71 delete Krna haai
प्रश्न 1 से 8 में $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए:
1. $sin(x^2+5)$
2. $cos(sinx)$
3. $sin(ax+ b)$
4. $sec(tan{√x})$
5. ${sin(ax+b)}/{cos(cx+d)}$
6. ${cosx^3}.{sin}^2(x^5)$
7. $2√{cot(x^2)}$
8. $cos{√x}$
9. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x)=|x-1|x∈R, x=1$ पर अवकलित नहीं है।
10. सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन $f(x)=[x],0< x<3 ,x=1$ तथा $x=2$ पर अवकलित नहीं है।
प्रश्न 1:-$sin(x^2+5)$
हल:- माना — $y=sin(x^2+5)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(x^2+5)]$
$=cos(x^2+5) d/{dx} (x^2+5)$
$=cos(x^2+5)(2x+0)$
$=2x.cos(x^2+5)$, Ans.
प्रश्नावली 5.3 निम्नलिखित प्रश्नों में ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1 से 8 में $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए
निम्नलिखित प्रश्नों में ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए
1. $2x+3y=sinx$
2. $2x+3y=siny$
3. $ax+by^2=cosy$
4. $xy+ y^2=tanx+y$
5. $x^2+xy+y^2=100$
6. $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$
7. $sin^2 y+cosxy=k$
8.$ sin^2 x+cos^2 x=1$
9. $y=sin^{-1}{{2x}/{1+x^2}}$
10. $y=tan^{-1}{{3x-x^3}/{1-3x^2}},-1/√3<x<1/√3$
11.$ y=cos^{-1}{{1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
12. $y=sin^{-1}{{1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
13. $y=cos^{-1}{{2x}/{1+x^2}},-1<x<1$
14. $y=sin^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$
15.$ y=sec^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$
प्रश्न 1:- $2x+3y=sinx$
हल:-
दिया है: $2x+3y=sinx$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (2x)+d/{dx} (3y)=d/{dx} (sinx) $
$=2.(1)+3 {dy}/{dx}=cosx$
$3{dy}/{dx}=cosx-2$
${dy}/{dx}=(cosx-2)/3$ Ans.
प्रश्न 2:- $2x+3y=siny$
हल:-
दिया है: $2x+3y=siny$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (2x)+d/{dx} (3y)=d/{dx} (siny)$
$=2.(1)+3 {dy}/{dx}=cosy {dy}/{dx}$
$3 {dy}/{dx}-cosy {dy}/{dx}=-2$
$-3 {dy}/{dx}+cosy {dy}/{dx}=2$
$cosy {dy}/{dx}-3 {dy}/{dx}=2$
${dy}/{dx} (cosy-3)=2$
${dy}/{dx}=2/(cosy-3)$, Ans.
प्रश्न 3:- $ax+by^2=cosy$
हल:-
दिया है: $ax+by^2=cosy$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (ax)+d/{dx} (by^2)=d/{dx} (cosy)$
$=a.(1)+b.2y {dy}/{dx}=-siny {dy}/{dx}$
$2by {dy}/{dx}+siny {dy}/{dx}=-a$
${dy}/{dx} (2by+siny)=-a$
${dy}/{dx}=-a/(2by+siny)$, Ans.
प्रश्न 4:- $xy+ y^2=tanx+y$
$हल:-
दिया है: $xy+ y^2=tanx+y$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (xy)+d/{dx} (y^2)=d/{dx} (tanx)+d/{dx} (y)$
$=x d/{dx} (y)+y. d/{dx} (x)+2y d/{dx}$
$ (y)=sec^2x+{dy}/{dx}$
$x {dy}/{dx}+y.(1)+2y {dy}/{dx}=sec^2x+{dy}/{dx}$
$x {dy}/{dx}+2y {dy}/{dx}-{dy}/{dx}=sec^2x-y$
${dy}/{dx} (x+2y-1)=sec^2x-y$
${dy}/{dx}=(sec^2x-y}/{x+2y-1)$, Ans.
प्रश्न 5:- $x^2+xy+y^2=100$
हल:-
दिया है: $x^2+xy+y^2=100$$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x^2)+d/{dx} (xy)+d/{dx} (y^2)=d/{dx} (100)$
$d/{dx} (x^2)+x d/{dx} (y)+y. d/{dx} (x)+2y d/{dx} (y)=d/{dx} (100) $
$2x.(1)+x {dy}/{dx}+y.(1)+2y {dy}/{dx}=0$
$2x+x {dy}/{dx}+y+2y {dy}/{dx}=0$
$x {dy}/{dx}+2y {dy}/{dx}=-2x-y$
${dy}/{dx} (x+2y)=-(2x+y)$
${dy}/{dx}=(-(2x+y)}/{(x+2y}}$,Ans.
or, ${dy}/{dx}=-(2x+y}/{x+2y)$, Ans.
प्रश्न 6:- $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$
हल:-
दिया है: $x^3+x^2 y+xy^2+y^3=81$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (x^3)+x^2 {dy}/{dx}+y d/{dx} (x^2)+x d/{dx} (y^2)+y^2 d/{dx} (x)+{dy}/{dx} (y^3)=d/{dx} (81)$
$3x^2+x^2 {dy}/{dx}+y(2x)+x.(2y) {dy}/{dx}+y^2 (1)+3y^2 {dy}/{dx}=0$
$x^2 {dy}/{dx}+2xy {dy}/{dx}+3y^2 {dy}/{dx}=-3x^2-2xy-y^2$
${dy}/{dx} (x^2+2xy+3y^2)=-(3x^2+2xy+y^2)$
${dy}/{dx}=-((3x^2+2xy+y^2)}/{(x^2+2xy+3y^2}}$, Ans.
$or,{dy}/{dx}=-(3x^2+2xy+y^2}/{x^2+2xy+y^2)$, Ans.
प्रश्न 7:- $sin^2 y+cosxy=k$
हल:-
दिया है: $sin^2 y+cosxy=k$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (sin^2 y)+d/{dx} (cosxy)=d/{dx} (k)$
$2siny d/{dx} (siny)+(-sinxy) d/{dx} (xy)=0$
$2siny.cosy {dy}/{dx}-sinxy[x {dy}/{dx}+y d/{dx} (x)]=0$
$sin2y {dy}/{dx}-sinxy[x {dy}/{dx}+y d/{dx} (1)]=0$
$sin2y {dy}/{dx}-x.sinxy {dy}/{dx}-y.sinxy=0$
$sin2y {dy}/{dx}-x.sinxy {dy}/{dx}=ysinxy$
${dy}/{dx} (sin2y-xsinxy)=ysinxy$
${dy}/{dx}=ysinxy/(sin2y-xsinxy)$, Ans.
प्रश्न 8:- $sin^2 x+〖cos^2〗y=1$
$हल:-
दिया है: $sin^2 x+〖cos^2〗y=1$दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} (sin^2 x)+d/{dx} ({cos}^2 y)=d/{dx} (1)$
$2sinx d/{dx} (sinx)+(2cosy) d/{dx} (cosy)=0$
$2sinx.cosx+2cosy.(-siny) {dy}/{dx}=0$
$sinx-cos2y {dy}/{dx}=0,∵2sinθcosθ=sin2θ$
$-cos2y {dy}/{dx}=-sin2x$
$cos2y {dy}/{dx}=sin2x$
${dy}/{dx}=sin2x/cos2y$, Ans.
प्रश्न 9:- $y={sin}^{-1}(2x/(1+x^2}}$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1}(2x/(1+x^2}}$∵ $2 {tan}^{-1}x={sin}^{-1}(2x/(1+x^2}}$
∴ $y=2{tan}^{-1}x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=2/(1+x^2)$, Ans.
प्रश्न 10:- $y={tan}^{-1}((3x-x^3}/{1-3x^2}},-1/√3<x<1/√3$
हल:-
दिया है: $y={tan}^{-1}((3x-x^3}/{1-3x^2}},-1/√3<x<1/√3$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={tan}^{-1}((3tanθ-tan^3 θ}/{1-3tan^2 θ}}$
$y=${tan}^{-1}(tan3θ) $
$y=3θ $
$y=3 {tan}^{-1}x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=3 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=3(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=3/(1+x^2)$, Ans.
प्रश्न 11:- $y={cos}^{-1}((1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
हल:-
दिया है: $y={cos}^{-1}((1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={cos}^{-1}((1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$y={cos}^{-1}(cos2θ)$
$y=3θ$
$y=2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=2/(1+x^2)$, Ans.
प्रश्न 12:- $y={sin}^{-1}((1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1}((1-x^2}/{1+x^2}},0<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={sin}^{-1}((1-tan^2 θ}/{1+tan^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}(cos2θ)$
$y={sin}^{-1}[sin(π/2-2θ)]$
$y=π/2-2θ$
$y=π/2-2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (π/2)-2 d/{dx} ({tan}^{-1}x)$
${dy}/{dx}=0-2(1/(1+x^2}}$
${dy}/{dx}=(-2}/{1+x^2)$, Ans.
प्रश्न 13:- $y={cos}^{-1}(2x/(1+x^2}},-1<x<1$
हल:-
दिया है: $y={cos}^{-1}(2x/(1+x^2}},-1<x<1$माना $x=tanθ⇒θ={tan}^{-1}x$
∴ $y={cos}^{-1}(2tanθ/(1+tan^2 θ}}$
$y={cos}^{-1}(sin2θ)$
$y={cos}^{-1}[cos(π/2-2θ)]$
$y=π/2-2θ$
$y=π/2-2 {tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (π/2) - 2 d/{dx} {{tan}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=0-2{1/{1+x^2}}$
${dy}/{dx}={{-2}/{1+x^2}}$, Ans.
प्रश्न 14:- $y={sin}^{-1}(2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$
हल:-
दिया है: $y={sin}^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$माना $x=sinθ⇒θ=sin^{-1}x$
∴ $y={sin}^{-1}{2sinθ√{1-sin^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}{2sinθ√{cos^2 θ}}$
$y={sin}^{-1}{2sinθcosθ}$
$y={sin}^{-1}{sin2θ}$
$y=2θ$
$y=2 sin^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} {{sin}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=2{1/√{1-x^2}}$
${dy}/{dx}=2/√{1-x^2}$, Ans.
प्रश्न 15:- $y={sec}^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$
हल:-
दिया है: $y={sec}^{-1}{2x√{1-x^2}},-1/√2<x<1/√2$माना $x=cosθ⇒θ=cos^{-1}x$
∴ $y={sec}^{-1}{1/{2cos^2 θ-1}} $
$y={sec}^{-1}{1/{cos2θ}}$
$y={sec}^{-1}{sec2θ} $
$y=2θ$
$y=2 cos^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=2 d/{dx} {{cos}^{-1}x}$
${dy}/{dx}=2({-1}/√{1-x^2}}$
${dy}/{dx}={{-2}/{√{1-x^2}}$,Ans.
or, ${dy}/{dx}={{-2}/{√{1-x^2}}$, Ans.
प्रश्नावली 5.4 प्रश्नावली 5.4 निम्नलिखित का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
1. $e^x/{sinx}$
2. $e^{sin^{-1} x}$
3. $e^{x^3}$
4. $sin(tan^{-1} e^x)$
5. $log(cos e^x)$
6. $e^x+e^{x^2}+e^{x^3}+e^{x^4}+e^{x^5}$
7. $√{e^{√x}}, x>0$
8. $log(logx), x>1$
9. ${cosx}/{logx} , x>0$
10. $cos(logx+e^x)$
${d/{dx} (u/v)=(v× d/{dx} (u) - u d/{dx} (v)}/{v^2}$
or, $d/{dx} (u/v)={v×u^'-u×v^'}/{v^2}$
or, ${d/{dx} ({अंश}/{हर})=(हर×d/{dx} (अंश)-अंश d/{dx} (हर)}/{हर^2}$
निम्नलिखित का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
प्रश्न 1:- ${e^x}/{sinx}$
हल:-
माना $y={e^x}/{sinx}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x/sinx)$
$={sinx × d/{dx} (e^x) - e^x d/{dx} (sinx)}/{sinx)^2$
$={sinx.(e^x)-e^x (cosx)}/{sin^2 x}$
$={e^x (sinx-cosx)}/{sin^2 x}$Ans.
प्रश्न 2:- $e^{sin^{-1} x}$
हल:-
माना $y=e^{{sin}^{-1} x}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^{{sin}^{-1} x}}$
$=e^{{sin}^{-1} x} d/{dx} ({sin}^{-1}x)$
$=e^{{sin}^{-1} x}.(1/{√{1-x^2}})$
$=e^{{sin}^{-1} x}/{√{1-x^2}}$Ans.
प्रश्न 3:- $〖e^x〗^3$
हल:-
माना $y=〖e^x〗^3$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (〖e^x〗^3)$
$=〖e^x〗^3 d/{dx} (x^3)$
$=〖e^x〗^3.(3x^2)$
$=3x^2.〖e^x〗^3$Ans.
प्रश्न 4:- $sin(tan^{-1} e^(-x}}$
हल:-
माना $y=sin(tan^{-1} e^(-x}}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(tan^{-1} e^(-x}}]$
$=cos(tan^{-1} e^(-x}} d/{dx} (tan^{-1} e^(-x}}$
$=cos(tan^{-1} e^(-x}}.1/(1+(e^(-x}}^2).d/{dx} (e^(-x}}$
$=cos(tan^{-1} e^(-x)}/{1+e^(-2x}}.e^(-x) .d/{dx} (-x)$
$=(e^(-x) cos(tan^{-1} e^(-x}}}/{1+e^(-2x}}.{-1}$
$=-(e^(-x) cos(tan^{-1} e^(-x}}}/{1+e^(-2x}}$ Ans.
प्रश्न 5:- $log(cos e^x)$
हल:-
माना $y=log(cos e^x)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(cos e^x)]$
$=1/(cos e^x).d/{dx} (cos e^x)$
$=1/(cos e^x).(-sin e^x).d/{dx} (e^x)$
$=-(sin e^x}/{cos e^x).(e^x)$
$=-e^x.tan〖e^x 〗$Ans.
प्रश्न 6:- $e^x+e^(x^2)+⋯+e^(x^5)$
हल:-
माना $y=e^x+e^(x^2)+e^(x^3)+e^(x^4)+e^(x^5)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x+e^(x^2)+e^(x^3)+e^(x^4)+e^(x^5}}$
$=d/{dx} e^x+d/{dx} e^(x^2)+d/{dx} e^(x^3)+d/{dx} e^(x^4)+d/{dx} e^(x^5)$
$=e^x d/{dx} (x)+e^(x^2) d/{dx} (x^2)+e^(x^3) d/{dx} (x^3) +e^(x^4) d/{dx} (x^4)+e^(x^5) d/{dx} (x^5)$
$=e^x (1)+e^(x^2) (2x)+e^(x^3) (3x^2) +e^(x^4) (4x^3)+e^(x^5) (5x^4)$
$=e^x+2x.e^(x^2)+3x^2.e^(x^3)+4x^3.e^(x^4)+5x^4.e^(x^5)$Ans.
प्रश्न 7:- $√{e^√x) ,x>0$
हल:-
माना $y=√{e^√x) , x>0$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (√{e^√x}}$
$=1/(2√{e^√x}}.d/{dx} (e^√x)$
$=1/(2√{e^√x}}.e^√x.d/{dx} (√x)$
$=e^√x/(2√{e^√x}}.(1/(2√x}}$
$=(√{e^√x).√{e^√x)}/{2√{e^√x}}.(1/(2√x}}$
$=√{e^√x}/{4√x)$Ans.
प्रश्न 8:- $log(logx),x>1$
हल:-
माना $y=log(logx),x>1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(logx)]$
$=1/logx.d/{dx} (logx)$
$=1/{logx} .{1/x}$
$=1/{xlogx}$ Ans.
प्रश्न 9:- $cosx/logx,x>0$
हल:-
माना $y=cosx/logx, x>0$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (cosx/logx)$
$=(logx×d/{dx} (cosx)-cosx d/{dx} (logx)}/{logx)^2$
$=(logx.(-sinx)-cosx.1/x}/{logx)^2$
$=(-xsinx.logx-cosx)/〖x(logx)〗^2$
$=(-(xsinx.logx+cosx)}/{x(logx)^2)$Ans.
प्रश्न 10:- $cos(logx+e^x)$
हल:-
माना $y=cos(logx+e^x)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [cos(logx+e^x)]$
$=-sin(logx+e^x)[d/{dx} (logx)+d/{dx} (e^x)]$
$=-sin(logx+e^x)[1/x+e^x ]$ Ans.
प्रश्नावली 5.5 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
1. $cosx.cos2x.cos3x
2. $√{(x-1)(x-2}/{x-3)(x-4)(x-5}}
3. $(logx)^cosx
4. $x^x- 2^sinx
5. $(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4
6. $(x+1/x)^x+ x^((1+1/x}}
7. $(logx)^x+ x^logx
8. $(sinx)^x+ sin^{-1} √x
9. $x^sinx+(sinx)^cosx
10. $x^cosx+(x^2+1}/{x^2-1)
11. $(xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)
12. $x^y+y^x=1
13. $y^x= x^y
14. $(cosx)^y=(cosy)^x
15. $xy=e^((x-y}}
16. $f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+ x^8) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार $f^' (1)$ ज्ञात कीजिए।
17 $(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$ का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
18. यदि $u,v$ तथा $w,x$ के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात प्रथम–गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय–लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि
$d/{dx} (u.v.x)=du/dx v.w+u.dv/dx .w+u.v dw/dx$
1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
प्रश्न 1:- $cosx.cos2x.cos3x
हल:-
माना $y= cosx.cos2x.cos3xदोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[cosx.cos2x.cos3x]
$logy=logcosx+ logcos2x+ logcos3x
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=d/{dx} logcosx+d/{dx} logcos2x+d/{dx} logcos3x
$1/y {dy}/{dx}=1/cosx d/{dx} cosx+1/cos2x d/{dx} cos2x+1/cos3x d/{dx} cos3x
$1/y {dy}/{dx}=1/cosx (-sinx)(1)+1/cos2x (-sin2x)(2)+1/cos3x (-sin3x)(3)
$1/y {dy}/{dx}=-sinx/cosx-2 sin2x/cos2x-3 sin3x/cos3x $ {dy}/{dx}= y [-tanx-2tan2x-3tan3x]
${dy}/{dx}= cosx.cos2x.cos3x [-tanx-2tan2x-3tan3x] Ans.
प्रश्न 2:- $√{(x-1)(x-2}/{x-3)(x-4)(x-5}}$
हल:-
माना $y=√{(x-1)(x-2}/{x-3)(x-4)(x-5}} =[((x-1)(x-2)}/{x-3)(x-4)(x-5) ]^(1/2) $दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=1/2 log[(x-1)(x-2}/{x-3)(x-4)(x-5)]$
$logy=1/2 [log(x-1)+ log(x-2)- log(x-3)-log(x-4)-log(x-5)]
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=1/2 d/{dx} [log(x-1)+ log(x-2)- log(x-3)-log(x-4)-log(x-5)]
$1/y {dy}/{dx}=1/2 [d/{dx} log(x-1)+d/{dx} log(x-2)-d/{dx} log(x-3)-d/{dx} log(x-4)-d/{dx} log(x-5)]
${dy}/{dx}=1/2 y [1/((x-1}} (1-0)+1/((x-2}} (1-0)-1/((x-3}} (1-0)-1/((x-4}} (1-0)-1/((x-5}} (1-0)]
${dy}/{dx}=1/2 √{(x-1)(x-2}/{x-3)(x-4)(x-5}} [1/((x-1}}+1/((x-2}}-1/((x-3}}-1/((x-4}}-1/((x-5}}]$Ans.
प्रश्न 3:- $(logx)^cosx$
हल:-
माना $y= (logx)^cosx$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=cosx log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=log(logx) d/{dx} cosx+cosx d/{dx} log(logx)$
$1/y {dy}/{dx}=log(logx)(-sinx)+cosx 1/logx 1/x$
${dy}/{dx}=y[-sinx log(logx)+cosx/(x logx) ]$
${dy}/{dx}=(logx)^cosx [-sinx log(logx)+cosx/(x logx)]$
${dy}/{dx}=(logx)^cosx [cosx/(x logx)-sinx log(logx)]$Ans.
प्रश्न 4:- $x^x- 2^sinx$
हल:-
माना $y= x^x-2^sinx$पुनः माना $u= x^x$ तथा $v= 2^sinx$
∵ $y = u- v$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x logx$ तथा $logv= sinx log2$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx=logx d/{dx} x+x d/{dx} logx$
$1/v dv/dx=log2 d/{dx} sinx+ sinx d/{dx} log2$
$du/dx=u [logx.(1)+x.1/x.(1)] तथा $dv/dx=v[log2 (cosx)+ sinx(0)]
$du/dx=x^x [logx+1] तथा dv/dx=2^sinx [cosx log2]
∵ $y = u- v
∴ ${dy}/{dx}=du/dx-dv/dx
${dy}/{dx}= x^x [logx+1]- 2^sinx [cosx log2] Ans.
प्रश्न 5:- (x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4
हल:-
माना $y=(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log[(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4 ] $
$logy=2 log〖(x+3)〗+3 log〖(x+4)〗+〖4 log〗〖(x+5)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y {dy}/{dx}=d/{dx} [2 log(x+3)+3 log(x+4)+〖4 log〗(x+5) ]$
$1/y {dy}/{dx}=2 d/{dx} log〖(x+3) 〗+ 3 d/{dx} log〖(x+4) 〗+ 4 d/{dx} log〖(x+5) $
$1/y {dy}/{dx}=2/((x+3}} (1+0)+3/((x+4}} (1+0)+4/((x+5}} (1+0)$
${dy}/{dx}=y[2/((x+3}} + 3/((x+4}} + 4/((x+5}}]$
${dy}/{dx}=(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4 [2/((x+3}} + 3/((x+4}} + 4/((x+5}}]$
${dy}/{dx}=(x+3)^2 .(x+4)^3 .(x+5)^4 [(2(x+4)(x+5)+3(x+3)(x+5)+4(x+3)(x+4)}/{x+3)(x+4)(x+5) ]$Ans.
प्रश्न 6:- $(x+1/x)^x+ x^((1+1/x}}$
हल:-
माना $y= (x+1/x)^x+ x^((1+1/x}} $पुनः माना $u= (x+1/x)^x$ तथा v= $x^((1+1/x}}$
$y= u+ v$
∵ $u= (x+1/x)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(x+1/x)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x$
$d/{dx} log(x+1/x)+ log(x+1/x) d/{dx} (x)$
$1/u du/dx=x 1/((x+1/x}} (1-1/x^2)+ log(x+1/x) (1)$
$du/dx=u[〖x^2/((x^2+1}} ((x^2-1}}/x^2 + log〗(x+1/x) ]$
$du/dx=x log(x+1/x) [〖(x^2-1}/{x^2+1)+log〗(x+1/x) ],(1)
Now,∵ $v= x^((1+1/x}}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=(1+1/x) logx
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx= (1+1/x) d/{dx} logx+ logx d/{dx} (1+1/x)$
$1/u dv/dx= (1+1/x)〖1/x〗+ logx .(0-1/x^2)$
$dv/dx=v[〖(x+1)/x^2 -1/x^2 log〗x ]$
$dv/dx=x^((1+1/x}} [〖(x+1)/x^2 -1/x^2 log〗x ]$
$dv/dx=x^((1+1/x}} [(x+1-logx)/x^2 ],(2)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=du/dx+dv/dx$
समी (1) व (2) से मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x log(x+1/x) [〖(x^2-1}/{x^2+1)+log$
$(x+1/x) ]+x^((1+1/x}} [(x+1-logx)/x^2]$Ans.
प्रश्न 7:- $(logx)^x+ x^logx$
हल:-
माना $y= (logx)^x+ x^logx$पुनः माना $u= (logx)^x$ तथा v= $x^logx$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=du/dx+dv/dx, eq(1)$
∵ $u= (logx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x d/{dx} log(logx)+ log(logx) d/{dx} (x)$
$1/u du/dx=x.1/logx.1/x.1 + log(logx).1$
$du/dx=u[1/logx+ log(logx)]$
$du/dx=(logx)^x [1/logx+ log(logx) ], eq(2)$
Now,∵ $v= x^logx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=logx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx= logx d/{dx} logx+ logx d/{dx} logx$
$1/u dv/dx= 〖logx.〗〖1/x〗+ logx.1/x$
$dv/dx=v[logx/x+logx/x]$
$dv/dx=x^logx [2logx/x], eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=(logx)^x [1/logx+ log(logx) ]+x^logx [2logx/x]$
${dy}/{dx}=(logx)^(x-1) [1+logx log(logx) ]+x^logx [2logx/x]$, Ans.
प्रश्न 8:- $(sinx)^x+ sin^{-1} √x$
हल:-
माना $y= (sinx)^x+ sin^{-1} √x$पुनः माना $u= (sinx)^x$ तथा $v= sin^{-1} √x$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=du/dx+dv/dx$ , eq(1)
∵ $u= (sinx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= x log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= x d/{dx} log(sinx)+ log(sinx) d/{dx} (x)$
$1/u du/dx=x.1/sinx.cosx.1 + log(sinx).1
$du/dx=u [x cotx+ log(sinx)]$
$du/dx=(sinx)^x [x cotx+ log(sinx) ],(2) $
Now,∵ $v= sin^{-1} √x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dv/dx=d/{dx} sin^{-1} √x$
$dv/dx=1/√{1-(√x)^2) d/{dx} √x$
$dv/dx=1/(√{1-x}} 1/(2 √x)$
$dv/dx=1/(2 √{x(1-x}})$
$dv/dx=1/(2 √{x-x^2}} , eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=(sinx)^x [x cotx+ log(sinx) ]+ 1/(2 √{x-x^2}}$, Ans.
प्रश्न 9:- $x^sinx+(sinx)^cosx$
हल:-
माना $y= x^sinx+(sinx)^cosx $पुनः माना $u= x^sinx$ तथा $v= (sinx)^cosx $
∵ y= u+ v
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
{dy}/{dx}=du/dx+dv/dx ,(1)
∵u= x^sinx
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= sinx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= sinx d/{dx} logx+ logx d/{dx} sinx$
$1/u du/dx=sinx.1/x + logx.cosx$
$du/dx=u [sinx/x + logx.cosx]$
$du/dx=x^sinx [sinx/x + logx.cosx],(2) $
Now,∵ $v= (sinx)^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv= cosx log(sinx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=cosx d/{dx} log(sinx)+ log(sinx) d/{dx} cosx$
$1/v dv/dx=cosx.1/sinx.d/{dx} sinx+ log(sinx).(-sinx)$
$dv/dx=v[cotx.cosx -sinx log〖(sinx)] $
$ dv/dx=(sinx)^cosx [cosx.cotx -sinx log〖(sinx)]〗$ ,(3)
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^sinx [sinx/x + logx.cosx]$
$ (sinx)^cosx [cosx.cotx -sinx log〖(sinx)]〗, $Ans.
प्रश्न 10:- $x^cosx+(x^2+1}/{x^2-1)$
हल:-
माना $y= x^cosx+(x^2+1}/{x^2-1)$पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= (x^2+1}/{x^2-1)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=du/dx+dv/dx$ ,(1)
∵ $u=x^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= cosx d/{dx} logx+ logx d/{dx} cosx$
$1/u du/dx=cosx.1/x + logx.(-sinx)$
$du/dx=u [cosx/x-sinx logx ]$
$du/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ],(2)$
Now,∵v= (x^2+1}/{x^2-1)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log〖(x^2+1}/{x^2-1)〗$
$logv=log〖(x^2+1)〗-log〖〖(x〗^2-1)〗$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=1/(x^2+1) d/{dx} (x^2+1)-1/(x^2-1) d/{dx} (x^2-1)$
$1/v dv/dx=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)$
$1/v dv/dx=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]$
$dv/dx= v[(2x(x^2-1)-2x (x^2+1)}/{x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx= (x^2+1}/{x^2-1) [(2x^2-2x-2x^2-2x}/{x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx=(-4x}/{x^2-1)^2 ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]+(-4x}/{x^2-1)^2$
${dy}/{dx}=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]-4x/(x^2-1)^2$ , Ans.
प्रश्न 11:- $(xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)$
हल:-
माना $y= (xcosx)^x+(xsinx)^(1/x)$पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= (x^2+1}/{x^2-1)$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=du/dx+dv/dx ,(1)$
∵ $u=x^cosx$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu= cosx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= cosx d/{dx} logx+ logx d/{dx} cosx$
$1/u du/dx=cosx.1/x + logx.(-sinx)$
$du/dx=u [cosx/x-sinx logx ]$
$du/dx=x^cosx [cosx/x-sinx logx ],(2)$
Now,∵ $v= (x^2+1}/{x^2-1)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=log(x^2+1}/{x^2-1)$
$logv=log〖(x^2+1)〗-log〖〖(x〗^2-1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=1/(x^2+1) d/{dx} (x^2+1)-1/(x^2-1) d/{dx} (x^2-1)$
$1/v dv/dx=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)$
$1/v dv/dx=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]$
$dv/dx= v[(2x(x^2-1)-2x (x^2+1)}/{x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx= (x^2+1}/{x^2-1) [(2x^2-2x-2x^2-2x}/{x^2+1)(x^2-1) ]$
$dv/dx=(-4x}/{x^2-1)^2 ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]+(-4x}/{x^2-1)^2$
${dy}/{dx}=x^cosx [cosx/x-sinx logx ]-4x/(x^2-1)^2$, Ans.
प्रश्न 12:- $x^y+y^x=1$
हल:-
$x^y+y^x=1$पुनः माना $u= x^y$ तथा $v= y^x$
$u+ v=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$du/dx+dv/dx=0$ ,(1)
∵ $u=x^y$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=y logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx= y d/{dx} logx+ logx d/{dx} y$
$1/u du/dx=y.1/x + logx.{dy}/{dx}$
$du/dx=u [y/x+logx {dy}/{dx}]$
$du/dx=x^y [y/x+logx {dy}/{dx}],(2)$
Now,∵ $v=y^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logv=x logy$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v dv/dx=x d/{dx} logy+ logy d/{dx} x$
$1/v dv/dx= x.1/y .{dy}/{dx}+ logy .1$
$1/v dv/dx=v[x/y {dy}/{dx}+ logy]$
$dv/dx=y^x [x/y {dy}/{dx}+ logy],(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
$x^y [y/x+logx {dy}/{dx}]+y^x [x/y {dy}/{dx}+ logy]=0$
$x^y.y/x .+ x^y .logx .{dy}/{dx}$
$y^x .x/y .{dy}/{dx}+y^x logy=0$
$x^y .logx .{dy}/{dx}+ y^x .x/y .{dy}/{dx} =- y^x logy- x^y.y/x$
${dy}/{dx} [x^y .logx+ y^x .x/y]=- y^x logy- x^y.y/x$
${dy}/{dx} [(y x^y logx+ y^x x)/y]=(- (x y^x logy+ x^y.y}}/x$
${dy}/{dx} =((-( x y^x logy+ x^y.y}}/x}/{(y x^y logx+ y^x x)/y)=-(y (x y^x logy- x^y.y)}/{x (y x^y logx+ y^x x}}$
${dy}/{dx} = (y x (y^x logy- x^(y-1).y)}/{x y (x^y logx+ y^(x-1) x}}$
${dy}/{dx} =(-( y^x logy- x^(y-1).y)}/{x^y logx+ y^(x-1}}$ Ans.
प्रश्न 13:- $y^x= x^y$
हल:-
$y^x= x^y$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$x log y= y logx$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$x d/{dx} logy+log〖y d/{dx}〗 x= y$
$d/{dx} logx+logx {dy}/{dx}$
$x.1/y .{dy}/{dx}+ logy .1= y .1/x .1+logx {dy}/{dx}$
$x/y .{dy}/{dx}-log〖x 〗 {dy}/{dx} =y/x-logy$
${dy}/{dx} (x/y -log〖x 〗)=y/x-logy$
${dy}/{dx} =(y/x-logy}/{x/y- log x) =((y- xlogy)/x}/{(x-ylogx)/y)$
${dy}/{dx} =(y(y-xlogy}}/x(x-ylogx) $Ans.
प्रश्न 14:- $(cosx)^y=(cosy)^x$
हल:- $(cosx)^y=(cosy)^x$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$y log(cosx)= x log(cosy)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$y d/{dx} log(cosx)+log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= x$
$d/{dx} log(cosy)+〖log〗(cosx) d/{dx} x$
$y .1/cosx.(-sinx).1+log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= x.1/cosy.(-siny).{dy}/{dx} +〖log〗(cosx).1$
$-y tanx+log〖(cosx) {dy}/{dx}〗= -x tany {dy}/{dx} +〖log〗(cosx)$
$log〖(cosx) {dy}/{dx}〗+x tany {dy}/{dx} = log(cosx)+y tanx$
${dy}/{dx} [log(cosx)+x tany]= log(cosx)+y tanx$
{dy}/{dx} =(log(cosx)+y tanx}/{log(cosx)+x tany) Ans.
प्रश्न 15:- $xy=e^((x-y}}$
हल:-
$xy=e^((x-y}}$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logx+ logy=(x-y) loge$
$logx+ logy=x-y , ∵ loge=1$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} logx+d/{dx} logy= d/{dx} x-d/{dx} y$
$1/x .1+1/y .{dy}/{dx}=1-{dy}/{dx}$
$1/y .{dy}/{dx}+{dy}/{dx} =1-1/x$
${dy}/{dx} (1/y+1)= 1-1/x$
${dy}/{dx}=(1-1/x}/{1+1/y)=((x-1)/x}/{(y+1)/y)
${dy}/{dx}=(y(x-1)}/{x(y+1}}$Ans.
प्रश्न 16:- $f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+ x^8)$ द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार $f^' (1)$ ज्ञात कीजिए।
हल:-
दिया है: $f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+ x^8)$दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logf(x)=log(1+x)+log(1+x^2)+log(1+x^4)+log〖(1+ x^8) 〗$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर —
$d/{dx} logf(x)=d/{dx} log(1+x)+d/{dx} log(1+x^2)+d/{dx} log(1+x^4)+d/{dx} log〖(1+ x^8) 〗$
$1/(f(x}}.f^' (x)=1/(1+x) (0+1)+1/(1+x^2) (0+2x)+1/(1+x^4) (0+4x^3)+1/(1+x^8) (0+8x^7)$
$f^' (x)=f(x)[1/(1+x) (0+1)+1/(1+x^2) (0+2x)+1/(1+x^4) (0+4x^3)+1/(1+x^8) (0+8x^7)]$
$f^' (x)= (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+ x^8)[1/(1+x) +2x/(1+x^2) +(4x^3}/{1+x^4) +(8x^7}/{1+x^8)]$, Ans.
$f^' (1)= (1+1)(1+1^2)(1+1^4)(1+ 1^8)[1/(1+1) +(2.(1)}/{1+1^2) +(4(1)^3}/{1+(1)^4) +(8(1)^7}/{1+(1)^8) ]$
$f^' (1)= (1+1)(1+1)(1+1)(1+ 1)[1/(1+1) +2/(1+1) +4/(1+1) +8/(1+1) ]$
$f^' (1)= 2×2×2×2[1/2 +2/2 +4/2 +8/2 ]=16.1/2 [1+2+4+8]$
$f^' (1)= 8×15=120 $Ans.
प्रश्न 17:- $(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$ का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारा
हल:-
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करकेमाना $y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$
गुणनफल नियम का प्रयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=(x^2-5x+8) d/{dx}$
$(x^3+7x+9)+(x^3+7x+9) d/{dx} (x^2-5x+8)$
${dy}/{dx}=(x^2-5x+8)(3x^3+7)+(x^3+7x+9)(2x-5)$
${dy}/{dx}=3x^4-15x^3+24x^2+7x^2-35x+56+2x^4+14x^2+18x-5x^3-35x-45$
${dy}/{dx}=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11$ Ans.
हल:-
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करकेमाना $y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$
$y=x^5+7x^3+9x^2-5x^4-35x^2-45x+8x^3+56x+72$
$y=x^5-5x^4+15x^3-26x^2+11x+72$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=x^5-5 d/{dx} x^4+15 d/{dx} x^3-26 d/{dx} x^2+11 d/{dx} x+d/{dx} 72$
${dy}/{dx}=5(x^4)-5(4x^3)+15(3x^2)-26(2x)+11(1)+0$
${dy}/{dx}=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11$ Ans.
हल:-
(iii) लघुणकीय अवकलन द्वारामाना $y=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=log(x^2-5x+8)+log(x^3+7x+9)$
$1/y {dy}/{dx}=1/((x^2-5x+8}} (2x-5)+1/((x^3+7x+9}} (3x^2+7)$
${dy}/{dx}=y[((2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8)}/{x^2-5x+8)(x^3+7x+9) ]$
{dy}/{dx}=(x^2-5x+8)(x^3+7x+9)[((2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8)}/{x^2-5x+8)(x^3+7x+9) ]$
{dy}/{dx}=[(2x-5)(x^3+7x+9)+(3x^2+7)(x^2-5x+8)]$
{dy}/{dx}=[2x^4-5x^3+14x^2-35x+18x-45+3x^4+7x^2-15x^3-35x+24x^2+56]$
${dy}/{dx}=5x^4-20x^3+45x^2-52x+11$ Ans.
यहां तीनों विधियों से प्राप्त ${dy}/{dx}$ समान है।
प्रश्नावली 5.6
यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में $x$ तथा $y$ दिए गए समीकरणों द्वारा एक दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बंधित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
1. $x=2at^2,y= at^4$
2. $x= acosθ,y= bcosθ$
3. $x= sint,y= cos2t$
4. $x= 4 t,y=4/t$
5. $x= cosθ-cos2θ,y=sinθ-sin2θ$
6. $x=a(θ-sinθ),y=a(1+cosθ)$
7. $x=sin^3t/√cos2t,y=cos^3t/√cos2t$
8. $x=a(cost+log〖tan t/2〗),y=asint$
9. $x=asecθ,y=btanθ$
10. $x=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ-θcosθ) $
11. यदि $x=√{a^sin^{-1}t) ,y=√{a^cos^{-1}t)$ तो दर्शाइए कि ${dy}/{dx}=-y/x$
यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में $x$ तथा $y$ दिए गए समीकरणों द्वारा एक दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बंधित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1:- $x=2at^2,y= at^4$
हल:-
दिया है: $x=2at^2,y= at^4$$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dt=d/{dx} (2at^2)=2a (2t)$
$dx/dt=4at$
तथा $dy/dt=d/{dx} (at^4)=a (4t^3)$
$dy/dt=4at^3$
∵ $dy/dt=(dy⁄dt}/{dx⁄dt)=(4at^3)/4at=3t$
∴ $dy/dt=3t$, Ans.
प्रश्न 2:- $x= acosθ,y= bcosθ$
हल:-
दिया है: $x= acosθ,y= bcosθ$$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dθ=d/dθ (acosθ)=a (-sinθ)$
$dx/dθ= - asinθ$
तथा $dy/dθ=d/dθ (bcosθ)=b (-sinθ)$
$dy/dθ=- bsinθ$
∵ $dy/dθ=(dy⁄dθ}/{dx⁄dθ)=(- bsinθ}/{- asinθ)=b/a$
∴ ${dy}/{dx}=b/a$, Ans.
प्रश्न 3:- $x= sint,y= cos2t$
हल:-
दिया है: $x= sint,y= cos2t$$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dt=d/dt (sint)= cost$
$dx/dt= cost$
तथा $dy/dt=d/dt (cos2t)= (-sin2t).2$
$dy/dt= -2sin2t$
∵ ${dy}/{dx}=(dy⁄dt}/{dx⁄dt)=(-2sin2t)/cost$
∵ ${dy}/{dx}=(-2 . 2sint cost)/cost= - 4 sint $
∴ ${dy}/{dx}= - 4 sint$, Ans.
प्रश्न 4:- $x= 4 t,y=4/t$
हल:-
दिया है: $x= 4 t,y=4/t$$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dt=d/dt (4t)= 4.(1)$
$dx/dt= 4$
तथा $dy/dt=d/dt (4/t)=d/{dx} (4t^(-1}}$
$dy/dt= 4 .(-t^(-2}}.1=4 .{-1}/t^2$
$dy/dt= -4/t^2$
∵ ${dy}/{dx}=(dy⁄dt}/{dx⁄dt)=(-4/t^2)/4=(-4}/{4t^2)$
∴ ${dy}/{dx}={-1}/t^2$, Ans.
प्रश्न 5:- $x= cosθ-cos2θ,y=sinθ-sin2θ$
हल:-
दिया है: $x=cosθ-cos2θ,y=sinθ-sin2θ$$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dθ=d/dθ (cosθ-cos2θ)$
$dx/dθ= -sinθ-(-sin2θ).2$
$dx/dθ= -sinθ+2sin2θ$
तथा $dy/dθ=d/dθ (sinθ-sin2θ)$
$dy/dθ= cosθ-(cos2θ).2$
$dy/dθ=cosθ-2cos2θ$
∵ ${dy}/{dx}=(dy⁄dθ}/{dx⁄dθ)=(cosθ-2cos2θ}/{-sinθ+2sin2θ)$
∴ ${dy}/{dx}= (cosθ-2cos2θ}/{2sin2θ-sinθ) $Ans.
प्रश्न 6:- $x=a(θ-sinθ),y=a(1+cosθ)$
हल:-
दिया है: $x=a(θ-sinθ),y=a(1+cosθ) $$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dθ=d/dθ [a(θ-sinθ)]$
$=d/dθ (θ-sinθ)$
$= a[d/dθ (θ)-d/dθ (sinθ)]$
$=a (1-cosθ)$
तथा $dy/dθ=d/dθ [a(θ+cosθ)]$
$=a d/dθ (1+cosθ)$
$= a[d/dθ (1)+d/dθ (cosθ)]$
$=a (0-sinθ)$
$=-asinθ$
∵ $dy/dθ=(dy⁄dθ}/{dx⁄dθ)=(- asinθ}/{a (1-cosθ}}$
∴ ${dy}/{dx}=(-sinθ}/{1-cosθ)$, Ans.
${dy}/{dx}=sinθ/(1-cosθ)=(-2sin θ/2 cos θ/2}/{1-[1-2sin^2 θ/2])$
$=(-2sin θ/2 cos θ/2}/{2sin^2 θ/2)$
$=-(cos θ/2}/{sin θ/2)$
∴ ${dy}/{dx}=-cot θ/2$, Ans.
प्रश्न 7:- $x={sin}^3t/√cos2t,y={cos}^3t/√cos2t$
हल:-
दिया है: $x={sin}^3t/√cos2t,y={cos}^3t/√cos2t$$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dt=d/dt ({sin}^3t/√cos2t)$
$=(√cos2t d/dt ({sin}^3 t)-{sin}^3 t d/dt (√cos2t}}/〖(√cos2t)〗^2$
$=(√cos2t.3sin^2 t.cost-sin^3 t.1/(2√cos2t).(-sin2t).2)/cos2t$
$=(3√cos2t.sin^2 t.cost+sin^3 t.sin2t/√cos2t)/cos2t$
$=(3cos2t.sin^2 t.cost+sin^3 t.sin2t}/{cos2t√cos2t)$
तथा $dy/dt=d/dt ({cos}^3t/√cos2t)$
$=(√cos2t d/dt ({cos}^3 t)-{cos}^3 t d/dt (√cos2t}}/〖(√cos2t)〗^2$
$=(√cos2t.3cos^2 t.(-sint)-cos^3 t.1/(2√cos2t).(-sin2t).2)/cos2t$
$=(-3√cos2t.cos^2 t.sint+{cos}^3 t.sin2t/√cos2t)/cos2t$
$=(-3cos2t.cos^2 t.sint+{cos}^3 t.sin2t}/{cos2t√cos2t)$
${dy}/{dx}=(dy⁄dt}/{dx⁄dt)=((-3cos2t.cos^2 t.sint+{cos}^3 t.sin2t}/{cos2t√cos2t)}/{(3cos2t.sin^2 t.cost+sin^3 t.sin2t}/{cos2t√cos2t}}$
${dy}/{dx}=(-3cos2t.cos^2 t.sint+cos^3 t.sin2t}/{3cos2t.sin^2 t.cost+{sin}^3 t.sin2t) $
${dy}/{dx}=(-3cos2t.cos^2 t.sint+cos^3$
$ t.2sincost}/{3cos2t.sin^2 t.cost+{sin}^3 t.2sintcost)$
${dy}/{dx}=(cos^2t.sint(-3cos2t+2cos^2 t)}/{sin^2 t.cost(3cos2t+2{sin}^2 t}}$
${dy}/{dx}=cost/sint.[(-3(2 cos^2t-1)+2cos^2 t}/{3(1-2sin^2 t)+2sin^2 t)] $
${dy}/{dx}=cost/sint.[(-6 cos^2t+3+2cos^2 t}/{3-6 sin^2t+2sin^2 t)]$
${dy}/{dx}=cost/sint.[(-4 cos^2t+3}/{3-4 sin^2t)]$
${dy}/{dx}=(-4cos^3 t+3cost}/{3sint-4sin^3 t) $
${dy}/{dx}=-cos3t/sin3t=-cot3t$
∴ ${dy}/{dx}=-cot3t$, Ans.
प्रश्न 8:- x=a(cost+logtan t/2),y= asint
हल:-
दिया है: $x=a(cost+logtan t/2),y= asint$$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dt=d/{dx} [a(cost+logtan t/2)]$
$=a[d/{dx} cost+d/{dx} logtan t/2]$
$=a[-sint+1/(tan t/2).sec^2 t/2.(1/2)]$
$=a[-sint+(cos t/2}/{sin t/2).1/(cos^2 t/2) .(1/2)]$
$=a[-sint+1/(2 sin t/2.cos t/2)]$
$=a[-sint+1/sint]=a[(-sin^2 t+1)/sint]$
$dx/dt=(a.cos^2 t)/sint$
तथा $dy/dt=d/{dx} (asint)=acost$
∵ $dy/dt=(dy⁄dt}/{dx⁄dt)=acost/((a.cos^2 t)/sint)$
$=(acost.sint}/{a.cos^2 t)=sint/cost$
∴ $dy/dt=tant$, Ans.
प्रश्न 9:- $x=asecθ,y=btanθ$
हल:-
दिया है: $x=asecθ,y=btanθ$$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dθ=d/dθ (asecθ)=asecθtanθ$
तथा $dy/dt=d/dt (btanθ)=bsec^2 θ$
${dy}/{dx}=(dy⁄dθ}/{dx⁄dθ)=(bsec^2 θ)/asecθtanθ$
${dy}/{dx}=b/a.secθ/tanθ=b/a.(1/cosθ}/{sinθ/cosθ)$
$=b/a.1/sinθ=b/a cosecθ$
∴ ${dy}/{dx}=b/a cosecθ$, Ans.
प्रश्न 10:- $x=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ-θcosθ)$
हल:-
दिया है: $x=a(cosθ+θsinθ),y=a(sinθ-θcosθ)$$θ$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dθ=d/dθ [a(cosθ+θsinθ)]$
$=a[d/dθ cosθ+θ d/dθ sinθ+sinθ d/dθ θ]$
$=a[-sinθ+θcosθ+sinθ.1]$
$=aθcosθ$
तथा $dy/dθ=d/dθ [a(sinθ+θcosθ)]$
$=a[d/dθ sinθ-(θ d/dθ cosθ+cosθ d/dθ θ)]$
$=a[cosθ-(θ(-sinθ)+cosθ.1)]$
$=a[cosθ+θsinθ-cosθ]$
$=aθsinθ$
∵ $dy/dθ=(dy⁄dθ}/{dx⁄dθ)=aθsinθ/aθcosθ=sinθ/cosθ$
∴ ${dy}/{dx}=tanθ$, Ans.
प्रश्न 11:- यदि $x=√{a^{sin}^{-1}t) ,y=√{a^{cos}^{-1} t)$ तो दर्शाइए कि ${dy}/{dx}=-y/x$
हल:-
दिया है: $x=√{a^{sin}^{-1}t) ,y=√{a^{cos}^{-1}t)$सिद्ध करना है: ${dy}/{dx}=-y/x$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$dx/dt=d/dt (√{a^{sin}^{-1}t}}=d/{dx} 〖(a^(sin^{-1} t}}〗^(1⁄2)$
$=1/2 〖(a^(sin^{-1} t}}〗^({-1}⁄2) d/{dx} a^sin^{-1}t$
माना $α=a^sin^{-1}t$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर –
$logα=log(a^sin^{-1}t)$
$logα=sin^{-1}t.loga$
Or, $logα=loga.sin^{-1}t$
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/α dα/dt=loga/√{1-t^2)$
$dα/dt=α.loga/√{1-t^2)$
$dα/dt=dα/dt=a^sin^{-1}t .loga/√{1-t^2) $
∴ $dx/dt=1/2 〖(a^(sin^{-1} t}}〗^({-1}⁄2).a^sin^{-1}t .loga/√{1-t^2) ,eq(1)$
तथा $dy/dt=d/dt (√{a^{cos}^{-1}t}}=d/{dx} 〖(a^({cos}^{-1} t}}〗^(1⁄2)$
$=1/2 〖(a^(cos^{-1} t}}〗^({-1}⁄2) d/{dx} a^cos^{-1}t $
माना $β=a^cos^{-1}t$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर –
$logβ=log(a^cos^{-1}t)$
$logβ=cos^{-1}t.loga$
Or, $logβ=loga.cos^{-1}t$
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/β dα/dt=loga{-1}/√{1-t^2)$
$dβ/dt=-β .loga/√{1-t^2)$
$dβ/dt=-a^cos^{-1}t .loga/√{1-t^2)$
∴ $dy/dt=-1/2 〖(a^({cos}^{-1} t}}〗^({-1}⁄2).a^cos^{-1}t .loga/√{1-t^2) ,eq(2) $
∵ $dy/dθ=(dy⁄dθ}/{dx⁄dθ)$
$=(-1/2 〖(a^({cos}^{-1} t}}〗^({-1}⁄2).a^cos^{-1}t .loga/√{1-t^2)}/{1/2 〖(a^(sin^{-1} t}}〗^({-1}⁄2).a^sin^{-1}t .loga/√{1-t^2}}$
$=(-〖(a^({cos}^{-1} t}}〗^({-1}⁄2).a^cos^{-1}t}/{〖(a^(sin^{-1} t}}〗^({-1}⁄2).a^sin^{-1}t)$
$=(-〖(a^({cos}^{-1} t}}〗^(1⁄2}}/〖(a^({sin}^{-1} t}}〗^(1⁄2) =-√{a^{cos}^{-1}t)/√{a^{sin}^{-1}t)$
∵ $x=√{a^{sin}^{-1}t) ,y=√{a^{cos}^{-1}t)$
∴ ${dy}/{dx}=-y/x$, Proved.
प्रश्नावली 5.7
प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए गए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए।
1. $x^2+3x+2$
2. $x^20$
3. $x.cosx$
4. $logx$
5. $x^3 logx$
6. $e^x sin5x$
7. $e^6x cos3x$
8. $tan^{-1}x$
9. $log(logx)$
10. $sin(logx)$
11. यदि $y=5cosx-3sinx$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$
12. यदि $y=cos^{-1}x$ है तो $(d^2 y}/{dx^2)$ को केवल $y$ के पदों में ज्ञात कीजिए।
13. यदि $y=3 cos(logx)+4 sin(logx)$ है तो दर्शाइए कि $x^2 y_2+xy_1+y=0$
14. यदि $y=Ae^mx+Be^nx$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)-(m-n) {dy}/{dx}+mny=0$
15. यदि $y=500e^7x+600e^(-7x)$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)=49y$
16. यदि $e^y (x+1)=1$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)=({dy}/{dx})^2$ है।
17. यदि $y=(tan^{-1} x)^(2)$ है तो दर्शाइए कि $(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$ है।
प्रश्न 1:- $x^2+3x+2$
हल:-
माना- $y=x^2+3x+2$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^2+3x+2)$
$=d/{dx} (x^2)+3 d/{dx} (x)+d/{dx} (2)$
$=2x+3+0$
$=2x+3$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (2x+3)$
$=d/{dx} (2x)+3 d/{dx} (3)$
$=2(1)+0=2$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=2$, Ans.
अथवा हल:-
माना- $y=x^2+3x+2$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^2+3x+2)$
$=2x+3+0$
$=2x+3$
Now, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (2x+3)$
$=2(1)+0=2$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=2$, Ans.
प्रश्न 2:- $x^20$
हल:-
माना- $y=x^20$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^20)$
$=20x^19$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (20x^19)$
$=20(19x^18)$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=380x^18$, Ans.
प्रश्न 2. $x^20$
हल:-
माना $y=x^20$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^20)$
${dy}/{dx}=20x^19$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (20x^19)=20 d/{dx} (x^19)$
$(d^2 y}/{dx^2)=20×19x^18$
$(d^2 y}/{dx^2)=389x^18$, Ans.
प्रश्न 3:- $x.cosx$
हल:-
माना- $y=x.cosx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x.cosx)$
$=x d/{dx} (cosx)+cosx d/{dx} (x)$
$=x(-sinx)+cosx(1)$
$=-xsinx+cosx$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-xsinx+cosx)$
$=-(x d/{dx} sinx+sinx d/{dx} x)+d/{dx} (cosx)$
$=-(x.cosx+sinx.1)+(-sinx)$
$=-xcosx-sinx-sinx$
∴(d^2 y}/{dx^2)=-xcosx-2sinx, Ans.
अथवा 3. $x.cosx$
हल:- माना $y=x.cosx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (x.cosx)$
${dy}/{dx}=x d/{dx} cosx+cosx d/{dx} x$
${dy}/{dx}=x(-sinx)+cosx.1$
${dy}/{dx}=-xsinx+cosx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-xsinx)+d/{dx}$
$(d^2 y}/{dx^2)=-[x d/{dx} sinx+sinx d/{dx} x]+d/{dx} cosx$
$(d^2 y}/{dx^2)=-[xcosx+sinx(1)]+(-sinx) $
$(d^2 y}/{dx^2)=-xcosx-sinx-sinx$
$(d^2 y}/{dx^2)=-xcosx-2sinx$, Ans.
प्रश्न 4:- $logx$
हल:-
माना- $y=logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (logx)$
$=1/x$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (1/x)=d/{dx} (x^(-1}}$
$=-1.x^(-1-1)=-x^(-2)=-1/x^2$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=-1/x^2$, Ans.
4. $logx$
हल:-
माना $y=logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (logx)$
${dy}/{dx}=1/x=x^{-1}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (x^(-1}}=-1.x^(-1-1)=-x^(-2)$
$(d^2 y}/{dx^2)={-1}/x^(-2)$, Ans.
प्रश्न 5:- $x^3 logx$
हल:-
माना- $y=x^3 logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^3 logx)$
$=x^3 d/{dx} (logx)+logx d/{dx} (x^3)$
$=x^3 (1/x)+logx(3x^2)$
$=x^2+3x^2 logx$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (x^2+3x^2 logx)$
$=d/{dx} (x^2)+3(x^2 d/{dx} logx+logx d/{dx} x^2)$
$=2x+3(x^2.1/x+logx.2x)$
$=2x+3x+6xlogx$
$=5x+6xlogx$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=x(5+6logx)$, Ans.
5. $x^3 logx$
हल:-
माना $y=x^3 logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (x^3 logx)$
${dy}/{dx}=x^3 d/{dx} logx+logx d/{dx} x^3$
${dy}/{dx}=x^3/x+logx.3x^2$
${dy}/{dx}=x^2+3x^2 logx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (x^2)+d/{dx} (3x^2 logx) $
$(d^2 y}/{dx^2)=2x+3[x^2 d/{dx} logx+logx d/{dx} x^2 ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=2x+3[x^2/x+logx(2x)]$
$(d^2 y}/{dx^2)=2x+3[x+2xlogx]$
$(d^2 y}/{dx^2)=2x+3x+6xlogx$
$(d^2 y}/{dx^2)=5x+6xlogx$, Ans.
प्रश्न 6:- $e^x sin5x$
हल:-
माना- $y=e^x sin5x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x sin5x)$
$=e^x d/{dx} (sin5x)+sin5x d/{dx} (e^x)$
$=e^x.(cos5x.5)+sin5x(e^x)$
$=5e^x cos5x+e^x sin5x$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (5e^x cos5x+e^x sin5x)$
$=5(e^x d/{dx} cos5x+cos5x d/{dx} e^x)+(e^x d/{dx} sin5x+sin5x d/{dx} e^x)$
$=5(-e^x sin5x.5+cos5x.e^x)+(e^x.cos5x.5+sin5x.e^x)$
$=-25e^x sin5x+5e^x cos5x+5e^x cos5x+e^x sin5x$
$=-24e^x sin5x+10e^x cos5x$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=e^x (10e^x cos5-24e^x sin5x)$, Ans.
6. $e^x sin5x$
हल:-
माना $y=e^x sin5x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x sin5x)$
${dy}/{dx}=e^x d/{dx} sin5x+sin5x d/{dx} e^x$
${dy}/{dx}=e^x.cos5x.(5)+sin5x.e^x$
${dy}/{dx}=5e^x cos5x+e^x sin5x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (5e^x cos5x+e^x sin5x) $
$(d^2 y}/{dx^2)=5[e^x d/{dx} cos5x+cos5x d/{dx} e^x ]+[e^x d/{dx} sin5x+sin5x d/{dx} e^x ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=5[e^x (-sin5x).5+cos5x.e^x ]+[e^x.cos5x.5+sin5x.e^x.1]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-25e^x sin5x+5e^x cos5x+5e^x cos5x+e^x sin5x$
$(d^2 y}/{dx^2)=-24e^x sin5x+10e^x cos5x$
$(d^2 y}/{dx^2)=2e^x (5cos5x-12sin5x)$, Ans.
प्रश्न 7:- $e^6x cos3x$
हल:-
माना- $y=e^6x cos3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^6x cos3x)$
$=e^6x d/{dx} (cos3x)+cos3x d/{dx} (e^6x)$
$=e^6x.(-sin3x.3)+cos3x(e^6x.6)$
$=-3e^6x sin3x+6e^6x cos3x$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-3e^6x sin3x+6e^6x cos3x)$
$=-3(e^6x d/{dx} sin3x+sin3x d/{dx} e^6x)+6(e^6x d/{dx} cos3x+cos3x d/{dx} e^6x)$
$=-3(e^6x.cos3x.3+sin3x.e^6x.6)+6(e^6x.(-sin3x).3+cos3x.e^6x.6)$
$=-9e^6x cos3x-18e^6x sin3x-18e^6x sin3x+36e^6x cos3x$
$=27e^6x cos3x-36e^6x sin3x$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=9e^6x (3cos3x-4sin3x)$, Ans.
7. $e^6x cos3x$
हल:-
माना $y=e^6x cos3x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^6x cos3x)$
${dy}/{dx}=e^6x d/{dx} cos3x+cos3x d/{dx} e^6x$
${dy}/{dx}=e^6x.(-sin3x).3+cos3x.e^6x.6$
${dy}/{dx}=-3e^6x sin3x+6e^6x cos3x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-3e^6x sin3x+6e^6x cos3x)$
$(d^2 y}/{dx^2)=-3[e^6x d/{dx} sin3x+sin3x d/{dx} e^6x ]+6[e^6x d/{dx} cos3x+cos3x d/{dx} e^6x ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-3[e^6x$
$cos3x.3+sin3x.e^6x.6]+6[e^6x.(-sin3x).3+cos3x.e^6x.6]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-9e^6x cos3x-18e^6x sin3x-18e^6x sin3x+36e^6x cos3x$
$(d^2 y}/{dx^2)=27e^6x cos3x-36e^6x sin3x$
$(d^2 y}/{dx^2)=9e^6x (3cos3x-4sin3x)$, Ans.
प्रश्न 8:- ${tan}^{-1}x$
हल:-
माना- y=${tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (tan^{-1}x)$
$=1/(1+x^2)$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (1/(1+x^2}}$
$=((1+x^2) d/{dx} 1-1 d/{dx} (1+x^2)}/{1+x^2)^2$
$=((1+x^2).(0)-1.(0+2x)}/{1+x^2)^2$
$=(0-2x}/{1+x^2)^2$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=-2x/(1+x^2)^2$, Ans.
8. $tan^{-1}x$
हल:-
माना $y={tan}^{-1}x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (tan^{-1}x)$
${dy}/{dx}=1/(1+x^2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (1/(1+x^2}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1 d/{dx} (1+x^2)-(1+x^2) d/{dx} (1)}/{1+x^2)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1(0+2x)-(1+x^2)(0)}/{1+x^2)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(2x-0}/{1+x^2)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=2x/(1+x^2)^2$, Ans.
प्रश्न 9:- $log(logx)$
हल:-
माना- $y=log(logx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(logx)]$
$=1/logx.1/x$
$=1/xlogx$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (1/xlogx)$
$=((xlogx) d/{dx} 1-1 d/{dx} (xlogx)}/{xlogx)^2$
$=((xlogx).(0)-1.(x.d/{dx} logx+logx.d/{dx} x)}/{xlogx)^2$
$=(0-1.(x.1/x+logx.1)}/{xlogx)^2$
$=(-(1+logx)}/{xlogx)^2$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=-(1+logx}/{xlogx)^2$, Ans.
Or
9. $log(logx)$
हल:-
माना $y=log(logx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(logx) ]$
${dy}/{dx}=1/logx.1/x$
${dy}/{dx}=1/xlogx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (1/xlogx)$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1 d/{dx} (xlogx)-(xlogx) d/{dx} (1)}/{xlogx)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1[x d/{dx} logx+logx d/{dx} x]-(xlogx) d/{dx} (1)}/{xlogx)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1[x.1/x+logx(1)]-(xlogx)(0)}/{xlogx)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1+logx-0}/{xlogx)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1+logx}/{xlogx)^2$, Ans.
प्रश्न 10:- $sin(logx)$
10. $sin(logx)$
हल:-
माना $y=sin(logx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(logx) ]$
${dy}/{dx}=cos(logx).1/x$
${dy}/{dx}=cos(logx)/x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} [cos(logx)/x]$
$(d^2 y}/{dx^2)=(x d/{dx} cos(logx)-cos(logx) d/{dx} (x)}/{x)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(x[-sin(logx)].1/x.1-cos(logx) (1}}/x^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(-sin(logx)-cos(logx}}/x^2$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=(-sin(logx)-cos(logx}}/x^2$, Ans.
or, $(d^2 y}/{dx^2)=-(sin(logx)+cos(logx}}/x^2$, Ans.
प्रश्न 11:- यदि $y=5cosx-3sinx$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$
हल:-
दिया है- $y=5cosx-3sinx$
सिद्ध करना है: $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (5cosx-3sinx)$
$=5(-sinx)-3cosx$
$=-5sinx-3cosx$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-5sinx-3cosx)$
$=-5cosx-3(-sinx)$
$=-5cosx+3sinx$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)+y=-5cosx+3sinx+5cosx-3sinx$
$=0$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$, Proved.
Or
हल:-
दिया है: $y=5cosx-3sinx$
सिद्ध करना है: $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (5cosx-3sinx)$
${dy}/{dx}=5 d/{dx} cosx-3 d/{dx} sinx$
${dy}/{dx}=5(-sinx)-3cosx$
${dy}/{dx}=-5sinx-3cosx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-5sinx-3cosx)$
$(d^2 y}/{dx^2)=-5 d/{dx} sinx-3 d/{dx} cosx$
$(d^2 y}/{dx^2)=-5cosx-3(-sinx)$
$(d^2 y}/{dx^2)=-5cosx+3sinx$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)+y=-5cosx+3sinx+5cosx-3sinx=0$, Proved.
12. यदि $y=cos^{-1}x$ है तो $(d^2 y}/{dx^2)$ को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल:-
दिया है: $y=cos^{-1}x$
ज्ञात करना है: $(d^2 y}/{dx^2)=?$
∵ $y=cos^{-1}x$
∴ $cosy=x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$d/{dx} cosy=d/{dx} x$
$-siny {dy}/{dx}=1$
${dy}/{dx}=1/(-siny)$
${dy}/{dx}=-cosecy$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-cosecy)$
$(d^2 y}/{dx^2)=-(-cosecy.coty) {dy}/{dx}$
$(d^2 y}/{dx^2)=cosecy.coty {dy}/{dx}$
अब ${dy}/{dx}$ का मान रखने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=cosecy.coty.(-cosecy)$
$(d^2 y}/{dx^2)=cosec^2 y.coty$, Ans.
13. यदि $y=3 cos(logx)+4 sin(logx)$ है तो दर्शाइए कि $x^2 $y_2+xy_1+y=0$
हल:-
दिया है: $y=3 cos(logx)+4 sin(logx)$
सिद्ध करना है: $x^2 y_2+xy_1+y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$y_1=d/{dx} [3 cos(logx)+4 sin(logx) ]$
$y_1=3 d/{dx} [cos(logx) ]+4 d/{dx} [sin(logx) ]$
$y_1=3[-sin〖(logx).1/x〗 ]+4[cos(logx).1/x]$
$y_1=(-3 sin(logx}}/x+(4 cos(logx}}/x$
दोनों ओर $x$ का गुणा करने पर –
$xy_1=-3 sin(logx)+4 cos(logx)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$xy_2+y_1 (1)=-3 d/{dx} [sin(logx) ]+4 d/{dx} [cos(logx) ]$
$xy_2+y_1=-3 cos(logx).1/x+4[-sin(logx)].1/x$
$xy_2+y_1=(-3 cos(logx}}/x-(4 sin(logx}}/x$
पुनः दोनों ओर $x$ का गुणा करने पर –
$x^2 y_2+xy_1=-3 cos(logx)-4 sin(logx)$
$x^2 y_2+xy_1=-[3 cos(logx)+4 sin(logx)]$
$x^2 y_2+xy_1=-y$
$x^2 y_2+xy_1+y=0$, Proved.
14. यदि $y=Ae^mx+Be^nx$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)-(m+n) {dy}/{dx}+mny=0$
हल:-
दिया है: $y=Ae^mx+Be^nx$
सिद्ध करना है: $$(d^2 y}/{dx^2)-(m+n) {dy}/{dx}+mny=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (Ae^mx+Be^nx)$
${dy}/{dx}=A d/{dx} e^mx+B d/{dx} e^nx$
${dy}/{dx}=Ae^mx.m+Be^nx.n$
${dy}/{dx}=Ame^mx+B〖ne〗^nx,eq(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (Ame^mx+B〖ne〗^nx)$
$(d^2 y}/{dx^2)=Am d/{dx} e^mx+Bn d/{dx} e^nx$
$(d^2 y}/{dx^2)=Ame^mx.m+Bne^nx.n$
$(d^2 y}/{dx^2)=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx eq(2)$
Now, $LHS=(d^2 y}/{dx^2)-(m+n) {dy}/{dx}+mny$
$=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-(m+n)Ame^mx+B〖ne$
$e^nx+mn(Ae^mx+Be^nx)$
$=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-(Am^2 e^mx-B〖mne$
$e^nx+Amne^mx+B〖n^2 e〗^nx)+Amne^mx.m+Bmn^2 e^nx.n$
$=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-Am^2 e^mx-Bmne^nx-$
$Amne^mx-Bn^2 e^nx+Amne^mx+Bmn e^nx$
$=0=RHS$
$LHS=RHS$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)-(m+n) {dy}/{dx}+mny=0$, Proved.
15. यदि $y=500e^7x+600e^(-7x)$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)=49y$
हल:-
दिया है: $y=500e^7x+600e^(-7x)$
सिद्ध करना है: $(d^2 y}/{dx^2)=49y$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (y=500e^7x+600e^(-7x}} $
${dy}/{dx}=500 d/{dx} e^7x+600 d/{dx} e^(-7x) $
${dy}/{dx}=500e^7x.7+600e^(-7x).(-7)$
${dy}/{dx}=3500e^7x-4200e^(-7x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (3500e^7x-4200e^(-7x}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=3500 d/{dx} e^7x-4200 d/{dx} e^(-7x)$
$(d^2 y}/{dx^2)=3500e^7x.7-4200e^(-7x).(-7)$
$(d^2 y}/{dx^2)=7(3500e^7x.7+4200e^(-7x}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=7×7(500e^7x.7+600e^(-7x}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=49(500e^7x.7+600e^(-7x)$
∵ $y=500e^7x+600e^(-7x)$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=49y$, Proved.
16. यदि $e^y (x+1)=1$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)=({dy}/{dx})^2$ है।
हल:-
दिया है: $e^y (x+1)=1$
सिद्ध करना है: $(d^2 y}/{dx^2)=({dy}/{dx})^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$e^y d/{dx} (x+1)+(x+1) d/{dx} e^y=d/{dx} (1)$
$e^y (1+0)+(x+1) e^y {dy}/{dx}=0$
$e^y+e^y (x+1) {dy}/{dx}=0$
$e^y (x+1) {dy}/{dx}=-e^y$
${dy}/{dx}=-e^y/(e^y (x+1}}$
${dy}/{dx}=-1/((x+1}} ,eq(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-1/(x+1}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=-[((x+1) d/{dx} (1)+1 d/{dx} (x+1)}/{x+1)^2 ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-[((x+1)(0)+1(1+0)}/{x+1)^2 ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-[(0+1}/{x+1)^2 ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-1/(x+1)^2, eq(2)$
अब समी (1) से —
$({dy}/{dx})^2=(-1/(x+1}}^2=(-1}/{(x+1}}×(-1}/{(x+1}}$
$({dy}/{dx})^2=1/(x+1)^2, eq(3)$
समी० (1) और (3) से,
$(d^2 y}/{dx^2)=({dy}/{dx})^2$, Proved.
17. यदि $y=(tan^{-1} x)^2$ है तो दर्शाइए कि $(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$ है।
हल:-
दिया है: $y=(tan^{-1} x)^2$
सिद्ध करना है: $(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$
दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=2.tan^{-1} x.1/(1+x^2)=(2 tan^{-1} x}/{1+x^2)$
$(1+x^2) {dy}/{dx}=2 tan^{-1}x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(1+x^2) (d^2 y}/{dx^2)+{dy}/{dx}.d/{dx} (1+x^2)=d/{dx} (2 tan^{-1}x)$
$(1+x^2) (d^2 y}/{dx^2)+{dy}/{dx}.(0+2x)=2/(1+x^2)$
$(x^2+1) (d^2 y}/{dx^2)+2x {dy}/{dx}=2/(1+x^2)$
दोनों पक्षों में $(1+x^2)$ का गुणा करने पर —
$(x^2+1)^2 (d^2 y}/{dx^2)+2x(x^2+1) {dy}/{dx}=2$
∵ ${dy}/{dx}=y_1,(d^2 y}/{dx^2)=y_2$
∴ $(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$, Proved.
प्रश्नावली 5.8
1. फलन $f(x)=x^2+2x-8,x∈ [-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[5,9]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[-2,2]$
(iii) $f(x)= x^2-1$ के लिए $x∈[1,2]$
3. यदि $f∶[-5,5]→ R$ एक संतत फलन है और यदि $f^' (x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि $f(-5)≠f(5).$
4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a,b]$ में $f(x)= x^2-4x-3$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।
5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^3-5x^2-3x$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^' (c)=0$ के लिए $c∈(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
प्रश्न 1. फलन $f(x)=x^2+2x-8, x∈[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल:-
दिया है: $f(x)=x^2+2x-8, x∈[-4,2]$
$f^' (x)=2x+2,eq(1)$
चूंकि $f(x)$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः $f(x)$ अन्तराल $[-4,2]$ में सतत व अवकलनीय है।
अब, $f(-4)=〖(-4)〗^2+2(-4)-8=16-8-8=0$
तथा $f(2)=〖(2)〗^2+2(2)-8=4+4-8=0$
∵ $f(-4)=f(2)$
अब समी० (1) से,
$f^' (x)=2x+2$
∴ $f^' (c)=2c+2$
परन्तु रोले की प्रमेय से,
$f^' (c)=0$
$2c+2=0$
$2c=-2 c$
$=-2/2$
$c=-1∈[-4,2]$
चूंकि सभी नियम सन्तुष्ट हैं। अतः रोले की प्रमेय सत्यापित है। Proved.
प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[5,9]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[-2,2]$
(iii) $f(x)= x^2-1$ के लिए $x∈[1,2]$
हल:-
(i):– दिया है: $f(x)=[x], x∈[5,9]$
$f^' (x)=2x+2, eq(1)$
चूंकि $[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है।
चूंकि प्रत्येक महत्तम पूर्णांक फलन $∀x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
अतः $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। Ans.
हल:-
(ii):– दिया है: $f(x)=[x], x∈[-2,2]$
$f^' (x)=2x+2, eq(1)$
चूंकि $[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है।
चूंकि प्रत्येक महत्तम पूर्णांक फलन $∀x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
अतः $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। Ans.
हल:-
(iii):– दिया है: $f(x)=x^2-1, x∈[1,2]$
$f^' (x)=2x+2, eq(1)$
∵ $x^2-1$ एक बहुपदीय फलन है।
चूंकि प्रत्येक बहुपदीय फलन $[1,2]$ पर सतत तथा अवकलनीय होगा।
अब, $f(1)=1^2-1=1-1=0$
तथा $f(2)=2^2-1=4-1=3$
∵ $f(1)≠f(2)$
अतः फलन $f(x)$ रोले की प्रमेय सन्तुष्ट नहीं करता है। Ans.
प्रश्न 3. यदि $f∶[-5,5]→ R$ एक संतत फलन है और यदि $f^' (x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि $f(-5)≠f(5).$
हल:-
दिया है: $f∶[-5,5]→ R$, एक संतत फलन है।
$f^' (x)$ किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं है अर्थात $f^' (c)≠0$.
सिद्ध करना है: $f(-5)≠f(5)$.
माध्यमान प्रमेय से,
$(f(b)-f(a)}/{b-a)≠0$
$(f(5)-f(-5)}/{5-(-5}}≠0$
$(f(5)-f(-5}}/10≠0$
$f(5)-f(-5)≠0$
$f(5)≠f(-5)$
या $f(-5)≠f(5)$, Proved.
प्रश्न 4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल
$[a,b]$ में $f(x)= x^2-4x-3$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।
हल:-
दिया है: $f(x)= x^2-4x-3, x∈[1,4]$
$f^' (c)=2x-4$
∵ $x^2-1$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $f(x)$, अंतराल $[1,2]$ पर सतत व अवकलनीय होगा।
अब, $f(1)=1^2-4(1)-3=1-4-3=6$
तथा $f(4)=4^2-4(4)-3=16-16-3=-3$
∵ $f(1)≠f(4)$
जबकि माध्यमान प्रमेय से,
$f^' (c)=(f(b)-f(a)}/{b-a)$
$2c-4=(f(4)-f(1)}/{4-1)$
$2c-4=(-3-(-6}}/3$
$2c-4=(-3+6)/3=3/3=1$
$2c=1+4=5$
$c=5/2,∈[1,4] $Proved.
प्रश्न 5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^3-5x^2-3x$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^' (c)=0$ के लिए $c∈(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
हल:-
दिया है: $f(x)= x^3-5x^2-3x, x∈[1,3]$
$f^' (x)=3x^2-10x-3, eq(1)$
∵ $f(x)= x^3-5x^2-3x$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $f(x)$ अन्तराल $[1,3]$ पर सतत तथा अवकलनीय है।
अब, $f(1)=1^3-5(1^2)-3=1-5-3=-7$
तथा $f(3)=3^3-5(3^2)-3=27-45-3=-27$
∵ $f(1)≠f(3)$
जबकि माध्यमान प्रमेय से,
$f^' (c)=(f(b)-f(a)}/{b-a)$
$3c^2-10c-3=(f(3)-f(1)}/{3-1)$
$3c^2-10c-3=(-27-(-7}}/2$
$3c^2-10c-3=(-27+7)/2=(-20)/2$
$3c^2-10c-3=-10$
$3c^2-3c-7c+7=0$
$3c(c-3)-7(c-3)=0$
$(c-3)(3c-7)=0$
$c=3 or c=7/3,$
यहां $c=7/3∈[1,3]$Proved.
अब यदि $f^' (c)=0$ तो $c∈(1,3)$ ज्ञात संभव नहीं है।
क्योंकि $f(1)≠f(3)$
प्रश्न 6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल:-
(i):– दिया है: $f(x)=[x]$, के लिए $x∈[5,9]$
∵ $f(x)=[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है। जो $x∈R$ के लिए न तो सतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः यहां माध्यमान प्रमेय लागू नहीं हो सकता है।
हल:-
(ii):– दिया है: $f(x)=[x]$, के लिए $x∈[-2,2]$
∵ $f(x)=[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है। जो $x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
हल:-
(iii):– दिया है: $f(x)=x^2-1, x∈[1,2]$
$f^' (x)=2x, eq(1)$
∵ $x^2-1$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $[1,2]$ पर सतत तथा अवकलनीय है।
अब, $f(1)=1^2-1=1-1=0$
तथा $f(2)=2^2-1=4-1=3$
∵ $f(1)≠f(2)$
अतः माध्यमान प्रमेय से —
$f^' (c)=(f(b)-f(a)}/{b-a)$
$2c=(3-0}/{2-1)=3/1=3$
$2c=3 or c=3/2
यहां $c=3/2 ∈[1,2]$
अतः माध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है। Proved.
अध्याय 5 पर विविध प्रश्नावली
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए: $cos^{-1}$
1. $(3x^2-9x+5)^9$
2. $sin^3 x+cos^6 x$
3. $(5x)^(3cosx 2x)$
4. $sin^{-1}(x√x),0≤x≤1.$
5. $(cos^{-1}〖x/2〗)/√{2x+7)$, -2<x<2
6. ${cot}^{-1}[(√{1+sinx)+√{1-sinx)}/{√{1+sinx)- √{1-sinx}}]$, 0<x<π/2
7. $(logx)^logx,x >1$
8. $cos(acosx+bsinx)$, किन्हीं अचर $a$ तथा $b$ के लिए।
9. $(sinx-cosx)^((sinx-cosx}}, π/4<x< {3π}/4$
10. x^x+x^a+a^x+a^a, किसी नियत $a>0$ तथा $x>0$ के लिए।
11. $x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2)$ किसी नियत $x>3$ के लिए।
12. यदि $y=12(1-cosx),x= 10(t-sinx), -π/2
13. यदि $y=sin^{-1}x+sin^{-1}√{1-x^2), 0<x<1$ है तो {dy}/{dx} ज्ञात कीजिए।
14. यदि $-1<x<1$ के लिए $x√{1+y)+y√{1+x)=0$ है तो सिद्ध कीजिए कि :
${dy}/{dx}={-1}/{(1+x)^2}$
15. यदि किसी $c>0$ के लिए $(x- a)^2+(y- b)^2= c^2$ है तो सिद्ध कीजिए कि:
$[1+({dy}/{dx})^2 ]^(3/2}/{(d^2 y}/{dx^2}}$ ,
$a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
16. यदि $cos y= x cos(a+y)$, तथा $cosa≠±1$, तो सिद्ध कीजिए कि:
${dy}/{dx}=(cos^2 (a+y}}/sina$
17. यदि $x= a(cost+tsint)$ और $y= a(sint-tcost)$ तो $(d^2 y}/{dx^2)$ ज्ञात कीजिए।
18. यदि $f(x)=|x|^3$ तो प्रमाणित कीजिए कि $f"(x)$ का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
19. गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक $n$ के लिए $d/{dx} (x^n)=nx^(n-1)$ है।
20. $sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB$ का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा $cosines$ के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
21. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
22. यदि $y=|■(f(x)&f(b)&f(c)@l&m&n@a&b&c)|$ तो सिद्ध कीजिए कि ${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&f^' (x)&f^' (x)@l&m&n@a&b&c)|$
23. यदि $y=e^(acos^{-1} x),-1≤x≤1$ तो दर्शाइए कि:
$(1-x^2) (d^2 y}/{dx^2)-x {dy}/{dx}-a^2 y=0$
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
प्रश्न 1:- $(3x^2-9x+5)^9$
हल:-
माना — $y=(3x^2-9x+5)^9$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (3x^2-9x+5)^9$
$=9(3x^2-9x+5)^8 d/{dx} (3x^2-9x+5)$
$=9(3x^2-9x+5)^8.(6x-9)$
$=9(3x^2-9x+5)^8.3(2x-3)$
$=27(2x-3) (3x^2-9x+5)^8$, Ans.
प्रश्न 2. $sin^3 x+cos^6 x$
हल:-
माना — $y=sin^3 x+cos^6 x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (sin^3 x+cos^6 x)$
$=d/{dx} sin^3 x+d/{dx} cos^6 x$
$=3sin^2 x d/{dx} sinx+6cos^5 x d/{dx} cosx$
$=3sin^2 x(cosx)+6cos^5 x(-sinx)$
$=3sinxcosx(sinx-2cos^4 x)$, Ans.
प्रश्न 3. $(5x)^(3cosx 2x)$
हल:-
माना — $y=(5x)^(3cosx 2x)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=3cos2x.log5x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y.{dy}/{dx}=3cos2x.d/{dx} log5x+log5x.d/{dx} 3cos2x$
$1/y.{dy}/{dx}=3cos2x.1/5x.5+log5x.3(-sin2x).2$
$1/y.{dy}/{dx}=3cos2x/x-6log5xsin2x$
$1/y.{dy}/{dx}=3(cos2x/x-2sin2xlog5x)$
${dy}/{dx}=3y(cos2x/x-2sin2xlog5x)$
${dy}/{dx}=3(5x)^(3cosx 2x).(cos2x/x-2sin2xlog5x)$, Ans.
प्रश्न 4. ${sin}^{-1}(x√x),0≤x≤1.$
हल:-
माना $y=sin^{-1}(x√x),0≤x≤1.$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin^{-1}(x√x) ]=d/{dx} [sin^{-1}(x^(3⁄2}}]$
$=1/√{1-(x^(3⁄2}}^2).d/{dx} (x^(3⁄2}}$
$=1/√{1-x^3).3/2.x^(1⁄2)$
$=3/2 x^(1⁄2)/√{1-x^3)$
$=3/2 √{x/(1-x^3}}$, Ans.
प्रश्न 5. $({cos}^{-1}〖x/2〗)/√{2x+7),-2<x<2$
हल:-
माना $y=(cos^{-1}〖x/2〗)/√{2x+7),-2<x<2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} ((cos^{-1}〖x/2〗)/√{2x+7}}$
$=(√{2x+7).d/{dx} cos^{-1}〖x/2〗+cos^{-1}〖x/2〗.d/{dx} √{2x+7)}/{√{2x+7}}^2$
$=(√{2x+7).{-1}/√{1-(x/2)^2).1/2+cos^{-1}〖x/2〗.1/(2√{2x+7}}.2}/{2x+7)$
$=-1/(2x+7) [√{2x+7) (1/(1-x^2/4}} 1/2+cos^{-1}〖x/2〗/√{2x+7)]$
$=-1/(2x+7) [√{2x+7) (2/(4-x^2}} 1/2+cos^{-1}〖x/2〗/√{2x+7)]$
$=-[1/√{2x+7).1/(4-x^2)+cos^{-1}〖x/2〗/(2x+7)^(3⁄2)]$, Ans.
प्रश्न 6. ${cot}^{-1}[(√{1+sinx)+√{1-sinx)}/{√{1+sinx)-√{1-sinx}}],0<x<π/2$
हल:-
माना $y={cot}^{-1}[(√{1+sinx)+√{1-sinx)}/{√{1+sinx)-√{1-sinx}}],0<x<π/2$
$y={cot}^{-1}[(√{sin^2〖x/2〗+cos^2〖x/2〗+2 sin〖x/2〗 cos〖x/2〗)+√{sin^2〖x/2〗+cos^2〖x/2〗-2 sin〖x/2〗 cos〖x/2〗)}/{√{sin^2〖x/2〗+cos^2〖x/2〗+2 sin〖x/2〗 cos〖x/2〗)-√{sin^2〖x/2〗+cos^2〖x/2〗-2 sin〖x/2〗 cos〖x/2〗}}]$
$y={cot}^{-1}[(√{(sin〖x/2〗+cos〖x/2〗)^2)+√{(sin〖x/2〗-cos〖x/2〗)^2)}/{√{(sin〖x/2〗+cos〖x/2〗)^2)-√{(sin〖x/2〗-cos〖x/2〗)^2}}]$
$y=cot^{-1} [((sin〖x/2〗+cos〖x/2〗)+(sin〖
x/2〗-cos〖x/2〗)}/{(sin〖x/2〗+cos〖x/2〗)-(sin〖x/2〗-cos〖x/2〗}}]$
$y={cot}^{-1}[2cos〖x/2〗/(2 sin〖x/2〗)]$
$y={cot}^{-1}[cot^{-1}〖x/2〗]$
y=x/2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=1/2 d/{dx} (x)$
${dy}/{dx}=1/2 (1)$
${dy}/{dx}=1/2$, Ans.
प्रश्न 7. $(logx)^logx, x >1$
हल:-
माना — $y=(logx)^logx, x> 1$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=logx.log(logx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y.{dy}/{dx}=logx.d/{dx} log(logx)+log(logx).d/{dx} logx$
$1/y.{dy}/{dx}=logx.1/logx.1/x+log(logx).1/x.(1)$
${dy}/{dx}=y[1/x+log(logx)/x]$
${dy}/{dx}=(logx)^logx [(1+log(logx}}/x]$, Ans.
प्रश्न 8. $cos(acosx+bsinx)$, किन्हीं अचर $a$ तथा $b$ के लिए।
हल:-
माना — $y=cos(acosx+bsinx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} cos(acosx+bsinx)$
${dy}/{dx}=-sin(acosx+bsinx) d/{dx} (acosx+bsinx)$
${dy}/{dx}=-sin(acosx+bsinx) [a(-sinx)+bcosx]$
${dy}/{dx}=-sin(acosx+bsinx) [-(asinx-bcosx)]$
${dy}/{dx}=sin(acosx+bsinx) (asinx-bcosx)$, Ans.
प्रश्न 9. $(sinx-cosx)^((sinx-cosx}}$, $π/4<x< {3π}/4$
हल:-
माना — $y=(sinx-cosx)^((sinx-cosx}}, π/4<x<3π/4$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=(sinx-cosx).log(sinx-cosx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y.{dy}/{dx}=(sinx-cosx).d/{dx} log(sinx-cosx)+log(sinx-cosx).d/{dx} (sinx-cosx)$
$1/y.{dy}/{dx}=(sinx-cosx}/{sinx-cosx).[cosx-(-sinx)]+log(sinx-cosx).[cosx-(-sinx)]$
$1/y.{dy}/{dx}=[cosx+sinx]+log(sinx-cosx).[cosx+sinx]$
$1/y.{dy}/{dx}=(cosx+sinx)[1+log(sinx-cosx) ]$
${dy}/{dx}=y(cosx+sinx)[1+log(sinx-cosx) ]$
${dy}/{dx}=(sinx-cosx)^((sinx-cosx)).(cosx+sinx)[1+log(sinx-cosx)]$, Ans.
प्रश्न 10. $x^x+x^a+a^x+a^a$, किसी नियत $a>0$ तथा $x>0$ के लिए।
हल:-
माना — $y=x^x+x^a+a^x+a^a,a>0 तथा $x>0$
पुनः माना $u=x^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=xlogx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx=d/{dx} (xlogx)$
$1/u du/dx=x d/{dx} logx+logx d/{dx} x$
$1/u du/dx=x.1/x+logx.(1)$
$1/u du/dx=1+logx$
$du/dx=u(1+logx)$
$du/dx=x^x (1+logx),eq(1)$
∵ $y=x^x+x^a+a^x+a^a$
${dy}/{dx}=du/dx+d/{dx} x^a+d/{dx} a^x+d/{dx} a^a$
${dy}/{dx}=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga+0$
${dy}/{dx}=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga$, Ans.
प्रश्न 11. $x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2)$ किसी नियत $x>3$ के लिए।
हल:-
माना — $y=x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2)$ तथा $x>3$
पुनः माना $u=x^(x^2-3) तथा (x-3)^(x^2)$
∵ $y=u+v$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=du/dx+dv/dx ,eq(1)$
∵ $u=x^(x^2-3)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=(x^2-3)logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx=(x^2-3) d/{dx} logx+logx d/{dx} (x^2-3)$
$1/u du/dx=(x^2-3).1/x+logx.(2x-0)$
$1/u du/dx=[(x^2-3+2x^2.logx)/x]$
$du/dx=u[(x^2-3+2x^2.logx)/x]$
$du/dx=x^x (1+logx),eq(1)$
∵ $y=x^x+x^a+a^x+a^a$
${dy}/{dx}=du/dx+d/{dx} x^a+d/{dx} a^x+d/{dx} a^a$
${dy}/{dx}=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga+0$
${dy}/{dx}=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga$, Ans.
प्रश्न 12. यदि $y=12(1-cosx),x= 10(t-sinx), {-π}/2< t < π/2$ तो
${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 13. यदि $y={sin}^{-1}x+{sin}^{-1}√{1-x^2), 0< x<1$ है तो ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न14. यदि $-1<x<1$ के लिए $x√{1+y)+y√{1+x)=0$ है तो सिद्ध कीजिए कि :
${dy}/{dx}=-1/{1+x}$
प्रश्न 15. यदि किसी $c>0$ के लिए $(x- a)^2+(y- b)^2= c^2$ है तो सिद्ध कीजिए कि:
$[1+({dy}/{dx})^2 ]^(3/2}/{(d^2 y}/{dx^2}} $
$a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
प्रश्न 16. यदि $cosy= x cos(a+y)$, तथा $cosa≠±1$, तो सिद्ध कीजिए कि:
${dy}/{dx}=({cos}^2 (a+y}}/sina$
प्रश्न 17. यदि $x=a(cost+tsint)$ और $y= a(sint-tcost)$ तो $(d^2 y}/{dx^2)$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 18. यदि $f(x)=|x|^3$ तो प्रमाणित कीजिए कि f"(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
हल:-
दिया है: $f(x)=|x|^3$
$f(x)={■(x^3,&यदि x≥0@-x^3,&यदि x<0)┤$
$x≥0$ जब तो $f(x)=x^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=3x^2$
$f" (x)=3(2x)=6x$
तथा जब $x<0$ तो —
$f(x)=-x^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=-3x^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f" (x)=-3(2x)=-6x$
अतः $f"$ का अस्तित्व है।
$f(x)={■(x^3,&यदि x≥0@-x^3,&यदि x<0)┤$ , Ans.
$$प्रश्न 19. गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक $n$ के लिए $d/{dx} (x^n)=nx^(n-1)$ है।
हल:-
दिया है: $P(n): d/{dx} (x^n)=nx^(n-1)$
$n=1$ रखने पर —
$P(1): d/{dx} (x^1)=1.x^(1-1) ,eq(1)$
$d/{dx} (x)=1$, जोकि सत्य है।
माना यह परिणाम $n=k$ के लिए भी सत्य है।
$P(k): d/{dx} (x^k)=k.x^(k-1) ,eq(2)$
अब हम इस परिणाम को $n=k+1$ के लिए सत्य सिद्ध करेंगे।
$P(k+1): d/{dx} (x^(k+1}}=(k+1).x^((k+1)-1)$
$LHS=d/{dx} (x^(k+1}}=d/{dx} (x^k.x)$
$=x^k d/{dx} (x)+x d/{dx} (x^k)$
$=x^k (1)+x(kx^(k-1}}$
$=x^k+x(kx^(k-1}}$
$=x^k+kx^k$
$=x^k (1+k)$
$=(k+1) x^k$
$=(k+1) x^((k+1)-1)=RHS$
अतः यह परिणाम $n=k+1$ के लिए भी सत्य है। Proved.
प्रश्न 20. $sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB$ का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
हल:-
दिया है: $sin(A + B)= sinA cosB + cosA sinB$
यदि $A$ और $B,x$ में कोई फलन है तो $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} [sin(A + B) ]=d/{dx} [ sinA cosB + cosA sinB]$
$cos(A+B) d/{dx} (A+B)=sinA d/{dx} cosB+cosB d/{dx}$
$ sinA+cosA d/{dx} sinB+sinB d/{dx} cosA$
$cos(A+B) (dA/dx+dB/dx)=sinA(-sinB)$
$ dB/dx+cosBcosA dA/dx+cosAcosB dB/dx+sinB(-sinA) dA/dx$
$cos(A+B) (dA/dx+dB/dx)=(cosAcosB-sinAsinB)$
$dB/dx+(cosAcosB-sinAsinB) dA/dx$
$cos(A+B) (dA/dx+dB/dx)=(cosAcosB-sinAsinB)(dA/dx+dB/dx)$
$cos(A+B)=(cosAcosB-sinAsinB)$ ,Ans.
प्रश्न 21. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल:-
हां ऐसे फलन का अस्तित्व है जो प्रत्येक बिन्दु पर संतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय हो।
माना $f(x)=|x-1|+|x-2|$
चूंकि मापांक फलन प्रत्येक $x∈R$ के लिए संतत फलन होता है। यहां f(x) दो मापांक फलनों $|x-1|$ और $|x-2|$ का योगफल है। अतः फलन प्रत्येक $x∈R$ के लिए संतत फलन है।
अब,
हल:-
माना- $y=log(logx)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(logx)]$
$=1/logx.1/x$
$=1/xlogx$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (1/xlogx)$
$=((xlogx) d/{dx} 1-1 d/{dx} (xlogx)}/{xlogx)^2$
$=((xlogx).(0)-1.(x.d/{dx} logx+logx.d/{dx} x)}/{xlogx)^2$
$=(0-1.(x.1/x+logx.1)}/{xlogx)^2$
$=(-(1+logx)}/{xlogx)^2$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=-(1+logx}/{xlogx)^2$, Ans.
Or
9. $log(logx)$
हल:-
माना $y=log(logx)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(logx) ]$
${dy}/{dx}=1/logx.1/x$
${dy}/{dx}=1/xlogx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (1/xlogx)$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1 d/{dx} (xlogx)-(xlogx) d/{dx} (1)}/{xlogx)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1[x d/{dx} logx+logx d/{dx} x]-(xlogx) d/{dx} (1)}/{xlogx)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1[x.1/x+logx(1)]-(xlogx)(0)}/{xlogx)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1+logx-0}/{xlogx)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(1+logx}/{xlogx)^2$, Ans.
प्रश्न 10:- $sin(logx)$
10. $sin(logx)$
हल:-
माना $y=sin(logx)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(logx) ]$
${dy}/{dx}=cos(logx).1/x$
${dy}/{dx}=cos(logx)/x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} [cos(logx)/x]$
$(d^2 y}/{dx^2)=(x d/{dx} cos(logx)-cos(logx) d/{dx} (x)}/{x)^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(x[-sin(logx)].1/x.1-cos(logx) (1}}/x^2$
$(d^2 y}/{dx^2)=(-sin(logx)-cos(logx}}/x^2$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=(-sin(logx)-cos(logx}}/x^2$, Ans.
or, $(d^2 y}/{dx^2)=-(sin(logx)+cos(logx}}/x^2$, Ans.
प्रश्न 11:- यदि $y=5cosx-3sinx$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$
हल:-
दिया है- $y=5cosx-3sinx$सिद्ध करना है: $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (5cosx-3sinx)$
$=5(-sinx)-3cosx$
$=-5sinx-3cosx$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-5sinx-3cosx)$
$=-5cosx-3(-sinx)$
$=-5cosx+3sinx$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)+y=-5cosx+3sinx+5cosx-3sinx$
$=0$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$, Proved.
Or
हल:-
दिया है: $y=5cosx-3sinx$सिद्ध करना है: $(d^2 y}/{dx^2)+y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (5cosx-3sinx)$
${dy}/{dx}=5 d/{dx} cosx-3 d/{dx} sinx$
${dy}/{dx}=5(-sinx)-3cosx$
${dy}/{dx}=-5sinx-3cosx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-5sinx-3cosx)$
$(d^2 y}/{dx^2)=-5 d/{dx} sinx-3 d/{dx} cosx$
$(d^2 y}/{dx^2)=-5cosx-3(-sinx)$
$(d^2 y}/{dx^2)=-5cosx+3sinx$
अब, $(d^2 y}/{dx^2)+y=-5cosx+3sinx+5cosx-3sinx=0$, Proved.
12. यदि $y=cos^{-1}x$ है तो $(d^2 y}/{dx^2)$ को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल:-
दिया है: $y=cos^{-1}x$ज्ञात करना है: $(d^2 y}/{dx^2)=?$
∵ $y=cos^{-1}x$
∴ $cosy=x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$d/{dx} cosy=d/{dx} x$
$-siny {dy}/{dx}=1$
${dy}/{dx}=1/(-siny)$
${dy}/{dx}=-cosecy$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-cosecy)$
$(d^2 y}/{dx^2)=-(-cosecy.coty) {dy}/{dx}$
$(d^2 y}/{dx^2)=cosecy.coty {dy}/{dx}$
अब ${dy}/{dx}$ का मान रखने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=cosecy.coty.(-cosecy)$
$(d^2 y}/{dx^2)=cosec^2 y.coty$, Ans.
13. यदि $y=3 cos(logx)+4 sin(logx)$ है तो दर्शाइए कि $x^2 $y_2+xy_1+y=0$
हल:-
दिया है: $y=3 cos(logx)+4 sin(logx)$सिद्ध करना है: $x^2 y_2+xy_1+y=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$y_1=d/{dx} [3 cos(logx)+4 sin(logx) ]$
$y_1=3 d/{dx} [cos(logx) ]+4 d/{dx} [sin(logx) ]$
$y_1=3[-sin〖(logx).1/x〗 ]+4[cos(logx).1/x]$
$y_1=(-3 sin(logx}}/x+(4 cos(logx}}/x$
दोनों ओर $x$ का गुणा करने पर –
$xy_1=-3 sin(logx)+4 cos(logx)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$xy_2+y_1 (1)=-3 d/{dx} [sin(logx) ]+4 d/{dx} [cos(logx) ]$
$xy_2+y_1=-3 cos(logx).1/x+4[-sin(logx)].1/x$
$xy_2+y_1=(-3 cos(logx}}/x-(4 sin(logx}}/x$
पुनः दोनों ओर $x$ का गुणा करने पर –
$x^2 y_2+xy_1=-3 cos(logx)-4 sin(logx)$
$x^2 y_2+xy_1=-[3 cos(logx)+4 sin(logx)]$
$x^2 y_2+xy_1=-y$
$x^2 y_2+xy_1+y=0$, Proved.
14. यदि $y=Ae^mx+Be^nx$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)-(m+n) {dy}/{dx}+mny=0$
हल:-
दिया है: $y=Ae^mx+Be^nx$सिद्ध करना है: $$(d^2 y}/{dx^2)-(m+n) {dy}/{dx}+mny=0$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (Ae^mx+Be^nx)$
${dy}/{dx}=A d/{dx} e^mx+B d/{dx} e^nx$
${dy}/{dx}=Ae^mx.m+Be^nx.n$
${dy}/{dx}=Ame^mx+B〖ne〗^nx,eq(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (Ame^mx+B〖ne〗^nx)$
$(d^2 y}/{dx^2)=Am d/{dx} e^mx+Bn d/{dx} e^nx$
$(d^2 y}/{dx^2)=Ame^mx.m+Bne^nx.n$
$(d^2 y}/{dx^2)=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx eq(2)$
Now, $LHS=(d^2 y}/{dx^2)-(m+n) {dy}/{dx}+mny$
$=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-(m+n)Ame^mx+B〖ne$
$e^nx+mn(Ae^mx+Be^nx)$
$=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-(Am^2 e^mx-B〖mne$
$e^nx+Amne^mx+B〖n^2 e〗^nx)+Amne^mx.m+Bmn^2 e^nx.n$
$=Am^2 e^mx+Bn^2 e^nx-Am^2 e^mx-Bmne^nx-$
$Amne^mx-Bn^2 e^nx+Amne^mx+Bmn e^nx$
$=0=RHS$
$LHS=RHS$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)-(m+n) {dy}/{dx}+mny=0$, Proved.
15. यदि $y=500e^7x+600e^(-7x)$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)=49y$
हल:-
दिया है: $y=500e^7x+600e^(-7x)$सिद्ध करना है: $(d^2 y}/{dx^2)=49y$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=d/{dx} (y=500e^7x+600e^(-7x}} $
${dy}/{dx}=500 d/{dx} e^7x+600 d/{dx} e^(-7x) $
${dy}/{dx}=500e^7x.7+600e^(-7x).(-7)$
${dy}/{dx}=3500e^7x-4200e^(-7x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (3500e^7x-4200e^(-7x}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=3500 d/{dx} e^7x-4200 d/{dx} e^(-7x)$
$(d^2 y}/{dx^2)=3500e^7x.7-4200e^(-7x).(-7)$
$(d^2 y}/{dx^2)=7(3500e^7x.7+4200e^(-7x}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=7×7(500e^7x.7+600e^(-7x}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=49(500e^7x.7+600e^(-7x)$
∵ $y=500e^7x+600e^(-7x)$
∴ $(d^2 y}/{dx^2)=49y$, Proved.
16. यदि $e^y (x+1)=1$ है तो दर्शाइए कि $(d^2 y}/{dx^2)=({dy}/{dx})^2$ है।
हल:-
दिया है: $e^y (x+1)=1$सिद्ध करना है: $(d^2 y}/{dx^2)=({dy}/{dx})^2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$e^y d/{dx} (x+1)+(x+1) d/{dx} e^y=d/{dx} (1)$
$e^y (1+0)+(x+1) e^y {dy}/{dx}=0$
$e^y+e^y (x+1) {dy}/{dx}=0$
$e^y (x+1) {dy}/{dx}=-e^y$
${dy}/{dx}=-e^y/(e^y (x+1}}$
${dy}/{dx}=-1/((x+1}} ,eq(1)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(d^2 y}/{dx^2)=d/{dx} (-1/(x+1}}$
$(d^2 y}/{dx^2)=-[((x+1) d/{dx} (1)+1 d/{dx} (x+1)}/{x+1)^2 ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-[((x+1)(0)+1(1+0)}/{x+1)^2 ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-[(0+1}/{x+1)^2 ]$
$(d^2 y}/{dx^2)=-1/(x+1)^2, eq(2)$
अब समी (1) से —
$({dy}/{dx})^2=(-1/(x+1}}^2=(-1}/{(x+1}}×(-1}/{(x+1}}$
$({dy}/{dx})^2=1/(x+1)^2, eq(3)$
समी० (1) और (3) से,
$(d^2 y}/{dx^2)=({dy}/{dx})^2$, Proved.
17. यदि $y=(tan^{-1} x)^2$ है तो दर्शाइए कि $(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$ है।
हल:-
दिया है: $y=(tan^{-1} x)^2$सिद्ध करना है: $(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$
दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
${dy}/{dx}=2.tan^{-1} x.1/(1+x^2)=(2 tan^{-1} x}/{1+x^2)$
$(1+x^2) {dy}/{dx}=2 tan^{-1}x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर –
$(1+x^2) (d^2 y}/{dx^2)+{dy}/{dx}.d/{dx} (1+x^2)=d/{dx} (2 tan^{-1}x)$
$(1+x^2) (d^2 y}/{dx^2)+{dy}/{dx}.(0+2x)=2/(1+x^2)$
$(x^2+1) (d^2 y}/{dx^2)+2x {dy}/{dx}=2/(1+x^2)$
दोनों पक्षों में $(1+x^2)$ का गुणा करने पर —
$(x^2+1)^2 (d^2 y}/{dx^2)+2x(x^2+1) {dy}/{dx}=2$
∵ ${dy}/{dx}=y_1,(d^2 y}/{dx^2)=y_2$
∴ $(x^2+1)^2 y_2+2x(x^2+1) y_1=2$, Proved.
प्रश्नावली 5.8
1. फलन $f(x)=x^2+2x-8,x∈ [-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[5,9]$
(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[-2,2]$
(iii) $f(x)= x^2-1$ के लिए $x∈[1,2]$
3. यदि $f∶[-5,5]→ R$ एक संतत फलन है और यदि $f^' (x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि $f(-5)≠f(5).$
4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a,b]$ में $f(x)= x^2-4x-3$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।
5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^3-5x^2-3x$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^' (c)=0$ के लिए $c∈(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
प्रश्न 1. फलन $f(x)=x^2+2x-8, x∈[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल:-
दिया है: $f(x)=x^2+2x-8, x∈[-4,2]$$f^' (x)=2x+2,eq(1)$
चूंकि $f(x)$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः $f(x)$ अन्तराल $[-4,2]$ में सतत व अवकलनीय है।
अब, $f(-4)=〖(-4)〗^2+2(-4)-8=16-8-8=0$
तथा $f(2)=〖(2)〗^2+2(2)-8=4+4-8=0$
∵ $f(-4)=f(2)$
अब समी० (1) से,
$f^' (x)=2x+2$
∴ $f^' (c)=2c+2$
परन्तु रोले की प्रमेय से,
$f^' (c)=0$
$2c+2=0$
$2c=-2 c$
$=-2/2$
$c=-1∈[-4,2]$
चूंकि सभी नियम सन्तुष्ट हैं। अतः रोले की प्रमेय सत्यापित है। Proved.
प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[5,9]$(ii) $f(x)=[x]$ के लिए $x∈[-2,2]$
(iii) $f(x)= x^2-1$ के लिए $x∈[1,2]$
हल:-
(i):– दिया है: $f(x)=[x], x∈[5,9]$$f^' (x)=2x+2, eq(1)$
चूंकि $[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है।
चूंकि प्रत्येक महत्तम पूर्णांक फलन $∀x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
अतः $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। Ans.
हल:-
(ii):– दिया है: $f(x)=[x], x∈[-2,2]$$f^' (x)=2x+2, eq(1)$
चूंकि $[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है।
चूंकि प्रत्येक महत्तम पूर्णांक फलन $∀x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
अतः $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू नहीं होती है। Ans.
हल:-
(iii):– दिया है: $f(x)=x^2-1, x∈[1,2]$$f^' (x)=2x+2, eq(1)$
∵ $x^2-1$ एक बहुपदीय फलन है।
चूंकि प्रत्येक बहुपदीय फलन $[1,2]$ पर सतत तथा अवकलनीय होगा।
अब, $f(1)=1^2-1=1-1=0$
तथा $f(2)=2^2-1=4-1=3$
∵ $f(1)≠f(2)$
अतः फलन $f(x)$ रोले की प्रमेय सन्तुष्ट नहीं करता है। Ans.
प्रश्न 3. यदि $f∶[-5,5]→ R$ एक संतत फलन है और यदि $f^' (x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो कि $f(-5)≠f(5).$
हल:-
दिया है: $f∶[-5,5]→ R$, एक संतत फलन है।$f^' (x)$ किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं है अर्थात $f^' (c)≠0$.
सिद्ध करना है: $f(-5)≠f(5)$.
माध्यमान प्रमेय से,
$(f(b)-f(a)}/{b-a)≠0$
$(f(5)-f(-5)}/{5-(-5}}≠0$
$(f(5)-f(-5}}/10≠0$
$f(5)-f(-5)≠0$
$f(5)≠f(-5)$
या $f(-5)≠f(5)$, Proved.
प्रश्न 4. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल
$[a,b]$ में $f(x)= x^2-4x-3$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।
हल:-
दिया है: $f(x)= x^2-4x-3, x∈[1,4]$$f^' (c)=2x-4$
∵ $x^2-1$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $f(x)$, अंतराल $[1,2]$ पर सतत व अवकलनीय होगा।
अब, $f(1)=1^2-4(1)-3=1-4-3=6$
तथा $f(4)=4^2-4(4)-3=16-16-3=-3$
∵ $f(1)≠f(4)$
जबकि माध्यमान प्रमेय से,
$f^' (c)=(f(b)-f(a)}/{b-a)$
$2c-4=(f(4)-f(1)}/{4-1)$
$2c-4=(-3-(-6}}/3$
$2c-4=(-3+6)/3=3/3=1$
$2c=1+4=5$
$c=5/2,∈[1,4] $Proved.
प्रश्न 5. माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)= x^3-5x^2-3x$ जहाँ $a=1$ और $b=3$ है। $f^' (c)=0$ के लिए $c∈(1,3)$ को ज्ञात कीजिए।
हल:-
दिया है: $f(x)= x^3-5x^2-3x, x∈[1,3]$$f^' (x)=3x^2-10x-3, eq(1)$
∵ $f(x)= x^3-5x^2-3x$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $f(x)$ अन्तराल $[1,3]$ पर सतत तथा अवकलनीय है।
अब, $f(1)=1^3-5(1^2)-3=1-5-3=-7$
तथा $f(3)=3^3-5(3^2)-3=27-45-3=-27$
∵ $f(1)≠f(3)$
जबकि माध्यमान प्रमेय से,
$f^' (c)=(f(b)-f(a)}/{b-a)$
$3c^2-10c-3=(f(3)-f(1)}/{3-1)$
$3c^2-10c-3=(-27-(-7}}/2$
$3c^2-10c-3=(-27+7)/2=(-20)/2$
$3c^2-10c-3=-10$
$3c^2-3c-7c+7=0$
$3c(c-3)-7(c-3)=0$
$(c-3)(3c-7)=0$
$c=3 or c=7/3,$
यहां $c=7/3∈[1,3]$Proved.
अब यदि $f^' (c)=0$ तो $c∈(1,3)$ ज्ञात संभव नहीं है।
क्योंकि $f(1)≠f(3)$
प्रश्न 6. प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल:-
(i):– दिया है: $f(x)=[x]$, के लिए $x∈[5,9]$∵ $f(x)=[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है। जो $x∈R$ के लिए न तो सतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः यहां माध्यमान प्रमेय लागू नहीं हो सकता है।
हल:-
(ii):– दिया है: $f(x)=[x]$, के लिए $x∈[-2,2]$∵ $f(x)=[x]$ एक महत्तम पूर्णांक फलन है। जो $x∈R$ के लिए न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय होता है।
हल:-
(iii):– दिया है: $f(x)=x^2-1, x∈[1,2]$$f^' (x)=2x, eq(1)$
∵ $x^2-1$ एक बहुपदीय फलन है।
अतः फलन $[1,2]$ पर सतत तथा अवकलनीय है।
अब, $f(1)=1^2-1=1-1=0$
तथा $f(2)=2^2-1=4-1=3$
∵ $f(1)≠f(2)$
अतः माध्यमान प्रमेय से —
$f^' (c)=(f(b)-f(a)}/{b-a)$
$2c=(3-0}/{2-1)=3/1=3$
$2c=3 or c=3/2
यहां $c=3/2 ∈[1,2]$
अतः माध्यमान प्रमेय सत्यापित होती है। Proved.
अध्याय 5 पर विविध प्रश्नावली
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए: $cos^{-1}$
1. $(3x^2-9x+5)^9$
2. $sin^3 x+cos^6 x$
3. $(5x)^(3cosx 2x)$
4. $sin^{-1}(x√x),0≤x≤1.$
5. $(cos^{-1}〖x/2〗)/√{2x+7)$, -2<x<2
6. ${cot}^{-1}[(√{1+sinx)+√{1-sinx)}/{√{1+sinx)- √{1-sinx}}]$, 0<x<π/2
7. $(logx)^logx,x >1$
8. $cos(acosx+bsinx)$, किन्हीं अचर $a$ तथा $b$ के लिए।
9. $(sinx-cosx)^((sinx-cosx}}, π/4<x< {3π}/4$
10. x^x+x^a+a^x+a^a, किसी नियत $a>0$ तथा $x>0$ के लिए।
11. $x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2)$ किसी नियत $x>3$ के लिए।
12. यदि $y=12(1-cosx),x= 10(t-sinx), -π/2 13. यदि $y=sin^{-1}x+sin^{-1}√{1-x^2), 0<x<1$ है तो {dy}/{dx} ज्ञात कीजिए। 14. यदि $-1<x<1$ के लिए $x√{1+y)+y√{1+x)=0$ है तो सिद्ध कीजिए कि : 15. यदि किसी $c>0$ के लिए $(x- a)^2+(y- b)^2= c^2$ है तो सिद्ध कीजिए कि: 16. यदि $cos y= x cos(a+y)$, तथा $cosa≠±1$, तो सिद्ध कीजिए कि: 17. यदि $x= a(cost+tsint)$ और $y= a(sint-tcost)$ तो $(d^2 y}/{dx^2)$ ज्ञात कीजिए। 18. यदि $f(x)=|x|^3$ तो प्रमाणित कीजिए कि $f"(x)$ का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए। 19. गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक $n$ के लिए $d/{dx} (x^n)=nx^(n-1)$ है। 20. $sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB$ का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा $cosines$ के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए। 21. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए। 22. यदि $y=|■(f(x)&f(b)&f(c)@l&m&n@a&b&c)|$ तो सिद्ध कीजिए कि ${dy}/{dx}=|■(f^' (x)&f^' (x)&f^' (x)@l&m&n@a&b&c)|$ 23. यदि $y=e^(acos^{-1} x),-1≤x≤1$ तो दर्शाइए कि:
$(1-x^2) (d^2 y}/{dx^2)-x {dy}/{dx}-a^2 y=0$
${dy}/{dx}={-1}/{(1+x)^2}$
$[1+({dy}/{dx})^2 ]^(3/2}/{(d^2 y}/{dx^2}}$ ,
$a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
${dy}/{dx}=(cos^2 (a+y}}/sina$
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
प्रश्न 1:- $(3x^2-9x+5)^9$
हल:-
माना — $y=(3x^2-9x+5)^9$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (3x^2-9x+5)^9$
$=9(3x^2-9x+5)^8 d/{dx} (3x^2-9x+5)$
$=9(3x^2-9x+5)^8.(6x-9)$
$=9(3x^2-9x+5)^8.3(2x-3)$
$=27(2x-3) (3x^2-9x+5)^8$, Ans.
प्रश्न 2. $sin^3 x+cos^6 x$
हल:-
माना — $y=sin^3 x+cos^6 x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (sin^3 x+cos^6 x)$
$=d/{dx} sin^3 x+d/{dx} cos^6 x$
$=3sin^2 x d/{dx} sinx+6cos^5 x d/{dx} cosx$
$=3sin^2 x(cosx)+6cos^5 x(-sinx)$
$=3sinxcosx(sinx-2cos^4 x)$, Ans.
प्रश्न 3. $(5x)^(3cosx 2x)$
हल:-
माना — $y=(5x)^(3cosx 2x)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=3cos2x.log5x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y.{dy}/{dx}=3cos2x.d/{dx} log5x+log5x.d/{dx} 3cos2x$
$1/y.{dy}/{dx}=3cos2x.1/5x.5+log5x.3(-sin2x).2$
$1/y.{dy}/{dx}=3cos2x/x-6log5xsin2x$
$1/y.{dy}/{dx}=3(cos2x/x-2sin2xlog5x)$
${dy}/{dx}=3y(cos2x/x-2sin2xlog5x)$
${dy}/{dx}=3(5x)^(3cosx 2x).(cos2x/x-2sin2xlog5x)$, Ans.
प्रश्न 4. ${sin}^{-1}(x√x),0≤x≤1.$
हल:-
माना $y=sin^{-1}(x√x),0≤x≤1.$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin^{-1}(x√x) ]=d/{dx} [sin^{-1}(x^(3⁄2}}]$
$=1/√{1-(x^(3⁄2}}^2).d/{dx} (x^(3⁄2}}$
$=1/√{1-x^3).3/2.x^(1⁄2)$
$=3/2 x^(1⁄2)/√{1-x^3)$
$=3/2 √{x/(1-x^3}}$, Ans.
प्रश्न 5. $({cos}^{-1}〖x/2〗)/√{2x+7),-2<x<2$
हल:-
माना $y=(cos^{-1}〖x/2〗)/√{2x+7),-2<x<2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} ((cos^{-1}〖x/2〗)/√{2x+7}}$
$=(√{2x+7).d/{dx} cos^{-1}〖x/2〗+cos^{-1}〖x/2〗.d/{dx} √{2x+7)}/{√{2x+7}}^2$
$=(√{2x+7).{-1}/√{1-(x/2)^2).1/2+cos^{-1}〖x/2〗.1/(2√{2x+7}}.2}/{2x+7)$
$=-1/(2x+7) [√{2x+7) (1/(1-x^2/4}} 1/2+cos^{-1}〖x/2〗/√{2x+7)]$
$=-1/(2x+7) [√{2x+7) (2/(4-x^2}} 1/2+cos^{-1}〖x/2〗/√{2x+7)]$
$=-[1/√{2x+7).1/(4-x^2)+cos^{-1}〖x/2〗/(2x+7)^(3⁄2)]$, Ans.
प्रश्न 6. ${cot}^{-1}[(√{1+sinx)+√{1-sinx)}/{√{1+sinx)-√{1-sinx}}],0<x<π/2$
हल:-
माना $y={cot}^{-1}[(√{1+sinx)+√{1-sinx)}/{√{1+sinx)-√{1-sinx}}],0<x<π/2$
$y={cot}^{-1}[(√{sin^2〖x/2〗+cos^2〖x/2〗+2 sin〖x/2〗 cos〖x/2〗)+√{sin^2〖x/2〗+cos^2〖x/2〗-2 sin〖x/2〗 cos〖x/2〗)}/{√{sin^2〖x/2〗+cos^2〖x/2〗+2 sin〖x/2〗 cos〖x/2〗)-√{sin^2〖x/2〗+cos^2〖x/2〗-2 sin〖x/2〗 cos〖x/2〗}}]$
$y={cot}^{-1}[(√{(sin〖x/2〗+cos〖x/2〗)^2)+√{(sin〖x/2〗-cos〖x/2〗)^2)}/{√{(sin〖x/2〗+cos〖x/2〗)^2)-√{(sin〖x/2〗-cos〖x/2〗)^2}}]$
$y=cot^{-1} [((sin〖x/2〗+cos〖x/2〗)+(sin〖
x/2〗-cos〖x/2〗)}/{(sin〖x/2〗+cos〖x/2〗)-(sin〖x/2〗-cos〖x/2〗}}]$
$y={cot}^{-1}[2cos〖x/2〗/(2 sin〖x/2〗)]$
$y={cot}^{-1}[cot^{-1}〖x/2〗]$
y=x/2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=1/2 d/{dx} (x)$
${dy}/{dx}=1/2 (1)$
${dy}/{dx}=1/2$, Ans.
प्रश्न 7. $(logx)^logx, x >1$
हल:-
माना — $y=(logx)^logx, x> 1$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=logx.log(logx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y.{dy}/{dx}=logx.d/{dx} log(logx)+log(logx).d/{dx} logx$
$1/y.{dy}/{dx}=logx.1/logx.1/x+log(logx).1/x.(1)$
${dy}/{dx}=y[1/x+log(logx)/x]$
${dy}/{dx}=(logx)^logx [(1+log(logx}}/x]$, Ans.
प्रश्न 8. $cos(acosx+bsinx)$, किन्हीं अचर $a$ तथा $b$ के लिए।
हल:-
माना — $y=cos(acosx+bsinx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} cos(acosx+bsinx)$
${dy}/{dx}=-sin(acosx+bsinx) d/{dx} (acosx+bsinx)$
${dy}/{dx}=-sin(acosx+bsinx) [a(-sinx)+bcosx]$
${dy}/{dx}=-sin(acosx+bsinx) [-(asinx-bcosx)]$
${dy}/{dx}=sin(acosx+bsinx) (asinx-bcosx)$, Ans.
प्रश्न 9. $(sinx-cosx)^((sinx-cosx}}$, $π/4<x< {3π}/4$
हल:-
माना — $y=(sinx-cosx)^((sinx-cosx}}, π/4<x<3π/4$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logy=(sinx-cosx).log(sinx-cosx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/y.{dy}/{dx}=(sinx-cosx).d/{dx} log(sinx-cosx)+log(sinx-cosx).d/{dx} (sinx-cosx)$
$1/y.{dy}/{dx}=(sinx-cosx}/{sinx-cosx).[cosx-(-sinx)]+log(sinx-cosx).[cosx-(-sinx)]$
$1/y.{dy}/{dx}=[cosx+sinx]+log(sinx-cosx).[cosx+sinx]$
$1/y.{dy}/{dx}=(cosx+sinx)[1+log(sinx-cosx) ]$
${dy}/{dx}=y(cosx+sinx)[1+log(sinx-cosx) ]$
${dy}/{dx}=(sinx-cosx)^((sinx-cosx)).(cosx+sinx)[1+log(sinx-cosx)]$, Ans.
प्रश्न 10. $x^x+x^a+a^x+a^a$, किसी नियत $a>0$ तथा $x>0$ के लिए।
हल:-
माना — $y=x^x+x^a+a^x+a^a,a>0 तथा $x>0$
पुनः माना $u=x^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=xlogx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx=d/{dx} (xlogx)$
$1/u du/dx=x d/{dx} logx+logx d/{dx} x$
$1/u du/dx=x.1/x+logx.(1)$
$1/u du/dx=1+logx$
$du/dx=u(1+logx)$
$du/dx=x^x (1+logx),eq(1)$
∵ $y=x^x+x^a+a^x+a^a$
${dy}/{dx}=du/dx+d/{dx} x^a+d/{dx} a^x+d/{dx} a^a$
${dy}/{dx}=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga+0$
${dy}/{dx}=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga$, Ans.
प्रश्न 11. $x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2)$ किसी नियत $x>3$ के लिए।
हल:-
माना — $y=x^(x^2-3)+(x-3)^(x^2)$ तथा $x>3$
पुनः माना $u=x^(x^2-3) तथा (x-3)^(x^2)$
∵ $y=u+v$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=du/dx+dv/dx ,eq(1)$
∵ $u=x^(x^2-3)$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$logu=(x^2-3)logx$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u du/dx=(x^2-3) d/{dx} logx+logx d/{dx} (x^2-3)$
$1/u du/dx=(x^2-3).1/x+logx.(2x-0)$
$1/u du/dx=[(x^2-3+2x^2.logx)/x]$
$du/dx=u[(x^2-3+2x^2.logx)/x]$
$du/dx=x^x (1+logx),eq(1)$
∵ $y=x^x+x^a+a^x+a^a$
${dy}/{dx}=du/dx+d/{dx} x^a+d/{dx} a^x+d/{dx} a^a$
${dy}/{dx}=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga+0$
${dy}/{dx}=x^x (1+logx)+ax^(a-1)+a^x loga$, Ans.
प्रश्न 12. यदि $y=12(1-cosx),x= 10(t-sinx), {-π}/2< t < π/2$ तो
${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 13. यदि $y={sin}^{-1}x+{sin}^{-1}√{1-x^2), 0< x<1$ है तो ${dy}/{dx}$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न14. यदि $-1<x<1$ के लिए $x√{1+y)+y√{1+x)=0$ है तो सिद्ध कीजिए कि :
${dy}/{dx}=-1/{1+x}$प्रश्न 15. यदि किसी $c>0$ के लिए $(x- a)^2+(y- b)^2= c^2$ है तो सिद्ध कीजिए कि:
$[1+({dy}/{dx})^2 ]^(3/2}/{(d^2 y}/{dx^2}} $
$a$ और $b$ से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।प्रश्न 16. यदि $cosy= x cos(a+y)$, तथा $cosa≠±1$, तो सिद्ध कीजिए कि:
${dy}/{dx}=({cos}^2 (a+y}}/sina$प्रश्न 17. यदि $x=a(cost+tsint)$ और $y= a(sint-tcost)$ तो $(d^2 y}/{dx^2)$ ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 18. यदि $f(x)=|x|^3$ तो प्रमाणित कीजिए कि f"(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
हल:-
दिया है: $f(x)=|x|^3$
$f(x)={■(x^3,&यदि x≥0@-x^3,&यदि x<0)┤$
$x≥0$ जब तो $f(x)=x^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=3x^2$
$f" (x)=3(2x)=6x$
तथा जब $x<0$ तो —
$f(x)=-x^3$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f^' (x)=-3x^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$f" (x)=-3(2x)=-6x$
अतः $f"$ का अस्तित्व है।
$f(x)={■(x^3,&यदि x≥0@-x^3,&यदि x<0)┤$ , Ans.
$$प्रश्न 19. गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग द्वारा कीजिए कि सभी धन पूर्णांक $n$ के लिए $d/{dx} (x^n)=nx^(n-1)$ है।
हल:-
दिया है: $P(n): d/{dx} (x^n)=nx^(n-1)$
$n=1$ रखने पर —
$P(1): d/{dx} (x^1)=1.x^(1-1) ,eq(1)$
$d/{dx} (x)=1$, जोकि सत्य है।
माना यह परिणाम $n=k$ के लिए भी सत्य है।
$P(k): d/{dx} (x^k)=k.x^(k-1) ,eq(2)$
अब हम इस परिणाम को $n=k+1$ के लिए सत्य सिद्ध करेंगे।
$P(k+1): d/{dx} (x^(k+1}}=(k+1).x^((k+1)-1)$
$LHS=d/{dx} (x^(k+1}}=d/{dx} (x^k.x)$
$=x^k d/{dx} (x)+x d/{dx} (x^k)$
$=x^k (1)+x(kx^(k-1}}$
$=x^k+x(kx^(k-1}}$
$=x^k+kx^k$
$=x^k (1+k)$
$=(k+1) x^k$
$=(k+1) x^((k+1)-1)=RHS$
अतः यह परिणाम $n=k+1$ के लिए भी सत्य है। Proved.
प्रश्न 20. $sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB$ का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
हल:-
दिया है: $sin(A + B)= sinA cosB + cosA sinB$
यदि $A$ और $B,x$ में कोई फलन है तो $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$d/{dx} [sin(A + B) ]=d/{dx} [ sinA cosB + cosA sinB]$
$cos(A+B) d/{dx} (A+B)=sinA d/{dx} cosB+cosB d/{dx}$
$ sinA+cosA d/{dx} sinB+sinB d/{dx} cosA$
$cos(A+B) (dA/dx+dB/dx)=sinA(-sinB)$
$ dB/dx+cosBcosA dA/dx+cosAcosB dB/dx+sinB(-sinA) dA/dx$
$cos(A+B) (dA/dx+dB/dx)=(cosAcosB-sinAsinB)$
$dB/dx+(cosAcosB-sinAsinB) dA/dx$
$cos(A+B) (dA/dx+dB/dx)=(cosAcosB-sinAsinB)(dA/dx+dB/dx)$
$cos(A+B)=(cosAcosB-sinAsinB)$ ,Ans.
प्रश्न 21. क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल:-
हां ऐसे फलन का अस्तित्व है जो प्रत्येक बिन्दु पर संतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय हो।
माना $f(x)=|x-1|+|x-2|$
चूंकि मापांक फलन प्रत्येक $x∈R$ के लिए संतत फलन होता है। यहां f(x) दो मापांक फलनों $|x-1|$ और $|x-2|$ का योगफल है। अतः फलन प्रत्येक $x∈R$ के लिए संतत फलन है।
अब,
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