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प्रश्न 7:- $(logx)^x+ x^logx⁡$

हल:-

माना $y= (logx)^x+ x^logx⁡$
पुनः माना $u= (logx)^x$ तथा v= $x^logx⁡$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx}+{dv}/{dx}, eq(1)$
∵ $u= (logx)^x$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$log⁡u= x log⁡(logx)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= x d/{dx} log⁡(logx)+ log⁡(logx) d/{dx} (x)$
$1/u {du}/{dx}=x.1/logx.1/x.1 + log⁡(logx).1$
${du}/{dx}=u[1/logx+ log⁡(logx)]$
${du}/{dx}=(logx)^x [1/logx+ log⁡(logx)], eq(2)$
Now,∵ $v= x^logx⁡$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$log⁡v=logx logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}= logx d/{dx} log⁡x+ logx d/{dx} logx$
$1/u {dv}/{dx}= 〖logx.〗⁡〖1/x〗+ log⁡x.1/x$
${dv}/{dx}=v[logx/x+logx/x]$
${dv}/{dx}=x^logx [2logx/x], eq(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=(logx)^x [1/logx+ log⁡(logx) ]+x^logx [2logx/x]$
${dy}/{dx}=(logx)^(x-1) [1+logx log⁡(logx) ]+x^logx [2logx/x]$, Ans.

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