72 delete krna hai
प्रश्नावली 5.4
निम्नलिखित का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए:
निम्नलिखित का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x/sinx)$
$={sinx × d/{dx} (e^x) - e^x d/{dx} (sinx)}/{sinx)^2$
$={sinx.(e^x)-e^x (cosx)}/{sin^2 x}$
$={e^x (sinx-cosx)}/{sin^2 x}$Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} {e^{{sin}^{-1} x}}$
$=e^{{sin}^{-1} x} d/{dx} ({sin}^{-1} x)$
$=e^{{sin}^{-1} x}.(1/{√{1-x^2}})$
$={e^{{sin}^{-1} x}}/{√{1-x^2}}$Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^{x^3})$
$=e^{x^3} d/{dx} (x^3)$
$=e^{x^3} . (3x^2)$
$=3x^2 . e^{x^3}$Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(tan^{-1} e^{-x})]$
$=cos(tan^{-1} e^{-x}) d/{dx} (tan^{-1} e^{-x})$
$=cos(tan^{-1} e^{-x}) . 1/{1+(e^{-x})^2} . d/{dx} (e^{-x})$
$={cos(tan^{-1} e^{-x})}/{1+e^{-2x}} . e^{-x} . d/{dx} (-x)$
$={e^(-x) cos(tan^{-1} e^{-x})}/{1+e^{-2x}} .{-1}$
$=-{e^{-x} cos(tan^{-1} e^{-x})}/{1+e^{-2x}}$ Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(cos e^x)]$
$=1/{cos e^x} . d/{dx} (cos e^x)$
$=1/{cos e^x} . (-sin e^x) . d/{dx} (e^x)$
$={-sin e^x}/{cos e^x} . (e^x)$
$=-e^x . tan(e^x)$Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x+e^(x^2)+e^(x^3)+e^(x^4)+e^(x^5}}$
$=d/{dx} e^x+d/{dx} e^(x^2)+d/{dx} e^(x^3)+d/{dx} e^(x^4)+d/{dx} e^(x^5)$
$=e^x d/{dx} (x)+e^(x^2) d/{dx} (x^2)+e^(x^3) d/{dx} (x^3) +e^(x^4) d/{dx} (x^4)+e^(x^5) d/{dx} (x^5)$
$=e^x (1)+e^(x^2) (2x)+e^(x^3) (3x^2) +e^(x^4) (4x^3)+e^(x^5) (5x^4)$
$=e^x+2x.e^(x^2)+3x^2.e^(x^3)+4x^3.e^(x^4)+5x^4.e^(x^5)$Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (√{e^√x}}$
$=1/(2√{e^√x}}.d/{dx} (e^√x)$
$=1/(2√{e^√x}}.e^√x.d/{dx} (√x)$
$=e^√x/(2√{e^√x}}.(1/(2√x}}$
$=(√{e^√x).√{e^√x)}/{2√{e^√x}}.(1/(2√x}}$
$=√{e^√x}/{4√x)$Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(logx)]$
$=1/logx.d/{dx} (logx)$
$=1/{logx} .{1/x}$
$=1/{xlogx}$ Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (cosx/logx)$
$=(logx×d/{dx} (cosx)-cosx d/{dx} (logx)}/{logx)^2$
$=(logx.(-sinx)-cosx.1/x}/{logx)^2$
$=(-xsinx.logx-cosx)/〖x(logx)〗^2$
$=(-(xsinx.logx+cosx)}/{x(logx)^2)$Ans.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [cos(logx+e^x)]$
$=-sin(logx+e^x)[d/{dx} (logx)+d/{dx} (e^x)]$
$=-sin(logx+e^x)[1/x+e^x ]$ Ans.
1. $e^x/{sinx}$
2. $e^{sin^{-1} x}$
3. $e^{x^3}$
4. $sin(tan^{-1} e^x)$
5. $log(cos e^x)$
6. $e^x+e^{x^2}+e^{x^3}+e^{x^4}+e^{x^5}$
7. $√{e^{√x}}, x>0$
8. $log(logx), x>1$
9. ${cosx}/{logx} , x>0$
10. $cos(logx+e^x)$
${d/{dx} (u/v)=(v× d/{dx} (u) - u d/{dx} (v)}/{v^2}$
or, $d/{dx} (u/v)={v×u^'-u×v^'}/{v^2}$
or, $d/{dx} ({अंश}/{हर})={(हर×d/{dx} (अंश)-अंश d/{dx} (हर)}/{हर^2}$
निम्नलिखित का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
प्रश्न 1:- ${e^x}/{sinx}$
हल:-
माना $y={e^x}/{sinx}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x/sinx)$
$={sinx × d/{dx} (e^x) - e^x d/{dx} (sinx)}/{sinx)^2$
$={sinx.(e^x)-e^x (cosx)}/{sin^2 x}$
$={e^x (sinx-cosx)}/{sin^2 x}$Ans.
प्रश्न 2:- $e^{sin^{-1} x}$
हल:-
माना $y=e^{{sin}^{-1} x}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} {e^{{sin}^{-1} x}}$
$=e^{{sin}^{-1} x} d/{dx} ({sin}^{-1} x)$
$=e^{{sin}^{-1} x}.(1/{√{1-x^2}})$
$={e^{{sin}^{-1} x}}/{√{1-x^2}}$Ans.
प्रश्न 3:- $e^{x^3}$
हल:-
माना $y=e^{x^3}$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^{x^3})$
$=e^{x^3} d/{dx} (x^3)$
$=e^{x^3} . (3x^2)$
$=3x^2 . e^{x^3}$Ans.
प्रश्न 4:- $sin(tan^{-1} e^{-x})$
हल:-
माना $y=sin(tan^{-1} e^{-x})$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [sin(tan^{-1} e^{-x})]$
$=cos(tan^{-1} e^{-x}) d/{dx} (tan^{-1} e^{-x})$
$=cos(tan^{-1} e^{-x}) . 1/{1+(e^{-x})^2} . d/{dx} (e^{-x})$
$={cos(tan^{-1} e^{-x})}/{1+e^{-2x}} . e^{-x} . d/{dx} (-x)$
$={e^(-x) cos(tan^{-1} e^{-x})}/{1+e^{-2x}} .{-1}$
$=-{e^{-x} cos(tan^{-1} e^{-x})}/{1+e^{-2x}}$ Ans.
प्रश्न 5:- $log(cos e^x)$
हल:-
माना $y=log(cos e^x)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(cos e^x)]$
$=1/{cos e^x} . d/{dx} (cos e^x)$
$=1/{cos e^x} . (-sin e^x) . d/{dx} (e^x)$
$={-sin e^x}/{cos e^x} . (e^x)$
$=-e^x . tan(e^x)$Ans.
प्रश्न 6:- $e^x+e^(x^2)+⋯+e^(x^5)$
हल:-
माना $y=e^x+e^(x^2)+e^(x^3)+e^(x^4)+e^(x^5)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (e^x+e^(x^2)+e^(x^3)+e^(x^4)+e^(x^5}}$
$=d/{dx} e^x+d/{dx} e^(x^2)+d/{dx} e^(x^3)+d/{dx} e^(x^4)+d/{dx} e^(x^5)$
$=e^x d/{dx} (x)+e^(x^2) d/{dx} (x^2)+e^(x^3) d/{dx} (x^3) +e^(x^4) d/{dx} (x^4)+e^(x^5) d/{dx} (x^5)$
$=e^x (1)+e^(x^2) (2x)+e^(x^3) (3x^2) +e^(x^4) (4x^3)+e^(x^5) (5x^4)$
$=e^x+2x.e^(x^2)+3x^2.e^(x^3)+4x^3.e^(x^4)+5x^4.e^(x^5)$Ans.
प्रश्न 7:- $√{e^√x) ,x>0$
हल:-
माना $y=√{e^√x) , x>0$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (√{e^√x}}$
$=1/(2√{e^√x}}.d/{dx} (e^√x)$
$=1/(2√{e^√x}}.e^√x.d/{dx} (√x)$
$=e^√x/(2√{e^√x}}.(1/(2√x}}$
$=(√{e^√x).√{e^√x)}/{2√{e^√x}}.(1/(2√x}}$
$=√{e^√x}/{4√x)$Ans.
प्रश्न 8:- $log(logx),x>1$
हल:-
माना $y=log(logx),x>1$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [log(logx)]$
$=1/logx.d/{dx} (logx)$
$=1/{logx} .{1/x}$
$=1/{xlogx}$ Ans.
प्रश्न 9:- $cosx/logx,x>0$
हल:-
माना $y=cosx/logx, x>0$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} (cosx/logx)$
$=(logx×d/{dx} (cosx)-cosx d/{dx} (logx)}/{logx)^2$
$=(logx.(-sinx)-cosx.1/x}/{logx)^2$
$=(-xsinx.logx-cosx)/〖x(logx)〗^2$
$=(-(xsinx.logx+cosx)}/{x(logx)^2)$Ans.
प्रश्न 10:- $cos(logx+e^x)$
हल:-
माना $y=cos(logx+e^x)$$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}=d/{dx} [cos(logx+e^x)]$
$=-sin(logx+e^x)[d/{dx} (logx)+d/{dx} (e^x)]$
$=-sin(logx+e^x)[1/x+e^x ]$ Ans.
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