नहीं है।

उदाहरण 5:– उन बिंदुओं की जाँच कीजिए जिन पर अचर फलन (Constant function) $f(x)=k$ संतत है।

उदाहरण 6:– सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के लिए तत्समक फलन (Identity function) $f(x)=x$ , प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए संतत है।

उदाहरण 7:– क्या $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

उदाहरण 8:– फलन $f(x)=x^3+x^2-1$ के सांतत्य पर विचार कीजिए।

उदाहरण 9:– $f(x)=1/x,x≠0$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ के सांतत्य पर विचार कीजिए।

उदाहरण 10:– निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
$f(x)={■(x+2,&यदि x≤1@x-2,&यदि x>1)┤$

उदाहरण 11:– निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित फलन $f$ के समस्त (सभी) सांतत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए
$f(x)={■(x+2,&यदि x<1@0,&यदि x=1@x-2,&यदि x>1)┤$

उदाहरण 12:– निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
$f(x)={■(x+2,&यदि x<0@-x+2,&यदि x>0)┤$

उदाहरण 13:– निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
$f(x)={■(x&यदि x≥0@x^2,&यदि x<0)┤$

उदाहरण 14:– दर्शाइए कि प्रत्येक बहुपद फलन संतत फलन होता है।

उदाहरण 15:– $f(x)=[x]$ द्वारा परिभाषित महत्तम पूर्णांक फलन के असांतत्य के समस्त बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहां $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को प्रकट करता है, जो $x$ से कम या उसके बराबर है।

उदाहरण 16:– सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक परिमेय फलन संतत होता है।

उदाहरण 17:– $sine$ फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए।

उदाहरण 18:– सिद्ध कीजिए कि $f(x)=tanx$ एक संतत फलन है।

उदाहरण 19:– दर्शाइए कि $f(x)=sin⁡(x^2 )$ द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है।

उदाहरण 20:– दर्शाइए कि $f(x)=|(1-x+|x|)|$ द्वारा परिभाषित फलन $f$, जहां $x$ एक वास्तविक संख्या है, एक संतत फलन है।

उदाहरण 21:– $f(x)=sin⁡(x^2 )$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 22:– $tan⁡(2x+3)$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 23:– $x$ के सापेक्ष $sin⁡(cos (x^2 ))⁡ $ अवकलन कीजिए।

उदाहरण 24:– यदि $x-y=π$ तो $dy/dx$ ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 25:– यदि $y+siny=cosx$ तो dy/dx ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 26:– $f(x)=sin^(-1)⁡x$ अवकलज ज्ञात कीजिए। यह मान लीजिए कि इसका अस्तित्व है।

उदाहरण 27:– $f(x)=tan^(-1)⁡x$ अवकलज ज्ञात कीजिए। यह मानते हुए कि इसका अस्तित्व है।

उदाहरण 28:– क्या यह सत्य है कि $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $x=e^logx$ है?

उदाहरण 29:– $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए।
(i) $e^(-x)$
(ii) $sin⁡(logx),x>0$
(iii) $cos^(-1)⁡(e^x )$
(iv) $e^cosx$

उदाहरण 30:– $x$ के सापेक्ष $√((x-3)(x^2+4)/(3x^2+4x+5))$ का अवकलन कीजिए।

उदाहरण 31:– $x$ के सापेक्ष $a^x$ का अवकलन कीजिए, जहां $a$ एक धन अचर है।

उदाहरण 32:– $x$ के सापेक्ष $x^sinx$ का अवकलन कीजिए, जबकि $x>0$ है।

उदाहरण 33:– यदि $y^x+x^y+x^x=a^b$ है। तो $dy/dx$ ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 34:– यदि $x=acosθ,y=a sinθ,$ तो $dy/dx$ ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 35:– यदि $x=at^2,y=2at$, तो $dy/dx$ ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 36:– यदि $x=a(θ+sinθ),y=a(1-cosθ)$, तो $dy/dx$ ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 37:– यदि $x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)$ तो $dy/dx$ ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 38:– यदि $x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)$ तो $dy/dx$ ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 39:– यदि $y=Asinx+Bcosx$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(d^2 y)/(dx^2 )+y=0$ है।

उदाहरण 40:– यदि $y=3e^2x+2e^3x$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(d^2 y)/(dx^2 )-5 dy/dx+6y=0$ है।

उदाहरण 41:– यदि $y=sin^(-1) x$ है तो दर्शाइए कि $(1-x^2 ) (d^2 y)/(dx^2 )-x dy/dx=0$ है।

उदाहरण 42:– फलन $y=x^2+2$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए, जब $a=-2$ तथा $b=2$ है।

उदाहरण 43:– अंतराल $[2,4]$ में फलन $f(x)=x^2$ के लिए माध्यमान प्रमेय को सत्यापित कीजिए है।

उदाहरण 44:– $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए।
(i) $√(3x+2)+1/√(2x^2+4)$
(ii) $e^(sec^2 x)+⁡3 cos^(-1)⁡x>0$
(iii) $log_7⁡(logx)$

उदाहरण 45:– $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए।
(i) $cos^(-1)⁡(sinx)$
(ii) $tan^(-1)⁡(sinx/(1+cosx))$
(iii) $sin^(-1)⁡(2^(x+1)/(1+4^x ))$

उदाहरण 46:– यदि सभी $0

उदाहरण 47:– धनात्मक अचर $a$ के लिए यदि $dy/dx$ ज्ञात कीजिए, जहां
$y=a^(t+1/t)$ तथा $x=(t+1/t)^a$ है।

उदाहरण 48:– $e^cosx$ के सापेक्ष $sin^2⁡x$ का अवकलन कीजिए।