69
प्रश्नावली 5.3
निम्नलिखित प्रश्नों में ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1 से 8 में $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए
निम्नलिखित प्रश्नों में ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (2x)+d/{dx} (3y)=d/{dx} (sinx) $
$=2.$(1)+3 {dy}/{dx}=cosx$
$3{dy}/{dx}=cosx-2$
${dy}/{dx}=(cosx-2)/3$ Ans.
$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (2x)+d/{dx} (3y)=d/{dx} (siny)$
$=2.(1)+3 {dy}/{dx}=cosy {dy}/{dx}$
$3 {dy}/{dx}-cosy {dy}/{dx}=-2$
$-3 {dy}/{dx}+cosy {dy}/{dx}=2$
$cosy {dy}/{dx}-3 {dy}/{dx}=2$
${dy}/{dx} (cosy-3)=2$
${dy}/{dx}=2/(cosy-3)$, Ans.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (ax)+d/{dx} (by^2)=d/{dx} (cosy)$
$=a.(1)+b.2y {dy}/{dx}=-siny {dy}/{dx}$
$2by {dy}/{dx}+siny {dy}/{dx}=-a$
${dy}/{dx} (2by+siny)=-a$
${dy}/{dx}=-a/(2by+siny)$, Ans.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (xy)+d/{dx} (y^2)=d/{dx} (tanx)+d/{dx} (y)$
$=x d/{dx} (y)+y. d/{dx} (x)+2y d/{dx}$
$ (y)=sec^2x+{dy}/{dx}$
$x {dy}/{dx}+y.(1)+2y {dy}/{dx}=sec^2x+{dy}/{dx}$
$x {dy}/{dx}+2y {dy}/{dx}-{dy}/{dx}=sec^2x-y$
${dy}/{dx} (x+2y-1)=sec^2x-y$
${dy}/{dx}=(sec^2x-y}/{x+2y-1)$, Ans.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x^2)+d/{dx} (xy)+d/{dx} (y^2)=d/{dx} (100)$
$d/{dx} (x^2)+x d/{dx} (y)+y. d/{dx} (x)+2y d/{dx} (y)=d/{dx} (100) $
$2x.(1)+x {dy}/{dx}+y.(1)+2y {dy}/{dx}=0$
$2x+x {dy}/{dx}+y+2y {dy}/{dx}=0$
$x {dy}/{dx}+2y {dy}/{dx}=-2x-y$
${dy}/{dx} (x+2y)=-(2x+y)$
${dy}/{dx}=(-(2x+y)}/{(x+2y}}$,Ans.
or, ${dy}/{dx}=-(2x+y}/{x+2y)$, Ans.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x^3)+x^2 {dy}/{dx}+y d/{dx} (x^2)+x d/{dx} (y^2)+y^2 d/{dx} (x)+{dy}/{dx} (y^3)=d/{dx} (81)$
$3x^2+x^2 {dy}/{dx}+y(2x)+x.(2y) {dy}/{dx}+y^2 (1)+3y^2 {dy}/{dx}=0$
$x^2 {dy}/{dx}+2xy {dy}/{dx}+3y^2 {dy}/{dx}=-3x^2-2xy-y^2$
${dy}/{dx} (x^2+2xy+3y^2)=-(3x^2+2xy+y^2)$
${dy}/{dx}=-((3x^2+2xy+y^2)}/{(x^2+2xy+3y^2}}$, Ans.
$or,{dy}/{dx}=-(3x^2+2xy+y^2}/{x^2+2xy+y^2)$, Ans.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (sin^2 y)+d/{dx} (cosxy)=d/{dx} (k)$
$2siny d/{dx} (siny)+(-sinxy) d/{dx} (xy)=0$
$2siny.cosy {dy}/{dx}-sinxy[x {dy}/{dx}+y d/{dx} (x)]=0$
$sin2y {dy}/{dx}-sinxy[x {dy}/{dx}+y d/{dx} (1)]=0$
$sin2y {dy}/{dx}-x.sinxy {dy}/{dx}-y.sinxy=0$
$sin2y {dy}/{dx}-x.sinxy {dy}/{dx}=ysinxy$
${dy}/{dx} (sin2y-xsinxy)=ysinxy$
${dy}/{dx}=ysinxy/(sin2y-xsinxy)$, Ans.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (sin^2 x)+d/{dx} ({cos}^2 y)=d/{dx} (1)$
$2sinx d/{dx} (sinx)+(2cosy) d/{dx} (cosy)=0$
$2sinx.cosx+2cosy.(-siny) {dy}/{dx}=0$
$sinx-cos2y {dy}/{dx}=0,∵2sinθcosθ=sin2θ$
$-cos2y {dy}/{dx}=-sin2x$
$cos2y {dy}/{dx}=sin2x$
${dy}/{dx}=sin2x/cos2y$, Ans.
∵ $2 {tan}^{-1}x={sin}^{-1}(2x/(1+x^2}}$
∴ $y=2{tan}^{-1}x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=2/(1+x^2)$, Ans.
माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={tan}^{-1}((3tanθ-tan^3 θ}/{1-3tan^2 θ}}$
$y=${tan}^{-1}(tan3θ) $
$y=3θ $
$y=3 {tan}^{-1}x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=3 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=3(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=3/(1+x^2)$, Ans.
माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={cos}^{-1}((1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$y={cos}^{-1}(cos2θ)$
$y=3θ$
$y=2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=2/(1+x^2)$, Ans.
माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={sin}^{-1}((1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}(cos2θ)$
$y={sin}^{-1}[sin(π/2-2θ)]$
$y=π/2-2θ$
$y=π/2-2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (π/2)-2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=0-2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=(-2}/{1+x^2)$, Ans.
माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={cos}^{-1}(2tanθ/(1+tan^2 θ}}$
$y={cos}^{-1}(sin2θ)$
$y={cos}^{-1}[cos(π/2-2θ)]$
$y=π/2-2θ$
$y=π/2-2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (π/2) - 2 d/{dx} {{tan}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=0-2{1/{1+x^2}}$
${dy}/{dx}={{-2}/{1+x^2}}$, Ans.
माना $x=sinθ⇒θ=sin^{-1}x$
∴ $y={sin}^{-1}{2sinθ√{1-sin^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}{2sinθ√{cos^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}{2sinθcosθ}$
$y={sin}^{-1}{sin2θ}$
$y=2θ$
$y=2 sin^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} {{sin}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=2{1/√{1-x^2}}$
${dy}/{dx}=2/√{1-x^2}$, Ans.
माना $x=cosθ⇒θ=cos^{-1}x$
∴ $y={sec}^{-1}{1/{2cos^2 θ-1}} $
$y={sec}^{-1}{1/{cos2θ}}$
$y={sec}^{-1}{sec2θ} $
$y=2θ$
$y=2 cos^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} {{cos}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=2({-1}/√{1-x^2}}$
${dy}/{dx}={{-2}/{√{1-x^2}}$,Ans.
or, ${dy}/{dx}={{-2}/{√{1-x^2}}$, Ans.
प्रश्न 1 से 8 में $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए
निम्नलिखित प्रश्नों में ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए
1. $2x+3y=sinx$
2. $2x+3y=siny$
3. $ax+by^2=cosy$
4. $xy+ y^2=tanx+y$
5. $x^2+xy+y^2=100$
6. $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$
7. $sin^2 y+cosxy=k$
8.$ sin^2 x+cos^2 x=1$
9. $y=sin^{-1}{{2x}/{1+x^2}}$
10. $y=tan^{-1}{{3x-x^3}/{1-3x^2}},-1/√3<x<1/√3$
11.$ y=cos^{-1}{{1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
12. $y=sin^{-1}{{1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
13. $y=cos^{-1}{{2x}/{1+x^2}},-1<x<1$
14. $y=sin^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$
15.$ y=sec^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$
प्रश्न 1:- $2x+3y=sinx$
हल:-
दिया है: $2x+3y=sinx$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (2x)+d/{dx} (3y)=d/{dx} (sinx) $
$=2.$(1)+3 {dy}/{dx}=cosx$
$3{dy}/{dx}=cosx-2$
${dy}/{dx}=(cosx-2)/3$ Ans.
$
प्रश्न 2:- $2x+3y=siny$
हल:-
दिया है: $2x+3y=siny$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (2x)+d/{dx} (3y)=d/{dx} (siny)$
$=2.(1)+3 {dy}/{dx}=cosy {dy}/{dx}$
$3 {dy}/{dx}-cosy {dy}/{dx}=-2$
$-3 {dy}/{dx}+cosy {dy}/{dx}=2$
$cosy {dy}/{dx}-3 {dy}/{dx}=2$
${dy}/{dx} (cosy-3)=2$
${dy}/{dx}=2/(cosy-3)$, Ans.
प्रश्न 3:- $ax+by^2=cosy$
हल:-
दिया है: $ax+by^2=cosy$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (ax)+d/{dx} (by^2)=d/{dx} (cosy)$
$=a.(1)+b.2y {dy}/{dx}=-siny {dy}/{dx}$
$2by {dy}/{dx}+siny {dy}/{dx}=-a$
${dy}/{dx} (2by+siny)=-a$
${dy}/{dx}=-a/(2by+siny)$, Ans.
प्रश्न 4:- $xy+ y^2=tanx+y$
$हल:-
दिया है: $xy+ y^2=tanx+y$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (xy)+d/{dx} (y^2)=d/{dx} (tanx)+d/{dx} (y)$
$=x d/{dx} (y)+y. d/{dx} (x)+2y d/{dx}$
$ (y)=sec^2x+{dy}/{dx}$
$x {dy}/{dx}+y.(1)+2y {dy}/{dx}=sec^2x+{dy}/{dx}$
$x {dy}/{dx}+2y {dy}/{dx}-{dy}/{dx}=sec^2x-y$
${dy}/{dx} (x+2y-1)=sec^2x-y$
${dy}/{dx}=(sec^2x-y}/{x+2y-1)$, Ans.
प्रश्न 5:- $x^2+xy+y^2=100$
हल:-
दिया है: $x^2+xy+y^2=100$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x^2)+d/{dx} (xy)+d/{dx} (y^2)=d/{dx} (100)$
$d/{dx} (x^2)+x d/{dx} (y)+y. d/{dx} (x)+2y d/{dx} (y)=d/{dx} (100) $
$2x.(1)+x {dy}/{dx}+y.(1)+2y {dy}/{dx}=0$
$2x+x {dy}/{dx}+y+2y {dy}/{dx}=0$
$x {dy}/{dx}+2y {dy}/{dx}=-2x-y$
${dy}/{dx} (x+2y)=-(2x+y)$
${dy}/{dx}=(-(2x+y)}/{(x+2y}}$,Ans.
or, ${dy}/{dx}=-(2x+y}/{x+2y)$, Ans.
प्रश्न 6:- $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$
हल:-
दिया है: $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x^3)+x^2 {dy}/{dx}+y d/{dx} (x^2)+x d/{dx} (y^2)+y^2 d/{dx} (x)+{dy}/{dx} (y^3)=d/{dx} (81)$
$3x^2+x^2 {dy}/{dx}+y(2x)+x.(2y) {dy}/{dx}+y^2 (1)+3y^2 {dy}/{dx}=0$
$x^2 {dy}/{dx}+2xy {dy}/{dx}+3y^2 {dy}/{dx}=-3x^2-2xy-y^2$
${dy}/{dx} (x^2+2xy+3y^2)=-(3x^2+2xy+y^2)$
${dy}/{dx}=-((3x^2+2xy+y^2)}/{(x^2+2xy+3y^2}}$, Ans.
$or,{dy}/{dx}=-(3x^2+2xy+y^2}/{x^2+2xy+y^2)$, Ans.
प्रश्न 7:- $sin^2 y+cosxy=k$
हल:-
दिया है: $sin^2 y+cosxy=k$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (sin^2 y)+d/{dx} (cosxy)=d/{dx} (k)$
$2siny d/{dx} (siny)+(-sinxy) d/{dx} (xy)=0$
$2siny.cosy {dy}/{dx}-sinxy[x {dy}/{dx}+y d/{dx} (x)]=0$
$sin2y {dy}/{dx}-sinxy[x {dy}/{dx}+y d/{dx} (1)]=0$
$sin2y {dy}/{dx}-x.sinxy {dy}/{dx}-y.sinxy=0$
$sin2y {dy}/{dx}-x.sinxy {dy}/{dx}=ysinxy$
${dy}/{dx} (sin2y-xsinxy)=ysinxy$
${dy}/{dx}=ysinxy/(sin2y-xsinxy)$, Ans.
प्रश्न 8:- $sin^2 x+〖cos^2〗y=1$
$हल:-
दिया है: $sin^2 x+〖cos^2〗y=1$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (sin^2 x)+d/{dx} ({cos}^2 y)=d/{dx} (1)$
$2sinx d/{dx} (sinx)+(2cosy) d/{dx} (cosy)=0$
$2sinx.cosx+2cosy.(-siny) {dy}/{dx}=0$
$sinx-cos2y {dy}/{dx}=0,∵2sinθcosθ=sin2θ$
$-cos2y {dy}/{dx}=-sin2x$
$cos2y {dy}/{dx}=sin2x$
${dy}/{dx}=sin2x/cos2y$, Ans.
प्रश्न 9:- $y={sin}^{-1}(2x/(1+x^2}}$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1}(2x/(1+x^2}}$∵ $2 {tan}^{-1}x={sin}^{-1}(2x/(1+x^2}}$
∴ $y=2{tan}^{-1}x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=2/(1+x^2)$, Ans.
प्रश्न 10:- $y={tan}^{-1}((3x-x^3}/{1-3x^2}},-1/√3<x<1/√3$
हल:-
दिया है: $y={tan}^{-1}((3x-x^3}/{1-3x^2}},-1/√3<x<1/√3$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={tan}^{-1}((3tanθ-tan^3 θ}/{1-3tan^2 θ}}$
$y=${tan}^{-1}(tan3θ) $
$y=3θ $
$y=3 {tan}^{-1}x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=3 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=3(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=3/(1+x^2)$, Ans.
प्रश्न 11:- $y={cos}^{-1}((1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
हल:-
दिया है: $y={cos}^{-1}((1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={cos}^{-1}((1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$y={cos}^{-1}(cos2θ)$
$y=3θ$
$y=2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=2/(1+x^2)$, Ans.
प्रश्न 12:- $y={sin}^{-1}((1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1}((1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={sin}^{-1}((1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}(cos2θ)$
$y={sin}^{-1}[sin(π/2-2θ)]$
$y=π/2-2θ$
$y=π/2-2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (π/2)-2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=0-2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=(-2}/{1+x^2)$, Ans.
प्रश्न 13:- $y={cos}^{-1}(2x/(1+x^2}},-1<x<1$
हल:-
दिया है: $y={cos}^{-1}(2x/(1+x^2}},-1<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={cos}^{-1}(2tanθ/(1+tan^2 θ}}$
$y={cos}^{-1}(sin2θ)$
$y={cos}^{-1}[cos(π/2-2θ)]$
$y=π/2-2θ$
$y=π/2-2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (π/2) - 2 d/{dx} {{tan}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=0-2{1/{1+x^2}}$
${dy}/{dx}={{-2}/{1+x^2}}$, Ans.
प्रश्न 14:- $y={sin}^{-1}(2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$माना $x=sinθ⇒θ=sin^{-1}x$
∴ $y={sin}^{-1}{2sinθ√{1-sin^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}{2sinθ√{cos^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}{2sinθcosθ}$
$y={sin}^{-1}{sin2θ}$
$y=2θ$
$y=2 sin^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} {{sin}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=2{1/√{1-x^2}}$
${dy}/{dx}=2/√{1-x^2}$, Ans.
प्रश्न 15:- $y={sec}^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$
हल:-
दिया है: $y={sec}^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$माना $x=cosθ⇒θ=cos^{-1}x$
∴ $y={sec}^{-1}{1/{2cos^2 θ-1}} $
$y={sec}^{-1}{1/{cos2θ}}$
$y={sec}^{-1}{sec2θ} $
$y=2θ$
$y=2 cos^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} {{cos}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=2({-1}/√{1-x^2}}$
${dy}/{dx}={{-2}/{√{1-x^2}}$,Ans.
or, ${dy}/{dx}={{-2}/{√{1-x^2}}$, Ans.
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