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प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए:

1. $sin(x^2+5)$

2. $cos(sinx)$

3. $sin(ax+ b)$

4. $sec(tan⁡{√x})$

5. ${sin(ax+b)}/{cos(cx+d)}$

⁡⁡

6. ${cos⁡x^3}.{sin}^2⁡(x^5)$ 

7. $2√{cot⁡(x^2)}$

8. $cos{√x}$

9. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=|x-1|x∈R,  x=1$ पर अवकलित नहीं है।

10. सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन $f(x)=[x],0< x<3 ,x=1$  तथा $x=2$ पर अवकलित नहीं है।

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प्रश्न 1:-$sin(x^2+5)$

हल:- माना — $y=sin(x^2+5)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(x^2+5)]$
$=cos(x^2+5)  d/{dx} (x^2+5)$
$=cos(x^2+5)(2x+0)$
$=2x.cos(x^2+5)$, Ans.

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प्रश्न 2:-  $cos(sinx)$

हल:- माना — $y=cos(sinx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [cos(sinx)]$
$=-sin(sinx)  d/{dx} (sinx)$
$=-sin(sinx).cosx$
$=-cosx.sin(sinx)$, Ans.

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प्रश्न 3:-  $sin(ax+b)$

हल:- माना — $y=sin(ax+b)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —)
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(ax+b)] =cos(ax+b)  d/{dx} (ax+b)$
$=cos(ax+b).(a.1+0)$
$=acos(ax+b)$, Ans.

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प्रश्न 4:-  $sec(tan(√x))$

हल:- माना — $y=sec(tan(√x))$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —)
${dy}/{dx}=d/{dx} [sec(tan(√x))] =sec(tan(√x)).tan(tan(√x))  d/{dx} [tan(√x)]$
$=sec(tan(√x)).tan(tan(√x)).sec^2 (√x)  d/{dx} (√x)$
$=sec(tan(√x)).tan(tan(√x)).sec^2 (√x).1/{2√x}$
$={sec(tan(√x)).tan(tan(√x)).{sec^2 (√x)}}/{2√x}$, Ans.

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प्रश्न 5:-  ${sin(ax+b)}/{cos(cx+d)}$

हल:- माना — $y={sin(ax+b)}/{cos(cx+d)}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [{sin(ax+b)}/{cos(cx+d)}] ={cos(cx+d)× ⁡d/{dx} [sin(ax+b)]  - sin(ax+b)  d/{dx} [cos(cx+d)]}/{[cos(cx+d)]^2}$ $={cos(cx+d).cos(ax+b).d/{dx} (ax+b)  -⁡sin(ax+b).[-sin(cx+d)]  d/{dx} (cx+d)}/{cos^2 (cx+d)}$
$={cos(cx+d).cos(ax+b).(a+0)  -⁡sin(ax+b).[-sin(cx+d)](c+0)}/{cos^2 (cx+d)}$
$={a.cos(cx+d).cos(ax+b)  +⁡{c.sin(ax+b)}.sin(cx+d)}/{cos^2 (cx+d) }$
$={{a.cos(cx+d).cos(ax+b)}/{cos^2 (cx+d)}+{c.sin⁡(ax+b).sin(cx+d)}}/{cos^2 (cx+d)}$
$={a.cos(ax+b)}/{cos(cx+d)} +{c.sin⁡(ax+b).sin(cx+d)}/{cos^2 (cx+d)}$
$=a.cos⁡(ax+b).sec⁡(cx+d)+c.sin(ax+b)  tan⁡(cx+d).sec⁡(cx+d)$, Ans.

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प्रश्न 6:-  $cosx^3.sin^2 (x^5 )$

हल:- माना — $y=cosx^3.sin^2 (x^5)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [cosx^3.sin^2 (x^5 )]$
$=cosx^3  d/{dx} [sin^2 (x^5 )]+sin^2 (x^5 )  d/{dx} cosx^3$
$=cosx^3 . 2sin(x^5 )  d/{dx} (sinx^5 )+sin^2 (x^5) . (-sinx^3)  d/{dx} (x^3 )$
$=cosx^3 . 2sin(x^5) . cosx^5 (5x^4)-sin^2 (x^5).sinx^3 (3x^2)$
$=10x^4 . sinx^5 . cosx^5 . cosx^3-3x^2 . sin^2 x^5 . sinx^3$ , Ans.

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प्रश्न 7:-  $2√{cot(x^2 )}$

हल:- माना — $y=2√{cot(x^2 )}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [2√(cot(x^2 ) )] =2×1/{2√{cot(x^2 )}}  d/{dx} [cot(x^2 )]$
$=1/{√{cot(x^2 )}}⁡ [-cosec^2 (x^2 )]  d/{dx} (x^2 )$   
$={-cosec^2 (x^2 )}/{√{cot(x^2)}}.(2x)$
$={-2x.cosec^2 (x^2 )}/{√(cot(x^2 )}$, Ans.
$={-2x.cosec(x^2 ).cosec(x^2 )}/{√(cos⁡(x^2 )/sin(x^2 ) }$
$={-2x.√{sin(x^2 )}}/{√{cos(x^2)}}⁡.1/{sin(x^2 )} .⁡1/{sin(x^2 )}$
$=(-2x)/√(cos(x^2 ) ).1/√(sin(x^2 ) )  .⁡〖1/sin(x^2 ) 〗×√2/√2$
$=(-2√2 x)/√(2 sin⁡(x^2 ).cos(x^2 ) )  .⁡〖1/sin(x^2 ) 〗$
$=(-2√2 x)/(sin(x^2 ) √(sin2⁡(x^2 ) ))$ , Ans.

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प्रश्न 8:-  $cos(√x)$

हल:- माना — $y=cos(√x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [cos(√x)] =-sin(√x)  d/{dx} (√x)$
$=-sin(√x).1/{2√x}$
$={-sin(√x)}/{2√x}$ , Ans.

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प्रश्न 9:- सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=|x-1|, x∈R, x=1$ पर अवकलित नहीं है।

हल:- दिया है: $y=f(x)=|x-1|, x∈R, x=1$
सिद्ध करना है: $x=1$ पर फलन $f(x)$ अवकलित नहीं है
$f(x)={■(x-1,&यदि x≥1@-(x-1),&यदि x<1)$
$x=a$ पर —
$L.H.D.=lim┬(h→0)⁡{f(x-h)-f(x)}/{-h}$
$R.H.D.=lim┬(h→0)⁡{f(x+h)-f(x)}/h$
Note:- यदि $L.H.D.=R.H.D.$ तो फलन अवकलनीय होता है।
∴ $x=1$ पर,
$L.H.D.=lim┬(h→0) ⁡{f(1-h)-f(1)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {-[(1-h)-1]-(1-1)}/{-h)}$
$=lim┬(h→0) ⁡{-[1-h-1]-(1-1)}/{-h)}$
$=lim┬(h→0)⁡ {h-0}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ h/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {-1}$
$=-1$
अब $x=1$ पर,
$R.H.D.=lim┬(h→0)⁡ {f(1+h)-f(1)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {-[(1+h)-1]-(1-1)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {(-[1+h-1]-(1-1)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {(-h-0)/(-h)}$
$=lim┬(h→0)⁡ {-h}/{-h}$
$=lim┬(h→0) ⁡1$
$=1$
∵ $L.H.D.≠R.H.D.$
अतः $x=1$ पर दिया गया फलन $f(x)=|x-1|, x∈R$ अवकलित नहीं है। Proved.

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प्रश्न 10:- सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=[x], 0

हल:- दिया है: $f(x)=[x],0<x<3$
सिद्ध करना है: $x=1$ तथा $x=2$ पर फलन $f(x)$ अवकलित नहीं है।
Note:- ∵ $f(x)=[x]$
$f(1-h)=0$
$f(1)=1$
$f(1+h)=1$
∴ $x=1$ पर,
$L.H.D.=lim┬(h→0)⁡ {f(1-h)-f(1)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {[1-h]-(1)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {0-1}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {-1}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {1/h}$
$=1/0$
$=∞$
अब $x=1$ पर,
$R.H.D.=lim┬(h→0)⁡ {f(1+h)-f(1)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {1-1}/h$
$=lim┬(h→0)⁡ {0/h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {0}$
$=0$
∵ $L.H.D.≠R.H.D.$
अतः $x=1$ पर दिया गया फलन $f(x)=[x],0<x<3$ अवकलित नहीं है। Proved.
अब $x=2$ पर,
$L.H.D.=lim┬(h→0)⁡ {f(2-h)-f(2)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {[2-h]-(2)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {1-2}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {-1}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {1/h}$
$=1/0$
$=∞$
अब $x=2$ पर,
$R.H.D.=lim┬(h→0)⁡ {f(2+h)-f(2)}/{-h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {2-2}/h$
$=lim┬(h→0)⁡ {0/h}$
$=lim┬(h→0)⁡ {0}$
$=0$
∵ $L.H.D.≠R.H.D.$
अतः $x=2$ पर दिया गया फलन $f(x)=[x],0< x<3$ अवकलित नहीं है। Proved.

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