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प्रश्न 11:- $(xcosx)^x+(xsinx)^{1/x}$

हल:-

माना $y= (xcosx)^x +(xsinx)^{1/x}$
पुनः माना $u= x^cosx$ तथा $v= {x^2+1}/{x^2-1}$
∵ $y= u+ v$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
${dy}/{dx}={du}/{dx}+{dv}/{dx} , eq(1)$
∵ $u=x^{cosx}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$log⁡u= cosx. logx$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/u {du}/{dx}= cosx d/{dx} log⁡x+ log⁡x d/{dx} cosx$
$1/u {du}/{dx}=cosx . 1/x + log⁡x.(-sinx)$
${du}/{dx}=u [{cosx}/x - sinx.log⁡x ]$
${du}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx.log⁡x],(2)$
Now, ∵ $v= {x^2+1}/{x^2-1}$
दोनों पक्षों का $log$ लेने पर —
$log⁡v=log⁡(x^2+1}/{x^2-1)$
$log⁡v=log⁡〖(x^2+1)〗-log⁡〖〖(x〗^2-1)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर —
$1/v {dv}/{dx}=1/(x^2+1) d/{dx} (x^2+1)-1/(x^2-1) d/{dx} (x^2-1)$
$1/v {dv}/{dx}=1/(x^2+1).(2x+0)-1/(x^2-1).(2x-0)$
$1/v {dv}/{dx}=[2x/(x^2+1)-2x/(x^2-1)]$
${dv}/{dx}= v[{2x(x^2-1) - 2x(x^2+1)}/{x^2+1)(x^2-1)}]$
${dv}/{dx}= {x^2+1}/{x^2-1} [{2x^2 - 2x - 2x^2 - 2x}/{(x^2+1)(x^2-1)}]$
${dv}/{dx}={-4x}/{(x^2-1)^2} ,(3)$
समी (2) व (3) से समी (1) में मान रखने पर —
${dy}/{dx}=x^{cosx}[{cosx}/x - sinx.log⁡x ]+{-4x}/{(x^2-1)^2}$
${dy}/{dx}=x^{cosx} [{cosx}/x - sinx.log⁡x] - {4x}/{(x^2-1)^2}$, Ans.

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